最新人教版七年级下册数学不等式在实际问题中的应用
人教版初一数学下册9.2 一元一次不等式的实际应用
9.2 实际问题与一元一次不等式（一）[教学目标]①能将实际问题转化为一元一次不等式；会根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式。
②归纳列一元一次不等式解实际问题的基本步骤，培养学生的数学建模能力。
③通过解决实际问题，体会一元一次不等式在生活中的应用价值，培养学生学习数学的兴趣。
[重点难点]用一元一次不等式解决实际问题是重点；找不等关系是难点。
[教学过程]一、导入新课我们知道，在生产和生活中存在大量的等量关系，与此同时，我们也看到在生产和生活中存在着大量的不等关系，解决这些问题，用不等式比较方便。
二、例题例1去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？分析：去年空气质量良好的天数是多少？用x表示明年增加的空气质量良好的天数，则明年空气质量良好的天数是多少？本题的不等关系是什么？去年空气质量良好的天数是365×60%;明年空气质量良好的天数是x+365×60%;不等关系是:去年空气质量良好的天数÷365 ＞70%.解：设明年比去年空气质量良好的天数增加x天，依题意，得（x+365×60%）/365 ＞70%去分母，得x+219 ＞255.5移项，合并同类项，得 x＞36.5思考：这是本题的答案吗？为什么？本题的答案是什么？不是。
因为x为正整数。
∴x≥37答：明年空气质量良好的天数至少比去年增加37天。
注意：用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义。
例1中的未知数都应是正整数。
例2[投影2]甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费；乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95％收费．顾客选择哪个商店购物花费少？分析：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？分三种情况考虑：①累计购物不超过50元；②累计购物超过50元但不超过100元；③累计购物超过100元。
现实生活中与不等式有关的例子
现实生活中与不等式有关的例子标题：现实生活中的不等式应用引言：不等式是数学中一个重要的概念，它在现实生活中也有许多应用。
本文将列举十个现实生活中与不等式有关的例子，通过这些例子展示不等式的应用，帮助读者更好地理解和应用不等式。
1. 购物打折：现实生活中，商店经常会进行打折促销活动。
假设某商店对一件商品打折，折扣为x%，原价为p元，则打折后的价格为p - p * (x/100)元。
为了计算打折后的价格是否低于某个预算b元，可以建立不等式 p - p * (x/100) ≤ b。
2. 体重控制：健康的体重范围是一个重要的健康指标。
假设某人的身高为h米，体重为w千克。
根据身体质量指数（BMI）计算公式，可以得到一个不等式，例如：w/h^2 ≤ 25，表示体重不超过25千克/平方米，以保持健康的体重范围。
3. 电费计算：电费计算通常与电的使用量有关。
假设某家庭一个月的电费为c元，电费计算公式为c = a * r * t，其中a为电价（元/千瓦时），r为电表读数（千瓦时），t为使用时间（小时）。
为了控制电费开支，可以建立不等式c ≤ b，其中b为所能接受的最高电费。
4. 班级成绩排名：在学校中，班级成绩排名是一个常见的事情。
假设班级有n个学生，每个学生的总成绩为s，成绩排名不等式可以表示为s1 > s2 > s3 > ... > sn，其中s1为最高成绩，sn为最低成绩。
5. 药物剂量控制：在医学领域中，药物的剂量控制非常重要。
假设某种药物的标准剂量为d毫克，患者的体重为w千克。
为了确保患者的安全，可以建立不等式d ≤ k * w，其中k为药物剂量与体重的比例系数。
6. 速度限制：在道路交通中，速度限制是确保安全驾驶的重要规定。
假设某条道路的限速为v千米/小时，驾驶车辆的速度为s千米/小时，为了遵守限速规定，可以建立不等式s ≤ v。
7. 借贷能力评估：银行在进行贷款审批时，通常会评估借款人的借贷能力。
人教版数学七年级下册-9.2 一元一次不等式在生活中的应用
聚焦不等式（组）在生活中的应用不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的一个有效的数学模型，借助不等式解决现实生活中的实际问题，而利用不等式组进行方案设计问题一直是考试的热点，下面举例说明，供同学们参考．例1、（2008年泰州市）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的12．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm ，若铁钉总长度为a cm ，则a 的取值范围是 ．解析：根据题意易知第二次敲击后铁钉进入木块的长度是1cm ，所以前两次铁钉进入木块的长度的和是3cm ．下面关键是正确理解“被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚）”，由此可确定第二次敲击后铁钉未进入木块的长度是大于0㎝，但是最长不超过0.5cm ，所以a 的取值范围是3㎝＜a ≤3.5cm.．例2、(2008年益阳)乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶 路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)当x ≥2时，用含x 乘车费用为 ；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x 的范围.解析：(1)关键是理解“超过2千米部分每千米收费1.5元”，计算超过2千米部分的费用应用价格乘以总路程减去2，即 1.5(x -2)，所以当x ≥2时，用含x 乘车费用为4+1.5(x -2)=1.5x +1；(2)解决问题的关键是根据规定理解“小红一次乘车后付了车费8元”中隐含的不等式，根据规定若按路程计算时，实际上车费是大于或等于7.5元而小于8.5元，据此可列出不等式组：⎩⎨⎧≥++5.711.58.515.1x ＜x ，解这个不等式组，得313≤x ＜5． 图1所以小红这次乘车路程x 的范围是313≤x ＜5． 例3、（2008福建福州）今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元．请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；（2）求出（1）班的学生人数．解析：（1）设（2）班捐款金额各是x 元，（3）班的捐款金额是y 元，根据“信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元”，可列出方程组：⎩⎨⎧=--=+30020007700y x y x ，解之，得⎩⎨⎧==27003000y x ，所以（2）班捐款金额各是3000元，（3）班的捐款金额是2700元；（2）设（1）班人数是x 人，根据“信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48元，小于．．51元”，可列出不等式组⎩⎨⎧200051200048y ＞x ＜，解这个不等式组，得395111＜x ＜4132，因为x 为正整数，所以x=40或41，所以（1）班人数是40人或41人．。
数学人教版七年级下册实际应用与一元一次不等式
去哪家商场购 物更优惠呢？
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品。 并且又各自推出不同的优惠方案
甲：累计购买100元商品后， 乙：累计购买50元商品后，
再购买的商品按原价的90% 收费 再购买的商品按原价的95% 收费
甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，又各自推出不 同的优惠方案；甲：累计购买100元商品后，再购买的商 品按原价的90%收费；乙：累计购买50元商品后，再购 买的商品按原价的95%收费。哪家更优惠呢？ 分三种情况分析: 1 若累计购物不超过50元；在两家商场购物花费是一样的。 2 若累计购物超过50元但不超过100元时; 在乙商场更优惠。 3 若累计购物超过100元; 又有三种情况:
（1）什么情况下，在甲商场更优惠？ （2）什么情况下，在乙商场更优惠？ （3）什么情况下，在两家商场购物花费一样？ 设累计购物x元（x>100元）。 100 ( x 100 ) 90 %] 元 则在甲商场的花费为 [ 50 ( x 50 ) 95 %] 元 在乙商场的花费为 [
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1.用不等式建立数学模型解决实际问题的一般步骤 是怎样的?
审题、找关键句、设未知数 建立数学模型 实际问题 根据不等关系列出不等式 （一元一次不等式）
解 一 元 一 次 不 等 式 实际问题的解 检验 数学问题的解
1.用不等式建立数学模型解决实际问题的一般步骤 是怎样的?
审题、找关键句、设未知数 建立数学模型 实际问题 根据不等关系列出不等式 （一元一次不等式） 解 一 元 一 次 不 等 式 实际问题的解 检验 数学问题的解
请你来决策
某工程队要招聘甲、乙 两种工种的工人
150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别 为600元和1000元。现要求乙种工种的人数不 少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙工种各招聘 多少人时，使得每月所付的工资最少？
七年级数学人教版下册第九章一元一次不等式组的实际应用分配问题与方案选择问题
讲解答案
解题方法
雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。 治天下者必先立其志。 雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。 志，气之帅也。 强行者有志。 沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
贫困能造就男子1气、概。根据题目中的关键词找出不等关系，列不等式（组）.
志不立，如无舵这舟，无衔之马，漂荡奔逸，终亦何所底乎。 人无志向，和迷途的盲人一样。
例题讲解-答案
解题方法
1、根据两种商品之间的等量关系，建立方程求解.
2、根据题目中的关键词找出不等关系，列不等式（组）.
3、 有几种方案
回答数字几种
有哪几种方案
回答数字，并写出具体方案.
应用练习1
某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两 种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元 （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买 了多少件？
应用练习3
某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．
应用练习3
某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130 万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
应用练习2
某校组织夏令营活动，现有36座和42座两种客车供选择租用，若 只租用36座客车若干辆，则刚好坐满；若只租用42座客车，则能少租 一辆，而且还有一辆没有坐满，但超过30人，问： （1）该校有多少人参加夏令营活动？
人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组实际应用
人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组实际应用一．规律与方法：1.建立不等式(组)模型解决生产、生活中的实际问题是一种重要的数学思想和数学方法，要构建不等式(组)模型，关键是分析题意，弄清题目中的数量关系，通过题目中的关键词，如：“多”、“少”、“大于”、“小于”、“超过”等，找出各量之间的不等关系，建立不等式(组)模型．2．列不等式(组)解应用题可按以下步骤进行：①审题：弄清题意，找出题目中的各种数量关系；②设未知数：一般问什么设什么，也可间接设；③根据题目中的不等关系，列出不等式(组)；④解不等式(组)，并验证解的正确性；⑤作答．二．利用一元一次不等式的简单应用1.例题．为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍作奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？解：设孔明应该买x 个球拍，根据题意，得5×20＋22x≤200，解得x≤7. 由于x 取整数，故x 的最大值为7.811答：孔明应该买7个球拍．2.对应训练：（1）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有( )A ．103块 B ．104块 C ．105块 D ．106块（2）小明准备用22元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每本笔记本2元，他买了3本笔记本后，用剩余的钱来买笔，那么他最多可以买( )A ．3支笔B ．4支笔C ．5支笔D ．6支笔（3）有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排____人种茄子．三．利用一元一次不等式设计方案1.例题：某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？解：1)120×0.95＝114(元)．答：实际应支付114元．2)设购买商品的价格为x元，由题意得0．8x＋168＜0.95x，解得x>1 120.答：当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案一更合算2.对应训练：（1）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．1)若购进A、B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．（2）．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．四．利用一元一次不等式（组）解决图表问题1.例题．某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个，付款总额不得超过11 815元．已知厂家两种球的批发价和商场两种球的零售价如下表，试解答下列问题：品名厂家批发价(元/个)商场零售价(元/个)篮球130160排球100120(1)该采购员最多可购进篮球多少个？(2)若该商场把这100个球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2 580元，则采购员至少要购篮球多少个？该商场最多可盈利多少元？解：(1)设采购员最多可购进篮球x个，则排球是(100－x)个，依题意，得130x＋100(100－x)≤11 815.解得x≤60.5.∵x是整数，∴x最大取60.答：该采购员最多可购进篮球60个．(2)设篮球x个，则排球是(100－x)个，则(160－130)x＋(120－100)(100－x)≥2 580.解得x≥58.又由第(1)问得x≤60.5，∴正整数x的取值为58，59，60.即采购员至少要购篮球58个．∵篮球的利润大于排球的利润，∴这100个球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，故篮球60个，排球40个，此时商场可盈利(160－130)×60＋(120－100)×40＝1 800＋800＝2 600(元)，即该商场最多可盈利2 600元．2.对应训练：（1）．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物越过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100.1)根据题意，填写下表(单位：元)2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？（2）.学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑3 000元，购买1台学习机800元．1)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168 000元，则购买平板电脑最多多少台？2)在(1)的条件下，购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？（3）．2018年5月20日是第24个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)，根据信息，解答下列问题．1)求这份快餐中所含脂肪的质量；2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．五．综合题1．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足( )A ．n≤mB ．n≤100m 100＋mC ．n≤D ．n≤m 100＋n 100m 100－m2.“一方有难，八方支援”，雅安芦山4·20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅(一桌一椅为一套)的套数为( )A ．60B ．70C ．80D ．903.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm ，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为____________cm .4.2018年的5月20日是第18个学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图一矩形内)．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？信息1）．快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他．2）．快餐总质量为400克．3）．碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．5．某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打____折出售此商品．6．为增强市民的节能意识，我市试行阶梯电价．从2013年开始，按照每户每年的用电量分三个档次计费，具体规定见右图．小明统计了自家2013年前5个月的实际用电量为1 300度，请帮助小明分析下面问题．(1)若小明家计划2013年全年的用电量不超过2 520度，则6至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度？(保留整数)(2)若小明家2013年6至12月份平均每月用电量等于前5个月的平均每月用电量，则小明家2013年应交总电费多少元？7．冷饮店每天需配制甲、乙两种饮料共50瓶，已知甲饮料每瓶需糖14克，柠檬酸5克；乙饮料每瓶需糖6克，柠檬酸10克．现有糖500克，柠檬酸400克．请计算有几种配制方案能满足冷饮店的要求？8.把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一个就分不到3本，这些书有多少本？共有多少人？9.．某地教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？10.小明家准备用15 000元装修房子，新房的使用面积包括居室、客厅、卫生间和厨房共100 m2，卫生间和厨房共10 m2，厨房和卫生间装修工料费为每平方米200元，为卫生间和厨房配套卫生洁具和厨房厨具还要用去400元，则居室和客厅的装修工料费每平方米用多少元才能不超过预算？11.某货运码头，有稻谷和棉花共2680t，其中稻谷比棉花多380t.⑴求稻谷和棉花各是多少？⑵现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共50个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35t和棉花15t可装满一个甲型集装箱；稻谷25t和棉花35t可装满一个乙型集装箱.按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？12.某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.(1)两种跳绳的单价各是多少元？(2)若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？13.海中游泳馆每年6~8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元。
数学人教版七年级下册不等式与不等式组的实际运用
不等式与不等式组的实际应用一、知识点梳理1、列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审：渗透，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系（2）设：设适当的未知数（3）找：找出题目中的所有不等关系（4）列：列不等式（组）（5）解：求出不等式（组）的解集（6）答：写出符合题意的答案二、典型例题一、打折问题：例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？举一反三：一种灭虫药粉30千克，含药率是15%，现在要用含药率比较高的同种药粉50千克和它混合，使混合的含药率大于20%且小于35%，求所用药粉的含药率的范围。
二、赛球问题：例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？举一反三：在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？三、购买问题：例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。
第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。
在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？举一反三：初二年级，若租用48座客车若干辆，则正好坐满；若租用64座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过一半。
已知租用48座客车每辆250元，租用64座客车每辆300元，问应租用哪种客车比较合算？四、分苹果问题：例4，把44个苹果分给若干名学生，若每人分苹果7个，则最后1名学生分得的苹果不足3个，求学生人数。
举一反三：学生若干个，注宿舍若干间，如果每间住4人，则余19人没有住处；如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求有多少间宿舍？多少个学生？五、方案决策问题：例5，某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本如下表：问：该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？举一反三：现计划吧甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，如果每节A型车厢最多可装载甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装载甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？请你设计出来。
最新人教版七年级下册数学专题四：不等式(组)的实际应用
专题四：不等式（组）的实际应用【要点知识回顾】1.在列一元一次不等式（组）解应用题时，设法同列方程解应用题，其一般步骤是：（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：设未知数；（3）列：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系，并根据不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；（4）解：解这个不等式（组），求出解集；（5）答：检验不等式（组）的解集是否合理，是否符合实际情况，写出答案.2. 在列不等式（组）解应用题时，有些复杂问题需要列由方程与不等式组成的混合式组.【经典考题解析】例1. 洞庭实验学校准备在“五一”黄金周组织部分教师到张家界旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社的报价均为400元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠，而乙旅行社则是免去一位带队老师的费用，其余的八折优惠.（1）求人数为多少时，两家旅行社的收费相同？（2）请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少？旅游人数在什么范围时选择乙旅行社费用较少？解析：对于优惠方式不同的旅行社，要达到花费少，又能达到一定程度的旅游效果，关键取决于旅游人数的多少.为此（1）设旅游教师为x 人时，两家旅行社收费相同，根据题意，得40075%40080%(1)x x ⨯=⨯-，解得16x =.（2）设旅游教师为1x 人时，甲旅行社收费较少，根据题意，得1140075%40080%(1)x x ⨯<⨯-，解得116x >.设旅游教师为2x 人时，甲旅行社收费较少，根据题意，得2240075%40080%(1)x x ⨯>⨯-，解得216x <.故当人数大于16人时，选择甲旅行社收费较少；当人数小于16人时，选择乙旅行社收费较少.例2. 某生产“科学计算器”的公司有100面职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售，经公司多方考察，发现公司的生产能力受到限制，决定引入一条新的计算器生产线生产计算器，并从这100名职工中选派一部分人到新生产线工作，分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加20％，而分派到新生产线的职工人均年产值为分工前人均年产值的4倍，如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值，而新生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半，试确定分派到新生产线的人数．解析：要想建立分工前后年总产值的关系，除了假设分派ｘ人去新生产线外，显然还需知道分工前人均年产值，故再设分工前人均年产值为ａ，则由题意，得()()100120%100450x a a ax a-⋅+≥⎧⎪⎨≥⎪⎩， 解之，得12．5≤ｘ≤1623， 故ｘ只能是12，13，14，15，16．因此，分派到新生产线的人数可以是 12人或13人或14人或15人或16人．例3. 某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？解析：（1）设轿车要购买x辆，那么面包车要购买)(x-辆，由题意得：10-+xx7≤(455)10解得：5≤x又∵3x，则5,4,3≥x=∴购机方案有三种：方案一：轿车3辆，面包车7辆；方案二：轿车4辆，面包车6辆；方案三：轿车5辆，面包车5辆；（2）方案一的日租金为：1370+⨯⨯（元），71102003=方案二的日租金为：1460+⨯（元），⨯11062004=方案三的日租金为：1550⨯+⨯（元），2005=1105为保证日租金不低于1500元，应选择方案三.【复习方法指导】1.列不等式（组）解应用题时，要注意抓住关键字眼，如“不少于”、“不低于”、“不多于”、“不高于”、“至少”、“至多”、“不超过”、“不足”等，从题意出发，设好未知数后，要从分析问题的不等量之间的关系入手.2.有一些不等关系，比较隐蔽，我们必须把它挖掘出来.如长方形中长一定要大于宽，三角形中两边之和一定要大于第三边，实际工作中，原材料一定要大于或等于产品用料等.【重点难点专练】1. 某火车站购进一种溶质质量分数为20%的消毒液，准备对候车室进行喷洒消毒，而从科学的角度知用含0.15－0.2%的消毒液喷洒效果最好，那么工作人员把这种溶质质量分数为20%消毒液稀释时，兑水的比例应该是（）（A）1：99--1:199 （B）1:98—1:198（C）1:90—1:190 （D）1:100—1:2002. 小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸的那一端仍然着地.请你猜一猜小芳的体重应小于（）.（A）49千克（B）50千克（C）24千克（D）25千克3.根据统计分析，个体服装商贩出售时装，只要按进价提高20%就能获利，但老板们常以高出进价的50%～100%标价，假设你准备购买一件标价为150元的时装，应在_____________元的范围内还价.4. 在a克糖水中含有b克糖(0)a b>>，现再加入m克糖，则糖水变得更甜了．这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式，则这个不等关系式为．5. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有—个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．6. 一个矩形，两边长分别为x cm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100cm2．求x的取值范围．7. 小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下．究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳什各得了多少分?8. 我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房．如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？9. 慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同．（1）若一等奖，二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费113元，其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多9元，而口罩的单价比温度计的单价多2元，求喷壶、口罩和温度计的单价各是多少元？（2）若三种奖品的单价都是整数，且要求一等奖的单价是二等奖单价的2倍，二等奖的单价是三等奖单价的2倍，在总费用不少于90元而不足150元的前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品的单价？10. 甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同．甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收．顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？11. “五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元．（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．，12. 某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产A B 两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料5kg，可获利350元．（1）请问工厂有哪几种生产方案？（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？参考答案：1.（A ）；2.（D ）；3.90～120；4. (00)b b m a b m a a m+<>>>+，； 5. 解：设有x 人, 则苹果有(512x +)个 .由题意, 得5128(1)85128(1)0x x x x +--<⎧⎨+-->⎩ . 解得:2043x <<. ∵ X 为正整数∴X=5或6 .当X=5时，51237x +=人当X=6时，51242x +=人答：略 .6. 解：矩形的周长是2(x +10) cm ，面积是10x cm 2根据题意，得⎩⎨⎧><+.10010,80)10(2x x 解这个不等式组，得⎩⎨⎧><.10,30x x 所以x 的取值范围是10＜x ＜30.7.解：设本场比赛特里得了x 分，则纳什得分为x+12由题意,得⎩⎨⎧>+>+-xx x x 3)12(2,10)12(2 解得22<x<24. 因为x 是整数，所以x=23 答：小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分.8. 解：设有x 间住房，有y 名学生住宿.根据题意，得⎩⎨⎧<-<+=880125y x x y ，把①代入②，得 0<8x -5x -12<8 解得 3264<<x .因为x 为整数，所以x 可取5，6, 把x 的值代入①，得y 的值为37，42.答：该校可能有5间或6间住房，当有5间住房时，住宿学生有37人；当有6间住房时，住宿学生有42人.9. （1）设喷壶和口罩的单价分别是y 元和z 元，根据题意，得 ① ②⎩⎨⎧4y+6z+20(z-2)=1134y-6z=9解得⎩⎨⎧y=9z=4.5 所以，z-2=2.5.因此，喷壶、口罩和温度计的单价分别是9元、4.5元和2.5元.（2）设三等奖奖品的单价为x 元，则二等奖奖品的单价为2x 元，一等奖奖品的单价为4x 元. 根据题意，得90≤4×4x+6×2x+20x<150解得178 ≤x<318 .因为三种奖品的单价都是整数，所以x=2，或者x=3.当x=2时，2x=4, 4x=8；当x=3时，2x=6, 4x=12.因此，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有两种情况：第一种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是8元、4元和2元； 第二种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是12元、6元和3元.10. 解：设顾客所购买电器的金额为x 元，由题意得：当0＜x ≤500时，可任意选择甲、乙两商场；当500＜x ≤1000时，可选择乙商场；当x ＞1000时，甲商场实收金额为：y 甲＝1000＋(x －1000)×0.9（元）乙商场实收金额为：y 乙＝500＋(x －500)×0.95 （元）①若y 甲＜y 乙时，即：1000＋(x －1000)×0.9＜500＋(x －500)×0.950.9x ＋100＜0.95x ＋25－0.05x ＜－75x ＞1500 所以，当x ＞1500时，可选择甲商场．②若y 甲＝y 乙时，即： 1000＋(x －1000)×0.9＝500＋(x －500)×0.950.9x ＋100＝0.95x ＋25－0.05x ＝－75x ＝1500所以，当x ＝1500时，可任意选择甲、乙两商场．③若y 甲＞y 乙时，即：1000＋(x －1000)×0.9＞500＋(x －500)×0.950.9x ＋100＞0.95x ＋25－0.05x ＞－75x ＜1500所以，当x ＜1500时，可选择乙商场．综上所述，顾客对于商场的选择可参考如下：（1）当0＜x ≤500或x ＝1500时，可任意选择甲、乙两商场；（2）当500＜x ＜1500时，可选择乙商场；（3）当x ＞1500时，可选择甲商场．11. 解：（1）385÷42≈9.2∴单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200元． 385÷60≈6.4∴单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220元．（2）设租用42座客车 x 辆，则60座客车（8－x ）辆，由题意得：⎩⎨⎧≤-+≥-+．）（，）（3200846032038586042x x x x 解之得：733≤x≤1855． ∵x 取整数， ∴x ＝4，5．当x ＝4时，租金为320×4＋460×（8－4）＝3120元；当x ＝5时，租金为320×5＋460×（8－5）＝2980元．答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少．12. 解：（1）设生产A 产品x 件，生产B 产品(50)x -件，则 73(50)28035(50)190x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ 解得：3032.5x ≤≤．x 为正整数，∴x 可取30，31，32．当30x =时，5020x -=，当31x =时，5019x -=，当32x =时，5018x -=，所以工厂可有三种生产方案，分别为：方案一：生产A 产品30件，生产B 产品20件； 方案二：生产A 产品31件，生产B 产品19件； 方案三：生产A 产品32件，生产B 产品18件；（2）方案一的利润为：304002035019000⨯+⨯=元； 方案二的利润为：314001935019050⨯+⨯=元； 方案三的利润为：324001835019100⨯+⨯=元． 因此选择方案三可获利最多，最大利润为19100元．。
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不等式在实际问题中的应用
在实际问题中，不仅存在相等关系，而且存在着不等关系，我们用列不等式的来解决含不等量关系的实际问题。
一、打折销售问题
例1 商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价虽比A 型冰箱高出10％，但每日耗电量却为0.55度。
现将A 型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的10
1），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？
分析:本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”，其实只须核算A 型冰箱打几折后才能和B 型冰箱具有同样的使用功效。
解:可设商场将A 型冰箱打x 折出售，则消费者购买A 型冰箱需耗资2190×10
x +365×10×1×0.4(元); 购买B 型冰箱需耗资2190(1+10%)+360×10×1×0.4(元).
根据题意,得2190×10
x +365×10×1×0.4≤2190(1+10%)+360×10×1×0.4, 解得x≤8,所以,商场应将A 型冰箱至少打八折出售,消费者购买才合算.
二、服装加工问题
例2某服装厂这个月计划生产一种服装,每件成本60元,售价是80元,该厂生产这种服装,每月除成本外的其他开支共5000元,如果想使生产这种服装的月获利不低于20000元,那么这个月至少要生产这种服装多少件?
分析:解决问题是关键是由实际问题中的不等关系列出不等式,将实际问题转化为数学问题,通过解不等式得出实际问题的答案.
解:设这个月生产x 件服装,由题意,得
80x-60x-5000≥20000,
解得x≥1250.
答:这个月至少要生产这种服装1250件.
三、购物方案问题
例3 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。
现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所
示。
经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
析解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。
由题意，得75(6)34
x x
+-≤，
解这个不等式，得2
x≤，即x可以取0、1、2三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。
因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。
四、行程问题
例4 小华家距离学校2.4千米.某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？
析解：小华要在12分钟内到达学校，则他在12分钟走的路程不能小于(2.4-1.2)千米.设他行走剩下的一半路程的速度为x千米/时，
12x≥ 2.4-1.2，解得x≥6.
则
60
所以他行走剩下的一半路程的速度至少为6千米/小时.。