2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第四章第2讲平面向量的数量积

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《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)课时作业专题六立体几何Word含解析

专题六立体几何第 1课时1．(2015 年新课标Ⅱ )一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图Z6- 1，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()图 Z6-11 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 52．如图 Z6- 2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()图 Z6-216 32 64A. 3B. 3C. 3 D ．323．某几何体的三视图如图Z6- 3，则该几何体的体积为()图 Z6-32 4A. 3B. 3816C.3D. 34．(2016 年河北“五校结盟”质量监测 )某四周体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是 ()图 Z6-4A ．2B ．22 C.3 D ．235．已知一个几何体的三视图如图 Z6- 5，则该几何体的体积为 ( )图 Z6-52223A ．8 B. 3 C. 3 D ．76．点 A ， B ，C ，D 均在同一球面上，且 AB ， AC ，AD 两两垂直，且AB ＝ 1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为 ( )7 7 14πA ． 7πB ． 14π C.2π D. 37．(2013 年新课标Ⅰ)如图 Z6-6，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水深为 6 cm ，假如不计容器厚度，则球的体积为()图 Z6-6500 π 3866 π3A. 3cm B. 3 cm C. 1372 π D. 2048 π3 cm 3 3cm 38． (2016 年北京 )某四棱柱的三视图如图 Z6-7，则该四棱柱的体积为 ________．图 Z6-7体9．球 O 半径为OABC 的体积是 (R＝13，球面上有三点)A， B，C， AB＝ 12 3， AC＝ BC＝ 12，则四周A．60C．6010．如图ABC 的距离为3 B．50 36 D．50 6Z6-8，已知正三角形ABC 三个极点都在半径为 2 的球面上，球心O1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是到平面( )图 Z6-87π9πA. 4 B． 2π C. 4 D． 3π11． (2017 年广东茂名一模 )过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦AB， AC， AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为 R，则△ BCD 的面积为 ____________．12．已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各极点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， AB＝ 2， AC＝ 1，∠ BAC＝ 60°，则此球的表面积等于 ________．第 2课时1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠ BAC＝ 90°，AB ＝AC＝ AA1，则异面直线BA1与 AC1 所成的角等于 ()A ． 30°B ．45° C．60° D ．90°2．(2016 年天津模拟 )如图 Z6-9，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ ACD 折成相互垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论：图 Z6-9①BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D -ABC 是正三棱锥；④平面 ADC ⊥平面 ABC .()此中正确的选项是A ．①②④B ．①②③C．②③④D．①③④)分别相等，且3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱2 2长各为2， m， n，此中 m ＋n ＝6，则三棱锥体积的最大值为()3 1 8 3 2A. 3B. 2C. 27D. 34．(2016 年辽宁葫芦岛统测) 已知四棱锥P-ABCD 的五个极点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△ PAD 中， PA＝ PD ＝2，∠ APD ＝120 °，AB＝2，则球 O 的外接球的表面积等于()A ． 16π B． 20π C． 24π D ．36π5．在矩形ABCD 中， AD＝ 2，AB ＝4， E，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A， F 折起后分别为点A′， F′，获得四棱锥A′ -BCDE .给出以下几个结论：① A′， B， C， F′四点共面；② EF′∥平面A′ BC；③若平面 A′DE ⊥平面 BCDE ，则 CE⊥ A′ D；④四棱锥 A′ -BCDE 体积的最大值为2，此中正确的选项是________(填上全部正确的序号)．6．(2017 年广东梅州一模 )如图 Z6-10 所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后获得的，此中∠ BAE＝∠ GAD ＝ 45°，AB ＝ 2AD＝ 2，∠ BAD ＝ 60°.(1)求证： BD ⊥平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值．图 Z6- 107． (2017 年广东广州二模 )如图 Z6-11，ABCD 是边长为 a 的菱形，∠ BAD＝ 60°， EB⊥平面 ABCD ， FD ⊥平面 ABCD ， EB＝ 2FD ＝ 3a.(1)求证： EF ⊥ AC；(2)求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值．图 Z6-118． (2017 年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝ BC＝BB1，AB1∩ A1B＝ E，D 为 AC 上的点， B1C∥平面 A1BD；(1)求证： BD ⊥平面 A1ACC1；(2)若 AB＝ 1，且 AC ·AD＝ 1，求二面角B-A1D -B1的余弦值．图 Z6- 12专题六立体几何第 1课时1．D 分析：由三视图，得在正方体 1 1 1 1 中，截去四周体A-A 1 1 1，如图ABCD-A B C DB DD164 ，图 D164设正方体棱长为 a ，则 V A- A 1B 1D 1 1 1 3 1 3＝ × a ＝ a .3 2 631 35 31则节余几何体体积为 a－ 6a ＝ 6a .因此截去部分体积与节余部分体积的比值为 5.应选D.2． B 分析：几何体为如图 D165 所示的正方体中的三棱锥 E- BB 1C(E 为 AA 1 的中点 )，它的体积为1× 1× 4× 4× 4＝323 23 .应选 B.图 D165图 D1663． B分析：由三视图知对应的几何体为如图D166 所示的正方体中的三棱锥P-ABC ，此中 PC ⊥平面 PAB ，PA ＝AB ， PC ＝ PB ＝ 2，A 到 PB 的距离为 2，故该几何体的体积为 1× 13 2 4×2× 2× 2＝ .应选 B.3 4．D分析：如图 D167 ，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中复原出三视图的直观图，其是一个三个极点在正方体的右边面、一个极点在左边面的三棱锥，即 D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为 2,22， 2 2， 2 3.应选 D.图 D1675．D 分析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为 2 的正方体截去两个三棱锥 A-A 1PQ和 D-PC 1D 1 后节余的部分，如图D168 ，此中 Q 是棱 A 11 的中点， P 是 A 11 的中点，因此B D该几何体的体积为V ＝ 8－1× 1× 1× 1×2－ 1×1× 1× 2×2＝ 7.应选 3 2 3 2D. 图 D1686．B分析：三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相互垂直，因此把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，因此长方体的对角线长是 12＋ 22＋ 32＝14，它的外接球半径是14，外接球的表面积是 4π× 14 2＝ 14π故.选 B.2 27．A 分析：如图 D169 ，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－ 6＝ 2(cm)，BM ＝ 1A B ＝ 1× 822 ＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋42，∴R ＝ 5.∴V 球＝43π× 53＝5003 π(cm 3)．图 D16938.2 分析：由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高1 3为 1，故该四棱柱的体积 V ＝ Sh ＝ 2× (1＋2)× 1× 1＝2.9．A 分析：设△ABC 外接圆半径为 r ，由 AB ＝ 12 3，AB ＝BC ＝ 12，得 A ＝B ＝ 30°，12 3 ＝24.解得 r ＝ 12.则 O 到平面 ABC 的距离 d ＝ R 2－ r 2＝ 132－ 122C ＝ 120 °.因此 2r ＝sin 120° 1× 36 3× 5＝ 60 3.应选 A. △1× 12× 12× sin 120 ＝°36 3，因此 V＝5.又 S ABC ＝ 2O-ABC ＝310．C 分析：依据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点 E 的球 O的截面与 OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，进而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连结 O 1A ，连结O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1 是正三角形 ABC 的中心， A ，B ，C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面 ABC. 联合 O 1C? 平面 ABC ，可得 O 1O ⊥O 1C.∵球的半径 R ＝ 2，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝ R 2－ O 1O 2＝ 3.又∵E 为 AB 的中点， △ABC 是等边三角形． ∴32 27O 1E ＝ AO 1sin 30 ＝°2 .∴OE ＝OO 1＋ O 1E ＝ 2 .过 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，2 2 329 截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝ R －OE ＝ 2.可得截面面积为 S ＝ πr ＝ 4π故.选 C.2 3 2分析：方法一，由条件知 A-BCD 是正四周体，△ BCD 是正三角形， A ，B ，11. 3 R C ，D 为球上四点，将正三棱锥A-BCD 增补成一个正方体AGBH -FDEC ，如图 D170. 则正三棱锥 A-BCD 和正方体 AGBH -FDEC 有共同的外接球， △BCD 的边长就是正方风光的对角线，设正方体 AGBH -FDEC 的棱长为 a ，则正方体外接球半径 R 知足： a 2＋ a 2＋ a 2 ＝(2R)2，解得2422 228211823 ＝ 2 3a ＝ R .因此 BC ＝ a＋ a ＝R .因此△BCD 的面积 S ＝BC ×BD sin 60 ＝°× R ×2 333223R 2.图 D170图 D171方法二，由条件 A-BCD 是正四周体， △ BCD 是正三角形， A ， B ， C ， D 为球上四点，球心 O 在正四周体中心，如图 D171.设 BC ＝ a ，CD 的中点为 E ， O 1 为过点 B ，C ， D 截面圆的圆心，2 23 3 则截面圆半径 r ＝O 1B ＝ 3BE ＝ 3×2 a ＝ 3 a.2 3 2 6正四周体 A-BCD 的高 AO 1＝ a － 3 a＝ 3 a.∴ 截面 BCD 与球心的距离d ＝ OO 1＝ 63 a －R.32 2622 6在 Rt △BOO 1 中， 3 a＝ R － 3 a －R，解得 a ＝ 3 R.∴△ BCD 的面积为11 2 6 2 3 2 32S ＝BC ×BCsin 60 ＝° ×3 R× 2 ＝ 3 R .2 212． 8π 分析： ∵三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3， AC ＝ 1，1 2 22AB ＝ 2，∠BAC ＝ 60°，∴2×1× 2× sin 60°× AA 1＝ 3.∴AA 1＝ 2.∵BC ＝ AB ＋ AC －2AB ·ACcos60°＝ 4＋ 1－ 2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为BC ＝ 2R.∴R ＝ 1.故外接球的 R ，则sin 60 °半径为12＋ 12＝ 2，外接球的表面积等于 4π× ( 2)2＝8π.第2课时1． C 分析：延伸 CA 到 D ，使得 AD ＝ AC ，则 ADA 1C 1 为平行四边形，∠ DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角．又△ A 1DB 为等边三角形．∴∠ DA 1B ＝ 60°.2． B 分析：由题意知， BD ⊥平面 ADC ，故 BD ⊥AC ，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD ⊥平面 ACD ，因此 AB ＝ AC ＝ BC ，△BAC 是等边三角形， ②正确；易知 DA ＝ DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3． D 分析：直接求三棱锥的体积很困难，由于不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥 A-CB 1 1 切合题意，设AA 1＝ x ， A 1 D 1＝ y ，Dx 2＋ y 2＝ 2，1 1＝ z ，有2＋ z2＝m 2， 2 22 222＝4，z ＝ 22x A By 2＋ z 2 ＝n 2 ，11 2 22三棱锥体积 V ＝ 3V 长方体＝ 3xyz ＝ 3 xy ≤ 3 .因此三棱锥体积的最大值为 3 .应选 D.图 D1724．B 分析：取 AD 的中点为 E ，连结 PE ，则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得， PE ⊥平面 ABCD ，于是以点 E 为原点，以 ED ，EP 分别为 x ，z 轴成立空间直角坐标系，此中AC 与 BD 订交于 F 点．于是可得E(0,0,0) ， D( 3， 0,0)， A(－ 3， 0,0)， P(0,0,1) ， C( 3，2,0)，B(－ 3，2,0)，F(0,1,0) ，设球 O 的球心的坐标为 →O(0，1，z 0)，则 OP ＝ (0，－ 1,1－ z 0 )， → → → － 1 2 2 ＝ 2 OB ＝(－ 3，1，－ z 0)，由 |OP|＝ |OB|，得＋ 1－ z 0 3＋ 1＋ z 0.解之，得 z 0＝－ 1.因此球心→ 5，由球的表面积公式知， S ＝ 4πr 2 ＝4π× ( 5) 2O(0,1，－ 1)．于是其半径为 |OP|＝＝ 20π故.选 B.5． ②③6． (1) 证明：在△BAD 中，∵AB ＝ 2AD ＝ 2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得 BD ＝ 3. ∵AB 2＝AD 2＋ BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴GD ⊥BD .又 AD ∩ GD ＝ D ，∴BD ⊥平面 ADG.(2)解：以 D 为坐标原点，成立如图 D173 所示的空间直角坐标系 D-xyz.图 D173∵∠ BAE ＝∠ GAD ＝ 45°， AB ＝ 2AD ＝ 2，∴ A(1,0,0) ，B(0， 3， 0)， G(0,0,1)， E(0， 3，2)， C(－ 1， 3，0)．→ →． ∴ AE ＝ (－ 1， 3， 2)，AG ＝ (－ 1,0,1) 设平面 AEFG 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→n ·AE ＝－ x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 0，故有→n ·AG ＝－ x ＋ z ＝ 0.令 x ＝ 1，得 y ＝－ 33，z ＝ 1.n ＝ (1，－ 33， 1)．而平面 ABCD 的一个法向量为→，DG＝ (0,0,1)→→21 DG·n∴ cos 〈DG＝7 .， n〉＝→|DG | |·n|故平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为7．解： (1) 证明：连结 BD，如图 D174.由于 ABCD 是菱形，因此AC⊥BD.由于 FD ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，因此 AC ⊥FD .由于 BD ∩FD ＝ D，因此 AC⊥平面 BDF .由于EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，因此 EB ∥FD .因此 B， D， F，E 四点共面．由于 EF ? 平面 BDFE ，因此 EF⊥AC. 21 7 .图 D174 图 D175(2)如图 D175，以 D 为坐标原点，分别以→→的方向为 y 轴， z 轴的正方向，成立DC，DF空间直角坐标系D-xyz.能够求得3 1 3 1 3Aa，－2a， 0 ， B 2 a，2a， 0 ， F 0， 0，2 a ， C(0 ， a,0) ，23 1E 2 a，2a， 3a .→→＝3 1 3因此 AB＝ (0， a,0)， AF －2 a，2a，2 a . 设平面 ABF 的法向量为n＝( x， y， z)，→＝0，ay＝ 0，n·AB则→即－3 1 3 ＝0，n·AF 2 ax＋2ay＋2 az＝ 0.取 x＝ 1，则平面 ABF 的一个法向量为n＝(1,0,1)．→ 3 1，由于 CE＝2 a，－2a，3a→| →| 3 6n·CE因此 |cos〈n，CE〉|＝|n|CE→＝8 .| |因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为38 6 .8． (1) 证明：如图 D176，连结 ED，∵平面 AB1C∩平面 A1BD ＝ED， B1C∥平面A1BD ，∴B1C∥ED.∵E 为 AB1的中点，∴ D 为 AC 的中点．∵AB＝ BC，∴BD ⊥AC.①方法一，由 A1A⊥平面 ABC， BD? 平面 ABC，得 A1A⊥BD ，②由①②及 A1A， AC 是平面 A1ACC1内的两条订交直线，∴BD ⊥平面 A1ACC1.方法二，∵ A1A⊥平面 ABC， A1A? 平面 A1 ACC1，∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC.又平面 A1ACC 1∩平面 ABC＝ AC，∴BD ⊥平面 A1ACC1.图 D176 图 D177(2)由 AB＝ 1，得 BC ＝BB1＝ 1.1 2由 (1)知 DA＝2AC，由 AC·DA＝1，得 AC ＝ 2.∵AC2＝ 2＝ AB2＋ BC2，∴ AB⊥ BC.以 B 为原点，成立空间直角坐标系B-xyz 如图 D177，1 1则 A1(1,0,1) ，B1(0,0,1) ， D 2，2， 0 .→→ 1 1.因此 B1A1＝ (1,0,0) ，B1D＝，，－12 2设 m＝(x，y，z)是平面A1B1D的一个法向量，→→m·B1A1＝x＝0，m⊥B1A1，则得→ 1 1→y－ z＝ 0.m⊥B1D，m·B1D＝x＋2 2令 z＝ 1，得m＝ (0,2,1) ．设 n＝(a，b，c)为平面A1BD的一个法向量，→，→ a bn⊥BD n·BD＝＋＝0，则得 2 2→→n⊥BA1，n·BA1＝a＋c＝0.令 c＝ 1，得n＝ (－1,1,1) ．依题意知二面角B-A1D -B1为锐二面角，设其大小为θ，则 cos θ＝ |cos〈n，m〉 |＝|n·m|＝3＝155. |n| ·|m| 5× 315 即二面角 B-A1 D-B1的余弦值为5 .。

《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)一轮复习练习：第四章平面向量(含答案解析)

第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014年新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →3．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1 4．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 6．(2013年广东珠海一模)如图X4-1-1所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图X4-1-1A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →7．(2014年福建)设点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，点O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →8．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为________．9．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.10．如图X4-1-2，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝xa ＋yb ，求数对(x ，y)的值．图X4-1-2第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．(2015年辽宁沈阳质检)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( ) A ．(－1，－12) B ．(－1,12) C ．(1，－12) D ．(1,12)2．(2014年福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)4．如图X4-2-1，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA → ，则( )图X4-2-1A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝145．(2013年辽宁)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 6．(2013年陕西)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m,2)，若a ∥b, 则实数m ＝( ) A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．07．如图X4-2-2，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列以O 为起点的向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →＋BA →＋23OB →.其中终点落在阴影区域内的向量的序号是__________(写出满足条件的所有向量的序号)．图X4-2-28．(2015年北京)如图X4-2-3，在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.图X4-2-39．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．10．如图X4-2-4，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．图X4-2-4第3讲平面向量的数量积1．(2014年新课标Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．52．(2014年山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m＝( )A ．2 3 B.3 C ．0 D ．－ 33．(2015年广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．54．(2013年湖北)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3152C ．－3 22D ．－31525．(2013年广东珠海二模)如图X4-3-1，已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝( )图X4-3-1A ．1 B. 3 C. 5 D.76．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________． 7．(2014年重庆)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________.8．(2013年新课标Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t)b ，若b·c ＝0，则t ＝________.9．已知|a|＝2，|b|＝3，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)(2a －b)·(a ＋3b)； (3)|a ＋b|.10．已知平面上有三点A ，B ，C ，且向量BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．第4讲平面向量的应用举例1．(2013年陕西)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m ＝( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．02．(2012年大纲)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 3．(2013年福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．104．在等腰三角形ABC 中，底边BC ＝4，则AB →·BC →＝( ) A ．6 B ．－6 C ．8 D ．－85．(2014年新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为__________．6．(2014年江苏)如图X4-4-1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝______.图X4-4-17．(2015年安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b)⊥BC →.8．(2015年天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．9．(2013年陕西)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cosx ，－12，b ＝(3sinx ，cos2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b.(1)求f (x)的最小正周期；(2)求f (x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．10．如图X4-4-2，已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图X4-4-2专题二三角函数、平面向量与解三角形1．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的最大值为________． 2．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝1.点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝__________. 3．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a×b 为a 与b 的“向量积”，且a×b 是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sinθ，若u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－3)，则|u×(u ＋v)|＝( )A ．4 3 B. 3 C ．6 D ．2 34．如图Z2-1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．图Z2-15．(2015年新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．6．(2015年天津)已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f(x)最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．7．(2014年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcosC ＋csinB.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．8．(2015年安徽)在△ABC 中，A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．第四章平面向量第1讲平面向量及其线性运算1．B 解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 2．A 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b)＝AD →.故选A. 3．A 解析：∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.4．B 解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →.所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.5．A 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →.∴AD →＝23AC→＋13AB →＝23b ＋13c. 6．A 解析：如图D93，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，OP →＋OQ →＝OA →＝FO →.图D937．D 解析：如图D94，∵点M 为AC ，BD 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.图D948．④ 解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．9．证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m)OB →＝OB →＋m(OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m(OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－0＝0，∴m ＋n ＝1. 10．解：方法一，令BF →＝λBE →，由题意知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.∴⎩⎨⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ.解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AF →＝13AB →＋13AC →.故⎝⎛⎭⎫13，13为所求．方法二，设CF →＝λCD →，∵E ，D 分别为AC ，AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a)＋λ⎝⎛⎭⎫12a －b ＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b. ∵BE →与BF →共线，a ，b 不共线，∴12λ－1－1＝1－λ12.∴λ＝23.∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b. 故x ＝13，y ＝13，故⎝⎛⎭⎫13，13即为所求．第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．B 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)． 2．B 解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C ，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件．故选B.3．A4．A 解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →.又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →.所以x ＝23，y ＝13.5．A 解析：AB →＝(3，－4)，与向量AB →同向只有A 项符合，且⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫－452＝1其模为1.故选A.6．C 解析：a ∥b ，有m 2＝2，m ＝±2.7．①③ 解析：作图OA →＋2OB →终点显然落在阴影区域内；12OA →＋12OB →终点落在AB 上，故12OA →＋13OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋14OB →终点落在AB 上，故34OA →＋13OB →终点落在阴影区域内；34OA →＋14OB →终点落在AB 上，故34OA →＋15OB →终点落在△OAB 内；34OA →＋BA →＋23OB →＝74OA →－13OB →，终点显然落在阴影区域外． 8.12 －16 解析：特殊化，不妨设AC ⊥AB ，AB ＝4，AC ＝3，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，A(0,0)，M(0,2)，C(0,3)，B(4,0)，N ⎝⎛⎭⎫2，32，MN →＝⎝⎛⎭⎫2，－12，AB →＝(4,0)，AC →＝(0,3)，则⎝⎛⎭⎫2，－12＝x(4,0)＋y(0,3)．得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝2，3y ＝－12.⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－16.9．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为4 2，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0. 所以t ＝－115.10．解：如图D95，以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：图D95①ABCD ；②ADBC ；③ABDC.设D 的坐标为(x ，y)， ①若是ABCD ，则由AB →＝DC →，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y)，即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x ＝－1，－2－y ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴D 点的坐标为(0，－4)(如图中所示的点D 1)． ②若是ADBC ，由CB →＝AD →，得(0,2)－(－1，－2)＝(x ，y)－(1,0)，即(1,4)＝(x －1，y)，解得x ＝2，y ＝4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如图中所示的点D 2)． ③若是ABDC ，则由AB →＝CD →，得(0,2)－(1,0)＝(x ，y)－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)．解得x ＝－2，y ＝0.∴D 点的坐标为(－2,0)(如图中所示的D 3)，∴以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．第3讲平面向量的数量积1．A 解析：a 2＋2a·b ＋b 2＝10，a 2－2a·b ＋b 2＝6，两式相减，得4a·b ＝4，a·b ＝1. 2．B 解析：由题意，得cos π6＝a·b |a||b|＝3＋3m 232＋m 2＝32.解得m ＝ 3.故选B.3．D 解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D.4．A 解析：AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝155 2＝3 22.5．A 解析：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝22－12×2×2×12－12×22＝1. 6．(－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32 解析：由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<32.由a ∥b ，得6＝－λ，即λ＝－6.因此λ的取值范围是λ<32，且λ≠－6.7．10 解析：a ＝(－2，－6)，|a|＝－2 2＋－6 2＝210， a·b ＝|a||b|cos60°＝210×10×12＝10.8．2 解析：|a|＝|b|＝1，〈a ，b 〉＝60°. ∵c ＝ta ＋(1－t)b ，∴b·c ＝ta·b ＋(1－t)b 2＝t×1×1×12＋(1－t)×1＝t 2＋1－t ＝1－t 2.∵b·c ＝0，∴1－t2＝0，∴t ＝2.9．解：(1)a·b ＝|a||b|cos120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3. (2)(2a －b)·(a ＋3b)＝2a 2＋5a·b －3b 2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (3)|a ＋b|＝ a ＋b 2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝4－6＋9＝7.10．解：(1)由点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行．∵BC →∥AC →，∴4(2－k)－2×3＝0.解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形，则①当∠BAC 是直角时，AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0. ∴2k ＋4＝0.解得k ＝－2；②当∠ABC 是直角时，AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0. ∴k 2－2k －3＝0.解得k ＝3或k ＝－1； ③当∠ACB 是直角时，AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0. ∴16－2k ＝0.解得k ＝8. 综上所述，k ∈{－2，－1,3,8}．第4讲平面向量的应用举例1．C 解析：a ∥b ，有m 2＝2，m ＝±2.2．D 解析：由a·b ＝0可得∠ACB ＝90°，故AB ＝5，用等面积法求得CD ＝2 55，所以AD ＝4 55，故AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b.故选D.3．C 解析：AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)．∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →.∴该四边形的面积为12|AC →|×|BD →|＝12×5×2 5＝5.故选C.4．D 解析：方法一，如图D96，取BC 的中点D ，连接AD ，有AD ⊥BC.AB →·BC →＝(AD →＋DB →)·BC →＝AD →·BC →＋DB →·BC →＝0＋2×4cos180°＝－8.图D96方法二，观察选项知，结果固定，不失一般性．设△ABC 为等腰直角三角形，AB →·BC →＝ 2 2×4cos135°＝－8.5．90° 解析：AO →＝12(AB →＋AC →)，则O 为BC 的中点，直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，所以AB →与AC →垂直．6．22 解析：由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64.解得AB →·AD →＝22. 7．①④⑤ 解析：∵△ABC 是边长为2的等边三角形，AB →＝2a ，|AB →|＝2|a|＝2，|a|＝1，故①正确；AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ，∵AB →＝2a ，∴BC →＝b ，∴|b|＝2，故②错误且④正确；由于AB →＝2a ，∴BC →＝b ，∴a 与b 的夹角为120°，故③错误；(4a ＋b)·BC →＝(4a ＋b)·b ＝4a·b＋b 2＝4×1×2×⎝⎛⎭⎫－12－22＝0，∴(4a ＋b)⊥BC →，故⑤正确． 8.2918解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，得AD →·BC →＝12，AB →·AD →＝1，DC →＝12AB → ，所以AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋112AB →＝AB →·AD →＋23BC →·AD →＋112AB 2→＋118BC →·AB →＝1＋13＋13－118＝2918. 9．解：(1)f(x)＝a·b ＝cosx·3sinx －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 最小正周期T ＝2π2＝π. 所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sinx 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象知， f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以，f (x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. 10．解：(1)将点A(3,1)代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵m ＜3，∴m ＝1，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵直线PF 1与圆C 相切，C(1,0)， ∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴交点的横坐标为3611，不合题意；当k ＝12时，直线PF 1与x 轴交点的横坐标为－4.∴OF 1＝c ＝4，即F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝5 2＋2＝6 2.∴a ＝3 2，a 2＝18，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1. (2)AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，则AQ →＝(x －3，y －1)，AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6.∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18，而x 2＋(3y)2≥2|x||3y|，∴－18≤6xy≤18.则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy ∈[0,36]，即x ＋3y ∈[－6,6]．∴AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]．专题二三角函数、平面向量与解三角形1.2＋1 解析：方法一，∵a ，b 是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又a·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b|＝ 2.∴|c －a －b|2＝c 2－2c·(a ＋b)＋2a·b ＋a 2＋b 2＝1.∴c 2－2c·(a ＋b)＋1＝0.∴2c·(a ＋b)＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c||a ＋b|cosθ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．∴c 2＋1＝2 2|c |cosθ≤2 2|c|.∴c 2－2 2|c|＋1≤0. ∴2－1≤|c|≤2＋1.∴|c|的最大值为2＋1.图D97方法二，建立如图D97所示的平面直角坐标系，由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，∴可设OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)，OC →＝c ＝(x ，y)．∴c －a －b ＝(x －1，y －1)．∵|c －a －b|＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C(x ，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝x 2＋y 2，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max ＝2＋1.2．3 解析：如图D98，点M 满足BM →＝2AM →，则点M 在线段BA 的延长线上，且点A 为BM 的中点，数量关系如图，则CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos ∠MCA ＝2×5× 2 2＋ 5 2－122×2×5＝3.图D983．D 解析：由题意v ＝u －(u －v)＝(1，3)，则u ＋v ＝(3，3)，cos<u ，u ＋v>＝32.得sin<u ，u ＋v>＝12，由定义知|u×(u ＋v)|＝|u|·|u ＋v|sin<u ，u ＋v>＝2×23×12＝2 3.故选D. 4．1 1 解析：方法一，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t ∈[0,1]．则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)．所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t≤1.图D99故DE →·DC →的最大值为1.方法二，由图D99知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.5．(6－2，6＋2) 解析：如图D100，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BC sin ∠E ＝BE sin ∠C，即2sin30°＝BE sin75°，解得BE ＝6＋2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BF sin ∠FCB ＝BC sin ∠BFC，即BF sin30°＝2sin75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．图D1006．解：(1) 由已知，有f(x)＝1－cos2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f(x)在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 7．解：(1)因为a ＝bcosC ＋csinB ，所以由正弦定理得：sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB ，所以sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB ，即cosBsinC ＝sinCsinB ，因为sinC≠0，所以tanB＝1，解得B ＝π4. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accos π4，即4＝a 2＋c 2－2ac.由不等式，得a 2＋c 2≥2ac.当且仅当a ＝c 时，取等号，所以4≥(2－2)ac.解得ac≤4＋2 2.所以△ABC 的面积为12acsin π4≤24×(4＋22)＝2＋1，所以△ABC 面积的最大值为2＋1.8．解：如图D101，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理，得图D101a 2＝b 2＋c 2－2bccos ∠BAC ＝(3 2)2＋62－2×3 2×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90. 所以a ＝310 .又由正弦定理，得sinB ＝bsin ∠BAC a ＝3310＝10 10. 由题设，知0<B<π4，所以cosB ＝1－sin 2B ＝1－110＝310 10. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD.所以∠ADB ＝π－2B.故由正弦定理，得AD ＝AB·sinB sin π－2B ＝6sinB 2sinBcosB ＝3cosB＝10 .。

近年高考数学复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示课

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课时分层训练（二十三）平面向量的基本定理及坐标表示A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1．如图4。

2.2,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组：图4.22①错误!与错误!；②错误!与错误!；③错误!与错误!；④错误!与错误!.其中可作为该平面内其他向量的基底的是（)A．①②B．①③C．①④D．③④B［①中错误!，错误!不共线；③中错误!，错误!不共线．］2．已知a＝（1,1），b＝(1，－1),c＝（－1，2)，则c等于（）A．－12a＋错误!b B.错误!a－错误!bC．－错误!a－错误!b D．－错误!a＋错误!bB［设c＝λa＋μb，∴(－1，2）＝λ（1,1)＋μ(1，－1），∴错误!∴错误!∴c＝错误!a－错误!b.］3．已知向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么( ）A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向D［由题意可得c与d共线,则存在实数λ，使得c＝λd，即错误!解得k＝－1.c＝－a ＋b＝－(a－b）＝－d，故c与d反向．］4．如图4.2。

原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第六章第2讲同角三角函数的基本关系式与诱

(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
(2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝sin2a－s2insi2nαa＋cocsoαs＋2a 4cos2a ＝tan2αta－n22αt＋an1α＋4＝49－49＋43＋1 4＝2183. 【方法与技巧】已知 tanα 的值，求形如mmssiinnαα－＋nnccoossαα式子的值时，可利用 tanα＝csoinsαα把上式转化为mmttaannαα＋－nn求值；而对形如 asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α 的式子，可把分母看作 1，进而将 1＝sin2α＋cos2α 代入，转化为关于 tanα 的函数后再求值．
例 3：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα. 证法三：∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要证原等式成立，只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2 ＝tan2α－sin2α.即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立． ∴原等式成立．
考点 2 三角函数化简
例 2：化简：(1)cos11－0°－2sin110－°ccooss12010°°；
1－sin4α－cos4α (2)1－sin6α－cos6α.
解：(1)原式＝
sin10°－cos10°2 cos10°－|sin10°|
＝|csions1100°°－－csoins1100°°|＝ccooss1100°°－－ssiinn1100°°＝1.
＝－
2 2.
3．若 cosα＝35，－π2<α<0，则 tanα＝( C )

《2016南方新高考》理科数学高考大一轮总复习课件：第5章第2讲平面向量的基本定理及坐标运算

所以 x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2 为半径的圆(去掉与直线 y＝1 的两个交点)．
28
高中新课标总复习
理数
【温馨提示】利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程 (组 )进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
5. 在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB∥ DC，AD∥BC.已知点 A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的坐标为_________.
12
高中新课标总复习
理数
解析：设 D(x，y)，因为 AC 与 BD 中点相同, 所以－2＋8＝6＋x，所以 x＝0，又 0＋6＝8＋y，y＝－2，所以 D＝(0，－2)．
理数
解析：由题意知，A 选项中 e1＝0，C、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选 B(事实上，a＝(3,2)＝2e1 ＋e2)．
21
高中新课标总复习
理数
【跟踪训练 2】如图所示，在△ABC 中，H 为 BC 上异于
B，C 的任一点，M 为 AH 的中点，若 AM ＝λ AB ＋μ AC ，
36
高中新课标总复习
理数
【温馨提示】向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．
37
高中新课标总复习
理数
【跟踪训练 5】 (2014· 广东东莞一模)已知 a＝(1，－2)， |b|＝2 5，且 a∥b，则 b＝( A．(2，－4) C．(2，－4)或(－2,4) ) B．(－2,4) D．(4，－8)

高考苏教版数学(理)大一轮复习配套课件第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示

[典例]
平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
3．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表
x1 y1 示成＝，因为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2－x2y1＝0. x2 y2
[试一试]
1．(2014· 南京、盐城一模)若向量 a＝(2,3)，b＝(x，－6)，且 a∥b，则实数 x＝________.
答案：4
3．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB ＝a，BC ＝b，
CA＝c. (1)求 3a＋b－3c；
(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n.
解：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝ (x2－x1，y2－y1) ，
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 | AB |＝ .
3．平面向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔ x1y2－x2y1
＝0 ____.
1．若 a、 b 为非零向量，当 a∥b 时， a， b 的夹角为 0° 或 180° ，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错； 2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们
－6m＋n＝5， ∴ －3m＋8n＝－5， m＝－1，解得 n＝－1.

2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第八章-第7讲-空间中角与距离的计算汇总.ppt

第7讲空间中角与距离的计算
..分割..
1
空间向量的应用. (1)理解直线的方向向量与平面的法向量. (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 (3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.
..分割..
故∠C1HO1是二面角C1OB1D的平面角.
不妨设AB＝2.
..分割..
21
因为∠CBA＝60°，所以 OB＝ 3，OC＝1，OB1＝ 7.
在 Rt△OO1B1 中，易知 O1H＝OOO1·BO11B1＝2
37.
又 O1C1＝1，则 C1H＝ O1C21＋O1H2＝
1＋1பைடு நூலகம்2＝
19 7.
故 cos∠C1HO1＝OC11HH＝2
ABC，∴FA⊥AG.∴∠CAF 是面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的
2
平面角.在
Rt△ACF
中，tan∠CAF＝CACF＝
3＝ 2
32，故面
AEF
与面
ABC
所成的二面角的正切值等于
2 3.
答案：
2 3
..分割..
29
考点 3 空间距离的计算例 3：如图 8-7-4，S 是△ABC 所在平面外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面 ABC，SA＝3a，求点 A 到平面 SBC 的距离.
依题意，得 B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M0，12，12. 则B→C＝(1,1,0)，B→M＝0，12，12，A→D＝(0,1，－1).
设平面 MBC 的法向量 n＝(x0，y0，z0)，

高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入432平面向量数量积的应用课件苏教版

因此△ABC 的面积的最大值为3
2＋3 2.
方法技巧向量与三角函数综合应用 1解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决. 2还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识.
λA→B＋μA→D，∴1＋ 22cosθ，1＋ 22sinθ＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
∴λ＝1＋
22cosθ，μ＝1＋
22sinθ，
∴λ＋μ＝1＋
22cosθ＋1＋
2 2
sinθ＝2＋ 22(cosθ＋sinθ)＝2＋sinθ＋π4，当 sinθ＋π4＝1 时，λ＋μ 取得最大值，最大值为 3，故选 A.
设 O 为△ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，则
(1)O 为△ABC 的外心⇔|O→A|＝|O→B|＝|O→C|＝2sianA. (2)O 为△ABC 的重心⇔O→A＋O→B＋O→C＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔O→A·O→B＝O→B·O→C＝O→C·O→A. (4)O 为△ABC 的内心⇔aO→A＋bO→B＋cO→C＝0.
考点四平面向量中的最值、范围问题
【例 4】 (1)(2020·武汉调研)设 A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的
三点，且O→A⊥O→B，则(O→C－O→A)·(O→C－O→B)的最大值是( A )
A．1＋ 2
B．1－ 2
C. 2－1
D．1
(2)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量 a 与 e 的
(2)因为|B→A－B→C|＝ 6，所以|C→A|＝ 6，即 b＝ 6，根据余弦

《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)阶段检测卷(四)Word含解析

阶段检测卷 (四)(不等式 )时间： 50 分钟满分： 100 分一、选择题：本大题共 6 小题，每题 6 分，共 36 分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．x ＋ 3y ≤ 3，1． (2017 年新课标Ⅰ)设 x ， y 知足拘束条件 x － y ≥1，则 z ＝ x ＋ y 的最大值为 ( )y ≥ 0，A ．0B ．1C ．2D ． 32x ＋ 3y － 3≤ 0，2． (2017 年新课标Ⅱ )设 x ， y 知足拘束条件 2x － 3y ＋ 3≥ 0，则 z ＝2x ＋ y 的最小值是y ＋ 3≥0，()A ．－ 15B ．－ 9C ．1D ．91 ≥ a 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()3．当 x>1 时，不等式 x ＋x － 1A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ )C ．[3，＋∞ )D ． (－∞， 3] 4．某辆汽车购买时的花费是 15 万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5万元．年维修养护花费第一年 3000 元，此后逐年递加 3000 元，则这辆汽车报废的最正确年限 (即便用多少年的年均匀花费最少)是 ()A ．8 年B ．10 年C ．12 年D ．15 年x ＋ y －3≥ 0，5．若平面地区 2x － y － 3≤ 0，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直x － 2y ＋ 3≥ 0线间的距离的最小值是()3 5 A.B.2 532C. 2D. 56． (2017 年山东 )若 a>b>0 ，且 ab ＝ 1，则以下不等式建立的是( )1 bA ． a ＋ < a <log 2(a ＋ b) b 2b1 B. a <log 2(a ＋ b)<a ＋b21 <log 2(a ＋ b)< bC ．a ＋ ab 2 1 bD ． log 2(a ＋ b)< a ＋ b <2a二、填空题：本大题共4 小题，每题 6 分，共 24 分，把答案填在题中横线上．x≥0，7．(2013 年纲领 )记不等式组x＋3y≥ 4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)3x＋ y≤ 4与 D 有公共点，则 a 的取值范围是 ________．8．定义运算“ ?”： x?y＝x2－ y2(x， y∈R， xy≠ 0)．当 x>0， y>0 时， x?y＋ (2y)?x 的最xy小值是 ________．9．已知 x， y∈R且知足 x2＋ 2xy＋ 4y2＝ 6，则 z＝ x2＋ 4y2的取值范围为 ________．n 是数列n n *恒建立，则n－ 1 n＋ n－ 1对全部n∈N10．已知 S 2 的前 n 项和，若不等式 |λ＋1|<S 2λ的取值范围是__________ ．三、解答题：本大题共 3 小题，共 40 分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(12 分 )桑基鱼塘是某地一种独具地方特点的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购买一块1800 平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(暗影部分X6- 5-2)栽种桑树，池塘四周的基围宽均为2 米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用 x 表示 S；(2)当 x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．图 X6- 5-212．(12 分 )某玩具生产企业每日计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时．若生产一个卫兵可获收益 5 元，生产一个骑兵可获收益 6 元，生产一个伞兵可获收益 3 元．(1)试用每日生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每日的收益ω(单位：元)；(2)如何分派生产任务才能使每日的收益最大，最大收益是多少？mx13． (14 分)已知函数f(x)＝x2＋n(m，n∈R) 在 x＝ 1 处取到极值 2.(1) 求 f(x)的分析式；a 7(2) 设函数 g(x)＝ ln x＋x.若对随意的x1∈R，总存在 x2∈ [1，e]，使得 g(x2) ≤ f(x1) ＋2，求实数 a 的取值范围．阶段检测卷 (四)1．D分析：可行域如图D190，目标函数z＝ x＋ y 经过 A(3， 0)时最大，故z max＝ 3＋ 0 ＝3.应选 D.图D1902． A 分析：绘制不等式组表示的可行域 (如图 D191)，目标函数即 y＝－ 2x＋z，此中 z 表示斜率为 k＝－ 2 的直线系与可行域有交点时直线的截距，数形联合可得目标函数在点B(－ 6，－ 3)处获得最小值 z＝－ 12－ 3＝－ 15.应选 A.图 D1913． D15＋ 1.5n＋ 0.3n＋n n－ 1× 0.34．B 分析：汽车使用 n 年均匀花费为 2 3n＋ 1.65≥ 2n ＝15＋15× 3nn 20 15 3n 2 2n 20＋ 1.65＝ 4.65(万元 ) ，当且仅当n ＝20， 3n ＝300， n ＝ 100， n＝ 10，即 n＝ 10 时“＝” 建立，故这辆汽车报废的最正确年限为10 年．x－ 2y＋3＝ 0，5． B 分析：画出不等式的平面地区如图D192 ，则得 A(1,2) ．则x＋ y－ 3＝ 0.2x－ y－ 3＝ 0，得 B(2,1)．x＋ y－ 3＝ 0.由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即|AB|1 2 2＋ 2 1 2＝ 2. B.图 D192b6．B 分析：方法一，由于 a>b>0，且 ab ＝ 1，因此 a>1，0<b<1. 则2a <1 ，log 2 (a ＋ b)>log 22 ab1 1 1＝ 1,2a ＋ b >a ＋ b >a ＋ b? a ＋ b >log 2(a ＋ b)．应选 B.1 b 15 1方法二，取 a ＝2， b ＝ 2，2a＝ 8， log 2( a ＋ b)＝ log 22∈(1,2) ， a ＋ b ＝ 4.应选 B.1 7. 2，4 分析：如图 D193 ，将点 A(0,4)， C(1,1)分别与点 B(－ 1,0)求斜率，得最小值为12，最大值为4.图 D193x 2－ y 22y 2－ x 24y 2－ x 28. 2 分析：由新定义运算知， x?y ＝ xy ， (2y)?x ＝ 2yx ＝ 2xy .2 － y 2 2 2 2 ＋2y 2 2 2x4y －xx ≥ 2 x ·2y2 2xy由于 x>0，y>0 ，因此 x?y ＋(2y)?x ＝＋2xy ＝＝＝ 2.xy 2xy 2xy 2xy 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号．因此 x?y ＋ (2y)?x 的最小值是2.x 2＋ 4y2x 2＋ 4y2.∴x 2＋ 9． [4,12] 分析： ∵2xy ＝ 6－ (x 2＋ 4y 2)，而 2xy ≤2 ，∴6－ (x 2＋ 4y 2)≤ 24y 2 ≥ 4(当且仅当x ＝ 2y 时取等号 )．又∵(x ＋ 2y)2＝ 6＋2xy ≥ 0，即 2xy ≥ － 6.∴z ＝ x 2＋ 4y 2＝ 6－2xy ≤ 12.综上所述， 4≤x 2＋ 4y 2≤ 12.10．－3<λ<11 1 1 11 1＋分析：由 S n ＝ 1＋ 2× ＋ 3×2＋＋ (n － 1) · ＋ n ·， S n ＝1×222n－ 22n－ 1222× 11111 1 ＋＋ 1 1n ＋ 22＋＋ (n － 1)· 1＋ n ·n ，两式相减，得S n ＝ 1＋＋ 2 n－ n ·n ＝ 2－n .所2n222 21222－2 －以 S n ＝ 4－n ＋2.于是由不等式 |λ＋1|<4－ 2 对全部 n ∈N * 恒建立，得 |λ＋ 1|<2.解得－ 3<λ<1.n1n 12 －2－x － 611．解： (1)由题图知， 3a ＋ 6＝ x ，∴a ＝3.1800 1800则总面积 S ＝x － 4 ·a ＋ 2ax － 65400x － 65400＝ ax － 16 ＝3x－1610 80016x＝ 1832－x ＋ 3 ，10 800 16x即 S ＝1832－x ＋ 3 (x ＞ 0)． (2)由 S ＝ 1832－ 10 800＋ 16x ，x 3 10 800 16x 得 S ≤1832－ 2 x·3 ＝ 1832－ 2×240 ＝ 1352.10 800 16x当且仅当 x ＝ 3 ，此时， x ＝ 45.即当 x 为 45 米时， S 最大，且 S 最大值为 1352 平方米．12．解： (1) 依题意每日生产的伞兵个数为 100－ x －y ，因此收益 ω＝ 5x ＋ 6y ＋ 3(100 － x －y)＝ 2x ＋ 3y ＋ 300(x ，y ∈N )．5x ＋7y ＋ 4 100－ x － y ≤ 600，(2)拘束条件为100－ x － y ≥ 0，x ≥ 0，y ≥ 0， x ，y ∈N ，x ＋ 3y ≤ 200，整理，得x ＋y ≤ 100，x ≥0， y ≥ 0，x ， y ∈N .目标函数为 ω＝ 2x ＋3y ＋ 300，作出可行域如图 D194 ，图 D194作初始直线 l 0： 2x ＋ 3y ＝0，平移 l 0，当 l 0 经过点 A 时， ω有最大值，x ＋ 3y ＝ 200， x ＝ 50，由得x ＋ y ＝100 y ＝ 50.因此最优解为 A(50,50) ，此时 ωmax ＝ 550 元．故每日生产卫兵50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时收益最大，且最大收益为550 元．222m x ＋ n － 2mx－ mx ＋ mn13．解： (1) f ′ (x)＝2＋ n 2 ＝22.xx ＋ n由 f(x) 在 x ＝ 1 处取到极值 2，得 f ′ (1) ＝0， f(1) ＝ 2.mn － m1＋ n 2＝ 0， m ＝4，即解得m＝ 2， n ＝ 1.1＋ n经查验，当 m ＝ 4， n ＝1 时， f(x)在 x ＝ 1 处获得极值．故 f(x) ＝4x.x 2 ＋1(2)由 (1) 知， f(x)的定义域为 R ，且 f(－ x)＝－ f(x)．故 f(x) 为奇函数，且 f(0)＝ 0.当 x ＞ 0 时， f(x)＞ 0,0<f(x)＝4≤ 2，1x ＋ x当且仅当 x ＝ 1 时取 “ ＝ ”；41 <0，当 x<0 时，－ 2≤ f(x)＝－－ x ＋－ x当且仅当 x ＝－ 1 时，取 “＝ ”．故 f(x) 的值域为 [ － 2,2] ．进而 f(x 1 )＋ 7≥ 3.2 2依题意有 g(x)最小值 ≤ 32.a函数 g(x)＝ ln x ＋ x 的定义域为 (0 ，＋ ∞)，1 a x －ag ′ (x)＝ x －x 2＝ x 2 .3①当 a ≤ 1 时， g ′ (x)＞ 0，函数 g(x)在 [1，e]上单一递加，其最小值为 g(1) ＝ a ≤ 1<2，切合题意；②当 1< a<e 时，函数 g(x)在 [1， a)上有 g ′ (x)<0 ，单一递减，在 (a ， e]上有 g ′ (x)>0 ，单一递加，因此函数g(x)的最小值为g(a)＝ ln a ＋ 1.由3ln a ＋1≤ 2，得 0<a ≤ e.进而知 1<a ≤e 切合题意；③当a ≥ e 时，明显函数g(x)在 [1， e]上单一递减，其最小值为a3g(e)＝1＋e ≥2>2，不符合题意．综上所述，实数 a 的取值范围为 a ≤ e.。

[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)第四章第3讲平面向量的应用举例[配套课件]

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等脱去向量外衣，将向
量问题等价转化为三角函数问题，再应用三角函数的相关知识
解答.
【互动探究】 1．(2013年江苏)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， 0<β<α<π. (1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值．
考点 2 平面向量与平面几何的综合应用
例 2：(2013 年天津)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1， ∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若A→C·B→E＝1，则 AB 的长为_____．
思维点拨：本题的关键就是如何将A→C，B→E转换成A→B，A→D. 因为|A→D|＝1，A→B与A→D的夹角为 60°，最终只含|A→B|为所求，解方程即可．
(1)求 fπ2的值； (2)当 f(α)＝95，且π6<α<23π时，求 sin2α＋23π的值．
解：(1)依题意，得 f(x)＝(cosx，sinx)· 23，12＋1 ＝ 23cosx＋12sinx＋1＝sinx＋π3＋1，则 fπ2＝sin56π＋1＝12＋1＝32.
2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
y＝kx－2，
则 x1＋x2＝1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2. 代入①，得(1＋k2)·1＋124k2－2k·1＋164kk2＋4＝0，即 k2＝4，解得 k＝2 或 k＝－2. ∴直线 l 的方程是 y＝2x－2 或 y＝－2x－2.

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【互动探究】
4．已知直线 ax＋by＋c＝0 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B →· → ＝( A ) 两点，且|AB|＝ 3，则OA OB 1 A．－2 1 B.2 3 C．－4 D．0
→· →＝解析：|AB|＝ 3，r＝1，易求得∠AOB＝120° ，则OA OB 1 1×1×cos120° ＝－2.
3．平面向量数量积的性质
设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为 a 与 b(或 e)的
夹角，则 (1)e· a＝a· e＝|a|coቤተ መጻሕፍቲ ባይዱθ. (2)a⊥b⇔a· b＝0. (3)当 a 与 b 同向时，a· b＝|a||b|；
反向时，a· 当 a 与 b____ b＝－|a||b|；
特别地，a· a＝|a|2，|a|＝ a· a. a· b (4)cosθ＝|a||b|. ≤ a||b|. (5)|a· b|____|
5 4 ∴ 实数 m 的取值范围是－ <m< 3 <m<2.
a· b 【失误与防范】两个向量 a· b<0 等价于 <0，相当于夹 |a||b|
角的余弦值小于零，我们知道cosπ=－1<0，所以a· b<0 中包括
了两个向量反向共线和夹角为钝角两种情况．同理，a· b>0 中包
括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况．这两点在解题
→ ＝a，则 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB |a|＝ x1－x22＋y1－y22(平面内两点间的距离公式)．
1．已知a＝(λ，2)，b＝(－4,10)，且a⊥b，则实数λ的值为
( C ) 4 A. 5 4 B．－ 5 C．5 D．－5
2．已知向量 a，b 满足|a|＝4，|b|＝1，且 a· b＝－2，则 a 与 b 的夹角大小为( B ) π A. 3 2π B. 3 π C. 6 5π D. 6
4．平面向量数量积的坐标运算设向量 a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ，则
(1)a· b＝x1x2＋y1y2.
2 (2)|a|＝ x2 ＋ y 1 1.
x1x2＋y1y2 (3)cos〈a，b〉＝ 2 2 2 2. x1＋y1× x2＋y2
⊥ b⇔a· (4)a____ b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
【规律方法】(1)同弧的圆周角、圆外角和圆内角中，圆内角最大，圆外角最小．当圆周角为直角时，只要判断点与直径两端点的连线所构成的角是锐角还是钝角即可知道该点是在圆内还是圆外．
(2)在解析几何中，两个向量相等通常转化为两个分量相等．
(3)对于解析几何中的向量，通常要清楚向量的几何意义：如垂直问题，平分问题，平行问题，等份问题等．
图 D16
1 1 → ＋AM → · → ＋AM → →· → ＝－ BC BC 方法二：AB AC 2 2
1→2 1 2 2 → ＝AM －4BC ＝3 －4×102＝－16.
答案：－16 【规律方法】当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的
3．已知向量 a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且 a＋b＝(1,3)，则|a|
＝( C )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
→＝ 4．(2013 年山东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA
5 → ＝(2,2)．若∠ABO＝90° (－1，t)，OB ，则实数 t＝________.
→ ＝OB → －OA → ＝(3,2－t)，∵OB → ⊥AB → ，∴3×2＋2× 解析：AB (2－t)＝0，t＝5.
●易错、易混、易漏● ⊙向量中错误使用充要条件造成问题解答不全例题：已知向量 a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)． (1)若向量 a 与 b 的夹角为直角，求实数 m 的值； (2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围．正解：(1)若 a 与 b 的夹角为直角，则 a· b＝0，
【互动探究】
1．(2015 年广东江门一模)已知向量 a＝(－3,4)，b＝(1，m)，若 a· (a－b)＝0，则 m＝( C )
11 A. 2 11 B．－ 2 C．7 D．－7
2．(2013 年安徽)若非零向量 a，b 满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|， 1 － 3 ．则 a，b 夹角的余弦值为________ 解析：|a|＝3|b|＝|a＋2b|，|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2 ＋4a· b ＝|a|2 ＋4|b|2 ＋4|a||b|cosθ,即9|b|2 ＋4|b|2 ＋12|b||b|cosθ＝
解析：设正六边形的边长为 1， 3 3 → → → → 则P1P2· P1P3＝|P1P2||P1P3|cos30° ＝ 3× ＝， 2 2 1 → → → → P1P2· P1P4＝|P1P2||P1P4|cos60° ＝2× ＝1， 2 → → P→ P→ ＝0， 1P2· 1P5＝|P1P2||P1P5|cos90° 1 → → → → P1P2· P1P6＝|P1P2||P1P6|cos120° ＝－ .故选 A. 2
x2 y2 解：(1)设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，由题意，得 c 1 2 2 2 ＝， 4 a ＝ 8 ，∴ a ＝ 2 ， c ＝ 1 ， b ＝ a － c ＝3. a 2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 4 3 (2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．设 M(4，t1)，N(4，t2)， → → → → 则F 1M＝(5，t1)，F2N＝(3，t2)，OM＝(4，t1)，ON＝(4，t2)． → → ∵F F 1M· 2N＝0，∴5×3＋t1t2＝0. →· → ＝4×4＋t1t2＝16－15＝1>0，故∠MON 为锐角． ∴OM ON ∴原点 O 在圆 E 外．
即(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝0.
4 ∴m＝－3或 m＝2.
(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，则 a· b<0，且 a 与 b 不共线． ∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，且(m－2)(m－2)－(m＋3)(2m＋1)≠0. 5 4 解得－3<m< 5－11 5 或 2 5－11 <m<2. 2 5－11 5 或 2 5－11 2
解析：∵a⊥(2a－b)，∴a· (2a－b)＝0，即 2|a|2－a· b＝0， ∴2×5－(－4＋k)＝0，解得 k＝14.
答案：D
【规律方法】向量的数量积通常有两种计算方法：一是利
用坐标运算,设向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a· b＝x1x2＋y1y2；
二是利用数量积的定义，即a· b＝|a||b|cosθ.
1 1 → → ＋AB· BD＝1＋xcos120° ＝1－2x∈2，1.
考点 3 向量的数量积在解析几何中的应用
例 3：已知椭圆 C 的中心在坐标原点，两焦点 F1，F2 在 x 1 轴上，离心率为2，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于 8. (1)求椭圆 C 的方程； → → (2)已知 M，N 是直线 x＝4 上的两个动点，且F F 1M· 2N＝0. 设圆 E 是以 MN 为直径的圆，试判断原点 O 与圆 E 的位置关系．
考点 1 向量数量积的基本运算
例1：(1)(2014年大纲)已知a，b为单位向量，其夹角为 60°，则（2a－b)· b＝( A．－1 )
B．0
D．2
C．1
解析：(2a－b)· b＝2a· b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝2×1× 1×cos60°－1＝0.故选 B. 答案：B
(2)(2013 年北京顺义第一次统练)已知向量 a＝(2,1)，b＝ (－2，k)，且 a⊥(2a－b)，则实数 k＝( A．－14 B．－6 ) C．6 D．14
中要特别注意．
向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向
量定理和平面向量基本定理及解三角形等知识．
【互动探究】
3．在边长为 1 的等边△ABC 中，点 D 为 BC 边上的一动点，
1 ，1 → → 2 则AB· AD的取值范围是________ ．
→· → ＝AB →· → ＋BD → )＝AB →2 解析：设 BD＝x，x∈[0,1]，则AB AD (AB
答案：A
→· → (2)在△ABC 中， M 是 BC 的中点， AM＝3， BC＝10，则AB AC ＝________.
解析：方法一：(特例法)假设△ABC 是满足 AB＝AC 的等腰三角形,如图 D16， AM＝3， BC＝10， AB＝AC＝ 34.cos∠BAC 34＋34－100 8 → → → → ＝＝－17.AB· AC＝|AB||AC|.cos∠BAC＝－16. 2×34
第2讲
平面向量的数量积
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
1．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0· a＝0. 2．平面向量数量积的几何意义数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
1 9|b| ，cosθ＝－ . 3
2
考点 2 向量数量积在平面几何中的应用例 2：(1)(2013 年山东泰安统测)如图 4-2-1，已知正六边形