【最新】人教版八年级数学上册同步练习：13.4 课题学习 最短路径问题
数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题同步练习题
数学人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题同步练习题解答题有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A?B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．【答案】见解析【解析】试题分析：根据两点之间线段最短，做出点D关于AB 的对称点D′，连接CD′与AB的交点即为所求的点.试题解析：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB 于点E，则点E就是所求的点．解答题已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？【答案】见解析【解析】试题分析：分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2与OA、OB的交点即为乙、丙的位置.试题解析：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N，因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M 处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．解答题如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．【答案】见解析【解析】试题分析：作出点P关于BC的对称点P′，连接QP′交BC于R，那么△PQR的周长最小试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．解答题七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?【答案】见解析【解析】试题分析：作出小明关于OP的对称点A′，连接AA′，与OP交点即为满足条件的点.试题解析：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.解答题公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【答案】见解析【解析】试题分析：可过点P分别作关于OM，ON的对称点P′，P″，连接P′P″，与OM、ON的交点即为满足条件的建桥地点.试题解析：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．解答题如图，牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,且AC=BD。
人教版八年级数学上册《13-4 课题学习 最短路径问题》作业同步练习题及参考答案
13.4 课题学习最短路径问题1.已知点A(-2,1),B(3,2),在x 轴上求一点P,使AP+BP 最小,下列作法正确的是( ).A.点P 与O(0,0)重合B.连接AB 并延长,交x 轴于点P,点P 即为所求C.过点A 作x 轴的垂线,垂足为P,点P 即为所求D.作点A 关于x 轴的对称点A',连接A'B,交x 轴于点P,点P 即为所求2.如图,OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,MD=5 cm,MC=7 cm,CD=10 cm,一只小蚂蚁从点M 出发爬到OA 边上任意一点E,再爬到OB 边上任意一点F,然后爬回点M 处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为( ).A.12 cmB.10 cmC.7 cmD.5 cm3.如图,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A,B 到河岸的距离分别为AC 和BD,且AC=BD,若点A 到河岸CD 的中点的距离为500 m,则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m.4.如图,l 为河岸(视为直线),要想开一条沟将河里的水从A 处引到田地里去,应从河边l 的何处开口才能使水沟最短,找出开口处的位置并说明理由.5.如图,在四边形ABCD 中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F 分别是BC,DC 上的点,当△AEF 的周长最小时,∠EAF 的度数为( ).A.50°B.60°C.70°D.80°6.如图,某公路(视为x 轴)的同一侧有A,B,C 三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x 轴上找一点)D,向A,B,C 三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在D 使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出D 所在的位置;若不存在,请说明理由.7.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,BO 桌面上摆满了糖果,站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.答案与解析夯基达标1.D2.B 当CD 与OA 的交点为E,与OB 的交点为F 时,路径最短.因为OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,所以ME=CE,MF=DF,所以小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10 cm,故选B.3.1 0004.解过A 向直线l 作垂线段,与l 相交于B,从B 处开口可满足要求.图略.理由:垂线段最短. 培优促能5.D 作点A 关于BC 和CD 的对称点A',A″,连接A'A″,交BC 于点E,交CD 于点F,则A'A″即为△AEF 周长的最小值.作DA 的延长线AH.∵∠C=50°,∴∠DAB=130°.∴∠HAA'=50°.∴∠AA'E+∠A″=∠HAA'=50°.∵∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,∴∠EAA'+∠A″AF=50°.∴∠EAF=130°-50°=80°.故选D.6.解存在D 使所走路线D→A→B→C→D 的路程之和最短.作法:(1)作点A 关于x 轴的对称点A';(2)连接A'C 交x 轴于D.则D(3,0)就是所要建货栈的位置,如图.创新应用7.解如图.作法:①作点C 关于OA 的对称点C1,点D 关于OB 的对称点D1;②连接C1D1,分别交OA,OB 于点P,Q,连接CP,DQ,小明沿C→P→Q→D 的路线行走时,所走的总路程最短.。
人教版八年级数学上册同步练习13.4课题学习最短路径问题
新人教版八年级数学上册同步练习：课题学习最短路径问题一．选择题（共10 小题）1．（2015?内江）如图，正方形 ABCD 的面积为12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（）A．B．2C．2D．2．（ 2015?黔南州）如图，直线l 外不重合的两点 A 、B ，在直线 l 上求作一点C，使得 AC+BC 的长度最短，作法为：① 作点B关于直线l 的对称点 B ′；②连接 AB ′与直线 l 订交于点C，则点 C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A ．转变思想B ．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角3．（ 2015?绥化）如图，在矩形ABCD 中， AB=10 ，BC=5 ．若点 M 、 N 分别是线段ACAB 上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A． 10B． 8C． 5D． 64．（ 2015?遵义）如图，四边形ABCD 中，∠ C=50°，∠ B=∠ D=90 °， E、 F 分别是 BC 、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（）A ． 50°B． 60°C． 70°D． 80°5．（2015?营口）如图，点P 是∠ AOB 内任意一点， OP=5cm ，点 M 和点 N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△ PMN 周长的最小值是5cm，则∠ AOB 的度数是（）A ． 25°B． 30°C． 35°D． 40°6．（2015?南宁）如图， AB 是⊙ O 的直径， AB=8 ，点 M 在⊙ O 上，∠ MAB=20 °， N 是弧 MB 的中点， P 是直径 AB 上的一动点．若MN=1 ，则△PMN 周长的最小值为（）A． 4B． 5C． 6D． 77．（ 2014?贵港）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=6 ，BC=8 ，AD 是∠ BAC 的均分线．若P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（）A．B． 4C．D． 58．（2014?安顺）如图， MN 是半径为 1 的⊙ O 的直径，点 A 在⊙ O 上，∠ AMN=30 °，点 B 为劣弧AN 的中点． P 是直径 MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（）A．B． 1C． 2D． 29．（ 2014?鄂尔多斯）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90 °，AC=6 ，BC=8 ，D 是 AB 上的动点， E 是 BC 上的动点，则AE+DE 的最小值为（）A． 3+2B． 10C．D．10．（ 2013?济宁）如图，在直角坐标系中，点 A 、B 的坐标分别为（1，4）和（ 3， 0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A 、B、C 三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A ．（ 0，0） B．（0，1） C．（0， 2） D．（0，3）二．填空题（共17 小题）11．（ 2015?攀枝花）如图，在边长为 2 的等边△ ABC 中， D 为 BC 的中点， E 是 AC 边上一点，则BE+DE 的最小值为．12．（ 2015?玉林）如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1 ，点 P，Q 分别是边 BC ，CD 的动点（均不与极点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积是．13．（ 2015?武汉）如图，∠ AOB=30 °，点 M 、N 分别在边OA 、OB 上，且 OM=1 ，ON=3 ，点 P、Q 分别在边OB 、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是．14．（ 2015?天津）在每个小正方形的边长为 1 的网格中．点 A ， B， D 均在格点上，点E、F 分别为线段 BC、 DB 上的动点，且BE=DF ．（Ⅰ）如图①，当 BE=时，计算AE+AF 的值等于（Ⅱ）当 AE+AF 获取最小值时，请在如图② 所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点 E 和点 F 的地址如何找到的（不要求证明）．15．（ 2015?安顺）如图，正方形 ABCD 的边长为4，E 为 BC 上一点， BE=1 ，F 为 AB 上一点， AF=2 ，P 为 AC 上一点，则PF+PE 的最小值为．16．（ 2015?鄂州）如图，∠ AOB=30 °，点 M 、 N 分别是射线OA 、 OB 上的动点， OP 均分∠ AOB ，且 OP=6，当△ PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为．17．（ 2014?资阳）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 边上的一点，且AE=3 ，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则△ BEQ 周长的最小值为．18．（ 2014?东营）在⊙ O 中，AB 是⊙ O 的直径， AB=8cm ，= =，M是AB上一动点，CM+DM 的最小值是cm．19．（ 2014?黑龙江）如图，菱形ABCD 中，对角线AC=6 ， BD=8 ，M 、N 分别是 BC 、CD 的中点，P 是线段 BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是．20．（ 2014?宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为2，点 E 为边 BC 的中点，点P 在对角线BD 上移动，则 PE+PC 的最小值是．21．（ 2014?黔东南州）在以下列图的平面直角坐标系中，点P 是直线 y=x 上的动点， A （ 1，0）， B （ 2， 0）是 x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为．22．（ 2014?锦州）菱形 ABCD 的边长为2，∠ ABC=60 °，E 是 AD 边中点，点P 是对角线BD 上的动点，当AP+PE 的值最小时，PC 的长是．23．（ 2014?青岛）如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB=AD=2 ，∠ BCD=60 °，对角线 AC 均分∠ BCD ，E，F 分别是底边 AD ， BC 的中点，连接 EF．点 P 是 EF 上的任意一点，连接 PA， PB，则 PA+PB的最小值为．24．（ 2014?无锡）如图，菱形ABCD 中，∠ A=60 °， AB=3 ，⊙ A 、⊙ B 的半径分别为2 和 1， P、 E、F 分别是边CD 、⊙ A 和⊙ B 上的动点，则PE+PF 的最小值是．25．（ 2014?长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （ 2， 3），点 B（﹣ 2， 1），在 x 轴上存在点 P 到 A ， B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是．26．（2014?莆田）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ BAD=120 °，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AC 上的一动点，则EF+BF 的最小值是．27．（ 2013?钦州）如图，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， BE=2 ， AE=3BE ， P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值是．三．解答题（共 2 小题）28．（2014?齐齐哈尔）如图，已知抛物线的极点为A（1，4），抛物线与y 轴交于点B（ 0，3），与 x 轴交于 C、 D 两点，点 P 是 x 轴上的一个动点．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）当 PA+PB 的值最小时，求点P 的坐标．29．（ 2013?日照）问题背景：如图（ a），点 A 、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们能够作出点 B 关于 l 的对称点 B′，连接 AB ′与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求．（ 1）实践运用：如图（ b），已知，⊙ O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙ O 上，∠ ACD=30 °，B 为弧 AD 的中点， P 为直径CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为．（ 2）知识拓展：如图（ c），在 Rt△ ABC 中， AB=10 ，∠ BAC=45 °，∠ BAC 的均分线交 BC 于点 D ， E、 F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程．13.4 课题学习最短路径问题3参照答案与试题解析一．选择题（共10 小题）1．（2015?内江）如图，正方形 ABCD 的面积为12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（）A．B．2C．2D．考点：轴对称 -最短路线问题；正方形的性质．解析：由于点B与D关于AC对称，因此BE 与 AC 的交点即为P 点．此时PD+PE=BE 最小，而BE 是等边△ ABE 的边， BE=AB ，由正方形ABCD 的面积为12，可求出AB 的长，进而得出结果．解答：解：由题意，可得BE 与 AC 交于点 P．∵点 B与D关于 AC 对称，∴PD=PB ，∴PD+PE=PB+PE=BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为 12，∴ AB=2．又∵△ ABE 是等边三角形，∴ BE=AB=2．故所求最小值为2．应选 B．议论：此题观察了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P 的地址是解决问题的要点．2．（ 2015?黔南州）如图，直线l 外不重合的两点 A 、B ，在直线 l 上求作一点C，使得 AC+BC 的长度最短，作法为：① 作点B关于直线l 的对称点 B ′；②连接 AB ′与直线 l 订交于点C，则点 C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A ．转变思想B ．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角考点：轴对称 -最短路线问题．解析：利用两点之间线段最短解析并考据即可即可．解答：解：∵点 B 和点 B′关于直线l 对称，且点 C 在 l 上，∴CB=CB ′，又∵ AB ′交 l 与 C，且两条直线订交只有一个交点，∴CB ′+CA 最短，即 CA+CB 的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，表现了转变思想，考据时利用三角形的两边之和大于第三边．应选 D．议论：此题主要观察了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（ 2015?绥化）如图，在矩形ABCD 中， AB=10 ，BC=5 ．若点 M 、 N 分别是线段ACAB 上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A． 10B． 8C． 5D． 6考点：轴对称 -最短路线问题．解析：依照轴对称求最短路线的方法得出M 点地址，进而利用勾股定理及面积法求出CC′的值，然后再证明△ BCD ∽△ C′NC 进而求出C′N 的值，进而求出MC+NM的值．解答：解：以下列图：由题意可得出：作 C 点关于 BD 对称点 C′，交 BD 于点 E，连接 BC′，过点 C′作 C′N⊥ BC 于点 N，交 BD 于点 M ，连接 MC ，此时 CM+NM=C ′N 最小，∵AB=10 ， BC=5 ，在 Rt△ BCD 中，由勾股定理得： BD==5 ，∵S△BCD = ?BC?CD=BD ?CE，∴CE===2，∵CC′=2CE ，∴CC′=4 ，∵NC ′⊥ BC ，DC ⊥ BC， CE⊥ BD ，∴∠BNC ′=∠ BCD= ∠ BEC= ∠ BEC ′=90°，∴∠ CC′N+ ∠ NCC′=∠CBD+ ∠NCC ′=90 °，∴∠ CC′N= ∠ CBD ，∴△ BCD ∽△ C′NC ，∴，即，∴ NC ′=8，即 BM+MN的最小值为8．应选 B．议论：此题主要观察了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用，利用轴对称得出 M 点与 N 点的地址是解题的要点．4．（ 2015?遵义）如图，四边形ABCD 中，∠ C=50°，∠ B=∠ D=90 °， E、 F 分别是 BC 、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（）A ． 50°B ． 60°C ． 70°D ． 80° 考点： 轴对称 -最短路线问题．解析： 据要使 △ AEF 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同素来线上，作出A 关于BC 和 CD 的对称点 A ′， A ″，即可得出∠ AA ′E+ ∠ A ″=∠ HAA ′=80 °，进而得出∠ AEF+ ∠AFE=2 （∠ AA ′E+∠ A ″），即可得出答案．解答： 解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A ′， A ″，连接 A ′A ″，交 BC 于 E ，交 CD 于 F ，则 A ′A ″ 即为 △ AEF 的周长最小值．作 DA 延长线 AH ，∵∠ C=50 °， ∴∠ DAB=130 °， ∴∠ HAA ′=50 °，∴∠ AA ′E+∠ A ″=∠ HAA ′=50°，∵∠ EA ′A= ∠ EAA ′，∠ FAD= ∠ A ″，且∠ EA ′A+ ∠ EAA ′=∠ AEF ，∠ FAD+ ∠A ″=∠ AFE ， ∴∠ AEF+ ∠ AFE= ∠ EA ′A+ ∠ EAA ′+∠ FAD+ ∠ A ″=2（∠ AA ′E+∠ A ″） =2×50°=100° ∴∠ EAF=180 °﹣ 100°=80°， 应选 D ．议论： 此题观察的是轴对称﹣最短路线问题，性质和垂直均分线的性质等知识，依照已知得出5．（2015?营口）如图，点 P 是∠ AOB 内任意一点， OP=5cm ，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线OB 上的动点， △ PMN 周长的最小值是5cm ，则∠ AOB 的度数是（）A ． 25°B ． 30°C ． 35°D ． 40°考点： 轴对称 -最短路线问题．解析： 分别作点 P 关于 OA 、 OB 的对称点OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，由对称的性质得出C 、D ，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、 N ，连接PM=CM ，OP=OC ，∠ COA= ∠ POA ；PN=DN ，OP=OD ，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的E ， F 的地址是解题要点．∠ DOB= ∠ POB，得出∠ AOB=∠ COD，证出△ OCD是等边三角形，得出∠COD=60 °，即可得出结果．解答：解：分别作点P 关于 OA 、 OB 的对称点 C、 D，连接 CD ，分别交 OA 、OB 于点 M 、N ，连接 OC、 OD、PM 、 PN、 MN ，以下列图：∵点 P 关于 OA 的对称点为C，关于 OB 的对称点为 D ，∴PM=CM ， OP=OC，∠ COA= ∠ POA；∵点 P 关于 OB 的对称点为D，∴PN=DN ， OP=OD ，∠ DOB= ∠ POB，∴ OC=OP=OD ，∠ AOB=∠ COD，∵△ PMN 周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5 ，∴CM+DN+MN=5 ，即 CD=5=OP ，∴OC=OD=CD ，即△OCD 是等边三角形，∴∠ COD=60 °，∴∠ AOB=30 °；应选： B．议论：此题观察了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判断与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的要点．6．（2015?南宁）如图， AB 是⊙ O 的直径， AB=8 ，点 M 在⊙ O 上，∠ MAB=20 °， N 是弧 MB 的中点， P 是直径 AB 上的一动点．若MN=1 ，则△PMN 周长的最小值为（）A． 4B． 5C． 6D． 7考点：轴对称 -最短路线问题；圆周角定理．解析：作N关于AB的对称点N ′，连接 MN ′， NN ′， ON ′， ON ，由两点之间线段最短可知MN ′与AB 的交点 P′即为△ PMN 周长的最小时的点，依照 N 是弧 MB 的中点可知∠ A= ∠ NOB= ∠ MON=20 °，故可得出∠ MON ′=60 °，故△ MON ′为等边三角形，由此可得出结论．解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．∵N 关于 AB 的对称点N′，∴MN ′与 AB 的交点 P′即为△ PMN 周长的最小时的点，∵ N 是弧 MB 的中点，∴∠A= ∠NOB= ∠MON=20 °，∴∠ MON ′=60°，∴△ MON ′为等边三角形，∴MN ′=OM=4 ，∴△ PMN 周长的最小值为4+1=5．应选 B．议论：此题观察的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．（ 2014?贵港）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=6 ，BC=8 ，AD 是∠ BAC 的均分线．若P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（）A．B． 4C．D． 5考点：轴对称 -最短路线问题．解析：过点 C 作 CM ⊥AB 交 AB 于点 M ，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥ AC 于点 Q，由 AD 是∠ BAC的均分线．得出PQ=PM ，这时 PC+PQ 有最小值，即CM 的长度，运用勾股定理求出AB ，再运用S△ABC= AB ?CM= AC ?BC，得出 CM 的值，即PC+PQ 的最小值．解答：解：如图，过点 C 作 CM ⊥AB 交 AB 于点 M ，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，∵ AD是∠ BAC 的均分线．∴PQ=PM ，这时 PC+PQ 有最小值，即CM 的长度，∵AC=6 ， BC=8 ，∠ ACB=90 °，∴ AB===10．∵S△ABC = AB ?CM= AC ?BC，∴CM===，即 PC+PQ 的最小值为．应选： C．议论：此题主要观察了轴对称问题，解题的要点是找出满足PC+PQ 有最小值时点P 和 Q 的地址．8．（2014?安顺）如图， MN 是半径为 1 的⊙ O 的直径，点 A 在⊙ O 上，∠ AMN=30 °，点 B 为劣弧AN 的中点． P 是直径 MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（）A．B． 1C． 2D． 2考点：轴对称 -最短路线问题；勾股定理；垂径定理．解析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，依照轴对称确定最短路线问题可得 AB ′与 MN 的交点即为PA+PB 的最小时的点，依照在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍求出∠ AON=60 °，尔后求出∠BON=30 °，再依照对称性可得∠B′ON= ∠ BON=30 °，尔后求出∠ AOB ′=90 °，进而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再依照等腰直角三角形的性质可得AB ′= OA ，即为 PA+PB 的最小值．解答：解：作点 B 关于 MN 的对称点 B ′，连接 OA 、 OB 、OB ′、AB ′，则 AB ′与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点， PA+PB 的最小值 =AB ′，∵∠ AMN=30 °，∴∠ AON=2 ∠ AMN=2×30°=60 °，∵点 B 为劣弧 AN的中点，∴∠ BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠ B ′ON= ∠ BON=30 °，∴∠ AOB ′=∠ AON+ ∠B ′ON=60 °+30 °=90 °，∴△ AOB ′是等腰直角三角形，即 PA+PB 的最小值 =．应选： A．议论：此题观察了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并获取△ AOB ′是等腰直角三角形是解题的要点．9．（ 2014?鄂尔多斯）如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90 °，AC=6 ，BC=8 ，D 是 AB 上的动点， E 是 BC 上的动点，则AE+DE 的最小值为（）A． 3+2B． 10C．D．考点：轴对称 -最短路线问题．解析：作点A关于BC的对称点 A ′，过点 A ′作 A ′D⊥ AB 交 BC 、AB 分别于点E、 D，依照轴对称确定最短路线问题， A ′D 的长度即为 AE+DE 的最小值，利用勾股定理列式求出AB ，再利用∠ ABC 的正弦列式计算即可得解．解答：解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A ′，过点 A ′作 A ′D⊥AB 交 BC、 AB 分别于点 E、 D，则 A′D 的长度即为AE+DE 的最小值， AA ′=2AC=2 ×6=12，∵∠ ACB=90 °，BC=8 ， AC=6 ，∴ AB===10，∴ sin∠ BAC== =，∴ A ′D=AA ′?sin∠ BAC=12 × =，即 AE+DE 的最小值是．应选D．议论：此题观察了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了勾股定理，垂线段最短，锐角三角函数的定义，难点在于确定出点 D、 E 的地址．10．（ 2013?济宁）如图，在直角坐标系中，点 A 、B 的坐标分别为（1，4）和（ 3， 0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A 、B、C 三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A ．（ 0，0） B．（0，1） C．（0， 2） D．（0，3）考点：轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质．解析：依照轴对称作最短路线得出 AE=B ′E，进而得出 B ′O=C ′O，即可得出△ ABC 的周长最小时 C点坐标．解答：解：作 B 点关于 y 轴对称点 B′点，连接 AB ′，交 y 轴于点 C′，此时△ ABC 的周长最小，∵点 A 、B 的坐标分别为（1， 4）和（ 3， 0），∴ B′点坐标为：（﹣ 3， 0）， AE=4 ，则 B′E=4，即 B ′E=AE ，∵ C′O∥ AE ，∴B′O=C ′O=3，∴点 C′的坐标是（ 0， 3），此时△ABC 的周长最小．应选： D．议论：此题主要观察了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，依照已知得出 C 点地址是解题关键．二．填空题（共17 小题）11．（ 2015?攀枝花）如图，在边长为 2 的等边△ ABC 中， D 为 BC 的中点， E 是 AC 边上一点，则BE+DE 的最小值为．考点：轴对称 -最短路线问题；等边三角形的性质．解析：作B关于AC的对称点B′，连接 BB ′、 B′D，交 AC 于 E，此时 BE+ED=B ′E+ED=B ′D，依照两点之间线段最短可知 B ′D 就是 BE+ED 的最小值，故 E 即为所求的点．解答：解：作B关于AC的对称点B′，连接 BB ′、B ′D，交 AC 于 E，此时 BE+ED=B ′E+ED=B ′D，依照两点之间线段最短可知 B ′D 就是 BE+ED 的最小值，∵B、B′关于AC 的对称，∴ AC 、BB ′互相垂直均分，∴四边形ABCB ′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，∵D 为 BC 的中点，∴AD ⊥BC，∴ AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，作 B′G⊥ BC 的延长线于 G，∴ B′G=AD=，在 Rt△ B ′BG 中，BG===3，∴DG=BG ﹣ BD=3 ﹣ 1=2 ，在 Rt△ B ′DG 中， BD===．故 BE+ED 的最小值为．故答案为：．议论：此题观察的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有必然的综合性，但难易适中．12．（ 2015?玉林）如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1 ，点 P，Q 分别是边 BC ，CD 的动点（均不与极点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积是 3 ．考点：轴对称 -最短路线问题；正方形的性质．专题：计算题．解析：依照最短路径的求法，先确定点 E 关于 BC 的对称点E′，再确定点A 关于 DC 的对称点 A ′，连接 A ′E′即可得出P， Q 的地址；再依照相似得出相应的线段长进而可求得四边形AEPQ 的面积．解答：解：如图 1 所示，作 E 关于 BC 的对称点 E′，点 A 关于 DC 的对称点 A ′，连接 A ′E′，四边形 AEPQ 的周长最小，∵ AD=A ′D=3 ， BE=BE ′=1，∴ AA ′=6 ，AE ′=4．∵DQ∥AE ′，D 是AA ′的中点，∴ DQ 是△ AA ′E′的中位线，∴ DQ=AE ′=2； CQ=DC ﹣ CQ=3﹣ 2=1，∵BP∥AA ′，∴△ BE ′P∽△ AE ′A′，∴=，即=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD﹣ S△ADQ﹣ S△PCQ﹣ S BEP=9﹣AD ?DQ ﹣CQ?CP﹣BE?BP=9﹣×3×2﹣×1× ﹣×1× =，故答案为：．议论：此题观察了轴对称，利用轴对称确定 A ′、 E′，连接 A ′E′得出 P、Q 的地址是解题要点，又利用了相似三角形的判断与性质，图形切割法是求面积的重要方法．13．（ 2015?武汉）如图，∠ AOB=30 °，点 M 、N 分别在边OA 、OB 上，且 OM=1 ，ON=3 ，点 P、Q 分别在边OB 、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是．考点：轴对称 -最短路线问题．解析：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N ′，连接 M ′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值．解答：解：作 M 关于 OB 的对称点 M ′，作 N 关于 OA 的对称点 N′，连接 M ′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值．依照轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠ M ′OB=30 °，∠ ONN ′=60°，∴△ ONN ′为等边三角形，△ OMM′为等边三角形，∴∠ N ′OM ′=90°，∴在 Rt△ M ′ON ′中，M′N′==．故答案为．议论：此题观察了轴对称﹣﹣最短路径问题，依照轴对称的定义，找到相等的线段，获取等边三角形是解题的要点．14．（ 2015?天津）在每个小正方形的边长为 1 的网格中．点 A ， B， D 均在格点上，点E、F 分别为线段 BC、 DB 上的动点，且BE=DF ．（Ⅰ）如图①，当 BE=时，计算AE+AF 的值等于（Ⅱ）当 AE+AF 获取最小值时，请在如图② 所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点 E 和点 F 的地址如何找到的（不要求证明）取格点H，K，连接BH，CK，订交于点 P，连接 AP，与 BC 订交，得点 E，取格点 M ，N 连接 DM ，CN ，订交于点 G，连接 AG ，与 BD 订交，得点 F，线段 AE ，AF 即为所求．．考点：轴对称 -最短路线问题；勾股定理．专题：作图题．解析：（ 1）依照勾股定理得出DB=5 ，进而得出 AF=2.5 ，由勾股定理得出AE=，再解答即可；（ 2）第一确定 E 点，要使 AE+AF 最小，依照三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到 AE的延长线上，因此能够构造全等三角形，第一选择格点H 使∠ HBC= ∠ADB ，其次需要构造长度BP 使 BP=AD=4 ，依照勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K ，依照，得 BP= BH==4=DA ，易证△ ADF ≌△ PBE，因此可获取PE=AF ，线段 AP 即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定 F 点，由于AB ⊥BC ，因此第一确定格点M 使 DM ⊥ DB ，其次确定格点G使 DG=AB=3 ，此时需要先确定格点N ，同样依照相似三角形性质获取，得DG= DM=×5=3，易证△ DFG≌ BEA，因此可获取AE=GF ，故线段 AG 即为所求的AE+AF 的最小值．解答：解：（1）依照勾股定理可得：DB=，由于 BE=DF=，因此可得AF==2.5 ，依照勾股定理可得：AE=，因此AE+AF=，故答案为：；（ 2）如图，第一确定 E 点，要使 AE+AF 最小，依照三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到 AE 的延长线上，因此能够构造全等三角形，第一选择格点H 使∠ HBC= ∠ ADB ，其次需要构造长度BP 使BP=AD=4 ，依照勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K ，依照，得BP= BH==4=DA ，易证△ ADF ≌△ PBE，因此可获取PE=AF ，线段 AP 即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定 F 点，由于AB ⊥BC ，因此第一确定格点M 使 DM ⊥ DB ，其次确定格点G 使 DG=AB=3 ，此时需要先确定格点N ，同样依照相似三角形性质获取，得DG= DM=×5=3，易证△ DFG≌ BEA，因此可获取AE=GF ，故线段 AG 即为所求的AE+AF 的最小值．故答案为：取格点 H， K，连接 BH ， CK ，订交于点 P，连接 AP，与 BC 订交，得点 E，取格点 M ， N 连接DM ， CN ，订交于点 G，连接 AG ，与 BD 订交，得点 F，线段 AE ，AF 即为所求．议论：此题观察最短路径问题，要点是依照轴对称的性质进行解析解答．15．（ 2015?安顺）如图，正方形 ABCD 的边长为4，E 为 BC 上一点， BE=1 ，F 为 AB 上一点， AF=2 ，P 为 AC 上一点，则PF+PE 的最小值为．考点：轴对称 -最短路线问题；正方形的性质．解析：作 E 关于直线 AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为所求，过 F 作 FG⊥ CD 于 G，在 Rt△解答：解：作E关于直线AC 的对称点 E′，连接 E′F，则 E′F 即为所求，过 F作 FG⊥CD 于G，在 Rt△ E′FG 中，GE′=CD ﹣ BE ﹣ BF=4 ﹣1﹣ 2=1 ， GF=4 ，因此 E′F=．故答案为：．议论：此题观察的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的要点．16．（ 2015?鄂州）如图，∠ AOB=30 °，点 M 、 N 分别是射线 OA 、 OB 上的动点， OP 均分∠ AOB ，且 OP=6，当△ PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 36 ﹣ 54 ．考点：轴对称 -最短路线问题．解析：设点P关于OA的对称点为C，关于 OB 的对称点为 D ，当点 M 、N 在 CD 上时，△PMN的周长最小，此时△ COD是等边三角形，求得三角形PMN 和△COD 的面积，依照四边形PMON 的面积为：（ S△COD+S△PMN）求得即可．解答：解：分别作点P 关于 OA 、OB 的对称点 C、 D，连接 CD，分别交O A 、 OB 于点 M 、 N，连接 OP、OC、 OD 、PM、 PN．∵点 P 关于 OA 的对称点为C，关于 OB 的对称点为 D ，∴PM=CM ， OP=OC，∠ COA= ∠ POA；∵点 P 关于 OB 的对称点为D，∴PN=DN ， OP=OD ，∠ DOB= ∠ POB，∴OC=OD=OP=6 ，∠ COD= ∠COA+ ∠ POA+ ∠POB+ ∠ DOB=2 ∠POA+2 ∠POB=2 ∠ AOB=60 °，∴△ COD 是等边三角形，∴CD=OC=OD=6 ．∵∠ POC= ∠POD ，∴OP⊥CD ，∴OQ=6 × =3 ，∴P Q=6﹣ 3 ，设 MQ=x ，则 PM=CM=3 ﹣ x，∴（ 3﹣ x）2﹣x2=（ 6﹣3）2，解得 x=6﹣ 9，∴ S△PMN= MN×PQ=MQ ?PQ=（ 6﹣ 9）?（ 6﹣ 3） =63﹣ 108，∵S△COD = ×3 ×6=9 ，∴四边形 PMON 的面积为：（ S△COD+S△PMN）= ×（ 72﹣ 108） =36 ﹣54．故答案为36﹣54．议论：此题主要观察轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的要点．17．（ 2014?资阳）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 边上的一点，且AE=3 ，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则△ BEQ 周长的最小值为6．考点：轴对称 -最短路线问题；正方形的性质．专题：计算题．解析：连接 BD ，DE ，依照正方形的性质可知点 B 与点 D 关于直线AC 对称，故 DE 的长即为BQ+QE 的最小值，进而可得出结论．解答：解：连接BD ，DE，∵四边形ABCD 是正方形，∴点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，∴ DE 的长即为 BQ+QE 的最小值，∵ DE=BQ+QE===5，∴△ BEQ 周长的最小值 =DE+BE=5+1=6 ．故答案为： 6．议论：此题观察的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的要点．18．（ 2014?东营）在⊙ O 中，AB 是⊙ O 的直径， AB=8cm ，= =，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是8 cm．考点：轴对称 -最短路线问题；勾股定理；垂径定理．解析：作点C关于AB的对称点C′，连接 C′D 与 AB 订交于点M ，依照轴对称确定最短路线问题，点 M 为 CM+DM的最小值时的地址，依照垂径定理可得=，尔后求出C′D 为直径，进而得解．解答：解：如图，作点 C 关于 AB 的对称点C′，连接 C′D 与 AB 订交于点M ，此时，点M 为 CM+DM的最小值时的地址，由垂径定理，=，∴=，∵= = ，AB 为直径，∴C′D 为直径，∴CM+DM 的最小值是 8cm．故答案为： 8．议论：此题观察了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的要点．19．（ 2014?黑龙江）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC=6 ， BD=8 ，M 、N 分别是 BC 、CD 的中点， P是线段 BD 上的一个动点，则 PM+PN 的最小值是 5 ．考点：轴对称 -最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判断与性质；菱形的性质．专题：几何图形问题．解析：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC ，求出 CP、 PB，依照勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC ，即可得出答案．解答：解：作 M 关于 BD 的对称点 Q，连接 NQ ，交 BD 于 P，连接 MP，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠ QBP= ∠ MBP ，即Q在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∵M 为BC中点，∴Q 为 AB 中点，∵N 为 CD 中点，四边形 ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ， BQ=CN ，∴四边形 BQNC 是平行四边形，∴NQ=BC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CP= AC=3 ，BP= BD=4 ，在 Rt△ BPC 中，由勾股定理得： BC=5，即 NQ=5 ，∴ MP+NP=QP+NP=QN=5 ，故答案为： 5．议论：此题观察了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判断，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的要点是能依照轴对称找出P 的地址．20．（ 2014?宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为2，点 E 为边 BC 的中点，点P 在对角线BD 上移动，则 PE+PC 的最小值是．考点：轴对称 -最短路线问题；正方形的性质．专题：计算题．解析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能够直接求，可考虑经过作辅助线转变PE，PC 的值，进而找出其最小值求解．解答：解：如图，连接AE ，∵点 C 关于 BD 的对称点为点 A ，∴PE+PC=PE+AP ，依照两点之间线段最短可得AE 就是 AP+PE 的最小值，∵正方形ABCD 的边长为 2， E 是 BC 边的中点，∴BE=1 ，∴AE==，故答案为：．议论：此题主要观察了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．依照已知得出两点之间线段最短可得AE 就是 AP+PE 的最小值是解题要点．21．（ 2014?黔东南州）在以下列图的平面直角坐标系中，点P 是直线 y=x 上的动点， A （ 1，0）， B （ 2， 0）是 x 轴上的两点，则PA+PB 的最小值为．考点：轴对称 -最短路线问题；一次函数图象上点的坐标特色．解析：利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA ′=1，进而利用勾股定理得出即可．解答：解：以下列图：作 A 点关于直线 y=x 的对称点 A ′，连接 A′B，交直线 y=x 于点 P，此时PA+PB 最小，由题意可得出：OA ′=1， BO=2， PA′=PA，∴PA+PB=A ′B==．故答案为：．议论：此题主要观察了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特色等知识，得出P点地址是解题要点．22．（ 2014?锦州）菱形 ABCD 的边长为2，∠ ABC=60 °，E 是 AD 边中点，点P 是对角线BD 上的动点，当AP+PE 的值最小时，PC 的长是．考点：轴对称 -最短路线问题；菱形的性质．专题：几何综合题．解析：作点 E 关于直线 BD 的对称点 E′，连接 AE ′，则线段 AE ′的长即为 AP+PE 的最小值，再由轴对称的性质可知 DE=DE ′=1 ，故可得出△ AE ′D 是直角三角形，由菱形的性质可知∠PDE′= ∠ ADC=30 °，依照锐角三角函数的定义求出PE 的长，进而可得出PC 的长．解答：解：以下列图，作点 E 关于直线BD 的对称点 E′，连接 AE ′，则线段AE ′的长即为 AP+PE 的最小值，∵菱形 ABCD 的边长为2， E 是 AD 边中点，∴DE=DE ′= AD=1 ，∴△ AE ′D 是直角三角形，∵∠ ABC=60 °，∴∠ PDE ′= ∠ADC=30 °，∴PE′=DE ′?tan30°=，。
人教版初中数学八年级上册《13.4 课题学习 最短路径问题》同步练习卷
人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》同步练习卷一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．42．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．363．如图．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，且CP＝6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．6C．6D．104．△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2的值为（）A．18+8B．24+8C．22+6D．31+5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝6，过点D作DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，点F，G分别在AC，BC上，则AG+FG的最小值为（）A．2B．C．2D．36．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE，则CD+DE的最小值为（）A．8B．C．D．二．填空题（共14小题）7．已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是．8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP 的最小值为2，则BC＝．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为．10．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为11．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝135°，点P是菱形内部一点，且满足S△PCD ＝，则PC+PD的最小值是．12．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E 分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．13．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为4，则△ABC的周长是．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．AC与网格线交于点D，点P，Q分别为线段BC，AB上的动点．（I）线段CD的长为；（Ⅱ）当PD+PQ取得最小值时，用无刻度的直尺．画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC＝4，CD ＝1，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值为．16．已知A（﹣2，0），B（0，2），P是x轴上动点，将B绕P点顺时针旋转90°得到点C，则AC+CP的最小值是．17．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交AB于点D．点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则PD+PE的最小值是19．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，对角线AC与BD交于点O，P、Q为BD的两个动点，且BP＝OQ，则△APQ的周长的最小值是．20．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值．三．解答题（共30小题）21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．22．如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD＝，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB 的最小值．23．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，（1）求△ABC的面积；（2）如图②，BH为∠ABC的角平分线，点O为线段BH上的动点，点G为线段BC上的动点，请直接写出OC+OG的最小值．24．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）求出AB的长．（2）求出△ABC的周长的最小值？25．已知△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A 出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts．（1）求CD的长；（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．26．如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．27．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△P AB的周长最小时，求∠APB的度数．28．在如图所示的网格中，线段AB和直线l如图所示：（1）借助图中的网格，在图1中作锐角△ABC，满足以下要求：①C为格点（网格线交点）；②AB＝AC．（2）在（1）的基础上，请只用直尺（不含刻度）在图（1）中找一点P，使得P到AB、AC的距离相等，且P A＝PB．（友情提醒：请别忘了标注字母！）（3）在图2中的直线l上找一点Q，使得△QAB的周长最小，并求出周长的最小值是．29．用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．30．如图，∠XOY内有一点P，试在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．31．在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连结AP，DP．（1）设BP＝x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，求x＝2时，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式+的最小值．32．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0），直线a为过点D（0，﹣1）且平行于x轴的直线．（1）直接写出点B关于直线a对称的点E的坐标；（2）若P为直线a上一动点，请求出△PBA周长的最小值和此时P点坐标．33．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．34．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝3，BD＝15，设BC＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C在什么位置时，AC+CE的值最小，求出这个最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，作出图形并求出代数式+的最小值．35．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，BC边上的中线AD＝8．（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）点H在线段AC上，试求AH+BH+CH的最小值．36．如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．37．已知：三点A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），点A在正比例函数y＝x的图象上．（1）求a的值；（2）点P为x轴上一动点．①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；②当∠APB＝20°时，求∠OAP+∠PBC的度数．38．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）试求AC+CE的最小值．39．如图，点A是半圆上的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径是1，问点P在直线MN上什么位置是（在图中标注），AP+BP的值最小？并求出最小值．40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，E为AB的中点，AC是ED 的垂直平分线．（1）求证：DB＝DC；（2）在图（2）的线段AB上找出一点P，使PC+PD的值最小，标出点P的位置，保留画图痕迹，并求出PB的值．41．如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．（1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一点，且DM＝2，求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2）（3）若点P在射线BC上，且NB＝NP，求证：NP⊥ND．42．如图等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，其中AD＝2，BC＝5．（1）尺规作图，作等腰梯形ABCD的对称轴a；（2）在直线a上求作一点P，使PD+PC和最小；并求此时PD：PC的值．43．如右图，∠POQ＝20°，A为OQ上的点，B为OP上的一点，且OA＝1，OB＝2，在OB上取点A1，在AQ上取点A2，设l＝AA1+A1A2+A2B，求l的最小值．44．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（﹣2，0），B（8，0），以AB 为直径的半圆与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）求C，M两点的坐标；（2）连接CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．45．如图，正方形ABCD边长为4，DE＝1，M，N在BC上，且MN＝2．求四边形AMNE 周长的最小值．46．如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．47．如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？48．如图，已知点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，点P 是直径AB上的点．若⊙O的半径为1．（1）用尺规在图中作出点P，使MP+NP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求MP+NP的最小值．49．已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，∠B＝30°，P是△ABC内一点，求P A+PB+PC的最小值．50．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离（与小河平行方向）120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米？人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE 的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴P A+PB+PC＝P A+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．36【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB 有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°，∴∠HBG＝90°，∴GH2＝BG2+BH2＝20，∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20，故选：A．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．3．如图．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，且CP＝6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．6C．6D．10【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．【解答】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．由对称的性质可知，∠ACP＝∠ACE，∠PCB＝∠BCF，CP＝CE＝CF＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CE＝6，∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF＝6，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．4．△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2的值为（）A．18+8B．24+8C．22+6D．31+【分析】如图，作点P关于AB的对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接P′Q′交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H．【解答】解：如图，作点P关于AB的对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接P′Q′交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H．∴PH2＝PB2﹣BH2＝PQ2﹣HQ2，∴22﹣BH2＝（）2﹣（3﹣BH）2，解得BH＝，∴PH2＝4﹣2＝2，∴PH＝，∴PH＝BH＝，∴∠PBQ＝45°，∵∠ABP＝∠ABP′，∠CBQ＝∠CBQ′，∴∠P′BQ′＝2（∠ABC﹣∠PBQ）+∠PBQ＝2∠ABC﹣∠PBQ＝150°，作Q′K⊥P′B于K．在Rt△BKQ′中，∠KBQ′＝30°，BQ′＝BQ＝3，∴KQ′＝，BK＝，在Rt△P′Q′K中，KP′＝2+，KQ′＝，∴P′Q′2＝（2+）2+（）2＝22+6，∴（MP+MN+NQ）2P′Q′2＝22+6．故选：C．【点评】本题考查轴对称最短问题、解直角三角形、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝6，过点D作DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，点F，G分别在AC，BC上，则AG+FG的最小值为（）A．2B．C．2D．3【分析】作点A关于BC的对称点M，连接CM，作AH⊥CM于H，交BC于G，作GF⊥AC于F，此时AG+GF的值最小，最小值＝AH的长．想办法证明∠DAE＝30°即可解决问题；【解答】解：作点A关于BC的对称点M，连接CM，作AH⊥CM于H，交BC于G，作GF⊥AC于F，此时AG+GF的值最小，最小值＝AH的长．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵DE⊥AC，AE＝3CE，设EC＝a，则AE＝3a，∴∠AED＝∠DEC＝90°，∴a+3a＝6，∴a＝，∴EC＝，AE＝，∵∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠DAE＝∠EDC，∴△ADE∽△DCE，∴DE2＝AE•EC，∴DE＝，∴tan∠DAE＝＝，∴∠DAE＝30°，∵AD∥CB，∴∠DAE＝∠ACB＝∠BCM＝30°，∴∠ACH＝60°，∴AH＝AC•sin60°＝3，故选：D．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．6．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE，则CD+DE的最小值为（）A．8B．C．D．【分析】如图，作∠ABG＝∠ABC，CF⊥BG于F，交AB于D，作DE⊥BC于E，此时DC+DE 的值最小，最小值＝CF的长．再利用相似三角形的性质求出CF即可．【解答】解：如图，作∠ABG＝∠ABC，CF⊥BG于F，交AB于D，作DE⊥BC于E，此时DC+DE的值最小，最小值＝CF的长．取AB中点T，连接CT，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，AB＝＝4，∴CH＝＝．CT＝AB＝2，∵TC＝TB，∴∠TBC＝∠TCB＝∠ABG，∵∠ADC＝∠TBC+∠TCB＝2∠DBC，∠CBF＝2∠DBC，∴∠CTH＝∠CBF，∴sin∠CTH＝sin∠CBF，∴＝，∴＝，∴CF＝，故选：D．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．二．填空题（共14小题）7．已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是10．【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接NM'，交直线l于P，连接NP，则MP＝M'P，依据轴对称的性质，即可得到OM＝OM'＝6，∠NOM'＝90°，再根据勾股定理即可得到PM+PN的最小值．【解答】解：如图，作点M关于直线l的对称点M'，连接NM'，交直线l于P，连接NP，则MP＝M'P，∴PM+PN的最小值等于线段M'N的长，∵OM＝OM'，OP＝OP，PM＝PM'，∴△OPM≌△OPM'（SSS），∴∠POM＝∠POM'＝45°，OM＝OM'＝6，∴∠NOM'＝90°，∴Rt△NM'O中，M'N＝＝＝10，∴PM+PN的最小值是10，故答案为：10．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题和勾股定理等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP 的最小值为2，则BC＝﹣．【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题；【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵P A＝P A，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴P A＝PG，∴P A+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【分析】首先由S△P AB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l 上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即P A+PB的最小值．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．10．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为【分析】作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE＝FM，推出DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据BM＝计算即可．【解答】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝＝∴DE+BF的最小值为．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．11．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝135°，点P是菱形内部一点，且满足S△PCD ＝，则PC+PD的最小值是2．【分析】如图在BC上取一点E，使得EC＝BC＝2，作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P，连接PC，此时此时S△PDC＝，PD+PC的值最小．【解答】解：如图在BC上取一点E，使得EC＝BC＝2，作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P，连接PC，此时此时S△PDC＝，PD+PC的值最小．PC+PD的最小值＝PD+PC′＝DC′，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝135°，∴∠B＝∠CEG＝45°，∠BCD＝135°∵∠CGE＝90°，CE＝2，∴CG＝GE＝GC′＝，∴∠GCE＝45°，∠DCC′＝90°，∴DC′＝＝2，故答案为2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．12．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E 分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是10．【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+7，∴直线CC″的解析式为y＝x﹣1，由解得，∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），∵K是CC″中点，∴可得C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″＝＝10．故答案为10．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．13．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为4，则△ABC的周长是8+4．【分析】本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．【解答】解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴＝1，∴PM′＝PN，即：当PM+PN最小时P在AC的中点，∴MN＝AC∴PM＝PN＝2，MN＝2∴AC＝4 ，AB＝BC＝2PM＝2PN＝4，∴△ABC的周长为：4+4+4 ＝8+4 ．故答案为：8+4．【点评】本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定P 点的位置是解题的关键．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．AC与网格线交于点D，点P，Q分别为线段BC，AB上的动点．（I）线段CD的长为；（Ⅱ）当PD+PQ取得最小值时，用无刻度的直尺．画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ＝PD+PQ′＝DQ′最短．．【分析】（I）添加辅助线，构造相似三角形即可解决问题；（Ⅱ）作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ ＝PD+PQ′＝DQ′最短；【解答】解：（I）作DF∥AB交BC于F，作CH⊥AB于H，交DF于G．∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴CD＝，故答案为．（Ⅱ）如图构造边长为5的菱形ABEC，作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ＝PD+PQ′＝DQ′最短．故答案为：作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ＝PD+PQ′＝DQ′最短．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理、菱形的性质、垂线段最短就、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC＝4，CD ＝1，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值为．【分析】作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P，连接PE，此时PE+PC的值最小，作E′H⊥AC于H，DG⊥AB于G．设BD＝x，BG＝y．成本法求出E′H，CH，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P，连接PE，此时PE+PC 的值最小，作E′H⊥AC于H，DG⊥AB于G．设BD＝x，BG＝y．∵DA平分∠CAB，DG⊥AB，DC⊥AC，∴DG＝DC，∵AD＝AD，∴Rt△ADG∽Rt△ADC，∴DG＝DC＝1，AG＝AC＝4，∵△BGD∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，∴x＝，y＝，∵E′H∥BC，∴＝＝，∴E′H＝，AH＝，∴CH＝4﹣＝，∴PE+PC的最小值＝CE′＝＝．故答案为＝．【点评】本题考查轴对称最短问题、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．16．已知A（﹣2，0），B（0，2），P是x轴上动点，将B绕P点顺时针旋转90°得到点C，则AC+CP的最小值是2．【分析】如图，在x轴上取一点M（2，0），连接CM交y轴于N．首先证明△OBP∽△MBC，推出∠MBC＝∠BOP＝90°，推出点C在直线CN上运动，因为BC＝PC，可得AC+ PC＝CA+CB，延长BM到B′，使得MB′＝BM，连接AB′交CN于C′，此时AC′+BC′的值最小，最小值＝线段AB′的长；【解答】解：如图，在x轴上取一点M（2，0），连接CM交y轴于N．∵A（﹣2，0），B（0，2），M（2，0），∴OA＝OB＝OM＝2，∴△OBM，△PBC都是等腰直角三角形，∴∠OBM＝∠CBP＝45°，∴∠OBP＝∠MBC，∵＝＝，∴△OBP∽△MBC，∴∠MBC＝∠BOP＝90°，∴点C在直线CN上运动，∵BC＝PC，∴AC+PC＝CA+CB，延长BM到B′，使得MB′＝BM，连接AB′交CN于C′，此时AC′+BC′的值最小，最小值＝线段AB′的长，∵A（﹣2，0），B′（4，﹣2），∴AB′＝＝2，故答案为2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBE，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交AB于点D．点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则PD+PE的最小值是【分析】构建如图坐标系，利用一次函数构建方程组求出点D、E坐标，作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长；【解答】解：根据如图坐标系：由题意：A（0，6），B（8，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∵CD平分∠ACB，∴直线CD的解析式为y＝x，由，解得，∴D（，），∵CE＝DE，∴E（，），作点E关于BC的对称点E′（，﹣），连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长，∵DE′＝，∴PD+PE的最小值为，故答案为．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题，属于中考常考题型．19．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，对角线AC与BD交于点O，P、Q为BD的两个动点，且BP＝OQ，则△APQ的周长的最小值是+．【分析】BP＝OQ＝x．易知△APQ的周长＝++，欲求△QP A周长的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到E（0，）和F（，）的距离之和的最小值，作点E关于x轴的对称点E′，连接FE′交x轴于M，此时ME+MF的值最小，求出直线E′F的解析式即可；【解答】解：设BP＝OQ＝x．∵四边形ABCD是正方形，BC＝2，∴OB＝OA＝OD＝OC＝，∵BP＝OQ，∴PQ＝OB＝，∴△APQ的周长＝++，欲求△QP A周长的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到E（0，）和F（，）的距离之和的最小值，作点E关于x轴的对称点E′，连接FE′交x轴于M，此时ME+MF的值最小，∵E′（0，﹣），F（，），∴直线FE′的解析式为y＝2x﹣，∴M（，0），∴x＝时，∴△P AQ的周长最小，最小值＝+．故答案为+．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．20．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值2．【分析】如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK ＝CD，可得CD+BE＝EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长；【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，∵CD+BE＝EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，∴CG＝BC＝4，BG＝4，在Rt△KBG中，BK＝＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共30小题）。
数学八年级上人教新课标13.4课题学习 最短路径问题同步练习
数学八年级上人教新课标13.4课题学习最短路径问题同步练习[学生用书P63]1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON 上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )A．40° B．100° C．140° D．50°图13-4-62．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?图13-4-73．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P.(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．图13-4-84．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )图13-4-9A BC D5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M 和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．图13-4-106．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A )图13-4-11A．4 B．3 2C．2 D．2＋ 3参考答案【归类探究】例1略例2略【当堂测评】1．B 2.D 3.略【分层作业】1．B 2.略3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D 5.∠AOB＝30° 6.A。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题同步练习
新人教版八年级数学上册课题学习最短路径问题同步练习要点感知在解决最短路径问题时,我们平时利用_____、 _____等变换把已知问题转变成简单解决的问题 ,从而作出最短路径的选择.预习练习已知，如图 ,在直线 l 的同侧有两点A， B.(1)在图 1 的直线上找一点P 使 PA+PB最短；(2)在图 2 的直线上找一点P,使 PA-PB最长 .知识点路径最短问题1.以下列图,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△ PMN 的周长是 ( )A.7 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm2.如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的地址.3.如图,农村A，B位于一条小河的两侧,若河岸 a，b 互相平行 ,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使 A 村到 B 村的行程近来？4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD均分∠CAB,N点是AB上的必然点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点 M 的地址 .BC， CD 上分别找一点M ，N, 5.(兰州中考改编)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在使△ AMN 周长最小时 ,求∠ AMN+ ∠ ANM 的度数 .挑战自我6.(济宁中考)如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且 A、 B、C 三点不在同一条直线上，当△ ABC的周长最小时，点 C 的坐标是 ( )A.(0， 0)B.(0， 1)C.(0， 2)D.(0， 3)参照答案课前预习要点感知轴对称平移预习练习(1)作点 B 关于直线l 的对称点C,连接 AC交直线 l 于点 P,连接 BP.点 P 即为所求 .图略 .(2)连接 AB 并延长 ,交直线 l 于点 P.图略 .当堂训练1.C2.作点C关于AB的对称点C′ ,连接 C′ D 与 AB 的交点为 E 点 .图略 .3.①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D 作 DE∥ AA′交 a 于点 C；④连接 AC.则 CD即为桥的地址 .图略 .课后作业4.连接NC与AD的交点为M 点 .点 M 即为所求 .图略 .5.作A关于BC和CD的对称点A′，A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,连接AM，AN，则A′A″即为△AMN 的周长最小值 .作DA 延长线AH.∵∠DAB=120°,∴∠HAA′=60° .∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60 ° .∵∠ MA ′ A=∠ MAA ′ ,∠ NAD=∠ A″ ,且∠ MA′ A+∠ MAA′ =∠ AMN, ∠ NAD+∠ A″ =∠ANM,∴∠ AMN+ ∠ANM= ∠ MA′ A+∠ MAA′ +∠ NAD+∠ A″ =2(∠AA′ M+ ∠A″ )=2× 60°=120° .6.D。
初中数学同步训练人教8年级上册：第10课时 13.4 课题学习 最短路径问题
第十三章 轴对称第10课时 13.4课题学习 最短路径问题一、 课前小测——简约的导入二、典例探究——核心的知识例1 如果A,B 两个村庄位于小河MN 的同侧，如图3,为了解决两村村民的喝水问题，政府决定在小河边挖一口井，并使井到A,B 两村距离和最短，请你找出适合挖井的位置.NMBA图3例2 如图4，点P 为马厩，AB 为草地边缘（下方为草地），CD 为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.三、平行练习——三基的巩固3. 如图5，有A,B,C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到这三个小区的距离相等，画出表示超市的点P.4. 如图6，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求一点M ，使△MEF周长最短.四、变式练习——拓展的思维例4 如图7，牧童在A 处放牛，他的家在B 处，L 为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一饮水，在何处，牧童所走的路程最短？图7变式1 如图8，已知点A(-2，1)及点B(3，4)，在x 轴上取一点C ，通过作图可知，当点C 的坐标为 时，使得AC+BC 最小.变式2 如图9，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M ，N 表示大家，OA ，OB•表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．五、课时作业——必要的再现5. 如图10，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A,B 提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A,B 到它的距离之和最短？图10 6. 如图11，EFGH 为矩形台球桌面，现有一白球A 和一彩球B .应怎样击打白球A ,才能使白球A 碰撞台边EF ,反弹后能击中彩球B?图117. 如图12，已知一辆汽车在直线公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄． （1）设汽车行驶到公路AB上点P 位置时，距村庄M 最近，行驶到Q 时，距村庄N 最近，•请在图中公路上分别画出点P ，Q （保留作图痕迹）．（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路上的哪一段路上距M ，N 两村越来越近？在哪一段上距离村N 越来越近，而离村M 越来越远？（用文字说明，不必证明）（3）在公路AB 上是否存在一点H ，使汽车行驶到该村时，与村M ，N 距离相等？如果存在，请画出；如果不存在，请说明理由．图12街道 居民区B · 居民区A · F答案1. B.2. 垂直平分线，角的平分线.例1 点P 为井的位置,如图1所示:例2作法(如图2)：（1）分别作点P 关于AB ,CD 的对称点'P ,''P ； （2）连结'"P P ，分别交AB ,CD 于点M ,N ； （3）分别连结MP ,NP .因为',"PM P M PN P N ==，且"P ,N ,M ,'P 在同一条直线上，此时PM MN NP ++为最小. 所以沿PM ,MN ,NP 行走为最佳路线.图2 3. 分别作AB,AC 的中垂线,相交于P,则P 为所求. 4. 作法:（1）作点E 关于直线L 的对称点E′； （2）连接E′F 交BC 于点M ； （3）连接EM,FM,EF. 则△MEF 周长最短. 例4作法：（1）作点A 关于直线L 的对称点A′； （2）连接A′B 交L 于点P. 点P 就是所求的点． 变式1 (-1,0).变式2（1）∠MON 的平分5. 作A 关于街道的对称点C ，连接BC ，与街道交于D ，则牛奶站应建在D 处.6. 作AB 的垂直平分线，交EF 于K ，对着K 击打白球A,就能使白球A 碰撞台边EF,反弹后能击中彩球B.7. 作图略. （1）过点M 同AB 作垂线，垂足P 就是所求P 点，过点N 向AB 作垂线，垂足Q 就是所求Q 点． （2）当汽车从A 向B 行驶时，在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，•离村庄M 越来越远，而离村庄N 越来越近．（3）点H 存在，连接MN ，作MN 的垂直平分线交AB 于H ，点H 就是所求的点．M N ABP'图2-2。
人教版八年级数学上册同步练习13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题一、选择题（共16小题；共80分）1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是A. B.C. D.2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足A. B.C. D.3. 四边形中，，，在，上分别找一点，，使三角形周长最小时，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时A. B. C. D.7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是A. B. C. D.9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，此时，A. B. C. D.10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点，上有一动点．若周长最小，则最小周长是A. B. C. D.11. 如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为A. B. C. D.12. 如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，为上一点，且，平分交于．若是上的动点，则的最小值等于A. B. C. D.14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A. C. D.15. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）17. 与的最小公倍数是．18. 如图，在中，是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长的最小值为．19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使，，三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．20. 已知，点在的内部，点是边上任意一点，点是边上任意一点，连接，，当的周长最小时，的度数为．21. 如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值为．三、解答题（共3小题；共45分）22. 如图，已知直线及其同侧两点，，在直线上找一点，使得的长度最小．23. 如图，点，在的内部，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，求作点，，使得的长最短．作法：24. 如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?答案第一部分1. D2. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接．根据轴对称的性质，得，根据对顶角相等知，所以．3. C4. D5. B6. B7. A 【解析】如图所示.过点作的对称点，连接，与的延长线交于点 .此时，为最小值 .点在线段上，点在点处.的最小值为．8. B 【解析】如图连接，，，，，，，，，共线时，的值最小，最小值为的长度．9. D10. B【解析】设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即，作与相交于，并将延长一倍到，即，连接与相交于，与相交于，再连接，，连接，，则即为周长最短的三角形，是的垂直平分线，；同理，是的垂直平分线，，的周长，，且，是等边三角形，，即在保持的条件下的最小周长为．11. D 【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线 .，...，，..12. C 【解析】连接．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，13. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，作于．，，，，，，，，，故选：D．14. D 【解析】如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．15. B【解析】分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，，如图所示：此时的周长取最小值．，，，，，，，．16. B第二部分17.18.19.【解析】如图，连接．，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．20.【解析】如图，过点作关于，的对称点，，连接，与，相交与点，，则此时的周长最小，为线段的长度；，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：．21.第三部分22. 过点作直线的垂线，垂足为点，截取，连接，则与的交点就是点．23. 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点交于，交于，则最短．24. 作关于的对称点，连接交于，点即为所求作的点，则可得：（千米），所以（千米），所以（千米），总费用为万元．。
课题学习 最短路径问题 同步练习 人教版数学八年级上册
八年级数学上学期13.4《最短路径问题》同步练习一、选择题：1．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（）A. B. C. D.2.如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC的长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A. 6B. 4C. 3D. 2第2题第3题3．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．6 B．12 C．16 D．204.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC 的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为()A. 12cmB. 8cmC. 6cmD. 2cm第4题第5题5．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E、F为AC、BC上的动点，且CF=AE，连接BE，AF，当BE+AF取得最小值时，则AE：BF的值为()A. 0.5B. 1C. √2第6题第7题7．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°8.在如图所示的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最小，则点P应选在()A. C点B. D点C. E点D. F点二、填空题9.在平面直角坐标系中，点P （2，0），Q （2，4），在y轴有一点M，若PM + QM最小，则M的坐标为．10.如图，∠BAC=30°，AB=4，点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是______．11.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．第11题第12题12.如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为．三、解答题13.如图，方格纸中每个小正方的边长均为1cm，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．(1) 在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；(2) 在图中AE上画出点G，使△CDG周长最小；(3) 连接FG，请直接写出△EFG的面积cm2．14.如图所示，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村往Q村，要经过两座桥EF、MN.现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥EF、MN的位置，使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和大桥的位置)15．点P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称，P1P2交OA、OB于M、N，若P1P2=8，则△MPN的周长是多少？16.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．(1)求证：△ABC≌△BDF；(2)P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF=5，AC=9，求AN+PN的最小值．。
人教版八年级数学上册同步练习题 第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题
人教版八年级数学上册同步练习题第十三章轴对称13.4 课题学习--最短路径问题一、单选题1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间2．已知两点M（3（5（（N（1（（1），点P是x轴上一动点，若使PM（PN最短，则点P的坐标应为（）A．（12（（4（B．（23（0（C．（43（0（D．（32（0（3．平面直角坐标系xOy中，已知A(（1（0)（B(3（0)（C(0（（1)三点，D(1（m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（（A．13B．23C．43D．834．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜35．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．86．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④7．如图，ABC ∆中，BAC 90︒∠=，6AB =，10BC =，8AC =，BD 是ABC ∠的平分线.若P 、Q 分别是BD 和AB 上的动点，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．58．如图，在矩形ABCD 中8AB =，16BC =，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为( )A ．6B ．12C ．D ．9．A ，B ，C 三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )A ．在A 的左侧B ．在AB 之间C ．在BC 之间D ．B 处10．A（B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上C ．线段AB 的反向延长线上D ．直线l 上二、填空题11．如图，在Rt（ABC中，（ACB（90°（（ABC（60°（BC（4（E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1（EF（____（（2）若D是BC边上一动点，则（EFD的周长最小值是____（12．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值_____cm．13．如图，已知（AOB=45°（（AOB内有一点（M为射线OA上一动点，N为射线OB上一动点，则PM+MN+PN的最小值为________（14．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新人教版八年级数学上册同步练习：13.4 课题学习最短路径问题一．选择题（共10小题）1．（2015•内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．2D．2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角3．（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．64．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°6．（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B． 5 C． 6 D．77．（2014•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．B． 4 C．D．58．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B． 1 C．2 D．29．（2014•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB上的动点，E是BC 上的动点，则AE+DE的最小值为（）A．3+2B．10 C．D．10．（2013•济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）二．填空题（共17小题）11．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．12．（2015•玉林）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．13．（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．14．（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）．15．（2015•安顺）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．16．（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．17．（2014•资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．18．（2014•东营）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．19．（2014•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是．20．（2014•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．21．（2014•黔东南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B （2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．22．（2014•锦州）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是．23．（2014•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB 的最小值为．24．（2014•无锡）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．25．（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．26．（2014•莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．27．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．三．解答题（共2小题）28．（2014•齐齐哈尔）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x 轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．29．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．13.4 课题学习最短路径问题3参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）A．B．2C．2D．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解答：解：由题意，可得BE与AC交于点P．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角考点：轴对称-最短路线问题．分析：利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．解答：解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据轴对称求最短路线的方法得出M点位置，进而利用勾股定理及面积法求出CC′的值，然后再证明△BCD∽△C′NC进而求出C′N的值，从而求出MC+NM的值．解答：解：如图所示：由题意可得出：作C点关于BD对称点C′，交BD于点E，连接BC′，过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小，∵AB=10，BC=5，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD==5，∵S△BCD=•BC•CD=BD•CE，∴CE===2，∵CC′=2CE，∴CC′=4，∵NC′⊥BC，DC⊥BC，CE⊥BD，∴∠BNC′=∠BCD=∠BEC=∠BEC′=90°，∴∠CC′N+∠NCC′=∠CBD+∠NCC′=90°，∴∠CC′N=∠CBD，∴△BCD∽△C′NC，∴，即，∴NC′=8，即BM+MN的最小值为8．故选B．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．4．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°考点：轴对称-最短路线问题．分析：据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=80°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，且∠EA′A+∠EAA′=∠AEF，∠FAD+∠A″=∠AFE，∴∠AEF+∠AFE=∠EA′A+∠EAA′+∠FAD+∠A″=2（∠AA′E+∠A″）=2×50°=100°∴∠EAF=180°﹣100°=80°，故选D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．5．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6．（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B． 5 C． 6 D．7考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理．分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．∵N关于AB的对称点N′，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，∵N是弧MB的中点，∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，∴∠MON′=60°，∴△MON′为等边三角形，∴MN′=OM=4，∴△PMN周长的最小值为4+1=5．故选B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．（2014•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．B． 4 C．D．5考点：轴对称-最短路线问题．分析：过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC 的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．解答：解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴AB===10．∵S△ABC=AB•CM=AC•BC，∴CM===，即PC+PQ的最小值为．故选：C．点评：本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．8．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B． 1 C．2 D．2考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为PA+PB的最小值．解答：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×1=，即PA+PB的最小值=．故选：A．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．9．（2014•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB上的动点，E是BC 上的动点，则AE+DE的最小值为（）A．3+2B．10 C．D．考点：轴对称-最短路线问题．分析：作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，根据轴对称确定最短路线问题，A′D的长度即为AE+DE的最小值，利用勾股定理列式求出AB，再利用∠ABC 的正弦列式计算即可得解．解答：解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′=2AC=2×6=12，∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6，∴AB===10，∴sin∠BAC===，∴A′D=AA′•sin∠BAC=12×=，即AE+DE的最小值是．故选D．点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了勾股定理，垂线段最短，锐角三角函数的定义，难点在于确定出点D、E的位置．10．（2013•济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：根据轴对称作最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C 点坐标．解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，则B′E=4，即B′E=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故选：D．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．二．填空题（共17小题）11．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．解答：解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值为．故答案为：．点评：本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．12．（2015•玉林）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是3．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．专题：计算题．分析：根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．解答：解：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴=，即=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S BEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，故答案为：．点评：本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．13．（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．考点：轴对称-最短路线问题．分析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．解答：解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==．故答案为．点评：本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．14．（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD 相交，得点F，线段AE，AF即为所求．．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．专题：作图题．分析：（1）根据勾股定理得出DB=5，进而得出AF=2.5，由勾股定理得出AE=，再解答即可；（2）首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K，根据，得BP=BH==4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF 的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G 使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．解答：解：（1）根据勾股定理可得：DB=，因为BE=DF=，所以可得AF==2.5，根据勾股定理可得：AE=，所以AE+AF=，故答案为：；（2）如图，首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K，根据，得BP=BH==4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．故答案为：取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．点评：此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答．15．（2015•安顺）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．解答：解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4，所以E′F=．故答案为：．点评：本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．16．（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为36﹣54．考点：轴对称-最短路线问题．分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN 的周长最小，此时△COD是等边三角形，求得三角形PMN和△COD的面积，根据四边形PMON的面积为：（S△COD+S△PMN）求得即可．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=6．∵∠POC=∠POD，∴OP⊥CD，∴OQ=6×=3，∴PQ=6﹣3，设MQ=x，则PM=CM=3﹣x，∴（3﹣x）2﹣x2=（6﹣3）2，解得x=6﹣9，∴S△PMN=MN×PQ=MQ•PQ=（6﹣9）•（6﹣3）=63﹣108，∵S△COD=×3×6=9，∴四边形PMON的面积为：（S△COD+S△PMN）=×（72﹣108）=36﹣54．故答案为36﹣54．点评：此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．17．（2014•资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．专题：计算题．分析：连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE 的最小值，进而可得出结论．解答：解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE===5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．18．（2014•东营）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM 的最小值是8cm．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．分析：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解．解答：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，=，∴=，∵==，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．故答案为：8．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．19．（2014•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是5．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．专题：几何图形问题．分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=AC=3，BP=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．20．（2014•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．专题：计算题．分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．解答：解：如图，连接AE，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，∴BE=1，∴AE==，故答案为：．点评：此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．21．（2014•黔东南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；一次函数图象上点的坐标特征．分析：利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA′=1，进而利用勾股定理得出即可．解答：解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，由题意可得出：OA′=1，BO=2，PA′=PA，∴PA+PB=A′B==．故答案为：．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键．22．（2014•锦州）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．专题：几何综合题．分析：作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，再由轴对称的性质可知DE=DE′=1，故可得出△AE′D是直角三角形，由菱形的性质可知∠PDE′=∠ADC=30°，根据锐角三角函数的定义求出PE的长，进而可得出PC的长．解答：解：如图所示，作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，∵菱形ABCD的边长为2，E是AD边中点，∴DE=DE′=AD=1，∴△AE′D是直角三角形，∵∠ABC=60°，∴∠PDE′=∠ADC=30°，∴PE′=DE′•tan30°=，∴PC===．故答案为：．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．23．（2014•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB 的最小值为2．考点：轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．专题：几何动点问题．分析：要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解．解答：解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴B点关于EF的对称点C点，∴AC即为PA+PB的最小值，∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AD=2，∴PA+PB的最小值=AB•tan60°=．故答案为：2．点评：考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．24．（2014•无锡）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是3．。