江苏省如皋中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题

2012～2013学年度第一学期期中高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}24M x x =<，{}ln 0N x x x =>，则集合M N = ▲ ．2．已知向量(cos35,sin 35),(cos65,sin 65)a b =︒︒=︒︒，则向量a 与b 的夹角为▲ ．3．设直线l 是曲线3()32f x x x =-+上的一条切线，则切线l 斜率最小时对应的倾斜角为 ▲ ．4．2sin 2sin cos y x x x =+的周期是 ▲ ．5．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ． 6．若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x = ▲ ．7．已知向量,a b 满足||5,||13a b == ，65cos ,65a b <>= .若ka b + 与3a b - 垂直，则k = ▲ ．8．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ 2cm ．9．等差数列{}n a 中，已知27a ≤，69a ≥，则10a 的取值范围是 ▲ ．10．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量,,OA OB OC满足()[2'(1)]l n O A f x f x O B x O C =+-⋅ ，则函数()y f x =的表达式为 ▲ ．11．已知3()log (3)f x x =-，若实数,m n 满足()(3)2,f m f n +=则m n +的最小值为 ▲ ．12．过点C (2，5)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则12r r += ▲ ． 13．给出以下命题：QPA 1D 1A DBCC 1B 1（1）在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的必要不充分条件；（2）在△ABC 中，若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 一定为锐角三角形； （3）函数11y x x =-+-与函数{}sin ,1y x x π=∈是同一个函数；（4）函数(21)y f x =-的图象可以由函数(2)y f x =的图象按向量(1,0)a =平移得到.则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）． 14．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，则{}n a 的前40项和为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f .()y f x =图像的一条对称轴是直线8π=x ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）若3(),(0,)25f ααπ=∈，试求5()8f πα+的值.16．（本题满分14分）长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，2AB =，P 、Q 分别是1CD 和1A A 的中点，求证：（1）PQ ABCD 面；（2）面11DPQ BB D D ⊥面.已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈ (1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； (2)若()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围.18．（本题满分16分）已知曲线C ：2222(-1)120x y ax a y a +---+=.（1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；（2）当1a ≠时，若曲线C 与直线21y x =-相切，求a 的值.；（3）对所有的a R ∈且1a ≠，是否存在直线l 与曲线C 总相切？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由.各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式； （2）若12231111n n k a a a a a a ++++< 恒成立，求k 的取值范围； (3)对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)mm内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .20．（本题满分16分）设函数32()f x ax bx cx d =+++是奇函数，且当33x =-时，()f x 取得极小值239-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求使得方程11()4033f x nx n '--++=仅有整数根的所有正实数n 的值； （3）设()|()(31)|g x f x t x =+-，（[1,1]x ∈-），求()g x 的最大值()F t ．武进区2012～2013学年度第一学期期中调研测试高三文科数学试题评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．()1,2 2．30︒ 3．120︒ 4．π 5．32 6．10 7．19 8．1628+ 9．[)11,+∞ 10．()2ln 13xf x x =-+ 11．234+ 12．14 13．（2）、（3） 14．420二、解答题：（本大题共6道题，计90分） 15．（本小题满分14分） 解：（1）∵8π=x 是函数()y f x =的图象的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴Z k k ∈+=+,24ππϕπ，………………2分∵－0<<ϕπ，∴43πϕ-=， ………………4分 故3()sin(2) 4f x x π=-………………6分 （2）因为3(),(0,)25f ααπ=∈，所以33sin()45πα-=，34cos()45πα-= ………………8分故333333sin sin[()]sin()cos cos()sin444444ππππππαααα=-+=-⋅+-⋅ ＝2432()25510-= ………………11分 而553()sin[2()]sin(2)cos 28842f ππππαααα+=+-=+=＝2222412sin 12()1025α-=-=. 所以，524()825f πα+=. ………………14分MQPA 1D 1A DBCC 1B 116．（本题满分14分）证明：⑴ 取CD 中点M ，连接AM 、PM .P 、Q 分别是1CD 和1A A 的中点，112PM D D ∴ ，112PM D D =， (2)分PM AQ ∴ ，PM AQ =，∴四边形AMPQ 是平行四边形，PQ AM ∴ ， (5)分又AM ABCDPQ ABCD ⊂⎧⎨⊄⎩面面，PQ ABCD ∴ 面. (7)分⑵ 1AD =，2AB =，22DM =，2AD AB DM ∴=⋅， ADM BAD ∴∆∆～， DAM ABD ∴∠=∠，AM BD ∴⊥，PQ AM ，PQ BD ∴⊥， ………………10分又 长方体1111ABCD A B C D -，1B B ABCD ∴⊥面，AM ABCD ⊂ 面，1B B AM ∴⊥，AM PQ ，1PQ B B ∴⊥，………………12分 又111111BD B B B BD BB D D B B BB D D=⎧⎪⊂⎨⎪⊂⎩ 面面，11PQ BB D D ∴⊥面，PQ DPQ ⊂ 面∴面11DPQ BB D D ⊥面.………………………14分17．（本题满分14分） 解：(1) ()'11ln ()1x f x x xf x x x-=-=-=…………………………2分 ∴当01x <<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减；当1x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增. ………………4分 ∴当()f x 的极小值为()11f =，()f x 无极大值………………………………6分 （2）法一：∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈， ∴ln 3ax x -≥在(]0,x e ∈上恒成立，即3ln xa x x ≥+在(]0,x e ∈上恒成立，………………8分 令3ln ()xg x x x=+，(]0,x e ∈，∴'22231ln 2ln ()x xg x x x x -+=-+=-………………10分 令'()0g x =，则21x e=，当210x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增，当21x e e<<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减， ………………12分 ∴222max 21()()32g x g e e e e==-=，∴2a e ≥. ………………14分法二：由条件：ln 30ax x --≥在(]0,x e ∈上恒成立 令()ln 3g x ax x =--，(]0,x e ∈，'11()ax g x a x x-=-=， ………………8分 11a e≤时，'()0g x ≤恒成立，∴()g x 在(]0,e 上递减， ∴min ()()4g x g e ae ==-；由条件知40ae -≥∴4a e ≥与1a e<矛盾. ………………10分 12a e > 时，令'()0g x =，∴1x a =当10x a <<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递增，当1x e a<<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递减， max 1()()ln 2g x g a a==-，∴ln 20,a -≥ ………………12分 即2a e ≥. ………………14分 18．（本题满分16分）解：(1)证明:曲线C 的方程可变形为()()22212220x y y x y a ++-+--+=，由222102220x y y x y ⎧++-=⎨--+=⎩， ………………2分解得10x y =⎧⎨=⎩，点()1,0满足C 的方程，故曲线C 过定点()1,0. ………………4分 (2)原方程配方得()()()222121x a y a a -+-+=-;由于1a ≠，所以()2210a ->， 所以C 的方程表示圆心是(),1a a -，半径是21a -的圆. ………………6分由题意得圆心到直线距离5a d =， ………………8分∴215a a -=，解得10109a ±=. ………………10分 （3）法一：由（2）知曲线C 表示圆设圆心坐标为()y x ,，则有1x ay a =⎧⎨=-⎩，消去a 得1y x =-，故圆心必在直线1y x =-上.又曲线C 过定点()1,0，所以存在直线l 与曲线C 总相切， ………………12分 直线l 过点()1,0且与直线1y x =-垂直；∴l 方程为(1)y x =--即1y x =-+. ………………16分 法二：假设存在直线l 满足条件，显然l 不垂直于x 轴，设:l y kx b =+，圆心到直线距离211ka b a d k+-+=+，∴21211ka b a a k+-+=-+对所有的a R ∈且1a ≠都成立，………………12分即22222(1)2(21)2(1)(1)0k a k k kb b a k b +-++-+++-+=恒成立∴2222(1)02102(1)(1)0k k k kb b k b ⎧+=⎪++-+=⎨⎪+-+=⎩∴11k b =-⎧⎨=⎩∴存在直线l ：(1)y x =--即1y x =-+与曲线C 总相切. ………………16分 19．（本题满分16分）解：(1)212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2-1-11,22n n a S n +⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，两式相减得22-111,222n n n a a a n ++⎛⎫⎛⎫=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………………2分整理得()()-1-120n n n n a a a a +--=，数列{}n a 的各项均为正数，-12,2n n a a n ∴-=≥，{}n a ∴是公差为2的等差数列， ………………4分又21112a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得11a =，∴21n a n =-. ………………5分（2）由题意得12231max 111n n k a a a a a a +⎛⎫>+++⎪⎝⎭ ，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 12231111111111123352121n n a a a a a a n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ ………………8分 ∴12k ≥………………10分 (3)对任意m N +∈，22212m m n <-<，则121112222m m n --+<<+，而*N n ∈，由题意可知21122m m m b --=-， ………………12分于是132101112222(222)m m m m S b b b --=+++=+++-+++()2121212221222232121121233m m m m m m+++----⋅+=-=--=--， 即2123213m m m S +-⋅+=. ………………16分20．（本题满分16分）解：（1）()f x 为奇函数，0b d ∴==， ………………2分又由3()03f '-=及323()39f -=-，得1,1a c =-=， 3()f x x x ∴=-+； ………………4分当33x <-时，()0f x '<，当3333x -<<时()0f x '>， ()f x ∴在33x =-时取得极小值，3()f x x x ∴=-+为所求 ………………5分 （2）方程11()4033f x nx n '--++=化简得： 240x nx n -+=，因为方程仅有整数解，故n 为整数，又由2(4)x n x =-及0n >知，40x ->. ………………7分又216(4)84(4)x n x x x ==-++--，故4x -为16的正约数， ………………9分 所以41,2,4,8,16x -=，进而得到16,18,25n =. ………………10分 （3）因为3()|3|,[1,1]g x x tx x =-∈-是偶函数，所以只要求出()g x 在[0,1]上的最大值即可.记3()3h x x tx =-， 22()333()h x x t x t '=-=-，（1）0t ≤时，()0h x '≥，()h x 在[0,1]上单调增且()(0)0h x h ≥=.∴()()g x h x =，故()(1)13F t h t ==-； ………………12分（2）0t >时，由()0h x '=得，,x t =和x t =-，①当1t ≥即1t ≥时，()h x 在[0，1]上单调减， ∴()(0)0h x h ≤=，故()()g x h x =-，()(1)31F t h t =-=-； ………………14分②当1t <即01t <<时，()h x 在(0,)t 单调减，(,1)t 单调增，（Ⅰ）当12t t <≤，即114t ≤<时，|()||(1)|h t h >，∴()()2F t h t t t =-=， （Ⅱ）当21t <，即104t <<时，(1)2h t t >，∴()(1)13F t h t ==-，综上可知，113,41()2,1431,1t t F t t t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩. ………………16分。