高一数学期末复习知识提纲(必修5+2)

2007－08 学年高一数学期末复习知识提纲
一、高中数学必修 5 知识点
（一）解三角形： 1、 正弦定理： 在 ΔΑΒC 中，a 、b 、c 分别为角 Α 、Β 、C 的对边， ， 则有 ( R 为 ΔΑΒC 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式：① a = 2 R sin Α ， b = 2 R sin Β ， c = 2 R sin C ； ② sin Α =
(
)
y − y1 x − x1 （ x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ）直线两点 (x1, y1 )， (x2 , y2 ) = y2 − y1 x2 − x1 x y ④截矩式： + =1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截 距 分别为 a, b 。
n
> 0 ⇒ ac > bd ； ⑧ a > b > 0 ⇒ a > n b ( n ∈ Ν, n > 1) ．
⇒ a+c >b+d ； ⑦ a > b > 0 ⇒ a > b ( n ∈ Ν, n > 1) ；
n n
小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商） 、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式： ax 2 线性规划问题： 1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格； （2）列出约束条件与目标函数； （3）根据求最值方法：①画：画可行域； ②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； 两类主要的目标函数的几何意义: ①z （4）验证。 （2）求出对应的一元二次方程的根； + bx + c > 0,(a > 0) ； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 （3）画出对应的二次函数的图象；
= x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；
注 意 ： 当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一 点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ② 斜 截 式 ： y = kx + b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b
a+b 称为正数 a 、 b 的算术平均数， ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数． 2 5、均值定理的应用：设 x 、 y 都为正数，则有
s2 ⑴若 x + y = s （和为定值） ，则当 x = y 时，积 xy 取得最大值 ． 4
⑵若 xy = p （积为定值） ，则当 x = y 时，和 x + y 取得最小值 2
4．数列{an}及前 n 项和之间的关系:
⎧常数列:an = 2 ⎪ n ⎪递增数列:an = 2n + 1, an = 2 按单调性 ⎨ 2 ⎪递减数列:an = − n + 1 ⎪摆动数列:a = ( −1) n ⋅ 2n ⎩ n
⎧ S1 , (n = 1) an = ⎨ ⎩ Sn − S n −1 , (n ≥ 2)
a b c = = = 2R sin Α sin Β sin C
a b ， sin Β = ， sin C = c ；③ a : b : c = sin Α : sin Β : sin C ； 2R 2R 2R
ΔΑΒC
3、三角形面积公式： S
=
1 1 1 bc sin Α = ab sin C = ac sin Β ． 2 2 2
p．
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。 1 错 例 分 析 : x ∈ R, y = x 2 + 4 + ≥2 2 x +4 错解原因：
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二、高中数学必修 2 知识点 一、直线与方程
（ 1） 直 线 的 倾 斜 角 定义：x 轴正 向 与直线向 上 方 向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重 合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° （ 2） 直 线 的 斜 率 ①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k = tan α 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当α ∈
二、圆的方程
1、圆 的 定 义 ：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、 圆 的 方 程
+ ( y − b ) = r 2 ，圆心 (a, b)，半径为 r； （ 2） 一 般 方 程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
（ 1） 标 准 方 程 ( x − a ) 当D
Sn = a1 + a2 + a3 + K + an
5．等差数列与等比数列对比小结： 等差数列 一、 定义
等比数列
an = q ( n ≥ 2) an −1
an − an−1 = d (n ≥ 2)
1． an = a1 + ( n − 1) d
1． an = a1q n −1
二、 公式
an = am + ( n − m ) d , ( n > m )
[0 ,90 )时， k ≥ 0 ；

当α ∈
(90 ,180 )时， k < 0 ；

当α
= 90 时， k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式： k = 注意下面四点：(1)当 x1
y 2 − y1 ( x1 ≠ x2 ) x2 − x1
(2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （ 3） 直 线 方 程 ① 点 斜 式 ： y − y1 = k ( x − x1 ) 直线斜率 k，且过点 x1, y1
1． a, b, c成等差 ⇔ 2b = a + c ， 称 b 为 a 与 c 的等差中项 三、 性质
*
1． a, b, c成等比 ⇔ b 2
= ac ，
称 b 为 a 与 c 的等比中项 则 am ⋅ an = a p ⋅ aq
2． 若m+n = p+q （m 、 ， 2． 若m+n = p+q （m 、 ， n 、p 、 n 、p 、 q ∈ Ν* ） q∈Ν ） 则 am + an = a p + aq 3． S n ， S 2 n
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A1 x + B1 y + C1 = 0 交点坐标即方程组 ⎧ 的一组解。 ⎨ A x + B y + C = 0 2 2 ⎩ 2
方程组无解 ⇔ l1 // l 2 ； 则 | AB |= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 （ 9） 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 一点 P(x0 , y0 ) 到直线 l1 : Ax + By + C 方程组有无数解 ⇔
l1 与 l 2 重合
（ 8） 两 点 间 距 离 公 式 ： 设 A( x1 , y1 )，（ 是平面直角坐标系中的两个点， B x2 , y2）
= 0的距离 d =
Ax0 + By 0 + C A2 + B 2
（ 10） 两 平 行 直 线 距 离 公 式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
2
2
2
1 D E ⎞ ，半径为 + E 2 − 4 F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为 2 2
2
D 2 + E 2 − 4F
当 D + E − 4 F = 0 时，表示一个点； 当 D + E − 4 F < 0 时，方程不表示任何图形。 （ 3） 求 圆 方 程 的 方 法 ： 一 般 都 采 用 待 定 系 数 法 ：先 设 后 求 。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （ 1 ）设直线 l : Ax + By + C = 0 ，圆 C : (x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 ，圆心 C
an = am q n − m , (n − m)
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2． S n =
n ( n − 1) n ( a1 + an ) = na1 + d 2 2
2．
⎧ na1 ( q = 1) ⎪ S n = ⎨ a1 (1 − q n ) a − a q n = 1 ( q ≠ 1) ⎪ 1− q ⎩ 1 − q
③两点式： ⑤ 一 般 式 ： Ax + By + C 1 各式的适用范围 注意：○
= 0 （ A， B 不 全 为 0）
2 特殊的方程如： ○ 平行于 x 轴的直线： y = b （b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： x = a （a 为常数） ； （ 5） 直 线 系 方 程 ： 即 具 有 某 一 共 同 性 质 的 直 线 （一）平行直线系 平 行 于 已 知 直 线 A0 x + B0 y + C0 = 0 （ A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ） 的 直 线 系 ：