2.2.1向量加法运算及其几何意义最后一次更新
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课件5：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
题型三 向量加法的应用
例 3 某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/小时，他在水流速度为 4 千米/小时 的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速 度大小为多少？ 解：如图，设此人游泳的速度为O→B，水流的速度为O→A， 以O→A，O→B为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为O→A＋O→B＝O→C. 由勾股定理知|O→C|＝8，且在 Rt△ACO 中，∠COA＝60°， 故此人沿与河岸成 60°的夹角 顺着水流的方向前进，速度大小为 8 千米/小时．
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600( km)． 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km， 方向为北偏东 80°.
变式训练 3 在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位地按北偏东 35°的方向飞行 800 km， 从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
答案：0
题型一 已知向量作和向量
[课堂探究]
例 1 如图，已知三个向量 a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则分别 作向量 a＋b＋c.
解：利用三角形法则作 a＋b＋c，如图①所示，作O→A＝a，以 A 为起点， 作A→B＝b，再以 B 为起点，作B→C＝c， 则O→C＝O→B＋B→C＝O→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋c. 利用平行四边形法则作 a＋b＋c，如图②所示，作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 以O→A、O→B为邻边作▱OADB，则O→D＝a＋b，再以O→D、O→C为邻边作▱ODEC， 则O→E＝O→D＋O→C＝a＋b＋c.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
1、不共线
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
2、 共线
(1)同向
a
a+ b
b
(2)反向
a
b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |< | a | + | b |
练习1：如图：已知向量 a 、 b用向量加法的三角形法则作出 a b。
(1) （2）
ab
a
(3)
b
b
a
ab ab
(4)
a
a
b
ab
b
练习2：如图，已知
a 、b
，用向量加法的平行四边形法则作出 a b
数的加法满足交换律与结合律,即对任 意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量a,b的加法是否也满足交换律 与结合律?
D D a a+b b B C
a+b+c
A a B b+c a+b
c C b
b
A a
a+ b = b+ a ( a + b) + c = a + (b + c )
(2)
。
(1)
b a
2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义
(
)
点评：封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量．
跟踪训练 1．已知下列各式： → → → → → → → ＋BO＋OM ①AB＋BC＋CA；② AB＋MB → → → → → → → → ③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC
(
)
其中结果为0的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
→ ；③ → ；④0. 解析：①0；② AB BA
驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2.
→ 解析： 表示水流速度，AD 表示 AB 渡船速度，→ 表示船的实际速度． AC
AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB＝ 4×cos 60°＝2，
→
AD＝4×sin 60°＝2 3 .
∴v1＝2 3 km/h，v2＝2 km/h.
它们的异同．
解析：我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数 间的运算，今天又学到了向量间的运算．对于两个向量， 通过三角形法则或平行四边形法则，有唯一的和向量与之 对应．一般的，对于两个对象，通过一个法则都有唯一确
定的对象与之对应，这就是运算．运算可以帮助我们解决
很多的问题．
自测自评 1．下列等式正确的个数是( C ) ①a＋0＝a ②b＋a＝a＋b ＝0 ⑤a＋(－b)＝a－b A．2 B．3 ③－(－a)＝a ④a＋(－a) C．4 D．5
就是向量的和．这 种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则， 如图：
特殊情况：
4．运算律
(1)向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)向量加法的结合律：__________________. 练习1：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向 量a，b求和都适用？ 三角形法则适合所有向量，平行四边形法则对于两个 向量共线时不适用．
课件4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
解：如图，设A→B表示水流速度，则A→C表示船航行的 实际速度，作 AD BC，则A→D即表示船航行的速度． 因为 AB ＝4 3， AC ＝12，∠CAB＝90°，
所以 tan∠ACB＝4123＝ 33， 即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. 所以 AD ＝8 3，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为 8 3 km/h，方向与水流方向所成角为 120°.
答பைடு நூலகம்：D
2.设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所示，化简下 列各式： (1)D→E＋E→A＝___D_→_A___； (2)B→E＋A→B＋E→A＝___0___； (3)D→E＋C→B＋E→C＝____D→_B___； (4)B→A＋D→B＋E→C＋A→E＝____D→_C___.
3.如图所示，在四边形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 试判断四边形的形状．
跟踪训练 3 某人在静止的水中的游泳速度为 2 3 km/h，如果 他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为 2 km/h，那么 他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ 解：设此人在静水中的游泳速度为O→A，水流的速 度为O→B，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB， 如图所示，则此人的实际速度为O→C＝O→A＋O→B. 根据勾股定理知|O→C|2＝|O→A|2＋|O→B|2＝12＋4＝16， ∴|O→C|＝4. 又在 Rt△OBC 中，cos∠BOC＝||OO→→CB||＝24＝12. 所以此人沿与河岸夹角为 60°方向前进，速度大小为 4 km/h.
(2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B ＝(B→C＋C→D)＋D→B ＝B→D＋D→B ＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A ＝0. 小结 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意 各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．
所以 tan∠ACB＝4123＝ 33， 即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. 所以 AD ＝8 3，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为 8 3 km/h，方向与水流方向所成角为 120°.
答பைடு நூலகம்：D
2.设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所示，化简下 列各式： (1)D→E＋E→A＝___D_→_A___； (2)B→E＋A→B＋E→A＝___0___； (3)D→E＋C→B＋E→C＝____D→_B___； (4)B→A＋D→B＋E→C＋A→E＝____D→_C___.
3.如图所示，在四边形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 试判断四边形的形状．
跟踪训练 3 某人在静止的水中的游泳速度为 2 3 km/h，如果 他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为 2 km/h，那么 他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ 解：设此人在静水中的游泳速度为O→A，水流的速 度为O→B，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB， 如图所示，则此人的实际速度为O→C＝O→A＋O→B. 根据勾股定理知|O→C|2＝|O→A|2＋|O→B|2＝12＋4＝16， ∴|O→C|＝4. 又在 Rt△OBC 中，cos∠BOC＝||OO→→CB||＝24＝12. 所以此人沿与河岸夹角为 60°方向前进，速度大小为 4 km/h.
(2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B ＝(B→C＋C→D)＋D→B ＝B→D＋D→B ＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A ＝0. 小结 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意 各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．
课件9：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
[规律方法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转化为数学问题求 解．本题实际是向量在物理上的一个简单应用，先根据三个已知速度(即已知向量) 之间的关系，作▱ABCD 是问题的关键．因为本题是求方向，所以可以转化为平面 几何中求角度的问题．
跟踪训练
5．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水流的原因， 船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流速度的大小为________．
课堂小结
1． 求作向量和时，应慎用三角形法则，平行四边形法则及向量的多边形法则， 要注意向量是否共线，当向量共线时，平行四边形法则便不能适用了． 2．模一定的向量 a 和 b，当向量 a 和 b 的方向发生变化时，其和向量 a＋b 也会发生变化， 当 a 与 b 共线且同向时，a＋b 的模最大，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 a 与 b 共线且反向时，不妨 设|a|＞|b|，此时 a＋b 的模最小，|a＋b|＝|a|－|b|；当 a 与 b 不共线时，有||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
(2)平行四边形法则：
已知两个不共线向量 a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以 a，b 为邻边作▱OACB，
则 以O为 起点
的对角线 OC 就是 a 与 b 的和，如图．这种作
两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．对于零向量与任一向量 a，
规定：a＋0＝ 0 ＋ a＝ a .
知识点二 加法的运算律
解：根据题意可知∠BAC＝90°，| AB |＝| AC |＝300 km，则可得| BC |＝300 2 km. 又由于∠ABC＝45°，A 地在 B 地东偏南 60°的方向处，可知 C 地在 B 地东偏南 15°的方向处． 即飞机从 B 地向 C 地飞行的方向是东偏南 15°，B、C 两地的距离为 300 2 km.
课件7：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2．在△ABC 中，必有A→B＋C→A＋B→C等于( )
A．0
B．0
C．任一向量
D．与三角形形状有关
【解析】A→B＋C→A＋B→C＝A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0.
故选 B．
【答案】B
3．化简(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝______. 【解析】(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝(A→B＋B→C)＋ (B→O＋O→M)＋M→B＝A→C，故答案为A→C. 【答案】A→C
2．运算律 (1)a＋b＝b＋a； (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
自主演练 1．如下图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的 是( )
A．A→B＝D→C C．B→A＋B→C＝A→C
B．A→D＋A→B＝A→C D．A→D＋C→B＝0
【解析】∵B→A＋B→C＝B→D，∴C 中的结论错误．故选 C． 【答案】C
A．F→E
B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ→C
C．D→C
D．F→C
【解析】F→A＋A→B＋2B→O＋E→D＝F→E＋E→D＝F→D＝A→C.
【答案】B
3．若 O 是△ABC 内的一点，且O→A＋O→B＋O→C＝0，则
O 是△ABC 的( )
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
【解析】O→A＋O→B＋O→C＝0，∵O→A＋O→B是以O→A，O→B为 邻边作平行四边形的对角线且过 AB 的中点，设为 D， 则O→A＋O→B＝2O→D，∴2O→D＋O→C＝0.∵D 为 AB 的中点， 同理 E，F 为 AC，BC 中点，∴满足条件的点 O 为△ABC 三边中线交点，故为重心． 【答案】B
(2)课本中对向量加法是釆用三角形法则来定义的，这种 定义，对两个向量共线时同样适用，但是当两向量共线 时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时， 平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三 角形法则和平行四边形法则都应熟练掌握．
(完整)2.2.1向量加法运算及其几何意义
22 52 = 29 5.4
因为 tanCAB 5 ,
2
CAB 68o
A
B
船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向
与水的流速间的夹角为68°
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：首尾相连首尾连) 2.向量加法的平行四边形法则
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
2、力的合成
F1 + F2 = F
F1
F2
F
数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可 以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与 F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.
向量加法的三角u形r 法uur则
rr
已知向量 a , b,求作向量a + b
(要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边) 3.向量r 加法r 满足r 交换r 律及结合律
a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
作业 活页 作业
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字)
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速 A
B
水速
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用
与江水速度间的夹角表示,精确到度).
uuur uuur
课件10： 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
∴A→B＝D→C， 6 分 ∴AB＝DC 且 AB∥DC， 8 分 ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 9 分
【方法归纳】 解读向量加法在平面几何中的应用 平面几何中的向量问题有两种： (1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题; (2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用． 解题的关键是应用法则即加法的几何意义，对相关向量合理转化．
【方法归纳】 此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则，观察是否 具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．
互动探究
1.在本例条件下，求(1)O→A＋C→D；(2)A→E＋A→B. 解：(1)由图知，C→D＝O→E，而 OAFE 为平行四边形，
∴O→A＋C→D＝O→A＋O→E＝O→F. (2)由于 ABDE 为平行四边形， ∴A→E＋A→B＝A→D.
题型二 向量加法在平面几何中的应用
例 2 (本题满分 9 分)已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 且A→O＝O→C，D→O＝O→B. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
【证明】 ∵A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，3 分
又A→O＝O→C，D→O＝O→B，
2.向量加法的运算法则 (1)三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b，则向量__A_→_C___ 叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作_____a_＋__b____，即 a＋b＝A→B＋B→C＝_____A→_C______． 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝_0___＋__a__＝a.
失误防范 1. 化简向量表达式，要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、 终点字母排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0. 2.注意区分向量与线段的写法与符号． A→B表示向量，AB 表示线段，ຫໍສະໝຸດ 者勿混淆．题型探究
【方法归纳】 解读向量加法在平面几何中的应用 平面几何中的向量问题有两种： (1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题; (2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用． 解题的关键是应用法则即加法的几何意义，对相关向量合理转化．
【方法归纳】 此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则，观察是否 具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．
互动探究
1.在本例条件下，求(1)O→A＋C→D；(2)A→E＋A→B. 解：(1)由图知，C→D＝O→E，而 OAFE 为平行四边形，
∴O→A＋C→D＝O→A＋O→E＝O→F. (2)由于 ABDE 为平行四边形， ∴A→E＋A→B＝A→D.
题型二 向量加法在平面几何中的应用
例 2 (本题满分 9 分)已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 且A→O＝O→C，D→O＝O→B. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
【证明】 ∵A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，3 分
又A→O＝O→C，D→O＝O→B，
2.向量加法的运算法则 (1)三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b，则向量__A_→_C___ 叫做 a 与 b 的和(或和向量)，记作_____a_＋__b____，即 a＋b＝A→B＋B→C＝_____A→_C______． 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝_0___＋__a__＝a.
失误防范 1. 化简向量表达式，要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、 终点字母排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0. 2.注意区分向量与线段的写法与符号． A→B表示向量，AB 表示线段，ຫໍສະໝຸດ 者勿混淆．题型探究
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向量加法
向量加 法
节引言：有了数只能进行计数， 节引言：有了数只能进行计数，只有引入了 运算，数的威力才得以充分展现.类比 类比数的运 运算，数的威力才得以充分展现 类比数的运 向量也能够进行运算.运算引入后 运算引入后， 算，向量也能够进行运算 运算引入后，向量 的工具作用才能得到充分发挥.实际上 实际上， 的工具作用才能得到充分发挥 实际上，引入 一个新的量后，考察它的运算及运算律， 一个新的量后，考察它的运算及运算律，是 数学研究中的基本问题.平面向量的线性运算 数学研究中的基本问题 平面向量的线性运算 包括向量加法、向量减法、向量数乘运算， 包括向量加法、向量减法、向量数乘运算， 以及它们之间的混合运算.平面向量的线性运 以及它们之间的混合运算 平面向量的线性运 算中，加法运算是最基本、最重要的运算， 算中，加法运算是最基本、最重要的运算， 其它几种运算都可以归结为加法运算.今天我 其它几种运算都可以归结为加法运算 今天我 们就先来学学向量的加法运算 向量的加法运算. 们就先来学学向量的加法运算
方向相反
向量加 法
课堂练习
教材P 页练习1. 教材P84页练习1.
b
、（1 1、（1）
a+b
a
a+b
（2 ）
b
a
a+b
b
（3 ）
a
b
b
（4 ） a + b
a
b b
向量加法
向量加 法
课堂练习
教材P 页练习2. 教材P84页练习2. 2、（1） 、（1
b
a+b b a
（2）
b a
向量加法
a+b
a
向量加 法
向量加法
rr ab不共线或共线反向 ， rr a， b共线且同向 rr r r a， b反向且 a ≥ b rr r r a， b反向且 a ≤ b
向量加 法
结论： 结论： a − b ≤ a + b ≤ a + b
已知 a = 8, b = 6, 则 a + b 的最大值和最小值是 14, 2 ___
o
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 若水流速度和船速的大小保持不变 最后要能使渡船垂直过江,则船的 最后要能使渡船垂直过江 则船的 在白纸上作图探究. 航向应该如何?在白纸上作图探究 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D 5 C
A
2
B
向量加 法
向量加法
只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！ 只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！A向量加法向量加 法学以致用
长江两岸之间没有大桥的地方,常 例2.长江两岸之间没有大桥的地方 常 长江两岸之间没有大桥的地方 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 常通过轮渡进行运输 一艘船从长江南 岸A点出发 以5km/h的速度向垂直于 点出发,以 的速度向垂直于 点出发 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 对岸的方向行驶 同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 试用向量表示江水速度、 试用向量表示江水速度 船实际航行的速度； 船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小和方向 求船实际航行的速度的大小和方向. 求船实际航行的速度的大小和方向
向量加法
向量加 法
(1)向量的相反向量的意义 向量的相反向量的意义; 向量的相反向量的意义 (2)向量减法运算几何意义 向量减法运算几何意义; 向量减法运算几何意义 (3)向量的减法运算遵循什么法则 向量的减法运算遵循什么法则. 向量的减法运算遵循什么法则
向量加法
向量加 法
二、向量加法的运算法则: 向量加法的运算法则
B
r a
D
D
r b
A
b+a a+b r a
( a + b) + c
r b
C
a + (b + c ) b + c
c
A
r a
a+b r
b
C
r r r r 交换律: 交换律 a + b = b + a
B
结合律: 结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c )
向量加法 向量加法
知识回顾： 知识回顾：
a − b ≤ a+b ≤ a + b
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
B
向量加法的运算律
r r r r 向量加法实际应用 交换律: 交换律 a + b = b + a 结合律: 结合律 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
E
O
合力F与力 问:合力 与力 1、F2有怎 合力 与力F 样的关系？ 样的关系？ F +F =F
1 2
F是以 1与F2为邻边所形成 是以F 是以 的平行四边形的对角线
E
O
F
向量加 法
向 量 加 法 的 定 义
a
向量加法
向量a
b.
b
a+ b.
C B B A O
C A
AB + BC = AC
1. 2. 法
向量加法
向量加 法
学以致用
解： ，设 AB 表示水流的 如图， 如图
速度， 表示渡船的速度， 速度， 表示渡船的速度， AD AC 表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 江的速度 由平行四边形 法则可以得到) 法则可以得到 由AB ⊥ AD得Rt∆ABC, uuu r 得 AC = 22 + 52 = 29 5 tan ∠CAB = , 查计算器可得∠CAB ≈ 68°. 2 D 5 C
向量加法
向量加 法
向量加法的定义:我们把 向量加法的定义 我们把 r r 求两个向量a, b 的和的运 r r 叫做向量的加法, 算,叫做向量的加法 a + b 叫做向量的加法 r r 的和向量. 叫做 a, b 的和向量
向量加法
向量加 法
日常生活中遇到的向量加法问题: 日常生活中遇到的向量加法问题:
B
AB
+
BC
=
AC
A
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力 的作用下,从 点伸长到了 点伸长到了O点 例如 橡皮条在力F1与F2的作用下 从E点伸长到了 点. 橡皮条在力 同时橡皮条在力F的作用下也从 点伸长到了O点 的作用下也从E点伸长到了 同时橡皮条在力 的作用下也从 点伸长到了 点.
E
O
合力F与力 问:合力 与力 1、F2有 合力 与力F 怎样的关系？ 怎样的关系？
OB + OA = OC
? ?
向量加法
向 量 加 法 的 定 义
a
向量加法
向量a
b.
b
a+ b.
三 角 形 法 则: C
b
平行四边形法则: 平行四边形法则 C B B
b b
A
a O 起点相同， 起点相同，两边平行 同一起点， 同一起点，对角为和
A
a
尾首顺次相接 首指向尾为和 1. 2. 法
? ?
向量加 法
向量加法
向量加 法
学以致用
例１.化简 化简
AD (1) AB + CD + BC = ________
(2) MA + BN + AC + CB = ________ MN
uuu uuu uuu uuur r r r (3) AB + BD + CA + DC = _____ 0
(
(
) (
)
)
向量加法
三角形法则
(><) O
(><) O
平行四边形法则
复习回顾： 复习回顾：
有向线段
uuu r r AB 向量的表示： 或a
向
量
向量的大小 长度、 (长度、模) 单位向量 与零向量 相等向量与 相反向量
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 既有大小又有方向的量叫向量； 的量叫向量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
r 对于零向量与任一向量a, 我们规定 r r r r r a+0 =0+a = a
向量加 法
除了零向量， 问 题：除了零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？ 边形法则求和向量的情况？
特例： 特例：共线向量
a a
b
A B C B C
b
A
AC = a + b
方向相同
向量加法
AC = a + b
点向北走到C. 例如:某人从 点向东走到 然后从B点向北走到 例如 某人从A点向东走到 然后从 点向北走到 某人从 点向东走到B. 思考:这个人所走过的位移是多少 这个人所走过的位移是多少? 思考 这个人所走过的位移是多少 可以知道: 分析 :由物理知识可以知道 由物理知识可以知道
C
点到B点然后到 从A点到 点然后到 点的 点到 点然后到C点的 合位移,就是从 点到C点 就是从A点到 合位移 就是从 点到 点 的位移. 的位移
请选用合适符号连接： 请选用合适符号连接： r r r r a + b ____ a + b (<,>,≤ ,≥, ≠ ) r r 非零向量a, b处于什么位置时？
探究
r r r r (1) a + b < a + b r r r r (2) a + b = a + b r r r r (3) a + b = a − b r r r r (4) a + b = b − a
向量加 法
节引言：有了数只能进行计数， 节引言：有了数只能进行计数，只有引入了 运算，数的威力才得以充分展现.类比 类比数的运 运算，数的威力才得以充分展现 类比数的运 向量也能够进行运算.运算引入后 运算引入后， 算，向量也能够进行运算 运算引入后，向量 的工具作用才能得到充分发挥.实际上 实际上， 的工具作用才能得到充分发挥 实际上，引入 一个新的量后，考察它的运算及运算律， 一个新的量后，考察它的运算及运算律，是 数学研究中的基本问题.平面向量的线性运算 数学研究中的基本问题 平面向量的线性运算 包括向量加法、向量减法、向量数乘运算， 包括向量加法、向量减法、向量数乘运算， 以及它们之间的混合运算.平面向量的线性运 以及它们之间的混合运算 平面向量的线性运 算中，加法运算是最基本、最重要的运算， 算中，加法运算是最基本、最重要的运算， 其它几种运算都可以归结为加法运算.今天我 其它几种运算都可以归结为加法运算 今天我 们就先来学学向量的加法运算 向量的加法运算. 们就先来学学向量的加法运算
方向相反
向量加 法
课堂练习
教材P 页练习1. 教材P84页练习1.
b
、（1 1、（1）
a+b
a
a+b
（2 ）
b
a
a+b
b
（3 ）
a
b
b
（4 ） a + b
a
b b
向量加法
向量加 法
课堂练习
教材P 页练习2. 教材P84页练习2. 2、（1） 、（1
b
a+b b a
（2）
b a
向量加法
a+b
a
向量加 法
向量加法
rr ab不共线或共线反向 ， rr a， b共线且同向 rr r r a， b反向且 a ≥ b rr r r a， b反向且 a ≤ b
向量加 法
结论： 结论： a − b ≤ a + b ≤ a + b
已知 a = 8, b = 6, 则 a + b 的最大值和最小值是 14, 2 ___
o
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 若水流速度和船速的大小保持不变 最后要能使渡船垂直过江,则船的 最后要能使渡船垂直过江 则船的 在白纸上作图探究. 航向应该如何?在白纸上作图探究 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D 5 C
A
2
B
向量加 法
向量加法
只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！ 只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！A向量加法向量加 法学以致用
长江两岸之间没有大桥的地方,常 例2.长江两岸之间没有大桥的地方 常 长江两岸之间没有大桥的地方 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 常通过轮渡进行运输 一艘船从长江南 岸A点出发 以5km/h的速度向垂直于 点出发,以 的速度向垂直于 点出发 对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 对岸的方向行驶 同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 试用向量表示江水速度、 试用向量表示江水速度 船实际航行的速度； 船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小和方向 求船实际航行的速度的大小和方向. 求船实际航行的速度的大小和方向
向量加法
向量加 法
(1)向量的相反向量的意义 向量的相反向量的意义; 向量的相反向量的意义 (2)向量减法运算几何意义 向量减法运算几何意义; 向量减法运算几何意义 (3)向量的减法运算遵循什么法则 向量的减法运算遵循什么法则. 向量的减法运算遵循什么法则
向量加法
向量加 法
二、向量加法的运算法则: 向量加法的运算法则
B
r a
D
D
r b
A
b+a a+b r a
( a + b) + c
r b
C
a + (b + c ) b + c
c
A
r a
a+b r
b
C
r r r r 交换律: 交换律 a + b = b + a
B
结合律: 结合律 ( a + b ) + c = a + (b + c )
向量加法 向量加法
知识回顾： 知识回顾：
a − b ≤ a+b ≤ a + b
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
B
向量加法的运算律
r r r r 向量加法实际应用 交换律: 交换律 a + b = b + a 结合律: 结合律 ( a + b ) + c = a + ( b + c )
E
O
合力F与力 问:合力 与力 1、F2有怎 合力 与力F 样的关系？ 样的关系？ F +F =F
1 2
F是以 1与F2为邻边所形成 是以F 是以 的平行四边形的对角线
E
O
F
向量加 法
向 量 加 法 的 定 义
a
向量加法
向量a
b.
b
a+ b.
C B B A O
C A
AB + BC = AC
1. 2. 法
向量加法
向量加 法
学以致用
解： ，设 AB 表示水流的 如图， 如图
速度， 表示渡船的速度， 速度， 表示渡船的速度， AD AC 表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 江的速度 由平行四边形 法则可以得到) 法则可以得到 由AB ⊥ AD得Rt∆ABC, uuu r 得 AC = 22 + 52 = 29 5 tan ∠CAB = , 查计算器可得∠CAB ≈ 68°. 2 D 5 C
向量加法
向量加 法
向量加法的定义:我们把 向量加法的定义 我们把 r r 求两个向量a, b 的和的运 r r 叫做向量的加法, 算,叫做向量的加法 a + b 叫做向量的加法 r r 的和向量. 叫做 a, b 的和向量
向量加法
向量加 法
日常生活中遇到的向量加法问题: 日常生活中遇到的向量加法问题:
B
AB
+
BC
=
AC
A
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力 的作用下,从 点伸长到了 点伸长到了O点 例如 橡皮条在力F1与F2的作用下 从E点伸长到了 点. 橡皮条在力 同时橡皮条在力F的作用下也从 点伸长到了O点 的作用下也从E点伸长到了 同时橡皮条在力 的作用下也从 点伸长到了 点.
E
O
合力F与力 问:合力 与力 1、F2有 合力 与力F 怎样的关系？ 怎样的关系？
OB + OA = OC
? ?
向量加法
向 量 加 法 的 定 义
a
向量加法
向量a
b.
b
a+ b.
三 角 形 法 则: C
b
平行四边形法则: 平行四边形法则 C B B
b b
A
a O 起点相同， 起点相同，两边平行 同一起点， 同一起点，对角为和
A
a
尾首顺次相接 首指向尾为和 1. 2. 法
? ?
向量加 法
向量加法
向量加 法
学以致用
例１.化简 化简
AD (1) AB + CD + BC = ________
(2) MA + BN + AC + CB = ________ MN
uuu uuu uuu uuur r r r (3) AB + BD + CA + DC = _____ 0
(
(
) (
)
)
向量加法
三角形法则
(><) O
(><) O
平行四边形法则
复习回顾： 复习回顾：
有向线段
uuu r r AB 向量的表示： 或a
向
量
向量的大小 长度、 (长度、模) 单位向量 与零向量 相等向量与 相反向量
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 既有大小又有方向的量叫向量； 的量叫向量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
r 对于零向量与任一向量a, 我们规定 r r r r r a+0 =0+a = a
向量加 法
除了零向量， 问 题：除了零向量，有没有不能用平行四 边形法则求和向量的情况？ 边形法则求和向量的情况？
特例： 特例：共线向量
a a
b
A B C B C
b
A
AC = a + b
方向相同
向量加法
AC = a + b
点向北走到C. 例如:某人从 点向东走到 然后从B点向北走到 例如 某人从A点向东走到 然后从 点向北走到 某人从 点向东走到B. 思考:这个人所走过的位移是多少 这个人所走过的位移是多少? 思考 这个人所走过的位移是多少 可以知道: 分析 :由物理知识可以知道 由物理知识可以知道
C
点到B点然后到 从A点到 点然后到 点的 点到 点然后到C点的 合位移,就是从 点到C点 就是从A点到 合位移 就是从 点到 点 的位移. 的位移
请选用合适符号连接： 请选用合适符号连接： r r r r a + b ____ a + b (<,>,≤ ,≥, ≠ ) r r 非零向量a, b处于什么位置时？
探究
r r r r (1) a + b < a + b r r r r (2) a + b = a + b r r r r (3) a + b = a − b r r r r (4) a + b = b − a