江西省南昌市第二中学高二数学上学期第二次考试试题理

南昌二中2016—2017学年度上学期第二次考试高二数学(理)试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若)3,2(π--P 是极坐标系中的一点，则28(2,),(2,),33Q R ππ5(2,)3M π- )352,2(ππ-k N )(Z k ∈四点中与P 重合的点有 （ ） A ．1个 B ． 2个C ． 3个D ． 4个2. 曲线⎩⎨⎧-=-=tt y t x 2,8（t 为参数）与x 轴的交点坐标是 （ ） A ．（8，0），(7,0)- B ．(8,0)-，(7,0)- C ．（8，0），（7，0）D ．(8,0)-,(7,0)3. ．命题p ：(,0]x ∀∈-∞，21x ≤，则 （ ） A ．p 是假命题；p ⌝:0(,0]x ∃∈-∞，021x > B ．p 是假命题；p ⌝:(,0]x ∀∈-∞，21x ≥ C ．p 是真命题；p ⌝:0(,0]x ∃∈-∞，021x > D ．p 是真命题；p ⌝:(,0]x ∀∈-∞，21x ≥4．已知函数2()2f x x ax b =-+，则“12a <<”是“(1)(3)f f <”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为 （ ）2135137106．已知命题：2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=，若命题""p q ⌝且 是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11a a ≤-=或B ．112a a ≤-≤≤或C ．1a ≥D ．1a >7．若直线4mx ny +=和⊙O：224x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为 （ ） A ．至多一个 B ．2个C ．1个D ．0个8．已知点P 位椭圆C:22149x y +=上任意一点，则P 到直线:212l x y -=的距离的最小值为 （ ） A ．75 B ．755 C ．175 D ．17559．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为 （ ）A.20x y ±=B.20x y ±=C.20x y ±=D.20x y ±=10. 已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =u u u r u u u rg ,则k = （ ）A ．12B ．22C ．2D ．211．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值（ ）A ．222a b a +B 22a b+ C ．baD ．ab12．已知直线166(1)()2m x n y ++++=与圆22(3)(6)5x y -+-=相切，若对任意的,m n R +∈均有不等式2m n k +≥成立，那么正整数k 的最大值是 （ ）A.3B.5C.7D.9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 直线l 的参数方程为33x t y tì=-+ïïíï=ïî（t 为参数）.圆C 的参数方程为3cos 3sin x y θθì=ïïíï=ïî（θ为参数），则直线l 被圆C 截得的弦长为 ; 14．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 ． 15．已知F 1、F 2为双曲线2222x y a b-＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|1MF u u u u r |＝3|2MF u u u u r|，则此双曲线的渐近线方程为_____．16．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题10分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=-=ty t x 2122（t 为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ2sin 312+=（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点()1,2-M ，曲线1C 与曲线2C 交于B A ,,求MB MA ⋅的值.18．（本小题12分）已知命题:p “存在021)1(2,2≤+-+∈x m x R x ”，命题q ：“曲线182:2221=++m y mx C 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线11:222=--+-t m y t m x C 表示双曲线”（1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围。

19．（本小题12分）设,,a b c 为△ABC 中∠A ，∠B, ∠C 的对边。

求证：,,a b c 成等差数列的充要条件是：223cos cos .222C A a c b +=20．（本小题12分）过x 轴上动点(,0)A a 引抛物线21y x =+的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点,设切线AP 、AQ 的斜率分别为1k 和2k ．（Ⅰ）求证：124k k =-；（Ⅱ）求证：直线PQ 恒过定点，并求出此定点坐标；21．（本小题12分）已知椭圆C ：22221()x y a b a b +=>>的右焦点为F (1,0)，且点P 3(1,)2在椭圆C上。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任意一点Q 作圆O ：2243x y +=的两条切线，切点分别为M ，N （M,N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,m n ，证明：22113m n +为定值。

22．（本小题12分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 3（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在过点F 且与双曲线的右支交于不同的P 、Q 两点的直线l ，当点M 满足1()2OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r时，使得点M 在直线2x =-上的射影点N 满足0PN QN ⋅=u u u r u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

南昌二中2016—2017学年度上学期第二次考试高二数学(理)试卷参考答案一．选择题：CBCAD DBBAD BA二．填空题：13． 3； 14．2sin -=θρ或2x =-； 15．22y x =±； 16．]13,22[- 三．解答题17.（1）14,122=++-=y x x y -----------4分 （2）将()为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=221222代人2C 直角坐标方程 得0821252=+-t t 5821=⋅t t18解：（1）若p 为真：02124)1(2≥⨯⨯--=∆m 1分 解得1-≤m 或3≥m 若q 为真：则⎩⎨⎧>++>082822m m m 解得24-<<-m 或4>m若“p 且q ”是真命题，则⎩⎨⎧>-<<-≥-≤42431m m m m 或或 解得24-<<-m 或4>m（2）若s 为真，则0)1)((<---t m t m ，即1+<<t m t 由q 是s 的必要不充分条件，则可得}1|{+<<t m t m ≠⊂24|{-<<-m m 或}4>m 即⎩⎨⎧-≤+-≥214t t 或4≥t 解得34-≤≤-t 或4≥t19．证明：充分性：由223coscos .222C A a c b +=(1cos )(1cos )a C c A ⇒+++ cos cos 32a c a C c A b a c b =+++=⇒+=⇒即,,a b c 成等差数列必要性：因为上每步均可逆，可得证必要性。

20解析：（Ⅰ）设过)0,(a A 与抛物线12+=x y 的相切的直线的斜率是k ， 则该切线的方程为：()y k x a =-，由()21y k x a y x ⎧=-⎨=+⎩得()210x kx ka -++=()2241440k ka k ak ∴∆=-+=--=，则12,k k 都是方程2440k ak --=的解，故124k k =-。

（Ⅱ）法1：设()()1122,,,P x y Q x y ，故切线AP 的斜率是12x ，方程是)(2111x x x y y -=-又1211+=x y ，所以方程可化为1112y yx x +=+，切线AQ 的斜率是22x ，方程是)(2222x x x y y -=-又1222+=x y ，所以方程可化为2212y y x x +=+，又由于A 点在AP 上，则1112yx a =+， 又由于A 点在AQ 上，则 2212yx a =+，1122y x a ∴=+，2222y x a =+则直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2.法2：设221122(,1),(,1)2424k k k k P Q ++， 所以,直线PQ ：1212211121112()()41()()2()422222k k k k k k k k k k y x x a x k k -++--=-=-=--，即2211114421244k k ak y ax ak ax -+=-++=+，由（1）知211440k ak --=， 所以，直线PQ 的方程是22+=ax y ，则直线PQ 过定点()0,2.21．解（1）22143x y += （2）由（1）知2213:144x y C +=，设点Q 11(,)x y ，M 22(,)x y ，N 33(,)x y ， 因为M,N 不在坐标轴上，所以221QM OMx k k y =-=-，直线QM 的方程为2222()xy y x x y -=-- 化简得2243x x y y +=， 同理可得直线QN 的方程为：3343x x y y += 把点Q 的坐标代入得212131314343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线MN 的方程为1143x x y y +=令0y =，得143m x =；令0x =，得143n y =，所以1144,33x y m n==又点Q 在椭圆1C 上， 所以：2244()3()433m n +=，即2211334m n +=为定值。