2018年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北) 精品
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)
2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。
(C) $-\frac{1}{3}$。
(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。
注：本题也可用特殊值法来判断。
2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。
(B) $1$。
(C) $0$。
(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。
最新2018全国初中数学竞赛试题及答案
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0， ④
且使方程③有实数根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得 ≤ ≤ .
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
（A） （B） （C）1 （D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）10 <D ）122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92<D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S < <B ）1324S S S S = <C ）1324S S S S > <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =． 所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， .设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=， 于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==． 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。
2018年全国初中数学竞赛湖北赛区初赛试题
第8题X ︒76︒124︒40︒120︒60︒图1FEB A 2018年全国初中数学竞赛湖北赛区初赛试题（时间120分钟，满分120分）一、选择题：（每小题5分，共30分）1．若x ＜-2,则y =x +-11等于（ ）．A 、2+xB 、-2-xC 、xD 、-x 2．在⊿ABC 中,∠A =60°,AC =1,BC =3那么为（ ）．A 、60°B 、60°或120°C 、30°或150°D 、30°3．如图，点P 为弦AB 上的一点，连接OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ． 若AP =8,PB =2,，则PC 的长是（ ） A 、4 B 、22 C 、5 D 、无法确定4．如图，一块边长为5㎝的正方形钢板的一角被割去一个边长为1㎝的小正方形，一条直线把这块钢板分为面积相等的两部分． 则这样的直线有（ ）条． A 、1 B 、3 C 、5 D 、无数5．已知：如图1，点G 是BC 中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2㎝的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G →C →D →E →F →H ，相应的⊿ABP 的面积y （㎝2）关于运动时间t (s)的图象如图2，若AB =6㎝，则下列四个结论中正确的个数有（ ）． ①图1中BC 的长是8㎝；②图2中的点M 表示第4秒时，y③图1中的CD 长是4㎝；④图2中的N 点表示第12秒时，yA 、1个B 、2个C 、36100元但不超过300付款80元和252元．如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（ ）． A 、288元 B 、332元 C 、288元或316元D 、332元或363元二、填空题：（每小题5分，共30分）7．已知m 是方程x 2-2x -1=0的根，则代数式(m -1)2-﹙m -3﹚﹙m +3﹚-﹙m -1﹚·﹙m -3﹚的值为 ．8．三个正方形连成如图所示的图形，则x 的度 数为 ．第3题A第4题第12题第11题A 'Q PN M B A9．已知3122sin 602cos 451x x +=+??,则)225(423---÷--x x x x 的值为 ．10．如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色的石子，其余部分铺白色的石子。
全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)
20XX 年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)一、填空题(每小题4分，共32分)1.已知：|x|=3，|y|=2，且xy ＜0，则x+y 的值等于______.2.设，则a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为______.3.已知实数x 1，x 2满足21x -6x 1+2=0和22x -6x 2+2=0，求2112x x x x +的值为______. 4.如果一次函数y=mx+n 与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点(12,2)，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___.6.如图2，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积为______.7.如图3，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ，则AN:AB 的值为______.8.如图4，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB 的值为_____. 二、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a ，b 的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( )(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种2.已知a 、b 、c 均为正数，方程ax 2+bx+c=0有实根，则方程acx 2+b 2x+ac=0( ) (A)有两个不相等的正根 (B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根3.当k 取任何实数时，抛物线y=45(x-k)2+k 2的顶点所在曲线是( ) (A)y=x 2(B)y=-x 2(C)y=x 2(x ＞0) (D)y=-x 2(x ＞0) 4.如图5，已知AB⊥CD，△ABD、△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC 等于( ) (A)8 (B)5 (C)35.如图6，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的有( )①∠APB=∠EPC ②∠APE=90° ③P 是BC 的中点 ④BP:BC=2:3 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个6.如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，已知两圆的半径r1=10，r2=17，圆心距O1O2=21，则公共弦等于( )(B)16 (D)17三、解答题1.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求23 b ca的值.2.(12分)如图8，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三(3)在条件(2)下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来.3.(17分)某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4.(17分)如图9，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1.(1)求△AOD和△BCD的面积；(2)若F是线段BE上任一点，FG⊥AG，G是垂足，设线段CG和OF的长分别是x和y，试写出y与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范围).参考答案一、1.1或-1 2.15 3.16，2 4.(-1,-52) 5.2 6.12ab7.1:3 8.5二、1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B三、1.甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x 2+bx+c=0，于是有： 2+4=-'b a ，2×4='c a， ∴. ①设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax 2-bx+c=0. 于是-1+4=ba. ② 由①，②知， △=b 2-4ac=b 2-4·3b ·(-43b)=259b 2≥0，与题设矛盾. 故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax 2+bx-c=0，则 -1+4=-ba. ③ 由①，③可知：.2.(1)(2)，.(3)(n≥1，且n 为整数)3.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，则原计划是： ax+by=1500， ①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得： (a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529. ② 再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得： (a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5. ③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜2 553.由于y是整数，得y=55，从而得x=76. 答：略.4.(1)由切割线定理，得AE·AB=AD2.∴1×(1+2OE)=22，解得EO=32.∵D为切点，∴AD⊥OD.∵S△AOD=12AD·OD=12AD·OE=32.又由切线长定理，CD=CB.在Rt△ABC中，AB2+BC2=(AD+CD)2.∵AB=2EO+AE=4，∴42+CD2=(2+CD)2.解得：CD=3.∴AC=AD+CD=5.过点D作DM∥AB交BC于M.∵，∴，∴S△BCD=12BC·DM=12×3×125=185.(2)当AO≤AF≤AB时，∵△AFG∽△ACB，∴，..当AE≤AF＜AO时，同时有：，化简得：.。
2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案
第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。
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2018年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北)
（时间：120分钟满分：120分）
一．选择题（每小题6分，共36分）
1．如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针旋转90º后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝65º，则∠ADE＝( )． A. 30º B. 25º C. 20º D. 15º
第6题图
第1题图
M
A
a
b
E
A
B D
C
2．有甲、乙、丙三个不透明布袋，里面都装有数量相同的玻璃球，这些球只有颜色不同．已知甲布袋中黑球占袋内总球数的
1
4，乙布袋中没有黑球，丙布袋中黑球占袋内总球数的
7
12．现将乙、丙布袋内的球全部倒入甲布袋中，再从甲布袋中任取一个球，则取出黑球的概率是（）．A.
5
6 B.
5
12 C.
5
18 D.
7
48
3．反比例函数
k
y
x
=的自变量x满足
1
2≤x≤2，函数值y满足
1
4≤y≤1，则k的值为（）．A.
1
2 B.
1
2或2 C.
1
2或
1
8
D. 2或
1
8
4x的一元二次方程2
()7
a x b
-=(0
a≠)的两根，则b
a
的值为（）．A.
1
8 B. 8 C. 2 D.
9
2
5．如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数221
y mx mx
=++的图象如图，则下面结论正确的是（）．
A. a为x轴，c为y轴
B.a为x轴，d为y轴
C. b为x轴，c为y轴
D.b为x轴，d为y轴
6. 如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于C，圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的两侧，且使得MC＝MD＝AC．现有下列结论：(1)MD与⊙O相切; (2)四边形ACMD是菱形; (3)AB＝MO; (4)∠D＝120º．其中正确的结论有（）个．A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二．填空题（每小题6分，共36分）
7. 若方程2
80x x m -+=有一个根是a ,方程2
80x x m +-=有一个根是－a ,则a ＝ ． 8. 如图所示为一个电路图，在该电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个灯泡○×，现在任意闭合其中两个开关，灯泡能够发光的概率为 ．
第8题图
第9题图
A
D
B
C
9. 如图为一个玉石饰品的示意图，与中心在同一平面上的A 、B 为外圆上的两点，且AB 与内圆相切于C 点，过C 作CD ⊥AB 交外圆于D ，且AB ＝24cm ，CD ＝6cm ，则外圆的直径是 cm ．
10. 已知二次函数2(21)1y kx k x =+--的图象与x 轴交于1(,0)A x 、2(,0)B x ，1x ＜2x ，现有下列结论：①方程2(21)10kx k x +--=有两个不相等的实数根；②当x ＝-2时，y ＝1;
③当x ＞2x
时，y ＞0; ④AB ．其中正确结论的序号是 ．
11．如图，在△ABC 中，AB ＝30cm ，AC ＝20cm ，以BC 为边作等边△BCD ，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的和是 ．
第11A
B
C
D
12．如图，△AOB 中为等边三角形，点B 的坐标为（－1，0），过C （1，0）作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，E 在反比例函数k
y x
=的图象上，且△ADE 的面积和△DOC 的面积相等，则k ＝ ．
三．解答题（每小题12分，共48分）
13．关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k -++=≠． (1)求证：方程有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k 的值．
14．如图是四张卡片A 、B 、C 、D 的正面图案，它们的背面都相同，现在将这四张卡片背面朝上洗匀，先摸出一张，记下正面的图案后放回，再次洗匀后又摸出一张． (1) 用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性； (2) 求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率．
A
15. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30º,∠ABC ＝90º,延长BC 到点O ，使得OC ＝BC ，以点
O为圆心，以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D，连接BD．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AB＝ 3 ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.
A
C
O
B
D
16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于C，且OC＝OB＝2OA＝2．
（1）求此二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）过BD上一点E作EF⊥x轴于F，当E在线段BD上运动时（不与B、D点重合），设EF＝t，四边形ACEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使得△ACG为直角三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由．Array参考
．．答案（原文在不影响题意时局部有编辑）
13.(1) 2(2)k ∆=-≥0; (2) 12(2)(1)01,kx x x x k
--=⇒==
,1,2k =±±，1,2=k 14.(1) …, (2) 14，（说明：本题官方解答是1/16）; 15.(1)…,(2)
6
π
16.(1) 2192,(,)24y x x D =---;(2) 21193,(0)334S
t t t =-++<<;(3) 12
5735(,),(,)24
24
G G -
第11题 将∆ABC 绕B 点顺时针旋转60º，得∆
A'DC ，连A'A ，
在∆A'AD 中，－A'D AA'≤AD ≤＋A'D AA'（取等号时是A 、A ‘、D 三点共线）， －AB AC ≤AD ≤＋AB AC ， 即 10＝30－20≤PC ≤30＋20＝50．
12． 应用等积转换，也较基础，BOD COD ADE S S S ∆∆∆==，BCE AOB S S ∆∆=，设(,)E a b ，则
2
212=b ，则=
b ，又1
(2-A ，故E 为AB 3(4-E ，即可得k ．
15．解：(1)连接OD ，∵30A ∠=o ，90ABC ∠=o ， ∴60OCD ACB ∠=∠=o ，
∵OC OD =，∴OCD ∆为等边三角形， ∴CD OC BC ==，
∴1
302CDB CBD OCD ∠=∠=∠=o ，
∴603090ODB ∠=+=o o o ，∴OD BD ⊥， ∵OD 为半径，∴BD 与O e 相切．
(2)∵30A ∠=o ，30CDB ∠=o ，90ABC ∠=o ，AB ，
∴BD =2AC BC =，
∴2222BC BC +=（）， ∴1BC =， ∴1OD =，
∴阴影部分的面积为21601123606
OBD OCD S S ∆π
π-=
-⨯π⨯扇形． 16．解：(1)由题意(1,0)A -，(2,0)B ，(0,2)C -，
设二次函数的解析式为(1)(2)y a x x =+-，则2(01)(02)a -=+-，解得1a =，
∴22y x x =--，顶点为19
(,)24
D -．
(2)点(2,0)B 、19(,)24D -所在的直线方程为332y x =-，∴2
(2,)3
E t t --，其中904t <<，
∴211211
=12+(2)(2)322333
AOC OCEF S S S t t t t ∆=+⨯⨯⨯+⨯-=-++梯形，
即211
333
S t t =-++，其中自变量t 的取值范围是904t <<．
(3)存在点157(,)24G 和235
(,)24
G -使得ACG ∆为直角三角形．
设点G 的坐标为2
(,2)G m m m --，
则2222()365AG m m m m =--++，2222()CG m m m =+-，2AC ①若AG 为斜边，则222AG CG AC =+， 即222222()365()5m m m m m m m --++=+-+， 解得0m =(舍)，或32m =
，此时点35
(,)24
G -； ②若CG 为斜边，则222CG AG AC =+， 即222222()()3655m m m m m m m +-=--+++， 解得1m =-(舍)，或52m =
，此时点57(,)24
G ； ③若AC 为斜边，则222AG CG AC +=， 即222222()365()5m m m m m m m --++++-=，
解得0m =(舍)，或1m =-(舍)，或m 无解，此时点G 不存在，综上，存在点157(,)24G 和235
(,)24
G -使得ACG ∆。