2018年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北) 精品

2018年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北)

（时间：120分钟满分：120分）

一．选择题（每小题6分，共36分）

1．如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针旋转90º后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝65º，则∠ADE＝( )． A. 30º B. 25º C. 20º D. 15º

第6题图

第1题图

M

A

a

b

E

A

B D

C

2．有甲、乙、丙三个不透明布袋，里面都装有数量相同的玻璃球，这些球只有颜色不同．已知甲布袋中黑球占袋内总球数的

1

4，乙布袋中没有黑球，丙布袋中黑球占袋内总球数的

7

12．现将乙、丙布袋内的球全部倒入甲布袋中，再从甲布袋中任取一个球，则取出黑球的概率是（）．A.

5

6 B.

5

12 C.

5

18 D.

7

48

3．反比例函数

k

y

x

=的自变量x满足

1

2≤x≤2，函数值y满足

1

4≤y≤1，则k的值为（）．A.

1

2 B.

1

2或2 C.

1

2或

1

8

D. 2或

1

8

4x的一元二次方程2

()7

a x b

-=(0

a≠)的两根，则b

a

的值为（）．A.

1

8 B. 8 C. 2 D.

9

2

5．如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数221

y mx mx

=++的图象如图，则下面结论正确的是（）．

A. a为x轴，c为y轴

B.a为x轴，d为y轴

C. b为x轴，c为y轴

D.b为x轴，d为y轴

6. 如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于C，圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的两侧，且使得MC＝MD＝AC．现有下列结论：(1)MD与⊙O相切; (2)四边形ACMD是菱形; (3)AB＝MO; (4)∠D＝120º．其中正确的结论有（）个．A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二．填空题（每小题6分，共36分）

7. 若方程2

80x x m -+=有一个根是a ,方程2

80x x m +-=有一个根是－a ,则a ＝ ． 8. 如图所示为一个电路图，在该电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个灯泡○×，现在任意闭合其中两个开关，灯泡能够发光的概率为 ．

第8题图

第9题图

A

D

B

C

9. 如图为一个玉石饰品的示意图，与中心在同一平面上的A 、B 为外圆上的两点，且AB 与内圆相切于C 点，过C 作CD ⊥AB 交外圆于D ，且AB ＝24cm ，CD ＝6cm ，则外圆的直径是 cm ．

10. 已知二次函数2(21)1y kx k x =+--的图象与x 轴交于1(,0)A x 、2(,0)B x ，1x ＜2x ，现有下列结论：①方程2(21)10kx k x +--=有两个不相等的实数根；②当x ＝-2时，y ＝1;

③当x ＞2x

时，y ＞0; ④AB ．其中正确结论的序号是 ．

11．如图，在△ABC 中，AB ＝30cm ，AC ＝20cm ，以BC 为边作等边△BCD ，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的和是 ．

第11A

B

C

D

12．如图，△AOB 中为等边三角形，点B 的坐标为（－1，0），过C （1，0）作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，E 在反比例函数k

y x

=的图象上，且△ADE 的面积和△DOC 的面积相等，则k ＝ ．

三．解答题（每小题12分，共48分）

13．关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k -++=≠． (1)求证：方程有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k 的值．

14．如图是四张卡片A 、B 、C 、D 的正面图案，它们的背面都相同，现在将这四张卡片背面朝上洗匀，先摸出一张，记下正面的图案后放回，再次洗匀后又摸出一张． (1) 用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性； (2) 求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率．

A

15. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30º,∠ABC ＝90º,延长BC 到点O ，使得OC ＝BC ，以点

O为圆心，以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D，连接BD．

（1）求证：BD与⊙O相切；

（2）若AB＝ 3 ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.

A

C

O

B

D

16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于C，且OC＝OB＝2OA＝2．

（1）求此二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）过BD上一点E作EF⊥x轴于F，当E在线段BD上运动时（不与B、D点重合），设EF＝t，四边形ACEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使得△ACG为直角三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由．Array参考

．．答案（原文在不影响题意时局部有编辑）

13.(1) 2(2)k ∆=-≥0; (2) 12(2)(1)01,kx x x x k

--=⇒==

,1,2k =±±，1,2=k 14.(1) …, (2) 14，（说明：本题官方解答是1/16）; 15.(1)…,(2)

6

π

16.(1) 2192,(,)24y x x D =---;(2) 21193,(0)334S

t t t =-++<<;(3) 12

5735(,),(,)24

24

G G -

第11题 将∆ABC 绕B 点顺时针旋转60º，得∆

A'DC ，连A'A ，

在∆A'AD 中，－A'D AA'≤AD ≤＋A'D AA'（取等号时是A 、A ‘、D 三点共线）， －AB AC ≤AD ≤＋AB AC ， 即 10＝30－20≤PC ≤30＋20＝50．

12． 应用等积转换，也较基础，BOD COD ADE S S S ∆∆∆==，BCE AOB S S ∆∆=，设(,)E a b ，则

2

212=b ，则=

b ，又1

(2-A ，故E 为AB 3(4-E ，即可得k ．

15．解：(1)连接OD ，∵30A ∠=o ，90ABC ∠=o ， ∴60OCD ACB ∠=∠=o ，

∵OC OD =，∴OCD ∆为等边三角形， ∴CD OC BC ==，

∴1

302CDB CBD OCD ∠=∠=∠=o ，

∴603090ODB ∠=+=o o o ，∴OD BD ⊥， ∵OD 为半径，∴BD 与O e 相切．

(2)∵30A ∠=o ，30CDB ∠=o ，90ABC ∠=o ，AB ，

∴BD =2AC BC =，

∴2222BC BC +=（）， ∴1BC =， ∴1OD =，

∴阴影部分的面积为21601123606

OBD OCD S S ∆π

π-=

-⨯π⨯扇形． 16．解：(1)由题意(1,0)A -，(2,0)B ，(0,2)C -，

设二次函数的解析式为(1)(2)y a x x =+-，则2(01)(02)a -=+-，解得1a =，

∴22y x x =--，顶点为19

(,)24

D -．

(2)点(2,0)B 、19(,)24D -所在的直线方程为332y x =-，∴2

(2,)3

E t t --，其中904t <<，

∴211211

=12+(2)(2)322333

AOC OCEF S S S t t t t ∆=+⨯⨯⨯+⨯-=-++梯形，

即211

333

S t t =-++，其中自变量t 的取值范围是904t <<．

(3)存在点157(,)24G 和235

(,)24

G -使得ACG ∆为直角三角形．

设点G 的坐标为2

(,2)G m m m --，

则2222()365AG m m m m =--++，2222()CG m m m =+-，2AC ①若AG 为斜边，则222AG CG AC =+， 即222222()365()5m m m m m m m --++=+-+， 解得0m =(舍)，或32m =

，此时点35

(,)24

G -； ②若CG 为斜边，则222CG AG AC =+， 即222222()()3655m m m m m m m +-=--+++， 解得1m =-(舍)，或52m =

，此时点57(,)24

G ； ③若AC 为斜边，则222AG CG AC +=， 即222222()365()5m m m m m m m --++++-=，

解得0m =(舍)，或1m =-(舍)，或m 无解，此时点G 不存在，综上，存在点157(,)24G 和235

(,)24

G -使得ACG ∆