三角形的性质
三角形及其性质
三角形及其性质【知识要点】1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形的性质：（1）边：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）角：①三角形内角和等于180；②三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和； 3．三角形的分类 （1）按边分类（2）按角分类 4．三角形中的特殊线（1）高（2）角平分线 （3）中线 （4）中位线5．内心：三条角平分线的交点. 外心：是垂直平分线的交点. 重心：三条中线的交点 垂心：三条高所在直线的交点 考点一：三角形的三边关系考题类型：1.判定三条线段能否构成三角形 2. 求三角形的边的取值范围考点三必知：已知两边长分别a ，b ，且a>b ，则第三边长x 的取值范围是a-b<x<a+b,即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【例1】若某三角形的两边分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ） A. 1 B.5 C.7 D.9【练习】：下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8 考点二：三角形的角考题类型：1.三角形内角和定理的应用 2. 三角形外角的性质的应用⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形考点一必知：明确一副三角形的角度90°，45°，45°和90°，60°，30°以及外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”【例2】将一副三角板按如图1-3中的方式叠放，则∠а的读数是（ ） A. 30° B.45° C.60° D.75°【练习】一副三角板，如图1-10所示叠放在一起，则图中∠а的度数是 .【例3】如图1.11，在ΔABC 中，∠B=46°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ， 则∠AEC= .【练习】在ΔABC 中，点P 是ΔABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB= 度考点三：等腰三角形考题类型：1.等腰三角形的性质 2.等腰三角形的判定 3.三线合一 4.等边三角形考点四必知：①“等边对等角”可以用来证明两个角相等；②“等角对等边”可以用来证明两条线段相等.【例3】如图1-4，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（ ）A. 40海里B.60海里C.70海里D.80海里【练习】如图1-5，ΔABC 与ΔDEF 均为等腰三角形，O 为BC ，EF 的中点，则AD ：BE 的值为 A. 3 B. 2 C. 35 D.不确定考点四：直角三角形 考题类型：1.勾股定理 2.勾股定理的逆定理 3.含30°角的直角三角形 4.等腰直角三角形解题技巧：在三角形的边的计算问题中，如果没有直角三角形，可以通过作垂线构造直角三角形来解决问题.【例6】如图1-6所示，在ΔABC 中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC 取一点E ，以BE 为折痕，使 点A 和BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（ ）A. 6B. 3C. 23D. 3【例7】如图1.13知：△ABC中,AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，求证：2DC=BD【练习】如图1-7，ΔABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为（）A. 2B. 23C.3D. 3考点五：三角形中特殊的线【例1】如图1-1，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2:1，BC=7.8cm，则点D到AB的距离是 cm.【练习】1.三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A. 中线B. 角平分线C. 高D. 中位线2.如图1-2，在ΔABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 .考点六等腰三角形的多解问题考题类型：1.对等腰三角形的腰分类讨论 2.对等腰三角形的底角分类讨论3.对等腰三角形的高分类讨论.解题技巧：当等腰三角形的腰或顶角不明确时，通常要根据题意进行分类讨论，将几种情况逐一进行研究，做到不重不漏.【例8】一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 .【练习】如图1-11，点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴上，且ΔAPO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A.（4,0） B.（1,0） C.（22，0） D.（2,0）南宁中考题1.（2010，3分）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是：（Ａ）a<c<b （Ｂ）a<b<c （Ｃ）c<a<b （Ｄ）c<b<a2.（2010，3分）如图2所示，在Rt ABC △中，90A ∠=°，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是：（Ａ）3 （Ｂ）4 （Ｃ）5 （Ｄ）6 练习题：1.（2012，四川巴中）三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 中位线2.（2012浙江嘉兴）已知ΔABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°3.（2012义乌）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 84.（2012湖南怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 45.如图1-8，在ΔABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ） A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 76.（2012四川绵阳）如图1-9，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1+∠2=（ ） A. 225° B. 235° C. 270° D. 与虚线的位置有关7.如图1-12，在ΔABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（ ）FED C B AFEDC B AA. 90°B. 80°C. 70°D. 60°8.（2012海安模考）在ΔABC 中，BC ：AC ：AB=1:1：2，则ΔABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9.（2011乐山）如图1-13，在直角ΔABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数。
三角形内角和性质
性质：三角形的内角和等于180°。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线
段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
三角形是几何图案的基本图形。
三角形分类
按角分
判定法一：
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。
判定法二：
1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。
1。
三角形及其性质(基础)知识讲解
三角形及其性质(基础)知识讲解三角形及其性质知识讲解三角形是几何学中最基本的图形之一，广泛应用于各个领域。
本文将对三角形及其性质进行详细的讲解。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段相互连接，构成一个封闭的图形。
三角形的名称通常是由连接它们的顶点表示，如ABC表示由线段AB、BC和CA所形成的三角形。
二、三角形的分类根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1)等边三角形：三条边的长度都相等。
每个内角都为60度。
(2)等腰三角形：两条边的长度相等。
顶角所对的两边相等。
(3)普通三角形：三条边的长度各不相等。
2. 根据角度分类(1)锐角三角形：三个内角都小于90度。
(2)直角三角形：一个内角为90度。
较长的边称为斜边，与直角所对的边称为直角边。
(3)钝角三角形：一个内角大于90度。
三、三角形的性质三角形具有以下一些重要的性质：1. 三角形的内角和定理三角形的所有内角之和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角等于与之相对的内角之和。
即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A。
3. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分为两个相等的角。
三角形的角平分线相交于三角形的内心。
4. 三角形的中线三角形的中线是指连接一个顶点和对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
5. 三角形的高线三角形的高线是指从一个顶点引垂线到对边上的垂足所形成的线段。
三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。
6. 三角形的外心三角形的外心是指过三角形三个顶点的圆的圆心。
在任何非等边三角形中，外心都存在且唯一。
四、三角形的应用三角形的性质在实际应用中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 三角形的距离计算通过已知的边长和角度，可以使用三角函数来计算三角形之间的距离。
三角形的性质与关系
三角形的性质与关系三角形是几何学中研究得最为广泛的一个基本图形，其性质和关系的研究对于解决实际问题、推导几何定理等都具有重要意义。
下面将介绍三角形的常见性质和相应的关系。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每个线段都是一个边，两个边之间的交点称为顶点。
任意两个边都不能共线。
2. 三角形的分类根据边的长度和角的大小，三角形可以分为以下几类：(1) 等边三角形：三个边的长度相等。
(2) 等腰三角形：两个边的长度相等。
(3) 直角三角形：其中一个角为直角（90度）。
(4) 钝角三角形：其中一个角大于90度。
(5) 锐角三角形：三个角都小于90度。
3. 三角形的性质根据三角形的定义和分类，我们可以得出以下性质：(1) 等边三角形的三个角都是60度。
(2) 等腰三角形的两个底角相等。
(3) 直角三角形的直角边相对的两个角是锐角，其他两个角是钝角。
(4) 钝角三角形的最大角大于90度。
(5) 锐角三角形的三个角都是锐角。
4. 三角形的内角和三角形的内角和等于180度。
这是三角形最基本的性质之一。
可以通过以下方法来证明：(1) 在任意三角形中，我们可以做一个角平分线，将角分为两个相等的角，然后利用两个相等的角以及直线共线的性质，得出内角和等于180度。
(2) 利用三角形的外角和的性质，即三角形的外角和等于360度。
由于三角形的内角和和外角和相互补充，所以内角和等于180度。
5. 三角形的边长关系(1) 三角形两边之和大于第三边。
即对于边长为a、b、c的三角形，有a+b>c，a+c>b，b+c>a。
(2) 等边三角形的三边长度相等。
(3) 等腰三角形中，两个边的长度可以决定第三边的长度。
6. 三角形的角度关系(1) 三角形的内角和等于180度。
即三个角的度数之和为180度。
(2) 两个角的夹角等于第三个角的外角。
即两个角的夹角加上它们的外角等于180度。
综上所述，三角形具有丰富的性质和关系，通过研究可以发现很多有趣的几何定理。
三角形的所有性质
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
直角三角形所有性质
直角三角形所有性质
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．∠C=90° ∠A+∠B=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab=ch．
性质5：含30°的直角三角形三边之比为1：√3：2,它所对的直角边等于斜边的一半。
性质6：含45°角的直角三角形三边之比为1：1：√2
考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有：，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、直角三角形全等的判定
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或者HL）
SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）SSS（）
考点四、角平分线的性质
1.角的平分线上的点到角两边的距离相等。
2.角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上。
三角形的全等性质
三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。
其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。
本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。
一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。
全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。
二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。
2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。
3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。
4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。
通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。
三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。
例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。
2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。
通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。
3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。
4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。
我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。
三角形的特征与性质知识点总结
三角形的特征与性质知识点总结三角形是几何学中最基本的图形之一，其特征与性质是我们学习和应用几何学的基础。
本文将对三角形的特征与性质进行总结，并介绍其相关知识点。
一、三角形的定义与基本特征三角形是由三条线段构成的图形，它有三个顶点、三条边和三个内角。
三角形的基本特征包括：1. 三角形的边：三角形有三条边，用线段统一表示为AB、BC和CD。
2. 三角形的顶点：三角形有三个顶点，用大写字母A、B和C表示。
3. 三角形的内角：三角形有三个内角，用小写字母a、b和c表示。
二、三角形的分类根据三角形的特征和性质，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边的长度分类：a. 等边三角形：三条边的长度相等，如ABC为等边三角形。
b. 等腰三角形：两条边的长度相等，如AB=AC的三角形。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等，如AB≠BC≠CA的三角形。
2. 根据角的大小分类：a. 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），如∠A=90°的三角形。
b. 钝角三角形：其中一个内角为钝角（大于90度），如∠A>90°的三角形。
c. 锐角三角形：三个内角都为锐角（小于90度），如∠A、∠B 和∠C都小于90°的三角形。
三、三角形的性质三角形具有一些重要的性质，它们对于解决几何问题非常有用。
以下是一些重要的三角形性质：1. 三角形内角和性质：三角形的三个内角之和为180度，即a + b +c = 180°。
2. 三角形的外角性质：三角形的每个外角等于其对应内角的补角。
3. 三角形的边长关系性质：a. 三角形两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
b. 两边之差小于第三边，即|AB - BC| < AC，|AC - BC| < AB，|AB - AC| < BC。
4. 三角形的角度关系性质：a. 在锐角三角形中，最大的角所对的边也最长，最小的角所对的边也最短。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的性质
三角形是平面几何中最基本的形状之一，在数学中具有丰富的性质。
本文将详细探讨三角形的性质，包括角度和边长等方面。
一、三角形的角度性质
1. 内角和性质
对于任意一个三角形，其三个内角的和始终为180度。
这是三角形
角度性质中最重要的定理之一。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有A + B + C = 180°。
2. 外角和性质
三角形的外角是指一个三角形内部的一条边被延长后，与另外两条
内角的补角所构成的角。
对于任意一个三角形，其每个外角等于被延
长边上的其它两个内角。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，其对
应的外角分别为X、Y、Z，则有X = 180° - A，Y = 180° - B，Z = 180°- C。
二、三角形的边长性质
1. 等边三角形
等边三角形是指三个边长相等的三角形。
在等边三角形中，三个内
角也相等，每个内角都是60度。
2. 等腰三角形
等腰三角形是指两条边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底边所对的内角相等，而顶角（顶点所对的内角）则可能不相等。
3. 直角三角形
直角三角形是指一个内角为90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，而与直角相邻的两条边则分别称为直角边。
4. 锐角三角形
锐角三角形是指所有内角都小于90度的三角形。
5. 钝角三角形
钝角三角形是指至少一个内角大于90度的三角形。
三、三角形的不等式性质
1. 三角形两边之和大于第三边
对于任意一个三角形，其任意两边的和大于第三边。
设三角形的三边分别为a、b、c，则有a + b > c，a + c > b，b + c > a。
2. 两边之差小于第三边
对于任意一个三角形，其任意两边之差小于第三边。
设三角形的三边分别为a、b、c，则有|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。
综上所述，三角形具有众多的性质，包括角度和边长等方面。
通过学习和理解这些性质，我们能够更好地理解和应用三角形的知识。