三角形及其基本性质
三角形
特殊点、线
证明 五心的距离
作用
其中，R是外接圆半径；r是内切圆半径。
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。 ∴第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定 ∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定 ∴三角形有稳定性 任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形（n≥4）每个角都不固定
基本定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧 线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。
分类
判断方法
三角形
几何图形
01 基本定义
03 周长公式 05 四线
目录
02 分类 04 面积公式 06 性质
07 边角关系
09 相似
目录
08 全等 010 特殊点、线
三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、 建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等 的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角 形统称斜三角形。
相似
定义
特点
判定
对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。 2、相似三角形对应边的比叫做相似比。 3、相似三角形的周长比等线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。
三角形的基本认识和性质
三角形的基本认识和性质三角形是初中数学中的基础知识之一，是由三条边和三个内角组成的多边形。
在几何学中，三角形有着独特的性质和特点。
本文将介绍三角形的基本认识和性质。
一、三角形的基本元素三角形由三条边和三个内角组成。
根据三角形的边长，我们可以将其分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形的三条边长度相等；等腰三角形的两条边长度相等；一般三角形的三条边长度都不相等。
二、三角形的内角和外角三角形的三个内角之和为180度。
其中，当一个内角大于90度时，该角称为钝角；当一个内角等于90度时，称为直角；当一个内角小于90度时，称为锐角。
与内角对应的是三角形的外角，外角是指与三角形的一个内角相邻且不重合的角。
三角形的外角和等于360度。
三、三角形的周长和面积三角形的周长是指三个边长的总和。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，则周长可以表示为P=a+b+c。
三角形的面积是指三角形所围成的空间。
常用的计算三角形面积的公式是海伦公式和面积公式。
海伦公式适用于已知三边长的情况，可以表示为S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是三边长之和的一半。
面积公式适用于已知底边和高的情况，可以表示为S=1/2×底边×高。
四、三角形的重要性质1. 三角形内任意两边之和大于第三边。
这是三角形存在的基本条件。
2. 等边三角形三个内角都是60度，等腰三角形的两个底角相等。
3. 锐角三角形的三个内角都是锐角；直角三角形的两条直角边满足勾股定理；钝角三角形的一个内角是钝角。
4. 底边相等的等腰三角形的顶角相等；底边相等的等腰三角形的两腰相等。
5. 边长相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边和对应角都相等。
6. 三角形的中线相等并且平行于底边的两边平分对底角；三角形的高线相等并垂直于底边；三角形的角平分线可以平分对应的内角。
五、应用举例三角形的性质在几何学中有着广泛的应用。
例如，通过三角形的面积公式，我们可以计算出塔楼的高度；通过三角形的全等性质，我们可以判断两个图形是否相等；通过三角形的角平分线性质，我们可以找到图形的对称轴等。
三角形的性质与定理
三角形的性质与定理在几何学中，三角形是一个基本的形状。
它由三条线段组成，它们相交于三个顶点。
本文将探讨三角形的性质与定理，通过了解这些定理，可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段的两两组成三个顶点，且其两边之和大于第三边。
2. 三角形的种类根据三角形的边长和角度，可以将三角形分为以下几种类型：(1) 等边三角形：三条边的长度相等，三个角的大小均为60度。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等，两个角的大小也相等。
(3) 直角三角形：其中一个角是90度。
(4) 锐角三角形：三个角都小于90度。
(5) 钝角三角形：其中一个角大于90度。
3. 三角形的性质了解三角形的性质对于解决相关问题至关重要，以下是一些三角形的基本性质：(1) 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180度。
(2) 外角定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。
(3) 对称性：三角形的每条边都有对称边。
(4) 三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
(5) 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
4. 三角形的定理除了基本性质外，还有许多关于三角形的定理值得了解，这些定理可以帮助我们更好地理解和解决相关问题：(1) 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sin(A) = b/sin(B) =c/sin(C)，其中a、b、c分别代表三角形的边长，A、B、C分别代表三角形的角度。
(2) 余弦定理：在任意三角形ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(C)。
(3) 角平分线定理：三角形内任意一条角平分线将对边分成相似的部分。
(4) 中线定理：三角形内任意一条中线的长度等于对边长度的一半。
(5) 高线定理：三角形内任意一条高线将底边分成两段，其长度与对应的角的正弦值成正比例。
这些性质和定理仅仅是三角形研究的冰山一角，深入掌握这些定理，将能够为我们进一步理解和解决几何学中与三角形相关的问题提供强有力的基础。
三角形的基本概念和性质
三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。
一、基本概念1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。
三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。
2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。
3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。
4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。
5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角也相等。
6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²。
7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。
8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。
三、应用三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。
1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。
2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。
三角形的概念和性质
三角形的概念和性质三角形是几何学中重要的基本图形之一，由三条线段组成的封闭图形。
本文将介绍三角形的概念和常见性质。
一、三角形的概念三角形是由三条线段组成的封闭图形，其中每两条线段之间都有一个顶点。
三角形的三个边可以是不同长度的线段，而且不存在两条边之和小于第三条边的情况。
根据三条线段的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.等边三角形如果一个三角形的三条边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个内角相等，每个内角都是60度。
2.等腰三角形如果一个三角形的两条边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
3.一般三角形如果一个三角形的三条边长度各不相等，那么这个三角形就是一般三角形。
一般三角形的三个内角不相等。
二、三角形的性质除了按边长和角度分类外，三角形还有一些重要的性质。
1.内角和三角形的三个内角的和是180度。
这个性质被称为三角形内角和定理。
无论三角形是等边、等腰还是一般三角形，其内角和始终等于180度。
2.外角和对于任意一个三角形，其三个外角的和也是180度。
这个性质被称为三角形外角和定理。
三角形的一个内角和其相对的外角之和等于180度。
3.三边关系三角形的三条边之间也有一些特殊的关系。
(1)三角不等式三角不等式是指三条线段的长度满足以下关系：任意两条线段之和大于第三条线段的长度。
如果三条线段的长度满足不等式中的等号，那么这三条线段可以组成一个退化三角形。
(2)直角三角形如果一个三角形的一个内角是90度，我们称它为直角三角形。
直角三角形中较长的边被称为斜边，其他两条边分别称为直角边。
(3)勾股定理勾股定理是直角三角形最重要的性质之一，它表明直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。
勾股定理可以表示为a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。
总结：三角形是由三条线段组成的封闭图形，根据边长和角度的关系可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
三角形的性质与关系
三角形的性质与关系三角形是几何学中研究得最为广泛的一个基本图形，其性质和关系的研究对于解决实际问题、推导几何定理等都具有重要意义。
下面将介绍三角形的常见性质和相应的关系。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每个线段都是一个边，两个边之间的交点称为顶点。
任意两个边都不能共线。
2. 三角形的分类根据边的长度和角的大小，三角形可以分为以下几类：(1) 等边三角形：三个边的长度相等。
(2) 等腰三角形：两个边的长度相等。
(3) 直角三角形：其中一个角为直角（90度）。
(4) 钝角三角形：其中一个角大于90度。
(5) 锐角三角形：三个角都小于90度。
3. 三角形的性质根据三角形的定义和分类，我们可以得出以下性质：(1) 等边三角形的三个角都是60度。
(2) 等腰三角形的两个底角相等。
(3) 直角三角形的直角边相对的两个角是锐角，其他两个角是钝角。
(4) 钝角三角形的最大角大于90度。
(5) 锐角三角形的三个角都是锐角。
4. 三角形的内角和三角形的内角和等于180度。
这是三角形最基本的性质之一。
可以通过以下方法来证明：(1) 在任意三角形中，我们可以做一个角平分线，将角分为两个相等的角，然后利用两个相等的角以及直线共线的性质，得出内角和等于180度。
(2) 利用三角形的外角和的性质，即三角形的外角和等于360度。
由于三角形的内角和和外角和相互补充，所以内角和等于180度。
5. 三角形的边长关系(1) 三角形两边之和大于第三边。
即对于边长为a、b、c的三角形，有a+b>c，a+c>b，b+c>a。
(2) 等边三角形的三边长度相等。
(3) 等腰三角形中，两个边的长度可以决定第三边的长度。
6. 三角形的角度关系(1) 三角形的内角和等于180度。
即三个角的度数之和为180度。
(2) 两个角的夹角等于第三个角的外角。
即两个角的夹角加上它们的外角等于180度。
综上所述，三角形具有丰富的性质和关系，通过研究可以发现很多有趣的几何定理。
三角形的定义及性质
三角形的定义及性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的交点称为顶点，两条线段之间的边称为边。
本文将探讨三角形的定义以及其常见的性质。
一、三角形的定义在几何学中，三角形可以定义为一个有三条边的图形。
每一条边都连接两个顶点，而每两条边之间的交点也是一个顶点。
三角形的三个顶点分别用A、B、C表示，三条边分别用a、b、c表示。
根据边长的关系，三角形可以分为以下三种类型：1. 等边三角形：如果三条边的长度都相等，即a=b=c，那么这个三角形就是等边三角形。
2. 等腰三角形：如果两条边的长度相等，即a=b或b=c或a=c，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 不等边三角形：如果三条边的长度都不相等，即a≠b≠c，那么这个三角形就是不等边三角形。
二、三角形的性质三角形有许多有趣的性质，下面将介绍其中一些常见的性质：1. 三角形的内角和为180度：对于任意三角形ABC，其内角A、B、C的度数之和等于180度。
这是因为在平面几何中，三角形的内角和总是固定的。
2. 外角等于两个不相邻内角之和：三角形的每个内角都有一个对应的外角，它是与内角不相邻的另外一条边所在的角。
对于三角形ABC来说，外角A等于内角B和C的度数之和，外角B等于内角A和C的度数之和，外角C等于内角A和B的度数之和。
3. 三边关系：在三角形ABC中，两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
换句话说，对于三角形ABC来说，a+b>c，a+c>b，b+c>a。
这个性质被成为三边关系定理，它是判断三条线段能否组成三角形的重要条件。
4. 直角三角形：如果三角形中有一个内角等于90度，那么这个三角形就是直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
5. 等腰三角形的性质：对于等腰三角形ABC来说，它有以下一些独特的性质：- 两个底角（即底边对应的内角）是相等的；- 等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直距离）是中线、中位线、角平分线和高线；- 等腰三角形可以划分为两个全等的直角三角形。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，包括三角形的定义、分类、元素、角度关系以及三角形的定理等。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的图形，其中每个线段都被称为一个边，而连接两个边的点则被称为顶点。
三角形的三个顶点围成一个封闭的区域。
二、三角形的分类根据三角形的边长以及角度大小，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1) 等边三角形：三条边的长度均相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角度大小分类(1) 钝角三角形：一个角大于90°。
(2) 直角三角形：唯一一个角等于90°。
(3) 锐角三角形：三个角均小于90°。
3. 根据边长和角度大小综合分类(1) 正三角形：既是等边三角形，又是等腰三角形。
(2) 等腰直角三角形：既是等腰三角形，又是直角三角形。
三、三角形的元素三角形除了边和角之外，还有一些重要的元素：1. 顶点角：三角形的三个顶点所对应的角。
2. 底边：连接两个顶点的边。
3. 高：从底边到顶点所做的垂直线段。
四、三角形的角度关系1. 内角和定理：三角形内角的和等于180°。
2. 外角和定理：三角形的外角的和等于360°。
五、三角形的性质与定理1. 等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两底角相等。
(2) 等腰三角形的高、中线、角平分线和垂心都是重合的。
2. 直角三角形的性质（勾股定理）：(1) 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 根据勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 三角形的面积公式（海伦公式）：三角形的面积可以用海伦公式进行计算，公式如下：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边的长度。
通过了解三角形的基本概念与性质，我们可以更好地理解和分析三角形相关的问题。
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《三角形及其基本性质》复习教案
教学目标：1.复习三角形的有关概念，会画三角形的角平分线、中线、高、中位线。
2.加深对三角形的内角和定理及其推论的理解，并能灵活运用三角形性质解决
题。
3．通过练习逐步培养学生应用技巧和探究问题的能力。
教学重点：三角形三条线、三角形的三边关系、内角和及外角的性质的应用。
教学难点：综合应用三角形的概念和性质解决问题。
教学过程：
情境创设
三角形是最简单的多边形，请将你课前的复习作业准备出来，我们共同复习。
（引出课题）二．基础知识梳理
考点1.三角形分类
（1）
(2)
考点2.
（1）三角形的三边关系及内角和定理
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
三角形的三个内角之和等于180°.
在同一直角三角形中，大边对大角，小边对小角．
（2）三角形内外角关系
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
考点3.三角形的四线
（1）一个三角形有几条中线？它们交点有什么性质？这个交点叫三角形的什么心？
（2）三角形有几条角平分线？它们的交点有什么性质？这个交点叫三角形的什么心？（3）三角形有几条高线？它们的交点与三角形有什么位置关系?这个交点叫三角形的什么心？
（4）一个三角形有几条中位线，它们有什么性质？它与三角线中线有什么区别？
说明：三角形的中线、高线、角平分线都是。
（填“直线”、“射线”或“线段”）（引导学生回顾并口述，教师根据学生的口答用多媒体同步展示）
三．真题回放课堂互动
考查1三角形的边和角的性质
1．[2015河北，15]如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是( )
A.②③
B. ②⑤
C. ①③④
D. ④⑤
2．[2013河北，15]如图①，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图②.则下列说法正确的是 ( )
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
3．[2013河北，13]一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2 ＝ ( )
A．90° B．100°
C．130° D．180°
4．[2011河北，10]已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的
三角形个数为( )
A．2 B．3 C．5 D．13
考查2 三角形的“四线”
5．[2016河北，9]图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
6．[2014河北，2]如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，
则BC＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
四．典例精析
例1若一个三角形的两边长分别为3 和7，则第三边长可能是( )
A．6 B．3 C．2 D．11
例2如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是()
A．8 B．6
C．4 D．2
例3如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝()
A．3 B．4
C．4.8 D．5
五．备考集训
打开练习册 15分钟专练
《三角形概念和性质》复习课教学设计说明
首先感谢闫主任和各位在座老师给我提供了这次探讨交流的机会。
下面我把这节课的教学构想简单向大家汇报一下。
由于本节课内容包括三角形的分类，三角形三边的不等关系，三角形内角和定理及其推论，三角形中的几条重要线段，概念较多，近几年中考命题是以填空题和选择题为主要考查方式，所以我这节课所选的例题或习题都是填空题或选择题。
先让学生回顾本课时的基本知识点，再分类巩固知识点应用，以加强学生对基本概念、解题思想的认识。
本课时的大多练习都是概念和性质的直接运用，以提高基础薄弱点的学生的学习兴趣，在学习三角形性质运用时我选了异题同构的三题，让学生自己做完后就可归纳出∠1、∠2和被折角的关系，逐步培养学生的观察和概括能力，三角形的探究中的例题由三角形的拼接、运动形成新数学问题，培养了学生的探究问题能力。
设想留出15分钟左右的时间让学生检测一下自己掌握的情况，以加深对三角形概念和性质的新认识，组长批阅完后，教师核对答案，有问题的小组讨论解决，以促使学生及时订正、反馈。