三角形及其性质(基础)知识讲解
三角形及其性质
三角形及其性质【知识要点】1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形的性质：（1）边：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）角：①三角形内角和等于180；②三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和； 3．三角形的分类 （1）按边分类（2）按角分类 4．三角形中的特殊线（1）高（2）角平分线 （3）中线 （4）中位线5．内心：三条角平分线的交点. 外心：是垂直平分线的交点. 重心：三条中线的交点 垂心：三条高所在直线的交点 考点一：三角形的三边关系考题类型：1.判定三条线段能否构成三角形 2. 求三角形的边的取值范围考点三必知：已知两边长分别a ，b ，且a>b ，则第三边长x 的取值范围是a-b<x<a+b,即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【例1】若某三角形的两边分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ） A. 1 B.5 C.7 D.9【练习】：下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8 考点二：三角形的角考题类型：1.三角形内角和定理的应用 2. 三角形外角的性质的应用⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形考点一必知：明确一副三角形的角度90°，45°，45°和90°，60°，30°以及外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”【例2】将一副三角板按如图1-3中的方式叠放，则∠а的读数是（ ） A. 30° B.45° C.60° D.75°【练习】一副三角板，如图1-10所示叠放在一起，则图中∠а的度数是 .【例3】如图1.11，在ΔABC 中，∠B=46°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ， 则∠AEC= .【练习】在ΔABC 中，点P 是ΔABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB= 度考点三：等腰三角形考题类型：1.等腰三角形的性质 2.等腰三角形的判定 3.三线合一 4.等边三角形考点四必知：①“等边对等角”可以用来证明两个角相等；②“等角对等边”可以用来证明两条线段相等.【例3】如图1-4，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（ ）A. 40海里B.60海里C.70海里D.80海里【练习】如图1-5，ΔABC 与ΔDEF 均为等腰三角形，O 为BC ，EF 的中点，则AD ：BE 的值为 A. 3 B. 2 C. 35 D.不确定考点四：直角三角形 考题类型：1.勾股定理 2.勾股定理的逆定理 3.含30°角的直角三角形 4.等腰直角三角形解题技巧：在三角形的边的计算问题中，如果没有直角三角形，可以通过作垂线构造直角三角形来解决问题.【例6】如图1-6所示，在ΔABC 中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC 取一点E ，以BE 为折痕，使 点A 和BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（ ）A. 6B. 3C. 23D. 3【例7】如图1.13知：△ABC中,AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，求证：2DC=BD【练习】如图1-7，ΔABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF=2，则PE的长为（）A. 2B. 23C.3D. 3考点五：三角形中特殊的线【例1】如图1-1，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2:1，BC=7.8cm，则点D到AB的距离是 cm.【练习】1.三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A. 中线B. 角平分线C. 高D. 中位线2.如图1-2，在ΔABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 .考点六等腰三角形的多解问题考题类型：1.对等腰三角形的腰分类讨论 2.对等腰三角形的底角分类讨论3.对等腰三角形的高分类讨论.解题技巧：当等腰三角形的腰或顶角不明确时，通常要根据题意进行分类讨论，将几种情况逐一进行研究，做到不重不漏.【例8】一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 .【练习】如图1-11，点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴上，且ΔAPO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A.（4,0） B.（1,0） C.（22，0） D.（2,0）南宁中考题1.（2010，3分）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是：（Ａ）a<c<b （Ｂ）a<b<c （Ｃ）c<a<b （Ｄ）c<b<a2.（2010，3分）如图2所示，在Rt ABC △中，90A ∠=°，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是：（Ａ）3 （Ｂ）4 （Ｃ）5 （Ｄ）6 练习题：1.（2012，四川巴中）三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 中位线2.（2012浙江嘉兴）已知ΔABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°3.（2012义乌）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 84.（2012湖南怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 45.如图1-8，在ΔABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ） A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 76.（2012四川绵阳）如图1-9，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1+∠2=（ ） A. 225° B. 235° C. 270° D. 与虚线的位置有关7.如图1-12，在ΔABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（ ）FED C B AFEDC B AA. 90°B. 80°C. 70°D. 60°8.（2012海安模考）在ΔABC 中，BC ：AC ：AB=1:1：2，则ΔABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9.（2011乐山）如图1-13，在直角ΔABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数。
全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解
A．
B．
C． D． 如图，在 5 个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.
类型二、全等三角形的对应边，对应角 如图，△ABN≌△ACM，∠B 和∠C 是对应角，AB 与 AC 是对应边，写出其他对应边和对应角.
如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.
DF 4cm ，求： （1） 1 的度数； （2） AC 的长．
E
F
A
C D
1
B
如图，已知 △ ABC 中， AB AC 10 厘米， BC 8 厘米，点 D 为 AB 的中点． （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与 △CQP 是否全等，
已知：△ABC≌△ADE，求证：∠BAE=∠DAC
顶点 C 与 B 对应， 写出其他对应角及对应顶点． △ ABE 与 △ ACD 全等，D 与 E 对应，
Ａ Ｄ Ｍ Ｎ Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
如图 △ ABD ≌△ ACE ，试说明 EBD 与 DCE 的关系．
C
O B E
A 三、全等三角形性质
如图所示，Rt△EBC 中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以 B 为中心，将 Rt△EBC 绕点 B 逆时针 旋转 90°得到△ABD，求∠ADB 的度数.AB=3cm，AC=8cm，求 DE 的长.
全等三角形的概念和性质
一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合 的两个图形叫做全等形. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、 翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫 对应角. 在写两个三角形全等时， 通常把对应顶点的字母写在对应位置上， 这样容易找出对应边、 对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E， 点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE，BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E， ∠C 和∠F 是对应角.
三角形及其性质(基础)知识讲解
三角形及其性质(基础)知识讲解三角形及其性质知识讲解三角形是几何学中最基本的图形之一，广泛应用于各个领域。
本文将对三角形及其性质进行详细的讲解。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段相互连接，构成一个封闭的图形。
三角形的名称通常是由连接它们的顶点表示，如ABC表示由线段AB、BC和CA所形成的三角形。
二、三角形的分类根据三角形的边长关系和角度关系，我们可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1)等边三角形：三条边的长度都相等。
每个内角都为60度。
(2)等腰三角形：两条边的长度相等。
顶角所对的两边相等。
(3)普通三角形：三条边的长度各不相等。
2. 根据角度分类(1)锐角三角形：三个内角都小于90度。
(2)直角三角形：一个内角为90度。
较长的边称为斜边，与直角所对的边称为直角边。
(3)钝角三角形：一个内角大于90度。
三、三角形的性质三角形具有以下一些重要的性质：1. 三角形的内角和定理三角形的所有内角之和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角等于与之相对的内角之和。
即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A。
3. 三角形的角平分线三角形的角平分线是指从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分为两个相等的角。
三角形的角平分线相交于三角形的内心。
4. 三角形的中线三角形的中线是指连接一个顶点和对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，该点被称为三角形的重心。
5. 三角形的高线三角形的高线是指从一个顶点引垂线到对边上的垂足所形成的线段。
三角形的三条高线交于一点，该点被称为三角形的垂心。
6. 三角形的外心三角形的外心是指过三角形三个顶点的圆的圆心。
在任何非等边三角形中，外心都存在且唯一。
四、三角形的应用三角形的性质在实际应用中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 三角形的距离计算通过已知的边长和角度，可以使用三角函数来计算三角形之间的距离。
三角形的分类与性质(知识点总结)
三角形的分类与性质（知识点总结）三角形是几何学中的基本图形之一，其分类与性质是我们学习和掌握三角形知识的基础。
本文将对三角形的分类以及其相关性质进行总结，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。
一、三角形的分类根据三角形的边长长短和角度大小，三角形可以分为以下几类：1.按边长分类：（1）等边三角形：三条边的长度相等。
（2）等腰三角形：两条边的长度相等。
（3）普通三角形：三条边的长度各不相等。
2.按角度大小分类：（1）锐角三角形：三个内角均小于90度。
（2）直角三角形：其中一个内角为90度。
（3）钝角三角形：其中一个内角大于90度。
3.根据边长和角度分类的组合：根据边长和角度的不同组合，可以得到以下三角形的特殊分类：（1）等边等角三角形：即正三角形，三个内角均为60度，且三条边长度相等。
（2）等腰直角三角形：拥有一个直角，且两条腰的长度相等。
（3）等腰锐角三角形：拥有两个锐角，且两条腰的长度相等。
（4）等腰钝角三角形：拥有一个钝角，且两条腰的长度相等。
二、三角形的性质除了分类外，三角形还有一些重要的性质值得我们关注和记忆：1.内角和：任意三角形的三个内角和等于180度。
2.角的关系：（1）锐角三角形中，三个内角的大小按大小顺序排列即可。
(如A<B<C)（2）直角三角形中，其中一个内角为90度，另外两个内角互为补角。
（3）钝角三角形中，其中一个内角大于90度，另外两个内角的和小于90度。
3.边的关系：（1）等边三角形的三条边长度相等。
（2）等腰三角形的两个底角（等腰三角形两腰之间的夹角）相等。
（3）等腰直角三角形中，两条腰的长度相等，且斜边是两腰长度的平方和的平方根。
4.勾股定理：勾股定理是直角三角形最重要的定理，描述了直角三角形斜边平方等于两直角边平方和的关系。
5.海伦公式：海伦公式用于计算任意三角形的面积，公式为：面积 = （p * (p - a) * (p - b) * (p - c)）的平方根，其中p为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边长。
自学初中数学资料-三角形的定义与性质(资料附答案)
自学资料一、三角形的定义与性质【知识探索】1．三角形外角的性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；第1页共44页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．2．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．【说明】三角形任意两边的差小于第三边．【错题精练】例1．如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=42°，∠ACB=74°，则∠FDE=______．【解答】解：在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠A=180°-42°-74°=64°在四边形AFDE中，∵∠A+∠AFC+∠AEB+∠FDE=360°又∵∠AFC=∠AEB=90°，∠A=64°∴∠FDE=360°-90°-90°-64°=116°故答案为：116°【答案】116°例2．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是______．【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=12∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=12∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=12（∠ABC+∠ACB）=12×128°=64°，第2页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴∠BD1C=180°-1（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，2（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°，同理∠BD2C=180°-34（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°．依此类推，∠BD5C=180°-3132故答案为：56°．【答案】56°例3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，AB=3cm，BC=2.5cm，△ABD的面积为2cm2，求△ABC的面积．【答案】解：在△ABD中，∵S△ABD=12AB•DE，AB=3cm，S△ABD=2cm2，∴DE=43cm…（2分）过D作DF⊥BC于F．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∴DF=43第3页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训cm…（4分）在△BCD中，BC=2.5cm，DF=43cm∴S△BCD=12BC•DF=53(cm)2…（6分）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，∴S△ABC=2+53=113(cm)2…（8分）例4．已知：如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC 的边AB、AC和CB的延长线于D、E、F．求证：∠F+∠FEC=2∠A．【答案】证明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，∵∠ADE=∠BDF，第4页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．例5．问题1如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是______研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是______研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．猜想：______理由问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是______．【解答】解：（1）根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）由图形折叠的性质可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），故∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．证明如下：连接AA′构造等腰三角形，∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，（4）如图④，由图形折叠的性质可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，两式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．第5页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】∠BDA′=2∠A∠BDA′+∠CEA′=2∠A∠BDA′-∠CEA′=2∠A∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°例6．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．应用拓展：如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°-∠MON=30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“和谐三角形”，故答案为：30；是；（2）证明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，∵∠ACB=∠OAC+∠MON，∴∠OAC=80°-60°=20°，∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，第6页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵AE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC=3∠B，或∠B=3∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴∠B=36°或∠B=540°7．【答案】30°是【举一反三】1．如图所示，△ABC中，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，则∠BEC的度数是______．【解答】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD=65°+30°=95°，∠BEC=∠BDC+∠DCE=95°+30°=125°，故答案为125°．【答案】125°2．已知等腰三角形的周长为29，一边长为7，则此等腰三角形的腰长为______．【解答】解：若腰长为7，则底边=29-2×7=15，∵7+7＜15∴不能组成三角形第7页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训若底边为7，则腰长=（29-7）÷2=11故答案为11【答案】113．在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC、AD、CE的中点，且三角形ABC的面积等于4cm2，则三角形BEF的面积等于______cm2．【解答】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，高相等；∴S△BEF=12S△BEC，同理得，S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=4cm2，∴S△BEF=1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为：1．【答案】1第8页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训4．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B′，C′，A′，且使BB′=AB，CC′=2BC，AA′=3AC．若S△ABC=1，那么S△A'B'C'是（）A. 15B. 16C. 17D. 18【解答】解：连接CB'，∵AB=BB'，∴S△BB'C=S△ABC=1，又CC'=2BC，∴S△B'CC'=2S△BB'C=2．∴S△BB'C'=3．同理可得S△A'CC'=8，S△A'B'A=6．∴S△A'B'C'=3+8+6+1=18．∴故选D．【答案】D5．如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E．（1）若∠B=35°，∠C=75°，求∠DAE的度数；（2）若∠B=α，∠C=β，且0°＜α＜β＜90°，试探究下列问题：①∠DAE=______（用含α、β的代数式表示）；②若点P为射线AD上任意一点（除点A、点D外），过点P作PQ⊥BC，垂足为Q（请在图2、图3中将图形补充完整），请用含α、β的代数式表示∠DPQ并说明理由．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠C=75°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=35°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=75°，第9页共44页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴∠EAC=90°-75°=15°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-15°=20°；（2）①∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=（180-α-β）°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=12（180-α-β）°=90°-12α-12β，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=β，∴∠EAC=90°-β，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=（90°-12α-12β）-（90°-β）=12β-12α，故答案为：12β-12α；②如图，∵∠B=α，∠C=β，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=12×（180°-α-β）=90°-12α-12β，∵∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-β-（90°-12α-12β）=90°-12β+12α，∴∠QDP=∠ADC=90°-12β+12α，∵PQ⊥BC，∴∠PQD=90°，∴∠DPQ=90°-∠PDQ=90°-（90°-12β+12α）=1 2β-12α，即∠DPQ=12β-12α．【答案】12β-12α第10页共44页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训6．（1）如图1，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC两个内角∠ABC、∠ACB的平分线．①若∠A=70°，求∠BDC的度数．②∠A=α，请用含有α的代数式表示∠BDC的度数．（2）如图2，BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线．若∠A=α，请用含有α的代数式表示∠BEC的度数．【答案】解：（1）①∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠ACD，∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，∠ABD+∠CBD+∠BCD+∠ACD+∠A=180°，∴2∠DBC+2∠BCD+∠A=180°，∴2（180°-∠BDC）+∠A=180°，∴∠BDC=90°+12∠A，∵∠A=70°，∴∠BDC=90°+12×70°=90°+35°=125°．②∠A=90°+12α．（2）∵BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线，∴∠EBC=12∠MBC，∠BCE=12∠BCM，∵∠CBM、∠BCN是△ABC的两个外角∴∠CBM+∠BCN=360°-（180°-∠A）=180°+∠A∴∠EBC+∠BCE=12（∠MBC+∠BCN）=12（180°+∠A）=90°+12∠A，在△DBC中，∵∠BEC=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A，且∠A=α，∴∠BEC=90°-12α．7．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C 不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是_______②当∠BAD=∠ABD时，求∠OAC；③当∠BAD=∠BDA时，求∠OAC．（2）如图2，若AB⊥OM，且D在线段OB上，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【解答】【答案】（1）①20∘②120∘③60∘（2）存在，x=20∘,30∘,50∘,125∘二、全等三角形【知识探索】1．能够重合的两个图形叫做全等形．两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形．两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角．【错题精练】例1．两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，下面说法正确的有（）（1）这两个三角形一定全等；（2）这两个三角形不一定全等；（3）相等的角为锐角时，这两个三角形全等；（4）相等的角是钝角时，这两个三角形全等．A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种【解答】解：两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，满足SSA，但是SSA不能判定三角形的全等．但当相等的角是钝角时，这两个三角形全等．则说法正确的只有（2）（4）．故选：B．【答案】B例2．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．【答案】证明：（1）∵BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，∴△BEC≌△DEA（HL）；（2）∵△BEC≌△DEA，∴∠B=∠D．∵∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF，∴∠BAF+∠B=90°．即DF⊥BC．例3．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．例4．如图，点F、G分别是正五边形ABCDE边BC、CD上的点，且BF=CG，AF与BG交于点H．（1）求证：△ABF≌△BCG（2）求∠AHG的度数．【答案】（1）证明：∵正五边形ABCDE，∴AB=BC，∠ABF=∠C，∴在△ABF和△BCG中AB=CB∠ABF=∠C BF=CGAB=CB∠ABF=∠CBF=CG，∴△ABF≌△BCG（SAS）；（2）解：∵△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠ABH=∠AHG，∴∠CBH+∠ABH=∠AHG=∠ABC=(5-2)180°5=108°．∴∠AHG=108°．例5．如图，点A、B、C在⊙O上，AĈ=CB̂．（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD=CE．（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB=90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值．【答案】解：（1）连接CO．∵AĈ═CB̂，∴∠AOC=∠BOC，∵D、E分别是半径OA、OB的中点，∴OD=12OA，OE=12OB，∴OD=OE，在△ODC和△OEC中，∵OD=OE，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△ODC≌△OEC（SAS）∴CD=CE；（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB=90°，∠PCQ=90°，∴∠CQO=90°，即CQ⊥OB．∵∠AOC=∠BOC，∴CP=CQ，当CP与OA不垂直时，如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M、N为垂足．∵∠AOC=∠BOC，∴CM=CN，又∵∠AOB=90°，∴∠MCN=90°，∴四边形CMON是正方形，∵∠PCQ=90°，∴∠PCM=∠QCN，∴△PCM≌△QCN（AAS）∴CP=CQ，∴PQ=√2CP，∴当CP取得最小值即CM的长时，PQ有最小值，∴PQ=√2CP≥√2CM=CO=4，PQ的最小值为4．【举一反三】1．下列4个判断：①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；②两个三角形的6个边．角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；其中正确判断的编号是______．【解答】解：①如图，△ABC与△ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AD相同，但是，△ABC与△ABC′不全等，，故选项错误；②设△ABC的三边长分别为AB=16AC=24，BC=36；△A′B′C′的三边长分别为A′B′=24A′C′=36，B′C′=54．由于△ABC与△A′B′C′的对应边成比例故△ABC∽△A′B′C′，从而它们有5个边角元素分别相等：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=A′B′，BC=A′C′，但它们不全等；故该选项错误；③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，如图：△ABC和△ACD，的边AC=AC，BC=CD，高AE=AE，但△ABC和△ACD不全等，故选项错误；④可根据SSS证明△ABD≌△A′B′D′以及利用SAS证明△ABC≌△A′B′C′，故选项正确．故选④．【答案】④2．如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）BH=AC；（3）如果BC=14，AH=2，AC=10，求HE的长度．【答案】解：（1）∵AD，BE是△ABC的高∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°∴∠DBH=∠DAC；（2）由（1）题已得∠DBH=∠DAC，∵在△BDH和△ADC中，∠BDH=∠A DC BD=AD∠DBH=∠DAC∠BDH=∠A DCBD=AD∠DBH=∠DAC，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴BH=AC；（3）由（2）题已证△BDH≌△ADC，∴HD=DC（设长度为x）设AD=BD=y，∵BC=14，AH=2，AC=10∴x+y=14，y-x=2．解得x=6，y=8，∵12×AC×BE=12×BC×AD，∴10×BE=14×8，解得BE=11.2，∴HE=BE-BH=11.2-10=1.2．3．如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD，求证：∠BAP+∠BCP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PD⊥BC，∴PD=PE，在Rt△BPE和Rt△BPD中，BP=BP PE=PDBP=BPPE=PD，∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL），∴BE=BD，∵AB+BC=2BD，∴BE-AE+BD+CD=2BD，∴AE=CD，在△APE和△CPD中，AE=CDPD=PE∠AEP=∠CDP=90°PD=PE∠AEP=∠CDP=90°AE=CD，∴△APE≌△CPD（SAS），∴∠BCP=∠PAE，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠BAP+∠BCP=180°．4．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，（1）求证：DE=DF．（2）连接BC，求证：线段AD垂直平分线段BC．【答案】解：（1）如图，连接AD ． 在△ACD 和△ABD 中，AC=AB CD=BD AD=ADAC=AB CD=BD AD=AD∴△ACD ≌△ABD （SSS ）． ∴∠FAD=∠EAD ， 即AD 平分∠EAF ．又∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ， ∴DE=DF ．（2）∵△ACD ≌△ABD （已证）． ∴DC=DB ，∴点D 在线段BC 的垂直平分线上． 又∵AB=AC∴点A 在线段BC 的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线， ∴AD 垂直平分BC ．5．如图，AĈ是劣弧，M 是AC ̂的中点，B 为AM ̂上任意一点．自M 向BC 弦引垂线，垂足为D ，求证：AB+BD=DC ．【答案】证明：在CD 上取点N ，使CN=AB ，连接CM ，MN∵M 是AC ̂的中点， ∴AM̂=CM ̂， ∴AM=CM （等弧对等弦）， 又∵∠BAM=∠BCM ， 在△ABM 和△CNM 中，{CN=AB∠BAM=∠BCMAM=CM，∴△ABM≌△CNM（SAS），∴BM=MN，∴△BMN为等腰三角形（BN为底），又∵MD⊥BN，∴D为BN中点（等腰三角形三线合一），∴BD=DN∴AB+BD=CD．三、等腰三角形【知识探索】1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形2．三边都相等的三角形叫做等边三角形．【说明】等边三角形的三边都相等，它是特殊的等腰三角形．【错题精练】例1．如图，△ABC的面积为1cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）A. 0.4cm2B. 0.5cm2C. 0.6cm2D. 0.7cm2【解答】解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EB P BP=BP∠APB=∠EPB∠ABP=∠EB PBP=BP∠APB=∠EPB，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE，∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，∴S△PBC=12S△ABC=12×1cm2=0.5cm2，故选：B．【答案】B例2．如图，在△ABC中，AB=AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，（1）求证AB是圆的直径；（2）若AB=8，∠C=60°，求阴影部分的面积；（3）当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．例3．如图钢架中，∠A=n°，依次焊上等长的钢条P1P2，P2P3，…，来加固钢架，若P1A=P1P2，要使得这样的钢条只能焊上4根，则n的取值范围是______．【解答】解：∵AP1=P1P2，P1P2=P2P3，P3P4=P2P3，P3P4=P4P5，∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4=∠P3P4P2，∠P4P3P5=∠P4P5P3，∴∠P3P5P4=4∠A，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4C=5∠A，由题意4n＜905n≥904n＜905n≥90，∴18≤n＜22.5，故答案为：18≤n＜22.5．【答案】18≤n＜22.5例4．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=3，ON=7，点P是直线OB 上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有______个．【解答】解：过M作MM′⊥OB于M′，过N作NN′⊥OB于N′，∵OM=3，ON=7，∠AOB=45°，∴MN=4，MM′=OM×sin45°=32√2＜4，NN′=ON×sin45°=72√2＞4，MH=M′N′=4×sin45°=2√2＜4，所以只有一小两种情况：①以M为圆心，以4为半径画弧，交直线OB于P1、P2，此时△NP1M和△NMP2都是等腰三角形；②作线段MN的垂直平分线，交直线PB于P3，此时△MNP3是等腰三角形，即有3个点P符合，故答案为：3．【答案】3例5．如图，D和E分别是△ABC的边BC和AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则下列说法正确的是（）A. 当∠1为定值时，∠CDE为定值B. 当∠2为定值时，∠CDE为定值C. 当∠3为定值时，∠CDE为定值D. 当∠B为定值时，∠CDE为定值【解答】解：A∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠ADC=∠1+∠B，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠1+∠B-∠CDE，∵AD=AE，∴∠ADE=∠3=∠CDE+∠C=∠CDE+∠B，∴∠1+∠B-∠CDE=∠CDE+∠B，∴∠1=2∠CDE，∴当∠1为定值时，∠CDE为定值，故选：A．【答案】A例6．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（）A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 不能确定【解答】解：本题分两种情况讨论：（1）当BD在三角形内部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠A=30°；（2）当BD在三角形外部时，AB，∠ADB=90°，∵BD=12∴∠DAB=30°，∠ABC=180°-∠DAB=30°=150°．故选：C．【答案】C例7．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有______个．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个，故答案为：8【答案】8例8．等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．【答案】解：在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，设AB=x ，BC=y（1）当AB+AD=12时，则{x +12x =12y +12x =15，解得{x =8y =11．∴三角形三边的长为8、8、11；（2）当AB+AD=15时，则{x +12x =15y +12x =12，解得{x =10y =7．∴三角形三边的长为10、10、7经检验，两种情况均符合三角形三边关系定理因此这个三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．例9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=30°，点D 从点B 出发，沿B→C 方向运动到点C （D 不与B ，C 重合），连接AD ，作∠ADE=30°，DE 交线段AC 于点E ，设∠BAD=x°，∠AED=y°． （1）当BD=AD 时，求∠DAE 的度数； （2）求y 与x 的关系式；（3）当BD=CE 时，求x 的值．【答案】解：（1）当BD=AD 时，∠B=∠BAD=30°，∵△ABC 等腰三角形，∴∠BAC=120°，∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90° （2）由题可知，∠BAD+∠DAE=120°即x+∠DAE=120 ∠AED+∠DAE=180°-∠ADE=150°即y+∠DAE=150 两式相减得y-x=30即y=x+30（3）由题可知，∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC 且∠B=∠ADE=30° ∴∠BAD=∠EDC=x 又∵∠B=∠C 和BD=CE ∴△ABD ≌△DCE∴CD=AB=AC∴△ACD为等腰三角形且∠C=30°∴∠DAE=75°∴x=∠BAC-∠DAE=120°-75°=45即x=45【举一反三】1．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（）A. 70° B. 45° C. 36° D. 30°【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=180°−x2可得2x=180°−x，2解得：x=36°，则∠A=36°，故选：C．【答案】C2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAC=108°，AD、AE三等分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴∠DAC=∠BAE=72°，∴∠AEB=∠ADC=72°，∴BD=AD=AE=CE，AB=BE=AC=CD，∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，∴一共有6个等腰三角形．故选：D．【答案】D3．如图，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，已知AG⊥BD，AF⊥CE，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为______．【解答】解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的角平分线，则在△ABD和△GBD中，BD=BD∠ADB=GDB∠ABD=∠GBD∠ABD=∠GBDBD=BD∠ADB=GDB，∴△ABD≌△GBD，∴AB=BG．即△ABG是等腰三角形，同理：△ACF也是等腰三角形．∴AB=BG，AC=CF，又∵AG⊥BD，AF⊥CE，∴E、D分别是AF和AG 的中点，∴ED是△AFG的中位线，∴FG=2DE，则△ABC的周长为：AB+BC+AC=BG+CG+BC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG，由BF=2，ED=3，GC=4，FG=2DE=6得△ABC的周长为30．故答案为：30．4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于______．【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=40°，∴∠A=50°，即顶角的度数为50°．②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=130°．故答案为50°或130°．【答案】50°或130°5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角为______．【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，由已知可知，∠ABD=30°，又BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠ABC=∠C=60°．当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，由已知可知，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∴∠C=∠ABC=30°．故答案为：60°或30°．【答案】60°或30°6．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC．求证：∠DCE=45°．【答案】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵AC=AE，BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=12（180°-∠B），∠ACE=∠AEC=12（180°-∠A），∴∠BCD+∠ACE=180°-12（∠A+∠B）=135°，∴∠DCE=∠BCD+∠ACE-∠ACB=135°-90°=45°．7．如图所示，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF，求证：EF=BC．【答案】证明：∵CA=CB，∴∠B=∠A，又∵∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，∴∠FCA=∠A．∴CF∥AB．又∵∠FCA=∠FEA（同弧所对的圆周角相等），∴∠FEA=∠B．∴BC∥EF．∴四边形CFEB为平行四边形．∴EF=BC．8．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=105°．（1）求∠DAC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长．【答案】解：（1）∵AB=AC，̂=AĈ，∴AB∴∠ABC=∠ACB，̂的中点，∵D为AĈ=CD̂，∴AD∴∠CAD=∠ACD，̂=2AD̂，∴AB∴∠ACB=2∠ACD，又∵∠DAE=105°，∴∠BCD=105°，×105°=35°，∴∠ACD=13∴∠CAD=35°；（2）∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，∴∠BOC=80°，∴弧BC的长=80•π×32360=2π．1．等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A. 顶角B. 底角C. 顶角的一半D. 底角的一半【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，则AE平分∠BAC，∴∠2=12∠A，∵BD⊥AC，∴∠1+∠C=90°，又∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，∴∠1=12∠A，即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故选：C．【答案】C2．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是______；在△ACD中∠C所对的边是______；在△ABD中边AD所对的角是______；在△ACD中边AD 所对的角是______．【解答】解：在△ABC中∠C所对的边是AB；在△ACD中边AD所对的角是∠C；故答案为：AB；AD；∠B；∠C．【答案】ABAD∠B∠C3．如图，△ABC中，∠A=96°，D是BC延长线上的一点，∠ABC与∠ACD（△ACB的外角）的平分线交于A1点，则∠A1=______度；如果∠A=α，按以上的方法依次作出∠BA2C，∠BA3C…∠BA n C（n为正整数），则∠A n=______度（用含α的代数式表示）．【解答】解：∵∠ABC与∠ACD（△ACB的外角）的平分线交于A1点，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1=180°-（∠A1BC+∠A1CB）=180°-（12∠ABC+12∠ACD+∠ACB）=180°-[12∠ABC+12（∠ABC+∠A）+∠ACB]=180°-[∠ABC+∠ACB+12∠A]=180°-[180°-∠A+12∠A]=12∠A．∵∠A=96°，∴∠A1=48°．∵∠A=α，依此类推可知∠A n=12nα度．【答案】4812nα4．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，则α，β，γ三者之间的等量关系是______．【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【答案】γ=2α+β5．如图：将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．（1）若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2；∠A与∠1之间的关系；（不必证明）（2）若折成图④，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式；（不必证明）（3）若折成图⑤，写出∠A与∠1、∠2之间的关系式．（不必证明）【答案】解：延长BD、CE，交于点P；则△BCP即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE=∠DPE．图①中：连接AP；由三角形的外角性质知：∠1=∠DAP+∠DPA，∠2=∠EAP+∠EPA；则∠1+∠2=∠DAE+∠DPE=2∠DAE，即∠1+∠2=2∠A．图②中：由三角形的外角性质知：∠2=∠DPE+∠DAE=2∠DAE，即∠2=2∠A．图③中：∠1=2∠A，解法同图②．图④中：由三角形的外角性质，知：∠2=∠3+∠P，∠3=∠1+∠A，即∠2=∠P+∠1+∠A=2∠A+∠1，故∠2-∠1=2∠A．图⑤中：∠1-∠2=2∠A，解法同图④．故当点A落在四边形BCDE内部，∠1+∠2=2∠A．（1）图②中，∠2=2∠A；图③中，∠1=2∠A．（2）图④中，∠2-∠1=2∠A．（3）图⑤中，∠1-∠2=2∠A．6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．若△ABC的周长为35，BC=11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AB，AC的长．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，△ABD与△ACD的周长差为3，∴AB-AC=3，∵△ABC的周长为35，BC=11，∴AB+AC=35-11=24，∴AC+3+AC=24，解得：AC=10.5，∴AB=13.5．7．已知△ABC．（1）如图1，若P点为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，试说明：∠P=90°+12∠A；（2）如图2，若P点为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试说明：∠P=12∠A；（3）如图3，若P点为外角∠CBD和∠BCE的角平分线的交点，试说明：∠P=90°-12∠A．【答案】证明：（1）∠P=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12（180°-∠A）=90+12∠A（2）∠P=∠PCD-∠PBD=12∠ACD-12∠ABC=12∠A（3）∠P=180°-12∠CBD-12∠BCE=180°-12（∠CBD+∠BCE）=180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-12（180°+∠A）=90°-12∠A．8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．【答案】解：PB+PC＞AB+AC．如图，在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接EP，由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP=∠EAP，又AP是公共边，AE=AC，在△ACP与△AEP中，{AE=AC∠EAP=∠CAPAP=AP，∴△ACP≌△AEP（SAS），从而有PC=PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，而BE=AB+AE=AB+AC，故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC．9．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AĈ上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD．（1）试判断△CDE的形状，并加以证明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的长．证明如下：如图1，连接AC、BC，则∠DAC=∠DBC，∵AB为直径，CO⊥AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，在△ADC和△BEC中{AD=BE∠DAC=∠EBCAC=BC∴△ADC≌△BEC（SAS），∴CD=CE，∠DCA=∠BCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠DCA+∠ACE=90°，即∠DCE=90°，∴△CDE为等腰直角三角形；（2）如图2，连接OD，则∠AOD=2∠ABD=2×15°=30°，∵∠AOC=90°，∴∠DOC=60°，且OD=OC=OA=4，∴△OCD为等边三角形，∴CD=CE=OA=4，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=√CD2+CE2=√42+42=4√2．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为AĈ的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE=126°，则∠CAD等于（）A. 36°B. 42°C. 38°D. 27°【解答】解：∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半径，∴AO垂直平分BC，∴AB=AC，即∠ABC=∠ACB，̂的中点，∵D是AC∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC，∴∠ACB=2∠DCA，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=∠DAE=126°，∴∠ACB+∠DCA=126°，即3∠DCA=126°，∴∠DAC=∠DCA=42°．故选：B．【答案】B11．一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（）A. 72°或45°B. 45°或36°C. 36°或45°D. 72°或90°【解答】解：①设三角形底角为x，顶角为2x，则x+x+2x=180°，解得：x=45°，②设三角形底角为2x，顶角为x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴2x=72°，综上所述，这个三角形底角为72°或45°，故选：A．【答案】A12．如图钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…至多需要8根加固钢架，若P1A=P1P2，则∠A的取值范围为______．【解答】解：设∠A=x，∴∠P2P1P3=2x，∴∠P3P2P4=3x，…，∠P8P9P7=8x，∴8x≤90°且9x＞90°，则10°≤∠A＜11.25°．故答案为：10°≤∠A＜11.25°．【答案】10°≤∠A＜11.25°13．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且AD=BD=BC，求∠A的度数；（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE．①若∠EDM=84°，求∠A的度数：②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．【答案】解：（1）设∠A=x°，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°；（2）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得：∠A=21°；②∵以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外）∴E到射线AM的距离大于DE，∴90°≤∠EDM＜120°，14．在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=______（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：______（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°．（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°．∠BAD）（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=12（4）仍成立，理由如下∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC=1∠BAD2【答案】15°20°∠BAD∠EDC=1215．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，（1）求证：FG⊥DE；（2）若BC=16，ED=4，求FG的长．（结果保留根号）【答案】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，BC，∴在Rt△CEB中，EF=12在Rt△BDC中，FD=1BC，2∴FE=FD，∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，∴FG⊥DE；（2）解：由（1）得，EF=1BC=8，2∵FE=FD，G是ED的中点，∴EF=1ED=2，2在Rt△FGE中，FG=√EF2−EG2=4√15．。
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解
三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图 ，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。
16.相似三角形的性质及应用--知识讲解(基础)
相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D 处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC,∴∠ABO=∠DCO=90°.又∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.∴.∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,∴AB=85m.即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .(2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴.∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴.∴DE=16m,即古塔的高度为16m.【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，∠BAP=∠DCP=90°，∴△ABP∽△CDP,∴AB APDC PC =, 即1.827DC =, ∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.类型二、相似三角形的性质3. （2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键．举一反三【变式】（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B．提示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm..∴.【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴相似三角形的性质及应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE: S△ABC为( ).A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:23．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).A．3 B．7 C．12 D．155．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）. A ．6米 B ．8米 C ．18米 D ．24米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍. A.2 B.4 C.2D.64二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.9．（2015•吉林）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5m ，测得AB=2m ，BC=14cm ，则楼高CD 为 m ．10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________. 11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？14.（2015•蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1)找出与相似的三角形. (2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析】一．选择题 1．【答案】D ．【解析】∵S △BDE ：S △CDE =1：3，∴BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4；∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，∴=，∴S △DOE ：S △AOC ==，故选D ．2．【答案】B ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 3．【答案】C . 4．【答案】B . 5．【答案】B .【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP ∽△CDP ． 6．【答案】C ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 二．填空题 7．【答案】3. 8．【答案】45cm 2. 9．【答案】12． 10．【答案】25.【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2A O DB O C49S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴ AO :CO ＝2:3，又∵AOD DOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△，∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．11.【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEFBAF S S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510==12．. 三.综合题 13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ，∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m∴ 1 1.20.9 2.7x -= 即 x ＝4.2m14．【解析】解：如图，∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED ，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE ∽△DCE ∴；∵CE=2.5米，DC=1.6米， ∴；∴AB=12.8答：大楼AB 的高为12.8米．15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：△PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ， 则12PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时， 则12PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时，∴ 2BP BC = ∵ △BPE ∽△BCP∴△BPE与△BCP2，∴△BCP a．.。
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三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言 过点A 作AD ⊥BC 于点D ． 取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC4．点D 是BC 边的中点． 1．AD 是△ABC 的角平分线． 2．AD 平分∠BAC ，交BC于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB 于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2x x+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°，，∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的三边关系4. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是()【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型四、三角形中重要线段6. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C ；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1 一、选择题1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是( )2．如图所示的图形中，三角形的个数共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．任何一个三角形至少有（）个锐角A．1 B．2 C．3 D．不能确定4．已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm5．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )A．5m B．15m C．20m D．28m第八题6．三角形的角平分线、中线和高都是()A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对7．下列说法不正确的是()A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部8．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是()A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．以上三种情况都有可能9．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为() A．40°B．80°C．60°D．120°二、填空题10．三角形的三边关系是________，由这个定理我们可以得到三角形的两边之差________第三边，所以，三角形的一边小于________并且大于________．11．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．12. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．13. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则________＝_______＝12________；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．14.如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．15.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；(2)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．三、解答题16．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．17．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?18题18.如图所示，已知AD，AE分别是ΔABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则ΔABD与ΔACD的周长之差为多少，ΔABD与ΔACD的面积有什么关系.19.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?。