高中数学人教B版必修5习题 第2章 数列 2.2 第3课时(含答案)
第二章 2.2 第3课时一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5[答案] D[解析] ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.2．(2014·福建理，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 [答案] C[解析] 本题考查等差数列的通项公式． 由a 1＝2，S 3＝12可得d ＝2，∴a 6＝a 1＋5d ＝12.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 [答案] C[解析] 由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ， ∴2a m ＝a 2m ，由题意，得a m ≠0，∴a m ＝2. 又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2a m (2m －1)2＝2(2m －1)＝38，∴m ＝10.4．数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220 [答案] B[解析] ∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，又a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78， ∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18＝54. ∴3(a 1＋a 20)＝54， ∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180.5．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15[答案] C[解析] 由已知a 2＋a 8＋a 11＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为定值，则S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7也为定值，故选C ．6．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 [答案] C[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30，∴5d ＝15，∴d ＝3. 二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________.[答案] 2 3[解析] 由题意，得⎩⎨⎧3＝a 1＋(n －1)×12152＝na 1＋12n ×(n －1)×12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2n ＝3.8．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] ∵a 4－a 1＝3d ，∴3d ＝6，∴d ＝2，∴S 5＝5a 1＋12×5×4×d ＝5＋12×5×4×2＝25.三、解答题9．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值． [解析] (1)设公差为d ， 则a 20－a 10＝10d ＝20， ∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30， ∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋22)2＝n 2＋11n ＝242， ∴n 2＋11n －242＝0， ∴n ＝11.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．一、选择题1．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( )A ．24B ．26C ．27D ．28[答案] B[解析] 设该等差数列为{a n }， 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3， ∴4(a 1＋a n )＝21＋67＝88， ∴a 1＋a n ＝22.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝11n ＝286，∴n ＝26.2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2 [答案] A[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10d ＝－2. ∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A ．310B ．13C ．18D ．19[答案] A[解析] 据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列． 设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ， ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ， ∴S 6S 12＝3k 10k ＝310. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝( )A ．100B ．101C ．200D ．201[答案] A[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线， ∴a 1＋a 200＝1，S 200＝200(a 1＋a 200)2＝100.二、填空题5．已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n ＝________. [答案] 27[解析] S n ＝n ·(a 1＋a n )2＝18，由S 3＝1和⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋a n －1＋a n －2＝3a 1＋a 2＋a 3＝1，得3(a 1＋a n )＝4，故a 1＋a n ＝43，故n ＝36a 1＋a n ＝3643＝27.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－8，则通项公式a n ＝________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧－7 (n ＝1)2n －1 (n ≥2)[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－7；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－8－(n －1)2＋8＝2n －1. 又a 1＝－7不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7 (n ＝1)2n －1 (n ≥2).三、解答题7．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . [解析] (1)解法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d＝10×3＋10×92×4＝210.解法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50， ∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210.解法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50， 得d ＝4由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3. 故S 10＝10×3＋10×9×42＝210.(2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510.∴n ＝20.8．甲、乙两物分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1 min 走2 m ，以后每分钟比前一分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min 多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？[分析] 可将问题化为等差数列问题．[解析] (1)设n min 后第1次相遇，依题意有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0， 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第一次相遇是在开始运动后7 min. (2)设n min 后第二次相遇，依题意有 2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －6×70＝0， 解得n ＝15或n ＝－28(舍去)． 第二次相遇是开始运动后15 min.。
2019-2020学年人教B版数学必修五讲义：第2章 2.1 2.1.1 数 列 Word版含答案
姓名，年级：时间：2。
1 数列2。
1.1 数列学习目标核心素养1.理解数列的概念．（重点) 2．掌握数列的通项公式及应用．(难点）3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．（易错点)1。
通过数列概念的学习,培养学生的数学抽象的素养．2．通过数列通项公式的学习，提升学生的逻辑推理的数学素养。
1．数列的概念及一般形式思考：数列的项与项数一样吗？[提示] 不一样．2．数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．思考:数列一定有通项公式吗？[提示] 不一定．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表:定义域正整数集N＋（或它的有限子集｛1，2,3，…，n｝）解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式（解析法);(2）列表法；(3）图象法［提示] 不连续．1．已知数列｛a n}的通项公式为a n＝错误!，那么错误!是它的（)A．第4项B．第5项C ．第6项D ．第7项A［设110是数列中的第n 项,则错误!＝错误!,解得n ＝4或n ＝－5.∵－5∉N ＋,∴n＝－5应舍去,故n ＝4。
］2．下列四个数中，哪个是数列｛n (n ＋1）｝中的一项( ) A ．380 B ．392 C ．321D ．232A ［因为19×20＝380,所以380是数列｛n （n ＋1)｝中的第19项．应选A ．] 3．下列说法正确的是________(填序号）． ①{0，1,2，3,4，5｝是有穷数列；②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列； ③数列1,2，3,4，…，2n 是无穷数列．② [因为{0,1，2,3，4,5｝是集合，而不是数列，所以①错误；②正确；数列1,2,3,4,…,2n 共有2n 项，是有穷数列，所以③错误．]数列的概念及分类【例1①2 011,2 012，2 013，2 014，2 015,2 016； ②1，错误!，错误!,…,错误!，…; ③1，－23，错误!,…，错误!，…；④1，0，－1，…,sin 错误!，…； ⑤2，4，8，16,32,…; ⑥－1，－1，－1，－1。
高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元 疑难规律方法：第二章 数列 含答案 精品
1 函数的视角看数列数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．下面从函数角度对数列有关问题进行分析，体会数列与函数的有机结合．一、利用函数单调性求数列的最大项例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．分析 设a n ＝f (n )，可通过函数f (n )的单调性来判断数列的单调性，从而求解． 解 设a n ＝f (n )， 则f (n )＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，f (n ＋1)＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫79n ＋2.则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，当n >3时，f (n ＋1)－f (n )<0； 当1≤n ≤3时，f (n ＋1)－f (n )>0.综上可知，{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增； 在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减． 所以存在最大项，且第3项为最大项．点评 数列可以看作是一个定义在正整数集(或其子集)上的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一组函数值．数列的通项公式体现了数列的项与其序号之间的对应关系． 二、利用函数思想求数列的通项例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ＋1n ，若：(1)数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式； (2)数列{c n }满足c n ＝a 2n －1，求{c n }的通项公式．分析 设a n ＝f (n )，函数f (n )中的n 用某一代数式φ(n )代替，整理，即可求解． 解 设f (n )＝n 2＋n ＋1n，则：(1)b n ＝f (2n －1)＝(2n －1)2＋2n －1＋12n －1＝4n 2－2n ＋12n －1， 则b n ＝4n 2－2n ＋12n －1.(2)c n ＝f (2n －1)＝(2n －1)2＋2n －1＋12n －1＝4n －2n ＋12n －1，则c n ＝4n －2n ＋12n －1.点评 数列是特殊的函数，因此要善于运用函数的观点、知识来解决数列的有关问题，居高临下使问题变得清晰，问题的解决也往往简捷得多． 三、利用函数周期性求数列的项例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 013的值为________．分析 如果直接求a 2 013，运算量太大，而求通项a n 也很难办到，那么数列{a n }的各项之间是否有规律可循？不妨从前几项入手试一试． 解析 由a 1＝1，a 2＝6，及a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得 a 3＝a 2－a 1＝6－1＝5， a 4＝a 3－a 2＝5－6＝－1， a 5＝a 4－a 3＝－1－5＝－6， a 6＝a 5－a 4＝－6－(－1)＝－5，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝5，a 10＝－1，a 11＝－6，a 12＝－5，…， 因此{a n }是以6为周期的数列， 所以a 2 013＝a 6×335＋3＝a 3＝5.答案 5点评 由数列的递推公式写出数列的前几项，再由前几项归纳、猜想、发现数列的周期性，从而解决问题.2 求数列通项的四大法宝一、公式法当题设中有a n 与S n 的关系式时，常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解．例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2，求其通项公式a n . 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝2×3n －1，又a 1＝1≠2×31－1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 二、叠加法若数列{a n }满足a n －a n －1＝f (n －1)(n ≥2)，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)可求，则可用叠加法求通项公式．例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)，求其通项公式a n .解 由已知，得a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝32，a 4－a 3＝33，…，a n －a n －1＝3n －1，以上式子左右两边分别相加，得 a n －a 1＝3＋32＋33＋…＋3n －1，所以a n ＝3(1－3n －1)1－3＋1＝3n －12(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1＝31－12，所以a n ＝3n －12(n ∈N ＋)．三、叠乘法若数列{a n }满足a na n －1＝f (n －1)(n ≥2)，其中f (1)f (2)·…f (n －1)可求，则可用叠乘法求通项公式．例3 已知在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1(a n≠0，n ≥2)，求其通项公式a n .解 由a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1，得a n a n －1＝3n －43n －1，所以a 2a 1＝25，a 3a 2＝58，a 4a 3＝811，a 5a 4＝1114，…，a n a n －1＝3n －43n －1(n ≥2)，以上式子左右两边分别相乘，得a n a 1＝23n －1， 所以a n ＝63n －1(n ≥2)，又a 1＝3＝63×1－1，所以a n ＝63n －1(n ∈N ＋)．四、构造法当题中出现a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0且p ≠1)的形式时，把a n ＋1＝pa n ＋q 变形为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋λ(p －1)，令λ(p －1)＝q ，解得λ＝qp －1，从而构造出等比数列{a n ＋λ}．例4 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝14a n ＋3(n ∈N ＋)，求其通项公式a n .解 设a n ＋1＋t ＝14(a n ＋t )，则a n ＋1＝14a n －34t ，与已知比较，得－34t ＝3，所以t ＝－4，故a n ＋1－4＝14(a n －4)．又a 1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{a n －4}是首项为－3，公比为14的等比数列，因此a n －4＝－3×⎝⎛⎭⎫14n －1，即a n ＝4－3×⎝⎛⎭⎫14n －1(n ∈N ＋).3 函数思想在等差数列中的妙用性质1：在等差数列{a n }中，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，知点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上．例1 在等差数列{a n }中，a 12＝21，a 45＝153，那么225是第几项？ 解 由a n ＝dn ＋a 1－d ，知点(n ，a n )在直线y ＝dx ＋a 1－d 上，所以a 45－a 1245－12＝225－a 45n －45＝d ，代入数据得153－2145－12＝225－153n －45，得n ＝63，即225是这个数列中的第63项．性质2：在等差数列{a n }中，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，变形为S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2，知点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 均在直线y ＝d 2x ＋a 1－d2上．例2 在等差数列{a n }中，S 10＝20，S 50＝200，则S 2 010的值为________．解析 由S n ＝An 2＋Bn ，知S nn＝An ＋B ，所以点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝Ax ＋B 上，于是点⎝⎛⎭⎫10，S 1010，⎝⎛⎭⎫50，S 5050，⎝⎛⎭⎫2 010，S 2 0102 010三点共线，∴S 5050－S 101050－10＝S 2 0102 010－S 50502 010－50成立． 把S 10＝20，S 50＝200代入上式， 解得S 2 010＝205 020. 答案 205 020性质3：在等差数列{a n }中，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，变形为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn ，且点(n ，S n )均在曲线y ＝Ax 2＋Bx 上．例3 已知等差数列{a n }中，S m ＝S n (m ≠n )，则S m ＋n ＝______.解析 由S n ＝An 2＋Bn ，知点(n ，S n )在抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上．又S m ＝S n ，所以点P 1(m ，S m )与点P 2(n ，S n )关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程为x ＝m ＋n2，不妨设A <0，如图所示x C ＝m ＋n ，从而S m ＋n ＝0. 答案 0例4 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1>0，S 12>0，S 13<0，指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由？解 ∵{a n }是等差数列，∴S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . ∵S 12>0，S 13<0.∴a 13＝S 13－S 12<0. ∵a 1>0，a 13<0，∴d<0.∴点(n ，S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象上． 设二次函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的对称轴为n 0， 则2n 0是二次函数的一个零点． ∵S 12>0，S 13<0， ∴12<2n 0<13，∴6<n 0<6.5.易知n ＝6对应的A (6，S 6)与对称轴的距离比n ＝7对应的B (7，S 7)与对称轴的距离更小． ∴A 点为最高点，S 6最大．由上述例子可见，解等差数列问题时，若能灵活运用函数的思想与方法，可以简化运算过程，开拓解题思路，收到事半功倍的效果．4 数列求和的方法和技巧连连看求和是数列的主要问题之一，数列求和方法多，技巧性强，是培养创新能力的好素材，也是高考考查的重要内容．现结合例子把数列求和的主要方法列举如下： 1．应用公式求和方法要领：等差、等比数列的前n 项和公式是数列中应用最为广泛、使用频率最高的求和公式．在每种数列中均有两个求和公式可供选择．尤其是利用等差数列的前n 项和公式时，首先要确定公比q 是否为1，以确定选用哪一个公式来求和，否则要通过分类讨论进行解答． 例1 求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n 项和．解 所求数列的前n 项和中共有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2.故该数列的前n 项和 S n ＝n (n ＋1)2×1＋12×n (n ＋1)2×⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2－1×2 ＝n (n ＋1)2＋n (n ＋1)2⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2－1＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22＝n 2(n ＋1)24.点评 本题实际上是求从1开始的连续奇数的和，奇数的个数共有1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.最后一个奇数为1＋2×⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2－1＝n 2＋n －1.因此前n 项和也可以这样求得S n ＝n (n ＋1)2⎣⎡⎦⎤1＋(n 2＋n －1)2＝n 2(n ＋1)24.例2 求数列1，a ＋a 2，a 3＋a 4＋a 5，a 6＋a 7＋a 8＋a 9，…(a ≠0)的前n 项和．解 所求数列的前n 项和可以看成是由等比数列1，a ，a 2，a 3，a 4，…取出前1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2项后再求和得到，且取出的最后一项为a n (n ＋1)2－1，故所求数列的前n 项和为S n＝1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n (n ＋1)2－1.当a ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当a ≠1时，S n ＝1－a n (n ＋1)2－1·a 1－a ＝1－an (n ＋1)21－a.点评 题目中所给数列实际上并不是等比数列，求和时需要灵活转化为求一个等比数列的前n (n ＋1)2项的和．由于公比为字母a ，需要分类讨论． 2．分组转化求和方法要领：分组转化求和是将通项变形拆分为几个数列的和与差，分组进行求和、拆分后的数列多为等差数列或等比数列．例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，2n 2 (n 为偶数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n .解 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，2n 2(n 为偶数)可知，数列{a n }的奇数项成等差数列，公差d ＝2，偶数项成等比数列，公比q ＝2.所以当n 为偶数时， S n ＝(a 1＋a 3＋...＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋...＋a n ) ＝[1＋3＋...＋(n －1)]＋(21＋22＋ (2)2)＝n 24＋2n ＋22－2； 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n＝(n －1)24＋2n ＋12－2＋n ＝(n ＋1)24＋2n ＋12－2.点评 通过对通项公式恒等变形化成几个基本数列求和，这是数列求和的一个基本思想． 3．裂项相消求和方法要领：常见的拆项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；⑥2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1. 例4 等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)． 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).点评 拆项成差的目的在于大量抵消中间的项，使前n 项和S n 的表达式得以简化．对于一些拆项的方法不要死记硬背，关键是观察通项a n 的特征结构进行代数恒等变形． 4．奇偶并项求和方法要领：当通项中含有符号因子(－1)n 或(－1)n＋1时，数列中相邻两项的符号异号，邻项合并后若规律明显，易于求和，可以考虑相邻两项合并后求和．由于并项的需要，常常对n 的奇偶性进行分类讨论．例5 已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100. 解 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002 －1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100.例6 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1 (n ∈N ＋)．(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.点评 求数列{a n }的前n 项和S n 时，若含有符号因子(－1)n ，一般要对n 按奇数、偶数两种情况讨论．5．错位相减求和方法要领：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．例7 化简：S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1.解 S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n－1两边同时乘以2，得到2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋2n∴S n ＝－n ＋(21＋22＋…＋2n －1＋2n )＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.例8 已知c n＝⎩⎨⎧85n －35n ⎝⎛⎭⎫23n －1 (当n 为奇数时)，－85n －35n ⎝⎛⎭⎫23n －1(当n 为偶数时)，S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n ，求S n . 解 当n 为奇数时，S n ＝⎝⎛⎭⎫85－2×85＋3×85－4×85＋…＋85n －35[1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1] ＝4(n ＋1)5－35[1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1]． 当n 为偶数时，S n ＝[85－2×85＋3×85－4×85＋…＋⎝⎛⎭⎫－85n ]－35[1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1]＝－4n 5－35[1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1]． 令T n ＝1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n －1，① 则23T n ＝1×⎝⎛⎭⎫231＋2×⎝⎛⎭⎫232＋3×⎝⎛⎭⎫233＋4×⎝⎛⎭⎫234＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n ，② ①－②，得13T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫231＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫234＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1－n ⎝⎛⎭⎫23n＝1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－n ⎝⎛⎭⎫23n＝3－(3＋n )⎝⎛⎭⎫23n， ∴T n ＝9－(9＋3n )⎝⎛⎭⎫23n .因此S n＝⎩⎨⎧4n －235＋9(n ＋3)5⎝⎛⎭⎫23n(当n 为奇数时)，－4n ＋275＋9(n ＋3)5⎝⎛⎭⎫23n(当n 为偶数时).点评 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分q ＝1和q ≠1两种情况分别求和．5 提高运算速度七妙招数列问题的灵活性、技巧性较强，因此，在解数列问题时必须研究技巧与策略，以求做到：选择捷径、合理解题，本文归纳了七种常见策略． 第一招 活用概念数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往能出奇制胜．例1 已知{a n }是公差为2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝100，那么a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98等于( )A ．166B ．66C ．34D ．100解析 若先求出a 1，再求和，运算较为繁琐．注意到两个和式中的项数相等，且均是等差数列．由于(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)－(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＋…＋(a 98－a 97)＝33d ＝66，所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝100＋66＝166，故选A. 答案 A点评 活用等差、等比数列的概念，沟通有关元素间的内在联系，使运算得以简化． 第二招 巧用性质数列的性质是数列的升华，巧妙运用数列的性质，往往可以使问题简单明了，解题更快捷方便．例2 各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 7a 8＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14等于( )A ．12B ．14C ．10D ．10＋log 32解析 若设出a 1和q ，利用基本量法求解，显然运算量较大．若利用性质a 1a 14＝a 2a 13＝…＝a 7a 8＝9，则a 1a 2…a 14＝(a 7a 8)7＝97，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝log 397＝14，故选B. 答案 B点评 数列的性质是对数列内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器． 第三招 灵用变式在求解数列问题过程中，可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题． 例3 已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝388，则该数列的通项a n ＝________.解析 利用等差数列的变形公式求得公差，再结合等差数列的变形公式求得通项．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 10－a 310－3＝388－37＝55，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×55＝55n －162.答案 55n －162点评 常规方法是联立方程组，求出首项与公差，再由数列的通项公式求解．而利用变形公式可以回避求解数列的首项，直接求解公差，再结合变形公式求得通项． 第四招 整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的． 例4 设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝18，S n ＝240，若a n －4＝30，试求n 的值． 解 常规解法是设出基本量a 1，d ，列方程组求解，但较繁琐．若能利用整体思维，则可少走弯路，使计算合理又迅速．由S 9＝18，即9(a 1＋a 9)2＝18，则a 1＋a 9＝4＝2a 5，故a 5＝2.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n (2＋30)2＝240，所以n ＝15.点评 本题解法不在a 1，d 上做文章，而是将S n 变形整理用a 5＋a n －4表示，使解题过程大大简化．第五招 数形结合数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题． 例5 在公差d <0的等差数列{a n }中，已知S 8＝S 18，则此数列的前多少项的和最大？ 解 用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：①通项a x 联系一次函数，对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程；②前x 项和S x 联系 二次函数，利用二次函数的对称性及最值． 设f (x )＝S x ＝xa 1＋x (x －1)2d ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x ，则(n ，S n )在二次函数的图象上．由于S 8＝S 18，d <0，所以y ＝f (x )的对称轴是x ＝8＋182＝13，且开口向下， 故当x ＝13时，f (x )取得最大值，故数列{a n }的前13项的和最大． 点评 从直观性角度研究数列问题，可使问题变得生动形象，易于求解． 第六招 分解重组在处理数列求和问题时，若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n 项和进行重新分解，分别求和．例6 在数列{a n }中，已知a 1＝56，a 2＝1936，且{b n }是公差为－1的等差数列，b n ＝log 2(a n ＋1－13a n )，{c n }是公比为13的等比数列，c n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .解 由已知条件，事先无法估计a n 解析式的结构，因此不能用待定系数法求a n .但是利用等差数列{b n }和等比数列{c n }可以得出关于a n ＋1和a n 的两个等式，消去a n ＋1，即可得a n .再根据a n 求解对应的前n 项和．因为a 1＝56，a 2＝1936，所以b 1＝log 2⎝⎛⎭⎫1936－13×56＝－2， c 1＝1936－12×56＝132，又{b n }是公差为－1的等差数列，{c n }是公比为13的等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝－n －1，c n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1，即⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫a n ＋1－13a n ＝－n －1，a n ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则⎩⎨⎧a n ＋1－13a n ＝12n ＋1，an ＋1－12a n ＝13n ＋1，得a n ＝32n －23n ，所以S n ＝3·(12＋122＋…＋12n )－2·(13＋132＋…＋13n )＝2－32n ＋13n .点评 通项虽不是等比数列，但可拆为两个等比数列的和的形式，再分别利用等比数列的求和公式求和． 第七招 合理化归化归意识是把待解决的问题转化为已有知识范围内问题的一种数学意识，包括将复杂式子化简、为达某一目的对数学表达式进行变形、从目标入手进行分析等． 例7 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n是等比数列．证明 要证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，必须把问题化成与S nn 这个整体有关的问题，通过等比数列的定义加以证明．由于a n ＋1＝n ＋2n S n ，a n ＋1＝S n ＋1－S n，则(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，即S n ＋1n ＋1＝2S n n .又S n ≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项、2为公比的等比数列．点评 将数列中的复杂问题进行转化，关键是找准方向，再利用已知等差或等比数列的相关知识求解．6 小公式，大用场——公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2)在解数列综合题中的重要应用由数列前n 项和S n 的含义可知，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，从而得到公式a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)对任意数列都成立．在数列一章中，这是一个不太起眼的小公式，但是就是这样一个微不足道的小公式在求解数列综合题中发挥着重要的作用，也是近几年考试中高频考查的公式之一．下面结合例子谈一下该公式的重要用途．1．已知S n ＝f (n )，求a n例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足关系lg (S n ＋1)＝n (n ＝1,2,3，…)，试证数列{a n }是等比数列． 分析 先由lg (S n ＋1)＝n ，求出S n ，再由公式a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n ，最后利用等比数列定义证明．证明 由已知可得S n ＝10n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n －1)－(10n －1－1)＝9·10n －1.又n ＝1时，a 1＝S 1＝9也满足上述通项公式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝9·10n －1.而当n ≥2时，a n a n －1＝9·10n －19·10n －2＝10为一常数，∴数列{a n }是以9为首项， 10为公比的等比数列． 2．已知S n ＋1＝f (S n )，求a n 或S n例2 已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .分析 注意到S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，得到S n ＝2S n －1＋n ＋4，然后两式相减就会得到a n ＋1与a n 的递推关系，从而使问题(1)获证，在第(1)问结论的基础上易求a n 及S n . (1)证明 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋， 可得当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4. 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋， 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.3．已知S n ＝f (a n )，求a n 或S n例3 设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1) (n ∈N ＋)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)将数列{a n }、{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通项公式为d n ＝32n ＋1 (n ∈N ＋)．分析 (1)一般地，当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时，常需要运用关系式a n ＝S n －S n －1，先将已知条件转化为只含a n 或S n 的关系式，然后再求解．(2)一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列．(1)解 由已知A n ＝32(a n －1) (n ∈N ＋)．当n ＝1时，a 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝32(a n －a n －1)，由此解得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3 (n ≥2)．所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 故a n ＝3n (n ∈N ＋)．(2)证明 由计算可知a 1，a 2不是数列{b n }中的项．因为a 3＝27＝4×6＋3，所以d 1＝27是数列{b n }中的第6项．设a k ＝3k 是数列{b n }中的第m 项，则3k ＝4m ＋3 (k ，m ∈N ＋)，因为a k ＋1＝3k ＋1＝3·3k ＝3(4m ＋3)＝4(3m ＋2)＋1，所以a k ＋1不是数列{b n }中的项．而a k ＋2＝3k ＋2＝9·3k ＝9(4m ＋3)＝4(9m ＋6)＋3，所以a k ＋2是数列{b n }中的项．由以上讨论可知d 1＝a 3，d 2＝a 5，d 3＝a 7，…，d n ＝a 2n ＋1. 所以数列{d n }的通项公式是d n ＝a 2n ＋1＝32n ＋1 (n ∈N ＋)．4．已知a n ＝f (S n )，求a n 或S n例4 已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项的和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项． (1)求通项a n ；(2)求S n .分析 由已知能推出a n ＋1a n ＝－12，但是a n ＋1a n ＝－12成立的前提n ≥2，只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列{a n }是否为等比数列还需验证a 2a 1是否等于－12，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视． 解 (1)由已知，得当n ≥2时， 2a n ＝(3S n －4)＋⎝⎛⎭⎫2－32S n －1. ① 又a n ＝S n －S n －1，②得a n ＝3S n －4(n ≥2)，a n ＋1＝3S n ＋1－4. 以上两式相减得a n ＋1－a n ＝3a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝－12，∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列， 其中a 2＝3S 2－4＝3(1＋a 2)－4.即a 2＝12，q ＝－12，∴当n ≥2时，a n ＝a 2q n －2＝12⎝⎛⎭⎫－12n －2＝－⎝⎛⎭⎫－12n －1， 即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，－⎝⎛⎭⎫－12n －1 (n ≥2).(2)当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n ) ＝1＋12[1－⎝⎛⎭⎫－12n －1]1－⎝⎛⎭⎫－12＝1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1.当n ＝1时，S 1＝1＝1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－120，也符合上述公式．即S n ＝43－13⎝⎛⎭⎫－12n －1.7 盘点数列中的易错问题1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2.[点拨] 数列是以正整数N ＋(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 设f (x )＝x 2＋λx ，则其图象的对称轴为x ＝－λ2，因为a n ＝n 2＋λn ，所以点(n ，a n )在f (x )的图象上，由数列{a n }是单调递增数列可知，若－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1， 即当λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的．故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的取值范围． [正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N ＋)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N ＋)， 所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立， 即2n ＋1＋λ>0，所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N ＋)恒成立． 而当n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(当n ＝1时)， 所以λ>－3即为所求的取值范围．2．忽视数列与函数的区别而致错例2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N ＋，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．[错解] 因为数列{a n }是递增数列，且点(n ，a n )在函数f (x )的图象上，所以分段函数f (x )是递增函数，故实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，7(3－a )－3<a ，解得94<a <3.[点拨] 上述解法，把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增，忽视了二者的区别，事实上，数列单调递增，所在函数不一定单调． [正解] 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上，因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7； 当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．温馨点评 数列单调递增，所在函数不一定单调递增，防止知识混淆而导致解题结果错误. 3．公式使用条件考虑不周全而致错例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证当n ＝1时的值是否适合当n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)，2·3n －1＋2 (n ≥2).4．审题不细心，忽略细节而致错例4 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围． [错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0，a 10＝－24＋(10－1)d >0，解不等式得83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.5．忽略概念中的隐含条件而致错例5 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得n 2－25n ＋144＝0.所以n ＝9或n ＝16. 即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°，舍去． 所以凸n 边形的边数为9.6．忽视等差数列前n 项和公式的基本特征而致错例6 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S nT n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值．[错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ， 所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点． [正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ， b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ， 所以a 9b 9＝8841.7．等差数列的特点考虑不周全而致错例7 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值． [错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，即20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴当n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130. ∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0.∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.8．忽略题目中的隐含条件而致错例8 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值．[错解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1. ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列．∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 当b 2＝2时，a 2－a 1b 2＝－12＝－12， 当b 2＝－2时，a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.∴a 2－a 1b 2＝±12. [点拨] 注意b 2的符号已经确定，且b 2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．[正解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1. ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.9．求和时项数不清而致错例9 求1＋2＋22＋…＋2n 的和．[错解] 1＋2＋22＋ (2)＝1－2n1－2＝2n －1. [点拨] 错因在于没有搞清项数，首项为1＝20，末项为2n ，项数应为n ＋1项．[正解] 这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n ＋1项的和，所以1＋2＋22＋…＋2n ＝1－2n ＋11－2＝2n ＋1－1.10．利用等比数列求和公式忽视q ＝1的情形而致错例10 已知等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，求数列{a n }的通项公式．[错解] 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12，解得q ＝－12. 所以a n ＝a 3q n －3＝4·⎝⎛⎭⎫－12n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. [点拨] 上述解法中忽视了等比数列前n 项和公式中q ＝1这一特殊情况．[正解] 当q ＝1时，a 3＝4，a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，所以q ＝1符合题意．此时a n ＝4. 当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12， 解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 故数列通项公式为a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5.以上十例论述了数列中常见的一些错误及其原因，当然数列解题中的错误原因还有未尽之处，本文旨在抛砖引玉，使同学们在学习中养成良好的纠错习惯．集“错”成册，常翻常阅，引以为戒，警钟长鸣．。
2017-2018学年高中数学人教B版必修5 同步导学案 第2章
《等比数列》BCA 案考纲要求1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式及性质3、并能利用有关知识解决相应问题B 案（基础回归）1、如果—1，a ，b ，c ，—9成等比数列，那么A 、b=3，ac=9B 、b=—3，ac=9C 、b=3，ac=—9D 、b=—3，ac=—92、在等比数列{a n }中，a 2=8，a 5=64，则公比q 为A 、2B 、3C 、4D 、83、在数列{a n }中，a n+1=ca n （c 为非零常数）且前n 项和S n =3n+k ，则k 等于A 、—1B 、1C 、0D 、2 4、在等比数列{a n }中，a 8=10，则a 3·a 13=。
5、已知a n =2a n —1（n ≥2），a 1=1，c n =21na ，则{c n }的前n 项和S n =。
6、已知等比数列{a n }中，前10项的和S 10=10，前20项的和S 20=30，则S 30= 。
C 案（典型例题分析）题型一、等比数列的基本量例1：等比数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S 3+ S 6=2S 9，求q 的值。
二、等比数列的证明例2：设数列{a n }中，a 1=1，S n+1=4a n +2，b n =a n+1—2a n （1）求证：数列{b n }为等比数列。
（2）求数列{b n }的前n 项和T n 。
引申2：已知数列{a n }中a 1=1且满足a n+1=2a n +1求{a n }的通项公式。
三．等比数列的综合应用例3：已知a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=x 2+2x 的图象上。
其中n=1，2，3…… （1）证明数列{lg （1+a n ）}是等比数列。
（2）设T n =（1+a 1）（1+a 2）……（1+a n ）求T n 。
当堂检测：1、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=3a 1，则数列{a n }的公比q 的值为。
高中数学人教B版必修5习题 第2章 数列 2.3 第3课时(含答案)
第二章 2.3 第3课时一、选择题1．已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510[答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2.∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.2．(2014·全国大纲理，10)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] C[解析] 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是a n ＝2×(52)n －4，设b n ＝lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S 8＝8(b 1＋b 8)2＝8(lg2－3lg 52＋lg2＋4lg 52)2＝4.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12，a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48， 由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192[答案] B[解析] 公式q 3＝a 5a 2＝2439＝27，q ＝3，a 1＝a 2q ＝3，S 4＝3(1－34)1－3＝120.5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158[答案] C[解析] 显然q ≠1，∴9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴{1a n }是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－(12)51－12＝3116.6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝27，则S 9＝( ) A ．81 B ．72 C ．63 D ．54[答案] C[解析] ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∴9,18，S 9－27成等比数列， ∴182＝9(S 9－27)，∴S 9＝63.故选C ． 二、填空题7．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.[答案] 15[解析] 设数列{a n }的首项为a 1，则S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1，a 4＝a 1·(12)3＝18a 1，∴S 4a 4＝158a 118a 1＝15. 8．(2015·湖南理，14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.[答案] 3n －1[解析] ∵3S 1,2S 2，S 3成等差数列，∴2×2(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3，∴a 3＝3a 2，∴q ＝3. 又∵等比数列{a n }，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 三、解答题9．在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求数列{a n }的前8项和． [解析] 解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n ＝a 1q n －1，由已知条件得 a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24，① a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64， ∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去． 将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，得a 1＝1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，得a 1＝－1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得 a 24＝a 3·a 5＝64， ∴a 4＝±8，a 6＝24＋a 4＝24±8. 因为{a n }是实数列，所以a 6a 4＞0，故舍去a 4＝－8，而a 4＝8，a 6＝32，从而a 5＝±a 4·a 6＝±16.公比q 的值为q ＝a 5a 4＝±2，当q ＝2时，a 1＝1，a 9＝a 6q 3＝256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，a 9＝a 6q 3＝－256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝85.10．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝1，S 8＝17，求S n . [解析] 设{a n }公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝1a 1(1－q 8)1－q ＝17，两式相除并化简，得q 4＋1＝17，即q 4＝16. ∴q ＝±2.∴当q ＝2时，a 1＝115，S n ＝115(1－2n )1－2＝115(2n －1)；当q ＝－2时，a 1＝－15，S n ＝－15[1－(－2)n ]1＋2＝115[(－2)n －1]．一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2B ．73C ．83D ．3[答案] B[解析] ∵S 6S 3＝3，∴S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝2，∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比，∴S 9－S 6S 3＝22，∴S 9＝4S 3＋S 6＝7S 3， ∴S 9S 6＝7S 33S 3＝73，∴选B ． 2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12[答案] C[解析] 当q ＝1时，满足题意．当q ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7a 1(1－q 3)1－q ＝21，解得q ＝－12，故选C ．3．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9 C ．63 D ．7或63[答案] D[解析] 由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列， ∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)， 即(21－S 10)2＝S 10(49－21)， ∴S 10＝7或63.4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n )[答案] C[解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14， 又a 1·a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14＝323(1－4－n )．二、填空题5．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.[答案] 13(4n －1)[解析] ∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3－1＝2， ∴公比q ＝2.又∵数列{a 2n }也是等比数列，首项为a 21＝1，公比为q 2＝4，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________.[答案] －65[解析] S n ＝－4－4－4＋…＋(－1)n －1(4n －3)， ∴S 22＝－4×11＝－44，S 11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21， ∴S 22－S 11＝－65. 三、解答题7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解析] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2， ∴q ＝1不满足题意． ∴2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 2)1－q，解得q ＝－12.(2)由(1)知q ＝－12，又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3，∴a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83[1－(－12)n ]． 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝632.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72a 1(1－q 6)1－q ＝632，解得q ＝2，a 1＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2. (2)b n ＝6n －61＋log 22n －2 ＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7， ∴数列{b n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7＝－56n ＋12n (n －1)×7＝72n 2－1192n .。
高中数学必修5第二章课后习题解答新版
新课程标准数学必修5第二章课后习题解答第二章 数列2．1数列的概念与简单表示法 练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N n a n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33） 1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2） （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-； （2）1，（，2；n a =.4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+. 习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72n n a =⨯+﹪.3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2．2等差数列 练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s. 习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2．3等差数列的前n 项和 练习（P45） 1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-.（2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1na n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2．4等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++ . 令,1,2,k i b a i +== ，则数列12,,k k a a ++ 可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++ 是等比数列. （2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a aq k a a a +-===== ≥. 所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列. （3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ， 则1112231111121110(1)k k a a aq k a a a +-===== ≥ 所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯= 还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =. 当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n q --=.那么数列{}n a12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为50505013100.052 5.6310 m m 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列.由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈ 6、由已知条件知，,2a bA G +==，且02a b A G +-=- 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10. 习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅. 2．5等比数列的前n 项和 练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q（第3题）所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++ 555S q S =+55(1)q S =+50= 同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元） 习题2.5 A 组（P61） 1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=--（2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++ ……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+ ……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++- ……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++= ；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=- 所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列 习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n bb b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==-- 2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ） 4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略 5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++= ﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元） 故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-； （4）n a =n a3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>. 所以第二种领奖方式获奖者受益更多.8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n nS a a a a n d a n d a n d ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n n d S n d =++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-.因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b += 所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=- 如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a =6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯ 所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）。
高中数学人教B版必修5习题 第2章 数列 2.3 第2课时(含答案)
第二章 2.3 第2课时一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．40[答案] D[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2，∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.2．(2014·重庆理，2)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列[答案] D[解析] 设等比数列的公比为q ， ∵a 6a 3＝a 9a 6＝q 3， ∴a 26＝a 3a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列，故选D ．3．等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( ) A ．39 B ．310 C ．311 D ．312[答案] B[解析] 由已知，得a 5a 6＝9，∴a 1·a 10＝a 2·a 9＝a 3·a 8＝a 4·a 7＝a 5·a 6＝9， ∴a 1·a 2·…·a 10＝95＝310.4．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] a 3a 5a 7a 9a 11＝a 51q 30＝243，∴a 29a 11＝(a 1q 8)2a 1q10＝a 1q 6＝5243＝3. 5．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] C[解析] ∵a 3a 11＝a 27＝4a 7，∵a 7≠0， ∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.6．(2015·新课标Ⅱ文，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18[答案] C[解析] 解法一：根据等比数列的性质，结合已知条件求出a 4，q 后求解．∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2.∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C ．解法二：直接利用等比数列的通项公式，结合已知条件求出q 后求解． ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C ．二、填空题7．(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．[答案] 4[解析] 本题考查等比数列的通项及性质．设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.在等比数列中a n ＝a m ·q n －m .8．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________．[答案] －3 [解析]a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q＝1q ＝－3. 三、解答题9．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . [解析] (1)∵a 1a 2a 3＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1、a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝±2.10.已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值； (2)若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求数列{a n }的通项公式． [解析] (1)解法一：∵a n >0，∴a 1>0，q >0. 又∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝36，即a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝36， ∴a 21q 4(1＋2q 2＋q 4)＝36，即a 21q 4(1＋q 2)2＝36.又∵a n >0，∴a 1q 2(1＋q 2)＝6， ∴a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(1＋q 2)＝6. 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，∴(a 3＋a 5)2＝36， 又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6. (2)∵a 22＝a 1a 3，代入已知，得a 32＝8，∴a 2＝2. 设数列{a n }的前三项为2q ，2,2q ，则有2q＋2＋2q ＝7.整理得，2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12. ∴a n ＝2n －1，或a n ＝4×(12)n －1＝23－n .一、选择题1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215[答案] B[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.2．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列[答案] A [解析] 设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n)2＝q 2， ∴{b n }成等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ， 则c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝(n ＋1)qn≠常数． 3．在等比数列{a n }中，公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．当q >1时，{a n }为递增数列 B ．当0<q <1时，{a n }为递增数列 C ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2>0成立 D ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2a n ＋4>0成立 [答案] C[解析] 如等比数列－1，－2，－4，－8，…，的公比q ＝2，而该数列为递减数列，排除A ；如等比数列1，12，14，18，…，的公比q ＝12，而该数列为递减数列，排除B ；如等比数列－1,1，－1,1，－1，…，中a 1a 3a 5<0，排除D ，故选C ．4．已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( ) A ．成等差数列不成等比数列 B ．成等比数列不成等差数列 C ．成等差数列又成等比数列 D ．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A[解析] 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1， c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －b .解法二：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A ． 二、填空题5．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.[答案] 16[解析] ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27 ＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．[答案] 3或27[解析] 设此三数为3、a 、b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b (a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝27.∴这个未知数为3或27. 三、解答题7．{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11. [解析] ∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20， ∴a 3、a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4， 当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20， ∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4.当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20， ∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14.∴a 11＝a 3q 8＝64或1.8．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .[解析]由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1·a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵a22＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，设等比数列{a n}的公比为q，得log2(2q)·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2.，解得q＝4或14∴所求等比数列{a n}的通项公式为a n＝a2·q n－2＝22n－3或a n＝25－2n.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．[解析]设{a n}的公差为d.由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时S n＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{a n}的通项公式为a n＝3或a n＝2n－1.。
高中数学人教B版必修5习题 第2章 数列 2.2 第1课时(含答案)
第二章 2.2 第1课时一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10[答案] A[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 9＝a 1＋a 1＋8d ＝2a 1＋8d ＝2(a 1＋4d )＝2a 5＝10，∴a 5＝5.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10a 1＋3d ＝7，解得d ＝2.3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52[答案] D[解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.4．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( ) A ．60 B ．61 C ．62 D ．63[答案] B[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝33a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21d ＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18. 令201＝3n ＋18，∴n ＝61. 5．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A ．3 B ． 2 C ．13D ．12[答案] A[解析] 设等差中项为x ，由等差中项的定义知，2x ＝a ＋b ＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x ＝3，故选A ．6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14[答案] C[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7a 1＋d ＋6＝a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝3＋10＝13.二、填空题7．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. [答案] 42[解析] a 1＋a 2＋a 3＝15，a 2＝5，d ＝3， ∴a 5＝a 2＋3d ＝14，a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝42.8．等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． [答案] 4[解析] 2(2x ＋1)＝x ＋(4x ＋2)，∴x ＝0， ∴a 1＝0，a 2＝1，d ＝a 2－a 1＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝4. 三、解答题9．已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． [解析] 设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？[解析] 设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．一、选择题1．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[答案] D[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325.2．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51[答案] C[解析] a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴n ＝50.3．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0B ．12C ．23D ．－1 [答案] B [解析] 令b n ＝1a n ＋1，由题设b 3＝1a 3＋1＝13， b 7＝1a 7＋1＝12且{b n }为等差数列，∴b 7＝b 3＋4d ，∴d ＝124.∴b 11＝b 7＋4d ＝12＋16＝23，又b 11＝1a 11＋1，∴a 11＝12.4．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34[答案] C[解析] 由题意可知：d 1＝b －a 3，d 2＝b －a4，∴d 1d 2＝43，故选C ． 二、填空题5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. [答案] 20[解析] 设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. 三、解答题7．(2016·银川高二检测)已知无穷等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2； (2)求{b n }的通项公式；(3){b n }中的第503项是{a n }中的第几项？ [解析] (1)∵a 1＝3，d ＝－5， ∴a n ＝3＋(n －1)×(－5)＝8－5n .数列{a n }中序号被4除余3的项是{a n }中的第3项，第7项，第11项，…，∴b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.(2)∵数列{a n }是等差数列， ∴数列{b n }也是等差数列，首项b 1＝－7，公差d ＝－27－(－7)＝－20， ∴b n ＝a m ＝a 4n －1＝8－5×(4n －1)＝13－20n ， 即{b n }的通项公式为b n ＝13－20n .(3)b 503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n }中的第m 项，则－10 047＝8－5m ，解得m ＝2 011，即{b n }中的第503项是{a n }中的第2 011项．8. 已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定．(1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．[分析] 按照等差数列的定义，只需证明1x n －1x n －1是常数，即可说明{1x n }是等差数列．[解析] (1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.。
人教B版数学必修五：第2章《数列》章末整合学案(含答案解析)
第二章 数列 章末整合知识概览对点讲练 知识点一 等差数列与等比数列的基本运算 例1 已知{a n }是各项为不同的正数的等差数列，lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列．又b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3，…. (1)证明：{b n }为等比数列； (2)如果数列{b n }的前3项的和等于724，求数列{a n }的通项公式a n 及数列{b n }的前n 项和T n .回顾归纳 在等差数列{a n }中，通常把首项a 1和公差d 作为基本量，在等比数列{b n }中，通常把首项b 1和公比q 作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．变式训练1 等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.知识点二 数列的通项公式和前n 项和例2 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．回顾归纳 递推数列问题通常借助构建等差数列或等比数列来解决．把一般数列问题转化为两种基本数列问题是解决数列的一种常用思想方法．变式训练2 已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ＝1,2，…. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .知识点三 等差数列与等比数列的综合运用例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．回顾归纳 数列的综合问题形式上看来比较复杂，实质上求数列的通项公式和前n 项和是解答这类综合问题的根本性问题和关键性所在．变式训练3 设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1 (n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1.1．等差数列和等比数列各有五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 或a 1，n ，q ，a n ，S n .一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和d (或q )，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：(1)建立基本量的方程(组)求解；(2)巧用等差数列或等比数列的性质求解；(3)构建递推关系求解，有些数列问题还要涉及其它章节的知识求解，如函数的思想等.课时作业一、选择题1．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋3，则a 4＋a 5＋…＋a 10等于( )A ．171B ．21C ．10D ．1612．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 10等于( )A ．1 024B ．1 023C ．2 048D ．2 0473．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．104．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134二、填空题5．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．6．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是________．7．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝______.三、解答题8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且2a n ＋1＝a n ＋2＋a n (n ∈N *)．数列{b n }的前n 项和为S n ，其中b 1＝－32，b n ＋1＝－23S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n，求T n 的表达式． 章末整合对点讲练例1 (1)证明 ∵lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列， ∴2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4.即a 22＝a 1a 4，设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得d 2＝a 1d .∵d ≠0，∴a 1＝d .∴a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n ·d ，∴b n ＝1a 2n ＝1d ·12n . ∴{b n }是以12d 为首项，12为公比的等比数列． (2)解 ∵b 1＋b 2＋b 3＝12d ⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＝724， ∴d ＝3，∴a 1＝d ＝3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n ，b n ＝13·⎝⎛⎭⎫12n . T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n . 变式训练1 解 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝7，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 例2 (1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1×21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.变式训练2 (1)证明 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n，∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 又a 1＝23，∴1a 1－1＝12.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列． (2)解 由(1)知1a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴1a n ＝1＋12n， ∴n a n ＝n ＋n 2n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， 则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1 ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1 ∴T n ＝2－n ＋22n .又1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)． ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－n ＋22n ＋n (n ＋1)2. 例3 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得(d ＝0舍)，d ＝2.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t 36总成立， 又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0， ∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9. 又∵t ∈N *，∴适合条件的t 的最大值为8.变式训练3 (1)证明 由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t 3t. 又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ，①3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t .②①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0.∴a n a n －1＝2t ＋33t ，(n ＝2,3，…)． ∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列． (2)解 由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t ，得b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列． ∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13. (3)解 由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列． 于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝－43·12n ⎝⎛⎭⎫53＋4n ＋13＝－49(2n 2＋3n )． 课时作业1．D [a 4＋a 5＋…＋a 10＝S 10－S 3＝161.]2．B [利用累加法及等比数列求和公式，可求得a 10＝210－1＝1 023，故选B.]3．C [设项数为2n ，公比为q .由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1.①S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n .②②÷①得，q ＝17085＝2， ∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 1(1－q 2n )1－q ＝1－22n1－2⇒2n ＝8.]4．C [∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴b n ＝ln a n 是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2，∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ， ∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.]5．2,4,8解析 设这三个数为a q ，a ，aq .由a q·a ·aq ＝a 3＝64， 得a ＝4.由a q ＋a ＋aq ＝4q＋4＋4q ＝14. 解得q ＝12或q ＝2.∴这三个数为2,4,8. 6．5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11.则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192， ∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5.7．48 解析 易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝3S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12＝S 3·q 12＝3×24＝48.8．解 (1)依题意得S n n＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×1－2＝6×1－5， 所以a n ＝6n －5 (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1，故 T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)] ＝12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1， 因此，使得12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1<m 20(n ∈N *)成立的m 必须满足12≤m 20，即m ≥10. 故满足要求的最小正整数m 为10.9．解 (1)∵2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，∴数列{a n }是等差数列． ∴公差d ＝a 2－a 1＝2.∴a n ＝2n －1.∵b n ＋1＝－23S n ，∴b n ＝－23S n －1 (n ≥2)． ∴b n ＋1－b n ＝－23b n .∴b n ＋1＝13b n (n ≥2)． 又∵b 2＝－23S 1＝1，∴b 2b 1＝－23≠13. ∴数列{b n }从第二项开始是等比数列．∴b n ＝⎩⎨⎧－32， n ＝1，⎝⎛⎭⎫13n －2， n ≥2. (2)∵n ≥2时，a n b n＝(2n －1)·3n －2， ∴T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝－23＋3×30＋5×31＋7×32＋…＋(2n －1)×3n －2. ∴3T n ＝－2＋3×31＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1.错位相减并整理得T n ＝－23＋(n －1)3n －1.。
精编人教版高中数学必修5课后习题答案[电子档]
.......高中数学必修5课后习题答案.......第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N n a n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）2,6,22,3,10,23,14,15,4,32； （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；n 1 2 … 5 … 12 … n n a2133…69…153…3(34)n +（2）1，2，（3），2，5，（6），7； n a n =.4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2.2 等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯； （2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略.2.3 等差数列的前n 项和练习（P45）1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =. （2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考.（1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-. 3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2.4 等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.1a3a5a7aq2 4 8 16 2或2-5020.080.00320.2（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅（2）用上面的方法不难证明211(1)n n n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)n n k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪.（2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =. 当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==.2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷）3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=，得111(1)22111()n n n n a a qa qa q ---===.那么数列{}n a 是以1a 为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为50505013100.052 5.6310 m m 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得24010.51105q =-≈ 6、由已知条件知，,2a bA G ab +==，且22()0222a b a b ab a b A G ab ++---=-==≥ 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >. 7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个 问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a s a q= 根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5 等比数列的前n 项和练习（P58）1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----. a sa q a pa ksq p kOna n（第3题）2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+.因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元） 习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列 所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=--（2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n = 6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b b b a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==-- 2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ） 可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率. 因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪ 故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元. （4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪ 解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元） 故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+； （3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万）7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布. 110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>. 所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =. 10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n nS a a a a n d a n d a n d ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n n d S n d =++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯.所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦7、设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x﹪+-2003年底剩余资金是2+-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x……5年后达到资金5432﹪﹪﹪﹪﹪+-+-+-+-+=1000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x 解得459x≈（万元）第三章 不等式3.1 不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）3274+<； （2）710314+>+.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)(1)02x x +>+>，所以112xx +>+4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入. 所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥. 习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >> 又因为0cd >，所以10cd> 于是0a bd c>>，所以a b d c > 3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3.2 一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是331,133⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为331,133x x x ⎧⎫⎪⎪<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是331133x x ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）131322x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以249y x x =-+的定义域是R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x = 所以221218y x x =-+-的定义域是{}3x x =3、{}322,322m m m <-->-+或； 4、R. 5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）55255222xx ⎧⎫-+⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为42423,322x x x ⎧⎫⎪⎪<-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则3002a =，所以22(3002)450b +<，即150150b -<< 而300215015(221)13.7202-=-≈（h ），3001520=.所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元打磨着色 上漆 桌子A 10 6 6 40 桌子B 5 12 9 30 工作最长时间450480450解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩ 得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.y=x x+y=1CBA -1O1yx5x +3y=15x -5y=3y=x+1yx15B3AO（2）目标函数为35z x y=+，可行域如图所示，作出直线35z x y=+可知，直线经过点B时，Z取得最大值. 直线经过点A时，Z取得最小值.解方程组153y xx y=+⎧⎨-=⎩，和15315y xx y=+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A--和点(1.5,2.5)B.所以max 3 1.55 2.517z=⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z=⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为30002000z x y=+，需要满足的条件是24002500x yx yxy+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y=+，当直线经过点A时，z取得最大值.解方程组2400 2500 x yx y+=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A，z的最大值为800000元. 习题3.3 A组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（第2题）x yA500200400250O（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分广告时间/分收视观众/万连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 播放最长时间 320 最少广告时间6解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z .目标函数为6020z x y =+，y=2x -2y xO1-1-21yx22Oxy321Oy≤-2xy -2O（1） （2） （3） （4）y=x 3+1y=x+2y=4-x-1-15424O1（第2题）y86所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图y=120-3xy=100-xxy12010010040MOy=-2-23xy=4-23xyx-3-22564O1（第1题）2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)60z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++. 所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）y=12-x2y=x+3yx-2-33O1（第2题）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.4 基本不等式2a bab +≤练习（P100）1、因为0x >，所以1122x x x x+⨯=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50. 即1502ab =，所以 2210020a b ab +==≥，当且仅当10a b ==时取等号. 答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b += 所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号. 答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()3242323264S ab bc ac a b ab =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 223612a b ab +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b += 所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m . 3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=1236003120068005800480058002360012480058000z y x x x⨯=⨯+⨯+=++⨯⨯+=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++ 由基本不等式与不等式的性质 6[27218]6(18122)108722S ⨯-+=⨯-=-≤ 当72x x=，即62x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108722)-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D . 设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =. 在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+()()2()()2a ba ba cbc a c b c x x--=----⋅≤当且仅当()()a cbc x x--=，即()()x a c b c =--时，tan β取得最大，从而视角也最大. 第三章 复习参考题A 组（P103）1、511212537+<+. 2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<.4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为 2224Z x y xy S =+=≥当2x y =，即x S =，2y S =时，Z 可以取得最小值，最小值为4S . 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即a v b =且a cb ≤时，y 有最小值. 22sa say sbv sbv s ab v v=+⨯=≥，最小值为2s ab . 当a cb >时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，vc =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 （2）231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg x+y=62x+y=10x+y=10yx1010656O（第4题）xy12L 1L 3L 2ABC （第5题）.............. 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ 比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。