大学物理实验数据处理基本方法
5、常用数据处理方法
方法二：不选中数据的情况下选择菜单命令 Plot│Line+Symbol或单击2D Graphs工具条中 的Line+Symbol 按钮，在弹出的Plot Setup对 话框中将A设为X列，将B设为Y列，单击OK按钮。
6.2 Origin在处理物理实验数据中的应用 —绘制多条曲线
方法一：建立数据表，用鼠标选中“A(X1) 、B(Y1)、 C(X2)、D(Y2)”列，选择菜单命令Plot│Line+Symbol或 单击2D Graphs工具条中的Line+Symbol 按钮。
yn/2 yn yn/2 b xn xn/2
n/2
yn/2i yi
b
i 1 n/2
xn/2i xi
i 1
求得b后，可以运用累加法求截距a
n
n
yi na b xi
i 1
i 1
n
n
yi b xi
a i1
i1 y bx
n
5. 最小二乘法与曲线的拟合
图解法处理数据时，人工拟合的曲线不是最佳的。 科研工作中常用最小二乘法来拟合曲线。
• 作图纸的最小分度代表有效数字准确数的最后一位。坐标轴 的起点坐标不一定为零，原则是使作出的图线充满整个图纸。
3、实验点的标志
实验测量点的标识必须明显、突
出。例如，可以用 ,,,
等符号。
4、图线的描绘 ：原则是练出一根光滑的图形， 使其通过较多的实验点，另有一些实验点则大 体均匀分布在图线两侧。
值为b0和b1
6. 软件数据处理法
6.1 Excel 在 处 理 物 理 实 验 数 据 中 的 应 用 6.2 Origin在处理物理实验数据中的应用
6.1 Excel在处理物理实验数据中的应用
大学物理实验数据处理
5.标出图线特征：
在图上空白位置标明实 验条件或从图上得出的某些 参数。如利用所绘直线可给 出被测电阻R即直线斜率的 大小：从所绘直线上读取两 点 A、B 的坐标就可求出 R 值。要注意的是，A,B两点 不能是实验测得的数据点。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00
电阻伏安特性曲线 作者：xx
• （1） 先用粗测旋钮使测头小砧接近被测物， 后用微调旋钮使测头小砧接触被测物。听 到“喀”、“喀”止动声后停止旋转。 • （2） 读数时要注意固定刻度尺上表示半 毫米的刻线是否已经露出。 • （3） 螺旋测微器读数时必须估读一位， 即估读到0.001mm这一位上。
物理天平 physical balance
0.4000
t(℃)
o
20.00 40.00
60.00
80.00 100.00
120.00 140.00
定容气体压强～温度曲线
1.2000
P(×105Pa)
改正为：
1.1500
1.1000
1.0500
t(℃)
1.0000 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00
测量值=固定刻度读数+（可动刻度格子数x精度）-L0(零点偏差）
注意：用螺旋测微计测量长度时要估读
螺旋测微计的测量方法及读数
校零：
+0.015
-0.025
读数：
5+0.033-0.015
5+0.5+0.033-(-0.025)
=5.018mm
=5.558mm
练习1
练习2
练习3
练习4
大学物理实验 常用的数据处理方法范文
1.7 常用的数据处理方法实验数据及其处理方法是分析和讨论实验结果的依据。
在物理实验中常用的数据处理方法有列表法、作图法、逐差法和最小二乘法（直线拟合）等。
1.7.1 列表法在记录和处理数据时，常常将所得数据列成表。
数据列表后，可以简单明确、形式紧凑地表示出有关物理量之间的对应关系；便于随时检查结果是否合理，及时发现问题，减少和避免错误；有助于找出有关物理量之间规律性的联系，进而求出经验公式等。
列表的要求是：（1）要写出所列表的名称，列表要简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于处理数据。
（2）列表要标明符号所代表物理量的意义（特别是自定的符号），并写明单位。
单位及量值的数量级写在该符号的标题栏中，不要重复记在各个数值上。
（3）列表的形式不限，根据具体情况，决定列出哪些项目。
有些个别的或与其他项目联系不大的数据可以不列入表内。
列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。
（4）表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字。
列表举例如表1-2所示。
表1-2铜丝电阻与温度关系1.7.2 作图法作图法是将两列数据之间的关系用图线表示出来。
用作图法处理实验数据是数据处理的常用方法之一，它能直观地显示物理量之间的对应关系，揭示物理量之间的联系。
1．作图规则为了使图线能够清楚地反映出物理现象的变化规律，并能比较准确地确定有关物理量的量值或求出有关常数，在作图时必须遵守以下规则。
（1）作图必须用坐标纸。
当决定了作图的参量以后，根据情况选用直角坐标纸、极坐标纸或其他坐标纸。
（2）坐标纸的大小及坐标轴的比例，要根据测得值的有效数字和结果的需要来定。
原则上讲，数据中的可靠数字在图中应为可靠的。
我们常以坐标纸中小格对应可靠数字最后一位的一个单位，有时对应比例也适当放大些，但对应比例的选择要有利于标实验点和读数。
最小坐标值不必都从零开始，以便做出的图线大体上能充满全图，使布局美观、合理。
（3）标明坐标轴。
大学物理实验数据处理方法总结
有效数字1、有效数字不同的数相加减时，以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准，最后结果与它对其，余下的尾数按舍入规则处理。
2、乘除法以参与运算的数值中有效位数最少的那个数为准，但当结果的第1位数较小，比如1、2、3时可以多保留一位（较小：结果的第一位数小于 有效数字最少的结果第一位数）！ 例如：n=tg56° θ=56° d θ=1° θθθθθ2cos d d d dtg dn == 为保留）（，带入848.156n 15605.018056cos 1cos 22=︒=∴︒=∆︒=≈︒=∆=∆tg n θθπθθ3、可以数字只出现在最末一位：对函数运算以不损失有效数字为准。
例如：20*lg63.4 可疑最小位变化0.1 Y=20lgx01.04.631.010ln 2010ln 20ln 10ln 20≈===x dx dx dx x d dy 04.364.63lg 20=∴4、原始数据记录、测量结果最后表示，严格按有效数字规定处理。
（中间过程、结果多算几次）5、4舍5入6凑偶6、不估计不确定度时，有效数字按相应运算法则取位；计算不确定度时以不确定度的处理结果为准。
真值和误差1、 误差=测量值-真值 ΔN=N-A2、 误差既有大小、方向与政府。
3、 通常真值和误差都是未知的。
4、 相对约定真值，误差可以求出。
5、 用相对误差比较测量结果的准确度。
6、 ΔN/A ≈ΔN/N7、 系统误差、随机误差、粗大误差8、 随机误差：统计意义下的分布规律。
粗大误差：测量错误9、 系统误差和随机误差在一定条件下相互转化。
不确定度1、P （x ）是概率密度函数dx P dx x x P p )x (之间的概率是测量结果落在+当x 取遍所有可能的概率值为1.2、正态分布且消除了系统误差，概率最大的位置是真值A3、曲线“胖”精密度低“瘦”精密度高。
4、标准误差：无限次测量⎰∞∞-=-2)()(dx X P A X x ）（σ 有限次测量且真值不知道标准偏差近似给出1)(2)(--=∑K X X S i X5、正态分布的测量结果落入X 左右σ范围内的概率是0.6836、真值落入测定值X i 左右σ区间内的概率为0.6837、不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量值的分散性。
大学物理实验数据处理方法与技巧(讲座)
有效数字的运算
运算规则：
1、可靠数字和可靠数字运算，结果为可靠数字；
2、可疑数字和其它数字运算，结果为可疑数字；
3、运算结果只保留一位可疑数字，并按“五下舍、 五上进，奇进偶舍指整五”取舍。
有效数字的运算
1 、加、减法 ： 经加、 减运算后，计算结果 中小数点后面应保留 的位数和参与运算的 诸数中小数点后位数 最少的一个相同。 2、乘、除法：经乘、 除运算后，计算结 果的有效数字与诸 因子中有效数字最 少的一个相同。 4.178 • × 10.1 • 4178 • 4178 • 421978=42.2
带有粗大误差的实验数据是不可靠的。 一旦发现测量数据中可能有粗大误差数据存在，
应进行重测！
如条件不允许重新测量，应在能够确定的情况下， 剔除含有粗大误差的数据。但必须十分慎重。
第三节 随机误差的处理
1．随机误差的正态分布规律 对某一物理量在相同条件下进行多次重复测量，由于随机 误差的存在，测量结果A1，A2，A3，…，An一般都存在着一定 的差异。如果该物理量的真值为 A ０ ，则根据误差的定义，各 次测量的误差为 ( i =1，2，…，n)
范围就较宽，说明测量的离散性大，精密度低，如图上页所示。
2．标准误差的统计意义
可以证明，标准误差可由下式表示
该式成立的条件是要求测量次数
与以上三个积分式所对应的面积如图所示。
标准误差所表示的统计意义
对物理量A任做一次测量时， 测量误差x 落在- 到+之间的可能性为68.3%， 落在-2 到+2之间的可能性为95.5%， 而落在-3到+3之间的可能性为99.7%。
1.85cm=18.5mm=1.85×104μm 1.85cm≠18.50mm 1.85cm≠18500 μm
大学物理实验数据处理
解：测量最佳估计值
y 1 ( 0 .2 4 9 0 .2 5 0 0 .2 4 7 0 .2 5 1 0 .2 5 3 0 .2 5 0 ) 0 .2 5 0 m m
6
n
(yi y)2
A类标准不确定度 uA
u ( m ) U ( m ) /k 0 .2 4 /3 0 .0 8 0 m g
B类不确定度的计算
2. 在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分 布， k 3 ，而a则取仪器的最大允许误差
(误差限)△(x) ，所以B类不确定度为
u(x) a (x) k3
例题 知道某游标卡尺的仪器最大允许误差为 Δ=0.05mm，使用矩形分布计算不确定度。
• B类不确定度：用其他方法确定的量
1. 根据经验确定。
2. 如果已知被测量的测量值xi分散区间的半宽为a， 且落在 [xa,x区a间] 的概率为100%，通过对 其分布规律的估计可得出B类不确定度为：
a uB(x) k
k是包含因子，取决于测量值 的分布规律.
B类不确定度的计算
包含因子k的确定
物理实验中没有特别说明时，使用矩形分布(平均
2.5级
△=5×2.5/100=0.125V
• 3. 数字显示仪表在缺乏说明的情况下，取其 最小分度值作为其仪器的示值误差限。
△＝0.01mA
• 4.未加说明的仪器， 如果无法得知其误差 限，一般取仪器最小分度的一半作为其仪 器误差限。
△ =0.5mm
直接测量量的合成不确定度
• A类和B类不确定度的合成不确定度uc(x)：
2.有效数字的位数与被测量的大小及仪器的精密度有关。 3.第一个非零数字前的零不是有效数字，第一个非零数字 开始的所有数字都是有效数字。如
物理实验的基本方法及数据处理基本方法
物理实验的基本方法及数据处理基本方法摘要：物理学是实验性学科，而物理实验在物理学的研究中占有非常重要的地位。
本文着重介绍工科大学物理实验蕴涵的实验方法，提出工科大学物理实验的新类型。
并介绍相关的数据处理的方法。
关键词：大学物理实验方法数据处理正文：一、大学物理实验方法实验的目的是为了揭示与探索自然规律。
掌握有关的基本实验方法，对提高科学实验能力有重要作用。
实验离不开测量，如何根据测量要求，设计实验途径，达到实验目的是一个必须思考的重要问题。
有许多实验方法或测量方法，就是同一量的测量、同一实验也会体现多种方法且各种方法又相互渗透和结合。
实验方法如何分类并无硬性规定。
下面总结几种常用的基本实验方法。
根据测量方法和测量技术的不同，可以分为比较法、放大法、平衡法、转换法、模拟法、干涉法、示踪法等。
（一）比较法根据一定的原理，通过与标准对象或标准量进行比较来确定待测对象的特征或待测量数值的实验方法称为比较法。
它是最普遍、最基本、最常用的实验方法，又分直接比较法、间接比较法和特征比较法。
直接比较法是将被测量与同类物理量的标准量直接进行比较，直接读数直接得到测量数据。
例如，用游标卡尺和千分尺测量长度，用钟表测量时间。
间接比较法是借助于一些中间量或将被测量进行某种变换，来间接实现比较测量的方法。
例如，温度计测温度，电流表测电流，电位差计测电压，示波器上用李萨如图形测量未知信号频率等。
特征比较法是通过与标准对象的特征进行比较来确定待测对象的特征的观测过程。
例如，光谱实验就是通过光谱的比较来确定被测物体的化学成分及其含量的。
（二）放大法由于被测量过小，用给定的某种仪器进行测量会造成很大的误差，甚至小到无法被实验者或仪器直接感觉和反应。
此时可以先通过某种途径将被测量放大，然后再进行测量。
放大被测量所用的原理和方法称为放大法。
放大法分累计放大法、机械放大法、电磁放大法和光学放大法等。
1、累计放大法在被测物理量能够简单重叠的条件下，将它展延若干倍再进行测量的方法称为累计放大法。
大学物理实验测量和数据分析的基本技巧
大学物理实验测量和数据分析的基本技巧在大学物理学习中，实验是不可或缺的一部分。
通过实验，我们可以亲身体验物理原理，巩固理论知识，并培养数据分析和实验操作的技能。
本文将介绍大学物理实验中的测量和数据分析的基本技巧。
一、实验前的准备工作在进行物理实验之前，我们首先需要做好充分的准备工作。
以下是一些常见的实验前准备工作：1. 熟悉实验原理和目的：在进行实验之前，学生应该对实验的原理和目的有一个清晰的理解。
这将有助于学生在实验中抓住重点，理解实验结果。
2. 查阅实验手册：实验手册提供了实验的详细步骤和操作要求，我们应该提前阅读和理解。
同时，我们还可以查阅相关的物理学知识，以便更好地理解实验原理。
3. 确定实验装置和仪器的使用方法：不同的实验可能需要不同的装置和仪器。
在进行实验之前，我们应该熟悉并掌握实验装置和仪器的使用方法，以确保实验的顺利进行。
4. 编写实验计划：在进行实验之前，我们应该制定一份实验计划，包括实验的步骤和测量数据的记录方式。
这将有助于我们在实验过程中保持条理和准确性。
二、实验中的测量技巧在物理实验中，准确的测量是非常重要的。
以下是一些实验中常用的测量技巧：1. 选择合适的测量工具：在进行测量之前，我们应该根据测量的目的选择合适的测量工具。
例如，如果我们需要测量长度，可以使用尺子或卡尺；如果需要测量质量，可以使用天平。
2. 注意测量的精度：不同的测量工具具有不同的精度，我们应该根据需要选择相应的测量精度。
同时，在进行测量时，应该将尺度或刻度放在所需测量结果的中间位置，以尽量减小读数误差。
3. 重复测量并取平均值：为了提高测量结果的准确性，我们通常会进行多次重复测量，并取平均值作为最终的测量结果。
这可以减小个别测量误差的影响。
4. 注意零点的调整：在使用某些仪器进行测量时，需要注意对零点的准确定位和调整。
例如，在使用电子天平时，应该先进行零点调零，确保测量结果的准确性。
三、数据分析的基本技巧在实验完成后，我们需要进行数据的分析和处理。
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实验数据处理基本方法实验必须采集大量数据，数据处理是指从获得数据开始到得出最后结论的整个加工过程，它包括数据记录、整理、计算与分析等，从而寻找出测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。
因此，数据处理是实验工作不可缺少的一部分。
数据处理涉及的内容很多，这里只介绍常用的四种方法。
1 列表法对一个物理量进行多次测量，或者测量几个量之间的函数关系，往往借助于列表法把实验数据列成表格。
其优点是，使大量数据表达清晰醒目，条理化，易于检查数据和发现问题，避免差错，同时有助于反映出物理量之间的对应关系。
所以，设计一个简明醒目、合理美观的数据表格，是每一个同学都要掌握的基本技能。
列表没有统一的格式，但所设计的表格要能充分反映上述优点，应注意以下几点： 1．各栏目均应注明所记录的物理量的名称(符号)和单位；2．栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理； 3．表中的原始测量数据应正确反映有效数字，数据不应随便涂改，确实要修改数据时，应将原来数据画条杠以备随时查验；4．对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列，以便于判断和处理。
2 图解法图线能够明显地表示出实验数据间的关系，并且通过它可以找出两个量之间的数学关系，因此图解法是实验数据处理的重要方法之一。
图解法处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下：1.选择图纸 作图纸有直角坐标纸(即毫米方格纸)、对数坐标纸和极坐标纸等，根据作图需要选择。
在物理实验中比较常用的是毫米方格纸，其规格多为cm 2517⨯。
2.曲线改直 由于直线最易描绘,且直线方程的两个参数(斜率和截距)也较易算得。
所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时应尽可能通过变量代换将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线。
下面为几种常用的变换方法。
(1)c xy =(c 为常数)。
令xz 1=，则cz y =，即y 与z 为线性关系。
(2)y c x =(c 为常数)。
令2x z =，则z cy 21=，即y 与z 为线性关系。
(3)b ax y =(a 和b 为常数)。
等式两边取对数得，x b a y lg lg lg +=。
于是，y lg 与x lg 为线性关系，b 为斜率，a lg 为截距。
(4)bx ae y =(a 和b 为常数)。
等式两边取自然对数得，bx a y +=ln ln 。
于是，y ln 与x 为线性关系，b 为斜率，a ln 为截距。
3.确定坐标比例与标度 合理选择坐标比例是作图法的关键所在。
作图时通常以自变量作横坐标(x 轴)，因变量作纵坐标(y 轴)。
坐标轴确定后，用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，并注明坐标轴所代表物理量的符号和单位。
坐标比例是指坐标轴上单位长度(通常为cm 1)所代表的物理量大小。
坐标比例的选取应注意以下几点：(1)原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的，即坐标轴上的最小分度(m m 1)对应于实验数据的最后一位准确数字。
坐标比例选得过大会损害数据的准确度。
(2)坐标比例的选取应以便于读数为原则，常用的比例为“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”(包括“1∶0.1”、“1∶10”…)，即每厘米代表“1、2、5”倍率单位的物理量。
切勿采用复杂的比例关系，如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等。
这样不但不易绘图，而且读数困难。
坐标比例确定后，应对坐标轴进行标度，即在坐标轴上均匀地(一般每隔cm 2)标出所代表物理量的整齐数值，标记所用的有效数字位数应与实验数据的有效数字位数相同。
标度不一定从零开始，一般用小于实验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点，用大于实验数据最大值的某一数作为终点，这样图纸可以被充分利用。
4.数据点的标出 实验数据点在图纸上用“+”符号标出，符号的交叉点正是数据点的位置。
若在同一张图上作几条实验曲线，各条曲线的实验数据点应该用不同符号(如×、⊙等)标出，以示区别。
5.曲线的描绘 由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线板等拟合。
根据随机误差理论，实验数据应均匀分布在曲线两侧，与曲线的距离尽可能小。
个别偏离曲线较远的点，应检查标点是否错误，若无误表明该点可能是错误数据，在连线时不予考虑。
对于仪器仪表的校准曲线和定标曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个曲线呈折线形状。
6.注解与说明 在图纸上要写明图线的名称、坐标比例及必要的说明(主要指实验条件)，并在恰当地方注明作者姓名、日期等。
7.直线图解法求待定常数 直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。
其步骤如下：(1)选点。
在直线上靠近实验数据两端点内侧取两点),(11y x A 、22,(y x B ），并用不同于实验数据的符号标明，在符号旁边注明其坐标值(注意有效数字)。
若选取的两点距离较近，计算斜率时会减少有效数字的位数。
这两点既不能在实验数据范围以外取点，因为它已无实验根据，也不能直接使用原始测量数据点计算斜率。
(2)求斜率。
设直线方程为bx a y +=，则斜率为1212x x y y b --=(1-5-1)(3)求截距。
截距的计算公式为11bx y a -= (1-5-2)【例7】金属电阻与温度的关系可近似表示为)1(0t R R α+=，0R 为0=t ℃时的电阻，α为电阻的温度系数。
实验数据见下表，试用图解法建立电阻与温度关系的经验公式。
【解】温度t 起点C 0.10︒，电阻R 起点Ω400.10。
比例测算，t 轴：7.417.100.90=-，图1-5-1 铜丝电阻与温度关系曲线C)(︒t10. 020. 030. 060. 0故取为C/cm 0.5︒；R 轴：096.025400.10800.12=-，故取为cm /100.0Ω。
对照比例选择原则知，选取的比例满足要求。
所绘图线见图1-5-1。
在图线上取两点)500.10,0.13(A 和)600.12,5.83(B ，斜率和截距计算如下：C /0298.05.70100.20.135.83500.10600.121212︒Ω==--=--=x x y y bΩ=-=⨯-=-=113.10387.0500.100.130298.0500.10110bt R RC /1095.2113.100298.030︒⨯===-R b α 所以，铜丝电阻与温度的关系为Ω⨯+=-)1095.21(113.103t R3 逐差法当两个变量之间存在线性关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。
具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。
例如，在弹性限度内，弹簧的伸长量x 与所受的载荷(拉力)F 满足线性关系kx F = 实验时等差地改变载荷，测得一组实验数据如下表：求每增加1Kg 砝码弹簧的平均伸长量x ∆。
若不加思考进行逐项相减，很自然会采用下列公式计算[])(71)()()(7118782312x x x x x x x x x -=-++-+-=∆ 结果发现除1x 和8x 外，其它中间测量值都未用上，它与一次增加7个砝码的单次测量等价。
若用多项间隔逐差，即将上述数据分成前后两组，前一组),,,(4321x x x x ，后一组),,,(8765x x x x ，然后对应项相减求平均，即[])()()()(44148372615x x x x x x x x x -+-+-+-⨯=∆ 这样全部测量数据都用上，保持了多次测量的优点，减少了随机误差，计算结果比前面的要准确些。
逐差法计算简便，特别是在检查具有线性关系的数据时，可随时“逐差验证”，及时发现数据规律或错误数据。
4 最小二乘法由一组实验数据拟合出一条最佳直线，从而准确地求出两个物理量之间的线性函数关系，常用的方法是最小二乘法。
设物理量y 和x 之间的满足线性关系，则函数形式为bx a y +=最小二乘法就是要用实验数据来确定方程中的待定常数a 和b ，即直线的斜率和截距。
我们讨论最简单的情况，即每个测量值都是等精度的，且假定x 和y 值中只有y 有明显的测量随机误差。
如果x 和y 均有误差，只要把误差相对较小的变量作为x 即可。
由实验测量得到一组数据为),2,1;,(n i y x i i =，其中i x x =时对应的i y y =。
由于测量总是有误差的，我们将这些误差归结为i y 的测量偏差，并记为1ε，2ε，…，n ε，见图1-5-2。
这样，将实验数据),(i i y x 代入方程bx a y +=后，得到⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+-=+-=+-n n n bx a y bx a y bx a y εεε)()()(222111我们要利用上述的方程组来确定a 和b ，那么a 和b 要满足什么要求呢？显然，比较合理的a 和b 是使1ε，2ε，…，n ε数值上都比较小。
但是，每次测量的误差不会相同，反映在1ε，2ε，…，n ε大小不一，而且符号也不尽相同。
所以只能要求总的偏差最小，即min 21→∑=i ni ε 令 2121)(i ini i n i bx a yS --==∑∑==ε使S 为最小的条件是0=∂∂a S ，0=∂∂bS，022>∂∂a S ，022>∂∂b S由一阶微商为零得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--∑-=∂∂=--∑-=∂∂==0)(20)(211i i i n i i i n i x bx a y b Sbx a y aS 解得 212112111)(i ni i ni ini i ni i i n i i n i x n x y x y x x a ======∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑-∑∑=(1-5-3)图1-5-2i y 的测量偏差i y2121111)(ini i ni i i ni i n i i n i x n x y x n y x b =====∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑-∑∑=(1-5-4)令111x n x n i =∑=，i n i y n y 11=∑=，21121⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==x n x n i ，2121i n i x n x =∑=，)(111i n i y x n xy =∑=，则x b y a -= (1-5-5) 22xx xy y x b --⋅=(1-5-6)如果实验是在已知y 和x 满足线性关系下进行的，那么用上述最小二乘法线性拟合(又称一元线性回归)可解得斜率a 和截距b ,从而得出回归方程bx a y +=。
如果实验是要通过对x 、y 的测量来寻找经验公式，则还应判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程是否恰当。
这可用下列相关系数r 来判别))((2222y y x x y x xy r --⋅-=(1-5-7)其中21121⎪⎭⎫⎝⎛∑==y n y n i ，2121i n i y n y =∑=。