弦切角的性质
2.4 弦切角的性质 教学课件(人教A版选修4-1)
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课后习题解答
【考题2】 (2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于 C， D两点，连结 DB并延长交 ⊙O于点E.
证明
(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
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证明
(1)由 AC 与圆 O′相切于点 A， 得∠CAB＝∠ADB；
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反思感悟
(1)弦切角是很重要的与圆相交的角．其主要功能是协
调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形
全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．
(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用 三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或 等积式，常常需要借助于三角形相似处理． (3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在
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解
如图所示，连接 BD.
∵AC 为⊙O 的切线，∴∠ADE＝∠ABD. ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD， AD BD BD 2 DE 1 ∴ AE ＝DE，即DE＝1，∴BD＝2. DE 1 ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE＝90° ，∴tan∠ABD＝BD＝2. ∵∠F＋∠BEF＝90° ，∠ABD＋∠BEF＝90° ， 1 ∴∠ABD＝∠F，∴tan∠F＝tan∠ABD＝ . 2
②一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
③一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)． 三者缺一不可，例如图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切 角，因为 AD 与圆相交， ∠ BAE 也不一定是弦切角，只有已知 AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
弦切角的性质 课件
1．弦切角的定义 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫 做弦切角． 温馨提示 弦切角具备的三个条件：(1)顶点在圆上 (顶点为切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在的直线 为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．
2．弦切角的性质定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
类型 2 利用定理求线段的长度、证明线段相等
[典例 2] 如图所示，P 是⊙O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与⊙O 相交与点 B，C，PC＝2PA， D 为 PC 的中点，AD 与延长线交⊙O 于点 E.
证明：BE＝EC.
证明：连接 AB，AC(如图)．
由题设知 PA＝PD. 故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋解题的第一步是要准确找到 弦切角．弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边是圆 的弦；(3)一边与圆相切．第二步是要准确地找到弦切角 所夹的弧，再看这段弧所对的圆周角或圆心角．再结合弦 切角定理、圆周角定理进行推理证明．
2．利用弦切角解决与角有关的问题的步骤：(1)根据 图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；(2)利用 弦切角定理找出与其相等的角；(3)综合运用相关的知识 进行角的求解．
∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而B︵E＝E︵C， 因此 BE＝EC.
归纳升华 1．利用弦切角定理证明线段相等的技巧． 利用弦切角定理证明线段相等时，常常通过弦切角定 理获得角相等，然后再转化为线段相等的关系，从而解决 问题．
2．比例式(或等积式)的证明方法． 证明比例式(或等积式)成立，往往与相似三角形有 关，若存在切线，常要寻找弦切角．确定三角形相似，有 时需要添加辅助线创造条件．
最新人教版高中数学选修4-1《弦切角的性质》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、弦切角1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.2.弦切角的特点：(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切.误区警示弦切角定义中的三个条件缺一不可.图2-4-2各图中的角都不是弦切角.图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件.图2-4-23.如图2-4-3所示，弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部.图2-4-3二、弦切角定理1.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.2.定理的证明：由于弦切角可分为三类，即图2-4-3所示的情况，所以在证明定理时分三种情况加以讨论：当弦切角一边通过圆心时〔图2-4-4（1）〕，显然弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角；当圆心O在∠CAB外时〔图2-4-4（2）〕，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC；当圆心O在∠CAB内时〔图2-4-4（3）〕，作⊙O 的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC.图2-4-43.在证明弦切角定理的过程中，我们从特殊情况入手，通过猜想、分析、证明和归纳，从而证明了弦切角定理.通过弦切角定理的证明过程，要学会用运动变化的观点观察问题，进而理解从一般到特殊，从特殊到一般的认识规律.知识拓展由弦切角定理，可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等，我们把这一结论称为弦切角定理的推论，它也是角的变换的依据.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.这就建立了弦切角与弧的数量之间的关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础.问题·探究问题到目前为止，对于圆中有关的角我们已学过圆心角、圆周角、弦切角，它们各自有定义、定理及和它所对的弧的度数关系，这三种角在证明题和计算题中经常用到，它们是几何综合题中不可缺少的知识点.它们相互之间有哪些联系和区别？如何把握这些联系和区别？思路:从理解圆心角、圆周角、弦切角的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系入手思考.探究:圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及与所对、所夹的弧的关系，对于我们在圆中的计算、证明，起着举足轻重的作用，将这些知识总结对比列表如下，的度数典题·热题例1如图2-4-5，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB 与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长.J图2-4-5思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度数，进而解直角三角形即可.解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE.又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.2.则有BE=1，AB=3，BC=3，AC=3深化升华本题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型，求解此类题时，要注意弦切角在角的转换中的作用，本题正是由于这一条件，沟通了角之间的数量关系.例2如图2-4-6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F.求证：EF∥BC.图2-4-6思路分析：连结DF，构造弦切角，于是∠FDC=∠DAC，根据AD是△ABC中∠BAC的平分线,得∠BAD=∠DAC，而∠BAD与∠EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立∠EFD与∠FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两直线平行.证明：连结DF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC.∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC.方法归纳证明两条直线平行的方法有：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理选择.本题由于有切线，所以考虑弦切角和它所对的圆周角.例3如图2-4-7，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E.图2-4-7（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6 cm，BC=4 cm，求AE的长.思路分析：第（1）问中的全等已经具备了AB=AC，再利用弦切角定理与圆周角定理可以得角的相等关系；对于（2），则利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程获得AE的长.（1）证明：∵XY 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2. ∵BD ∥XY ，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3. ∵∠3=∠4，∴∠2=∠4.∵∠ABD=∠ACD ，又∵AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB ，∴△BCE ∽△ACB. ∴CBCEAC BC . ∴AC·CE=BC 2，即AC·(AC-AE)=BC 2. ∵AB=AC=6，BC=4，∴6(6-AE)=16. ∴AE=310（cm ）. 深化升华 本题利用平行线、弦切角、圆周角等进行了角的转换，利用相似建立方程求线段的长度，综合应用时，必须非常熟悉图形中的各个量，盯准要求的数值，向图形和已知索取条件.。
弦切角的性质 课件
【名师点评】 比例式(或乘积式)的证明方法： 证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常
要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助
线创造条件． 注意：直接证明比例式或乘积式有困难时，可考虑把它分解 成两个比例式的形式．
即 BC2＝BE·CD.
考点二 利用弦切角定理证明乘积式 例2 如图，⊙O 和⊙O′相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切 线分别交两圆于 C，D 两点，连接 DB 并延长交⊙O 于点 E. 证明：
(1)AC·BD＝AD ·AB ； (2)AC＝AE .
【证明】 (1)由 AC 与⊙O′相切于 A，得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB.从而AACD＝BADB， 即 AC·BD＝AD·AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD. 又∠ADE＝∠BDA， 得△EAD∽△ABD.从而AAEB＝ABDD， 即 AE·BD＝AD·AB.
弦切角的性质
1．弦切角 顶点在圆上，一边和圆_相__交__，另一边和圆_相__切__的角叫做弦
切角．
2．弦切角定理 弦切角等于它___所__夹__的__弧__所__对__的__圆__周__角___．
考点突破
考点一 弦切角性质的简单应用
例1
︵︵ 如图，已知圆上的弧 AC＝BD，过 C 点的圆的切线与 BA
的延长线交ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ E 点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
︵︵ 【证明】 (1)因为 AC＝BD， 所以∠BCD＝∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠CDB＝∠ECB， ∠BCD＝∠EBC， 所以△BDC∽△ECB，故BBCE＝CBDC，
弦切角的性质
∴∠E=∠ADB,
∴△ADE∽△BAD, ∴ = ,
∴AD2=AB·DE.
∵CD∥AB,∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠2=∠4,∴∠1=∠3,
∴ = ,
∴AD=BC,∴BC2=AB·DE.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:忽视弦切角的一边是切线致错
【例3】 如图,△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,
则∠BAD=
.
错解:∵AD⊥AC,
∴∠BAD是弦切角.
∴∠BAD=∠C.
又∠C=32°,∴∠BAD=32°.
错因分析:错解Βιβλιοθήκη ,误认为∠BAD是弦切角.虽然AD⊥AC,但AD不
是切线.
题型一
题型二
题型三
正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°,
和圆周角定理得到角相等,再通过三角形相似得到成比例线段.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 如图,AB为☉O的直径,弦CD∥AB,AE切☉O于点A,
交CD的延长线于点E.求证:BC2=AB·DE.
证明:如图,连接BD,OD,OC.
∵AE切☉O于点A,∴∠EAD=∠ABD,
且AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CE,∴∠E=90°.
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.
又AD⊥AC,∴∠BAC+∠BAD=90°.
∴∠BAD=90°-∠BAC=90°-38°=52°.
答案:52°
反思在利用弦切角定理解决问题时,要注意所涉及的角是不是弦
切角,即弦切角的三个条件缺一不可.
人教版高中数学选修4-1《2.4弦切角的性质》
D 化归 A
B
A C
弦切角
E
C
E
∵∠DAC=∠DCE=90° 且 ∠DAB=∠DCB ∴∠BAC= 90°+ ∠DAB = 90°+ ∠DCB = ∠BCE ∴∠BAC = ∠BCE
弦切角性质定理：
弦切角等于它所夹的弧 对的圆周角．
例题分析
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证： AC平分∠BAD． 分析： 要证AC平分∠BAD 即证∠1＝∠2 可证这两角所在的直角三 角形相似。 于是连结BC，得Rt△ACB
2.4弦切角的性质
复习回顾
下图圆中的∠BAC和∠BOC分别是什么角？
圆周角
圆周角定理 : 圆上一条弧所 对的圆周角等于其所对圆心 角的一半.
A
圆心角
O B
C
p
B
A
p
B A
p
B
A
p
B
A
p
B
A
p B
A
p
B
A
概念解读：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 p 角叫做弦切角。(如∠BPA)
B O 1
∟
2
A D
E
C
由弦切角性质 ∠ACD＝∠B ，故结论得证
解：连结BC ∵ AD⊥CE， AB是⊙O的 直径 ∴∠BCA=∠ADC=90°
B O 1 2 D A
又∵CD与圆相切
由弦切角性质∠ACD=∠ABC ∴RT△ACB ~ RT△ADB
E
C
∴∠1=∠2
∴AC平分∠BAD
思路二： 连结OC
B O
3
弦切角的性质 课件
的 关 系
交
一边和圆相交
2.与弦切角定理有关的结论
(1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.
(2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半.
(3)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等.
【做一做2】 如图,正三角形ABC内接于圆O,CP是圆O的切线,则
∠ACP=(
错用弦切角定理致误
【典例】 如图,以△ABD的边AB为直径,作半圆O交AD于C,过点C
的切线CE和BD互相垂直,垂足为E,延长EC到F.求证:AB=BD.
错解:如图,连接BC,OC.
∵CE是半圆O的切线,
∴∠DCE=∠CBE,OC⊥CE.
又BD⊥CE,∴OC∥BD,
∴∠CBE=∠BCO,
∴∠DCE=∠BCO.
弦切角的性质
1.弦切角的概念
定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切
角.
如图,∠ACD和∠BCD都是弦切角.
名师点拨1.弦切角的分类:
(1)圆心在角的一边上(如图a);(2)圆心在角的内部(如图b);(3)圆心
在角的外部(如图c).
2.弦切角的条件:
(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点);(2)一边和圆相切(一边所
∵AB为半圆O的直径,∴AD⊥BC,
∴∠BAC=90°-∠CBA.
又BD⊥CE,∴∠D=90°-∠DCE,
∴∠D=∠BAC,∴AB=BD.
纠错心得弦切角是顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切
的角,其中弦切角的顶点是圆的一条切线与圆的切点,一边是过切
点的圆的一条弦所在的射线,另一边是过切点的圆的一条切线.本
于弦CD可证.
证明:如图,连接BC.
弦切角_精品文档
弦切角弦切角是指一个角的两边分别与弦和切线相交的情况。
在几何学中，弦切角有着重要的应用。
本文将讨论弦切角的定义、性质以及一些常见的应用。
定义在一个圆上，将一个角的两边分别与圆的弦和切线相交，这个角就被称为弦切角。
弦切角的定义可以用以下形式表示：设圆上一点O，P是圆上点O的切点，A 是圆上点O的一个切点外的点，如果线段OP是圆的弦，并且∠APO是一个角，则∠APO就是弦切角。
性质弦切角具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
性质1：弦切角等于其对向的圆心角如果一条弦切角的顶点不在圆上，则这个弦切角的度数等于其对向的圆心角的度数。
这是因为在圆上，切线和切点相切的性质使得切线和弦的夹角与切线和切点的夹角相等。
性质2：弦切角的度数不随弦的长度改变当弦的两个端点固定时，弦切角的度数不会随弦的长度的变化而改变。
这可以通过角度保持不变的定义来解释，即角∠APO保持不变。
性质3：切线与弦切角的夹角等于弦与切线的夹角的补角如果∠APO是一个弦切角，切线AO与弦AP的夹角是α，那么切线AO与弦AP的夹角的补角与弦切角的度数相等。
这可以通过证明∠APO和∠AOB为补角来得到，其中∠AOB是切线和弦的夹角。
应用弦切角在几何学中有着重要的应用。
下面将介绍几个常见的应用。
应用1：求解弦的长度已知弦切角和圆的半径，可以利用三角函数求解弦的长度。
设弦的长度为x，半径为r，弦切角的度数为θ，则有以下关系：sin(θ/2) = x / (2 * r)通过解这个方程，可以求得弦的长度x。
应用2：计算圆心角的度数已知一个弦切角的度数和弦的长度，可以通过利用角度保持不变的性质计算圆心角的度数。
设弦切角的度数为θ，弦的长度为x，圆心角的度数为α，则有以下关系：2 * α = θ通过解这个方程，可以求得圆心角的度数α。
应用3：应用于三角函数的证明在三角函数的证明中，经常会用到圆的弦切角。
通过引入弦切角，可以推导出各种三角函数的等式和性质。
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弦切角的性质
学习目标:
(1) 通过对弦切角定理的探究,体会分类思想,特殊化思想和化归思想在数学猜想中的作用
(2) 理解弦切角定理,能应用定理证明相关的几何问题
重点:理解弦切角定理,能应用定理解决相关的几何问题
难点:用分类讨论方法证明弦切角定理
教学过程:
()?,152.,,142你能发现什么现象如图时线切变为圆的当圆周上在落的交点与同时保证直线为中心旋转直线以点中在图观察--DE DE BC DE D ?,,152.,,142仍然成立吗线是切中图在有质根据圆内接四边形的性中在图A BCE E D A BCE ∠=∠-∠=∠
-142-图A
15
2-图
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 .,,A BCE O CE O ABC ∠=∠∆则的切线是圆的内接三角形是圆猜想.,,角三角形的情形三角形的情形化归为直再将锐角三角形和钝角形为直角三形时的情先分析路延用从特殊到一般的思分析ABC
∆16
2-图C E
?
,,.,,中体会这些思想方法吗你能从化归思想思想、运动变化思想和猜想的证明渗透了分类另外的一些有价值的结论往往能够发现几何中变化对一个图形进行适当的明过程可以看到
由上述定理的发现和证.:.,,,,,1921BAD AC D CE AD C O CE AC O AB ∠⊥-平分求证垂足为切于点和圆直线是弦的直径是圆如图例。