高二上期半期考试理科数学试题卷(附答案)
高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
数学试卷（理科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则p 的否定形式为( )A ．∃x 0∈R ，x 0<sin x 0B ．∀x ∈R ，x ≤sin xC ．∀x ∈R ，x <sin xD ．∃x 0∈R ，x 0≤sin x 0 2.不等式2654x x +<的解集为（ ） A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭3.离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） A ．22195x y += B ．22195x y +=或22159x y += C ．2213620x y += D ．2213620x y +=或2212036x y += 4．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －1≤0，y －3x －1≤0，y －x ＋1≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－45．在等比数列{}n a 中，若34567243a a a a a =，则279a a 的值为（ ）A.9B.6C.3D.26.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．221169x y +=B ．2211612x y +=C ．22143x y += D ．22134x y += 7.已知数列}{n a 中，5,321==a a 且对于大于2的正整数，总有21---=n n n a a a ，则2009a 等于（ ）．A ．-5B ．-2C ．2D ．3． 8．下表给出一个“直角三角形数阵”： 14 12， 14 34， 38，316 ……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则83a 等于( ) A.18 B.14 C.12D ．19.设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（ ） A ． 8 B ．14C ． 1D ． 4 {}(),1.1089等于值时，取得最小正有最大值，那么当项和且它的前是等差数列，若数列n S S n a aa n n n -< A ．14B ．15C ．16D ．1711.已知命题p ：实数m 满足01≤-m ，命题q ：函数xm y )49(-=是增函数。
22届高二理科数学上期半期考试试卷答案
(8km)2 4(4k 2 1)(4m2 4) 16(4k 2 1 m2) 0 , 4k 2 1 m2 .
设A( x1 ,
y1),
B( x2 ,
y2 ),则x1
x2
4k82km1, x1x2
4m 2 4k 2
4 1
.
| AB |
1 k 2
4k 2 1
4
1
k
2
4k
4k 2 2 1
……………………12 分
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用 使 学 中 汉 宣 市 州 达 省 川 四 供 仅
22.解：(1)C过(0, 1),b 1.又e c 3, 联立a 2 b 2 c 2, 解得a 2, a2
C的方程为 : x2 y 2 1 4
……………………2 分
(2)①联立y kx m与x 2 4y 2 4, 得x 2 4(kx m) 2 4,(4k 2 1) x 2 8kmx 4m2 4 0.
圆M 方程为四：川x 2 y 2 2x 2y 8 0.
……………………6 分
(2)圆N的仅一供般方程为：x 2 y 2 6x 16 0, 两圆方程相减,得相交弦所在直线为：4x 2 y 8 0.
N (3, 0)到直线距离d | 4 3 8 | 2 5,
42 (2)2
相交弦长 2 R2 d 2 2 52 (2 5)2 2 5.
……………………12 分
解2：焦点弦弦长 |
AB | =
2p sin2
8 sin2 45
16.
用
使
学
中
19.解：(1)设圆M 方程为：x 2 汉y 2 Dx Ey F 0. 圆M 过A( 2, 2), B(0, 2), C(4, 0),
四川省眉山中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
D 1C 1B 1A 1D C B A 眉山中学2021届高二上期半期考试 数学（理科）试卷(2021.11.15) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．给出下列三个命题： ①若平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m ∥n ； ②若直线m ∥直线n ，直线m ∥平面α，n ∥平面β，则α∥β；③平面α∥平面β，直线m ⊂α，则m ∥β；.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知直线()12:210,:10l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为（ ）A ．32-B ．0C ．32-或0 D ．2 3．如图，空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB 与CD 所成角为3π，点,E F 分别为,BC AD 的中点，则直线AB 与EF 所成角为（ ）A ．3π或6πB ．6πC ．3πD ．3π或2π 4．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝05．在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，假如直 线EF 、GH 相交于点P ，那么( )A ．点P 必在直线BD 上B ．点P 必在直线AC 上C ．点P 必在平面DBC 内D ．点P 必在平面ABC 外 6．已知点(,)(0)M a b ab ≠，是圆221x y += 内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是1ax by +=，则（ ）A ．l ∥m 且l 与圆相交B ．l ⊥m 且l 与圆相切C ．l ∥m 且l 与圆相离D ．l ⊥m 且l 与圆相离7．已知M 、N 分别是四周体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线MN 上，且MP =2PN ，设向量OA a =，OB b =，OC c =，则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++ C ．111633a b c ++ D ．111366a b c ++ 8．x y 、满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A ．112-或 B ．122或 C ．2或1 D ．2或﹣1 9．若直线)2(+=x k y 与曲线21x y -=有交点，则( ) A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21- C ．k 有最大值0，最小值 33- D ．k 有最大值33，最小值0 10．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．223,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．23,23⎡⎤-+⎣⎦ C ．3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0,)+∞ 11．正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱CD 的中点，点O 是侧面D D AA 11的中心，若点P 在侧面C C BB 11及其边界上运动，并且总是保持AM OP ⊥,则动点P 的轨迹是( )A ．线段CB 1 B ．线段B B 1C ．线段C C 1D ．线段1BC12．已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.当OM OP =时，则直线l 的斜率( ) A ． 3k = B ．3k =- C ．13k = D ．13k =- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点(1,1)P 在圆22240x y x y a ++-+=的外部，则实数a 的取值范围是 14．平行六面体1111ABCD A B C D -中，12,3AA AB AD ===，1160A AB A AD BAD ο∠=∠=∠=,则对角线1BD 的长度为 15．已知圆C ：22(1)(2)25x y -+-=，直线l ：16题图A CBPDE F C B A 1B 1C 1A (21)(1)740m x m y m +++--=，若直线l 被圆C 截得的弦长最短，则m 的值为16．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=°，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -.若该三棱锥的全部顶点都在同一球面上，则该球的表面积是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分) 已知直线l 过点(3,2)P ，(1)若直线l 在两坐标轴上截距之和为12，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点，当OAB ∆面积为12时求直线l 的方程．18．(本小题满分12分)已知点()1,3M ，直线04:=+-y ax l 及圆0142:22=+--+y x y x C⑴求过M 点的圆的切线方程；⑵若l 与圆C 相交于B A ,两点，且32=AB ,求a 的值.19．(本小题满分12分)某工厂投资生产A 产品时,每生产一百吨需要资金200万元,需要场地2200m ,可获利润300万元; 投资生产B 产品时, 每生产一百吨需要资金300万元,需要场地2100m ,可获利润200万元.现该工厂可使用资金2800万元,场地21800m .(1)设生产A 产品x 百万吨,生产B 产品y 百万吨,写出,x y 满足的约束条件,并在答题卡上的直角坐标系中画出其平面区域;(2)怎样投资利润最大,并求其最大利润.20．(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB =P A =，AD =2，PB =，E 为PB 中点，且AE ⊥BC ． （1）求证：P A ⊥平面ABCD ； （2）若M ，N 分别为棱PC ，PD 中点，求四棱锥B ﹣MCDN 的体积． 21．(本小题满分12分)已知圆M 的圆心在直线0x y +=上，半径为1，直线l ：6890x y --=被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的右下方． （1）求圆M 的标准方程； （2）直线10mx y m +-+=与圆M 交于A ，B 两点，动点P 满足2PO PM =（O 为坐标原点），求PAB ∆面积的最大值，并求出此时P 点的坐标． 22．(本小题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱⊥1AA 底面ABC ，︒=∠90ACB ,E 是棱1CC 上的动点，F 是AB 中点，4,2,11===AA BC AC . （1）当E 是棱1CC 的中点时，求证：//CF 平面1AEB ； （2）当E 是棱1CC 的中点时，求直线1AC 与平面1AEB 所成角的余弦值； （3）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角B EB A --1的余弦值是17172？若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.。
2021年高二上学期半期考试数学理试题 含答案
2021年高二上学期半期考试数学理试题含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．2．命题“，均有”的否定为（）A．，均有B．，使得C．，使得D．，均有3．椭圆的左顶点到右焦点的距离为（）A．B．C．D．4．“方程表示焦点在轴的椭圆”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知点在抛物线的准线上，其焦点为，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）A． B．C．D．7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，若，则的最小值是（）A．B．C．D．8．中心在原点的椭圆长轴右顶点为，直线与椭圆相交于两点，中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（）A． B． C． D．9．已知圆台的下底面周长是上底面周长的3倍，母线长为3，且圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．10.平行四边形的顶点为双曲线的中心，顶点为双曲线的右焦点，顶点在轴正半轴上，顶点恰好在该双曲线左支上，若，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．11.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离等于，则椭圆的焦距长为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的离心率为，过左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于两点，则的值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13．抛物线的准线方程为________14．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则它的表面积为________15．椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为________16为，设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为________三、解答题：（本大题共6个小题，共70上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（本小题满分10分）已知圆．（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）直线过点、，求直线被圆截得的弦长．18．（本小题满分12分）设命题：不等式对恒成立，命题：关于的方程在上有解．（1）若为假命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）双曲线的右焦点为．（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．20.（本小题满分12分）已知椭圆:的离心率为，且右准线方程为．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上一动点，求面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上位于轴两侧的两动点，且（为坐标原点）．（1）求抛物线方程； （2）证明：直线过定点；（3）过点作的垂线交抛物线于两点，求四边形的面积的最小值．22．（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，连接交椭圆于点，且的最小值为．（1）求椭圆方程；（2）若，求直线的方程；（3）为椭圆上关于轴对称的两点， 直线分别与轴交于， 求证：为定值．重庆南开中学高xx 级高二（上）半期考试数 学 试 题（理科）参考答案1-12：13．; 14．;15．; 16． 17．解：（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为 （2）直线即，圆心到直线的距离，所以弦长 18．解：命题在单调递减，的最大值为，故 命题或（1）为假命题，则 （2）“”为假命题，“”为真命题，等价于真假，或者假真，则或实数的取值范围为 19．解：（1）由题意，，所求双曲线方程为（2）由题意，设，则，从而，， 将代入双曲线得：且0234)3)((4224222222=--∴=-+∴a b a b b a a b b a从而 20．解：（1），从而所以椭圆方程为 （2）右焦点，则直线与椭圆联立得： 设，则弦，设到直线24max 2|1)cos(3|2|1sin 2cos 5|=-+=--=φθθθd ，910162491621||21max max =⋅5⋅==∴∆d AB S PAB 法2：设与椭圆相切，联立得：得：，当时，即时与间的距离即为椭圆上动点到直线的最大距离，亦即为高的最大值910162491621||21max max =⋅5⋅==∴∆d AB S PAB 21．解：（1）抛物线方程为（2）设与抛物线联系得： 设，则（*） ，由得：即，，故直线过定点 法2：设，，由又有，，令得，所以直线过定点 （3）当时，由（*）得:, 同理有，从而)21)(2()11)(1(82222++⋅++=m m m m ，令，则，易知随着增加单调递增，故当即时 22．解：（1）由题意得，且，故椭圆方程为 （2）设与联立得：设，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>∆941694580221221m y y m m y y 由得，即（3）设，，则，令得同理得 （#） 又，，代入（#）得：21197 52CD 勍•37633 9301 錁|(V22090 564A 噊34338 8622 蘢37464 9258 鉘 F%29596 739C 玜22536 5808 堈38357 95D5 闕。
高二半期理科数学答案
金沙一中2018-2019学年第一学期半期考试试题高二年级 理科数学答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBCDDBBCBDC二．填空题13 . 0.4 14 . 14 15 .313 16 . 31 三．解答题17.（本小题满分12分）解：（1）n a n 2= ………………（5分） （2）证明：设()*,24N n a a b n n n ∈+=，所以()()()11111222424+-=+=+=+=n n n n n n a a b n n n 所以111111312121121+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++=n n n b b b T n n 所以111010=T ……（10分） 18.（本小题满分12分） （1）1380,145.50,551512====∑∑==i i i i iy x xy x设回归方程为a bx y +=∧则5.65514550551380552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i ii ii x xyx yx b5.1755.650=⨯-=-=x b y a故回归方程为5.175.6+=∧x y ……………6分 （2）当635.1775.67=+⨯==∧y x 时所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）。
………………（12分）19.（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班 （2），甲班的样本方差为+（170﹣170）2+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]=57． （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173）（181，176） （181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173） （178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件．∴．（12分）20.（本小题满分12分） （1）60=B （2）33=b a 21.（本小题满分12分）（1）证明略 ………………（4分）（2）由（1）知：,BD PG ⊥又PD PB ⊥,所以PBD ∆为等腰直角三角形， 设菱形ABCD 的边长为a ，由120=∠BCD ,所以a PA a BD a AG 22,3,21===………（6分） 所以:三棱锥ABD P -的体积为36213131=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆-PA BD AG PA S V ABD ABD P , 解得2=a ………（8分）取BC 中点F ，以A 为坐标原点，AP AD AF ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221,3,0,2,0,2,0,0E D P ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴22,1,3,2,2,0PE PD 设平面PDE 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n PE n PD ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0223022z y x z y ， 令,2=z 则0,1==x y 又因为平面ABCD 的一个法向量为()1,0,0=m ………（10分）36132,cos =⋅=⋅=∴mn m n m n 所以平面PDE 与平面ABCD 所成的角的余弦值为36. ………（12分） 22.（本小题满分12分）若a=0，则函数f （x ）=2x-3在区间 [-1，1]上没有零点， 下面就a ≠0时分三种情况讨论：（1）方程f （x ）=0在区间[ -1，1]上有重根此时Δ=4（2a 2+6a+1）=0解得当时，f （x ）=0的重根x=；当时，f （x ）=0的重根；故当方程f （x ）=0在区间[ -1，1]上有重根时，；（2）f（x）在区间[ -1，1]上只有一个零点且不是f（x）=0的重根此时有f（-1）f（1）≤0 ∵f（-1）=a-5 f（1）=a-1∴（a-5）（a-1）≤01≤a≤5∵当a=5时，方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两个相异实根，故当方程f（x）=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤a<5。
四川省师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试题
对于D，由 ，所以 是 和 的最大公约数，因此用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是 ，故D错误；
故选：B.
8. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，俯视图是等腰直角三角形，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
A. 63B. 64C. 127D. 128
【答案】C
【解析】
【详解】由 及 是公比为正数的等比数列，得公比q=2，
所以 ．
6. 已知命题 “关于 的方程 有实根”，若非 为真命题的充分不必要条件为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出当命题 为真命题时 的取值范围，根据已知条件可得出关于实数 的不等式，即可求得 的取值范围.
（1）求样本的容量 及直方图中 的值；
（2）估计参加这次数学竞赛成绩的众数､中位数､平均数.
20. 已知圆 方程为
（1）若 时，求圆 与圆 ： 的公共弦所在直线方程及公共弦长；
（2）若圆 与直线 相交于 ， 两点，且 （ 为坐标原点），求实数 的值.
21. 如图，正三棱柱 中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为 ，若 为 的中点.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合零点分析可得 ， ，结合等差数列的定义与前 项和公式求 ，再根据恒成立问题结合裂项相消法理解运算.
【详解】当 时，令 ，则 ，即 ，
由题意可得： ，
则 ，
∴ ，即 ，
故数列 是以首项为0，公差为1的等差数列，则 ，
当 时，则 ，
2021年高二上学期期中数学试卷(理科)含解析
2021年高二上学期期中数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．等差数列{an }中，a6=5，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣2．在△ABC中，a=，A=，B=，则b等于（）A．1 B．2 C．D．3．已知等差数列{an }中，a5+a12=16，a7=1，则a10的值是（）A．15 B．30 C．31 D．644．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}5．等比数列{an }中，S2=7，S6=91，则S4=（）A．28 B．32 C．35 D．496．关于x的不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（0，4）7．一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．188．在△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则边b等于（）A． B． C． D．19．已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n=2a n+1，则a n=（）﹣1A．n2﹣1 B．n2﹣2n+2 C．2n﹣1 D．2n﹣1+110．已知函数f（x）=2x+（x＞0），则（）A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2 C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2 11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a2+ac=c2+ab，则∠C=（）A． B． C． D．12．实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1 B．﹣1 C． D．2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q=．14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，AB边上的高为，则=．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n=3a n+1（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n=．+116．已知实数a，b满足1≤a+b≤3且﹣1≤a﹣b≤1，则4a+2b的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（10分）A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，∠CBA=60°求A、B两点之间的距离．18．（12分）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．19．（12分）若关于x的不等式ax2+3x﹣1＞0的解集是{x|＜x＜1}，（1）求a的值；（2）求不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集．20．（12分）如图，围建一个面积为100m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需维修），其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用y （单位：元）（1）将y表示为x的函数；（2）求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．22．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=2，a3=18，等差数列{b n}中，b1=2，且a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．xx学年内蒙古呼和浩特市铁路局职工弟子五中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．等差数列{a n}中，a6=5，a10=6，则公差d等于（）A． B． C．2 D．﹣【考点】等差数列的通项公式．【分析】直接由已知结合等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a6=5，a10=6，得d=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．2．在△ABC中，a=，A=，B=，则b等于（）A．1 B．2 C． D．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=，A=，B=，∴由正弦定理可得：b===．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．3．已知等差数列{a n}中，a5+a12=16，a7=1，则a10的值是（）A．15 B．30 C．31 D．64【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为的，∵a5+a12=16，a7=1，∴，解得a1=﹣27，d=．则a10=﹣27+9×=15．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．不等式的解集是（）A．{x|≤x≤2}B．{x|≤x＜2}C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}【考点】一元二次不等式的应用．【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【解答】解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选B．【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．5．等比数列{a n}中，S2=7，S6=91，则S4=（）A．28 B．32 C．35 D．49【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列中每相邻两项的和也成等比数列可得7，S4﹣7，91﹣S4成等比数列，故有（S4﹣7）2=7（91﹣S4），由此求得S4的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，若S2=7，S6=91，由于每相邻两项的和也成等比数列，∴S2 、S4﹣S2 、S6 ﹣S4成等比数列，即7，S4﹣7，91﹣S4成等比数列．∴=7（91﹣S4），解得S4=28，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，利用了等比数列中每相邻两项的和也成等比数列，属基础题．6．关于x的不等式x2﹣ax+a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（0，4）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由题意和二次函数的性质列出不等式，求出a的取值范围．【解答】解：因为不等式x2﹣ax+a＞0恒成立（a≠0）恒成立，所以△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．7．一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．18【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可得a1+a2+a3+a4=40．a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80．两式相加可得a1+a n=30，而S n===210，代入解之即可．【解答】解：设等差数列为{a n}，由题意可得a1+a2+a3+a4=40．a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80．两式相加可得a1+a n+a2+a n﹣1+a3+a n﹣1+a4+a n﹣3=120由等差数列的性质可得4（a1+a n）=120，所以a1+a n=30．所以S n===210，解得n=14．故选B．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．8．在△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则边b等于（）A． B． C． D．1【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：b2=12+22﹣2×1×2cos60°=3，解得b=．故选：C．【点评】本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n=2a n+1，则a n=（）﹣1A．n2﹣1 B．n2﹣2n+2 C．2n﹣1 D．2n﹣1+1【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式得到数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出数列{a n+1}的通项后可得a n．【解答】解：由a n=2a n﹣1+1，得a n+1=2（a n+1）（n≥2），﹣1∵a1=1，∴a1+1=2，∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．则．即．故选：C．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．10．已知函数f（x）=2x+（x＞0），则（）A．x=±1时，函数f（x）的最小值为4 B．x=±2时，函数f（x）的最小值为2 C．x=1时，函数f（x）的最小值为4 D．x=2时，函数f（x）的最小值为2【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）≥2×=4，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且a2+ac=c2+ab，则∠C=（）A． B． C． D．【考点】余弦定理的应用．【分析】由题意b2=ac，结合余弦定理求出，cosC即可得到C的值．【解答】解：a、b、c成等比数列，所以b2=ac，所以a2+b2=c2+ab，由余弦定理可知cosC=C=故选A【点评】本题是基础题，考查等比数列，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．12．实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1 B．﹣1 C． D．2【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x ﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选B．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q=2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4，列出关于q的方程，由各项为正数求出q的值．【解答】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=，AB边上的高为，则=2．【考点】余弦定理．【分析】根据AB及边上的高表示出三角形面积，再利用三角形面积公式表示出三角形面积，两者相等得到c2=ab，利用余弦定理表示出cosC，把cosC及c2=ab 代入，整理即可求出所求式子的值．【解答】解：∵C=，AB边上的高为，=c••=absinC，即=ab，∴S△ABC整理得：c2=ab，由余弦定理得：cosC=，即==﹣，整理得：=2，故答案为：2【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．=3a n+1（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n= 15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1（3n+1﹣2n﹣3）．【考点】数列的求和．+t=3（a n+t），求得t=，运用等比数列的通项公式，可得数列【分析】可设a n+1{a n}的通项，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．【解答】解：由a1=1，a n+1=3a n+1，+t=3（a n+t），可设a n+1=3a n+2t，可得2t=1，即t=，即a n+1+=3（a n+），则a n+1可得数列{a n+}是首项为，公比为3的等比数列，即有a n+=•3n﹣1，即a n=•3n﹣1﹣，可得数列{a n}的前n项和S n=（1+3+32+…+3n﹣1）﹣n=•﹣n=（3n+1﹣2n﹣3）．故答案为：（3n+1﹣2n﹣3）．【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，同时考查构造等比数列求数列通项公式的方法，考查运算能力，属于中档题．16．已知实数a，b满足1≤a+b≤3且﹣1≤a﹣b≤1，则4a+2b的取值范围为[2，10] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=4a+2b，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=4a+2b，得．由图可知，当直线过A（0，1）时t有最小值为2；当直线过B（2，1）时t有最大值为4×2+2×1=10．故答案为：[2，10]．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（10分）（xx秋•呼和浩特期中）A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，∠CBA=60°求A、B两点之间的距离．【考点】解三角形的实际应用．【分析】过C作CD⊥AB于D，使用勾股定理依次解出BD，CD，AD，则AB=AD+BD．【解答】解：过C作CD⊥AB于D∵∠CBA=60°，∴BD=5km，CD=5km．在Rt△ACD中，AD==25km．∴AB=AD+BD=30km．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查勾股定理的运用，属于中档题．18．（12分）（xx秋•市北区校级期末）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，由已知得，解得，a1=8，由此利用等比数列的通项公式和前n项和公式能求出其第4项及前5项和．【解答】解：设公比为q，…（1分）由已知得…②即…②÷①得，…（7分）将代入①得a1=8，…（8分）∴，…（10分）…（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19．（12分）（xx秋•吉林期中）若关于x的不等式ax2+3x﹣1＞0的解集是{x|＜x＜1}，（1）求a的值；（2）求不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式的解集，即可得到方程ax2+3x﹣1=0的两个根为和1，根据韦达定理可以求得a的值；（2）根据（1）的结果，可以得到不等式2x2+3x﹣5＜0，求出方程2x2+3x﹣5=0的根，从而得到不等式的解集．【解答】解：（1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1，∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2，∴a的值为﹣2；（2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0，∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣，∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，要注意一元二次不等式和一元二次方程以及一元二次函数之间的联系，注意根与方程系数之间的关系一般运用韦达定理进行解决．属于基础题．20．（12分）（xx春•太原期末）如图，围建一个面积为100m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需维修），其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用y（单位：元）（1）将y表示为x的函数；（2）求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）由题意得矩形场地的另一边长为米，根据旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，求得长度．得出y关于x的函数表达式；（2）利用基本不等式求出y的最小值，运用等号成立的条件，求出x的值．【解答】解：（1）由题意得矩形场地的另一边长为米，∴y=56x+（x+2•﹣2）×200=256x+﹣400（x＞0）．（2）由（1）得y=256x+﹣400≥2﹣400=6000，当且仅当256x=时，等号成立，即当x=米时，y取得最小值6000元．【点评】本题是函数模型在实际问题中的应用，考查函数的解析式和最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（xx•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（12分）（xx•西区模拟）已知等比数列{a n}中，a1=2，a3=18，等差数列{b n}中，b1=2，且a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）根据等比数列的性质，有a1a3=a22，可得a2的值，结合题意，a1+a2+a3=b1+b2+b3+b4＞20，可得a2的值，由等比数列的通项公式，可得答案，（2）由（1）可得，结合等差数列的性质，可得b n的通项公式，由等差数列的Sn公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）因为a1a3=a22，所以a2=±6（2分）又因为a1+a2+a3＞20，所以a2=6，故公比q=3所以a n=2•3n﹣1（Ⅱ）设{b n}公差为d，所以b1+b2+b3+b4=4b1+6d=26（8分）由b1=2，可知d=3，b n=3n﹣1（10分）所以（12分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，注意两种常见数列的性质的异同，要区分讨论．25342 62FE 拾23110 5A46 婆]35443 8A73 詳23556 5C04 射27937 6D21 洡35358 8A1E 訞7L32764 7FFC 翼39546 9A7A 驺19984 4E10 丐i。
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷(含答案)
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有．．一个．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1．下列语句中，是命题的个数是①|x＋2|=0；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．42．设P是椭圆22+=12516x y上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于A．4 B．5 C．8 D．103．现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼干中抽取2盒进行质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取学生的意见，需要请32名学生进行座谈.③某学校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在教学改革方面上的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是A.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30， 则输入的n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．56．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则 点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 A .π4 B . 14 C . 1－π4D .π37．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为A . 15B . 25C . 35D . 458．一个小孩任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 A . 29 B . 9100 C . 350 D . 31009．椭圆22+=14x y 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为 A . 4 B . 72 C . 3 D . 3210．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为A.63B .53C.32D.2211．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2＋y2＝2(x≠±2)12．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知椭圆22+=120x yk的焦距为4，则k的值为．14．命题p：∀x∈R， x2＋x＋1>0，则 p为．15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．16．在区间[－3,3]上随机取一个数x，则使得lg(x－1)＜lg2成立的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2 .从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.18. (满分12分)某汽车厂生产A，B，C三类小汽车，每类小汽车均有豪华型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按A、B、C50辆，其中A类小汽车抽取10辆.(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法在C类小汽车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆标准型小汽车的概率；19．(满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．20．(满分12分)已知椭圆C 的两条对称轴分别为x 轴和y 轴,左焦点为F 1(－1,0)，右焦点为F 2，短轴的两个端点分别为B 1、B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⋅F 1Q → 0=，求直线l 的方程．21．(满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)p q ∧是真命题；(2)p q ∨为真命题且p q ∧为假命题．22．(满分12分)在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两点1F (0，、2F (0)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C . (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA ⊥OB ？此时|AB |的值是多少？高二半期考试理科数学参考答案二、选择题13、16或24 14、2000,10x R x x ∃∈++≤15、9 16、13三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n ,由题意可知：1112n n=++，解得n ＝2,不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以()P A ＝412＝13.18、解：(1)设该厂这个月共生产小汽车n 辆，由题意得5010100300n =+， 解得n ＝2000.则x ＝2000－(100＋300)－(200＋400)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型小汽车，由题意得40010005a=，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆豪华型小汽车，3辆标准型小汽车.用A 1，A 2表示2辆豪华型小汽车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型小汽车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆标准型小汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3).事件E 包含的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)， (A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共9个.故9()10P E =，即所求概率为910.19、解：设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴1F A ·2F A ＝0，而1F A ＝(－4＋c ，3)，2F A ＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y+=.20、解：(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22421k k +，x 1x 2＝222(1)21k k -+，1F P ＝(x 1＋1，y 1)，1F Q ＝(x 2＋1，y 2)因为1F P ·1F Q ＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋12271021k k -==+，解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.21、解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜12- .(1) ∵p q ∧是真命题，∴p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上面两个范围的交集， ∴a 的取值范围是{a |a ＜－1或a ＞1}．(2) p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，有两种情况：p 真q 假时，13＜a ≤1，p 假q 真时，－1≤a ＜12-，∴p 、q 中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．22、解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，(0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b1，故曲线C 的方程为2214y x +=.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝224k k -+，x 1x 2＝234k -+.∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2234k =-+2234k k -+22214k k -+=+22414k k -++. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |而 (x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB |＝54×43×13172＝46517.。
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俯视图侧视图正视图高二上期半期考试数学试题卷（理科）数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1) 4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。
其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1- B.1 C.21- D.2BC6.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝ D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )A.对于命题p：x R∃∈，使得210x x++<. 则⌝p：x R∀∈，均有210x x++≥.B.“1=x”是“0232=+-xx”的充分不必要条件.C.命题“若12=x, 则1=x”的否命题为：“若12≠x,则1≠x”.D.命题“若5≠+yx，则32≠≠yx或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( )A.面ABD⊥面BCDB.面ABD⊥面ACDC.面ABC⊥面ACDD.面ABC⊥面BCD(图2) (图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PA B⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为d. 若1||22=-dMC, 则动点M在面PAB内的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12e=,右焦点为F（c, 0），方程20ax bx c+-=的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)的位置( )A.必在圆222x y+=内 B.必在圆222x y+=上C.必在圆222x y+=外 D.以上三种情形都有可能俯视图侧视图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为________12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], 则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y Ca b a b-=>>2。
(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线m x y +=被双曲线C 截得的弦长为24，求m 的值。
17.(本小题13分)已知命题A ：方程11522=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题B ：实数t 使得不等式0)1(2<++-a t a t 成立。
（1）若命题A 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题B 是命题A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。
A 1B 1C 1EF G AC B 18.(本小题13分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，︒=∠90ACB ，点E 、F 、G 分别是AA 1、AC 、BB 1的中点，且CG ⊥C 1G .(1)求证：CG//面BEF; (2)求证：面BEF ⊥面A 1C 1G .(图5)(图6)19. (本小题12分) 如图6-(1)所示，在边长为12的正方形11A A AA ''中，点B 、C 在线段AA′上，且AB=3，BC=4.作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q. 现将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得''1A A 与AA 1重合，构成如图6-(2)所示的三棱柱ABC-A 1B 1C 1.(1)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，求证：AP ⊥BC;(2)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，连接AQ 与A 1P ，求四面体AA 1QP 的体积； (3)在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，求直线 PQ 与直线AC 所成角的余弦值.20.(本小题12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率等于22，它的一个顶点B 恰好是抛物线y x 42=的焦点。
(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN ∆的垂．心．？若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.(注: 垂心是三角形三条高线的交点)21.(原创)(本小题12分)如图7, 已知圆)1()1(:222>=+-r r y x C ,设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上.(1)当r 在),1(+∞内变化时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知定点P(-1,1)和Q(1,0)，设直线PM 、QM 与轨迹E 的另一个交点分别是M 1、M 2 . 求证：当M 点在轨迹E 上变动时，只要M 1、M 2都存在且M 1≠M 2，则直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点。
(图7)高二上期半期考试数 学 答 案（理科）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B CBC CAD AD A11.3 ; 12. 12 ;13. 3 ;14. π259 ;15. [22,36]16.解：(1)由题意，解得1,3a c ==，∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)⎪⎩⎪⎨⎧=---⇒=-+=022122222m mx x yx m x y ,由弦长公式得1)2(4422422±=⇒++⋅=m m m .17.解：(1)由条件知31015<<⇒>->-t t t ;(2)B 是A 的必要不充分条件, ∴31<<t 是0)1(2<++-a t a t 解集的真子集. 因方程0)1(2=++-a t a t 两根为a 和1, 故只需3>a .18.证明：(1)法1：连结A 1C ，由A 1C//EF 且A 1G//EB 可知面A 1CG//面EFB ，所以CG//面BEF.法2：连结AG 交BE 于点H ，再连结FH ，在△ACG 中，FH 是中位线，所以FH//CG ，则CG//面BEF 。
(2)G C A CG CG G C CG C A B BCC C A CC C A C B C A 1111111111111111面面且由⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⊥⇒⊥⊥,而CG//面BEF, 所以面BEF ⊥面A 1C 1G.19. (1)证明:因为AB=3，BC=4，所以图（2）中AC=5，从而有AC 2=AB 2+BC 2,即BC ⊥AB.又因为BC ⊥BB 1，所以BC ⊥平面ABB 1A 1, 则AP ⊥BC.(2)解: 182111=⋅=∆AB AA S APA , 由于CQ//面APA 1且BC ⊥面APA 1, 所以Q 到面APA 1距离就是BC 的长4, 所以24418311=⨯⨯=-APA Q V .(3)解: 建立如图空间直角坐标系，则A(3,0,0)、C(0,4,0)、P(0,0,3)、Q(0,4,7).所以).4,4,0(),0,4,3(=-=−→−−→−PQ AC 设直线AC与直线PQ 所成角为θ，则cos =θ.52224516||·|||·|=⨯=−→−−→−−→−−→−PQ AC PQ AC20.解: (1)设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,抛物线y x 42=的焦点为(0,1), 由⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==2122a b a c ,所以椭圆方程为1222=+y x(2)假设存在直线l ,使得点F 是BMN ∆的垂心.易知直线BF 的斜率为1-,从而直线l 的斜率为 1.设直线的方程为m x y +=,代入椭圆方程并整理,可得0)1(24322=-++b bx x .设),(),,(2211y x N y x M ,则m x x 3421-=+，322221-=m x x .于是)1()1(1212---=⋅y y x x)34)(1(3222))(1(2))((2222121212121212121=-+--+-⋅-=-++-+-=++--++=--+=m m m m m m m x x m x x m x m x x x m x x y y x x y x 解之得1=m 或3/4-=m .当1=m 时,点B 即为直线l 与椭圆的交点,不合题意; 当34-=m 时,经检验符合题意. 所以当且仅当直线l 的方程为34-=x y 时, 点F 是BMN ∆的垂心.21解:(1)设(,)M x y ,则AM 的中点(0,)2y D .因为(1,0)C ,(1,)2y DC =-,(,)2y DM x =在⊙C 中,因为CD DM ⊥，所以,0DC DM ⋅=，所以204y x -=.所以,点M 的轨迹E 的方程为:24y x =(0)x ≠ . (2)设M, M 1, M 2的坐标分别为)2,(),2,(),2,2221212t t t t t t （,其中210≠≠t t 且. 由P,M,M 1共线得12211222122211-+=⇒+-=--t t t t t t t t t ; 由Q,M,M 2共线得tt t t t t t t 110222222222-=⇒--=--.所以tt t t t -+-=22122, ）（*212221 t t t t t -+=+. 可见021≠+t t , 即直线M 1 M 2必有斜率. 由点斜式可求得直线M 1 M 2的方程为: 022)2121=--+t t x y t t （, 将(*)中两式代入得:042)24()122=++--+t x t t y t （, 再化简得0)4()1(2)4(2=++++-y x t x y t .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=+=+=-41040104y x y x x y .所以直线M 1 M 2必过点(-1,-4)。