变上限定积分函数及其导数教案
定积分的概念和性质积分上限函数及其导数学习教案
定积分的概念和性质积分上限函数及其导数学习教案积分的概念和性质
积分是数学中的一种重要概念，它可以用来计算定义域上函数的实际值，同时还可以用来求函数的零点。
积分的定义是：由函数f(x)在一定范围内，把函数图像所积成的面积就是积分。
根据积分的定义，可以分别将函数内、函数外的积分分为定积分和不定积分。
定积分：定积分（也称为定义积分）是在定义域的两个端点定义的定义域上的函数积分。
定积分可以看作是将函数f(x)在[a,b]上积分，这里a，b是定义域范围的两个端点。
一般地，用数学符号∫abf(x)dx表示定积分，其中a和b是积分的两个端点，x是求积分的变量，f(x)是函数的表达式。
定积分概念可以用图形简单表示，当函数f(x)在自变量x上有一个固定的定义域时，它在定义域上的图像就会组成一个定义域。
积分就是把图形容器中积累的面积。
不定积分：不定积分不需要定义两个端点来表示，只需要给出函数表达式，用积分符号表示即可。
不定积分一般表示为∫f(x)dx，可以表示由函数f(x)在它的定义域上积累的面积。
积分上限函数及其导数
积分上限函数是一种特殊的函数，它的定义域是定义域的两端点，而值域是定义域函数的值。
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案第一章：引言1.1 课程背景介绍微积分在数学和自然科学领域的重要性。
强调变上限定积分函数及其导数在实际应用中的作用。
1.2 教学目标理解变上限定积分的概念。
学会计算变上限定积分函数。
掌握变上限定积分函数的导数计算方法。
1.3 教学内容变上限定积分的定义和性质。
计算变上限定积分函数的方法。
变上限定积分函数的导数计算规则。
第二章：变上限定积分的概念2.1 定义和例子引入变上限定积分的概念。
通过具体例子解释变上限定积分的含义。
2.2 变上限定积分的性质讨论变上限定积分的性质，如线性性、可加性等。
2.3 变上限定积分的计算方法介绍计算变上限定积分的基本方法。
第三章：变上限定积分函数的计算3.1 函数的定义和性质引入变上限定积分函数的概念。
讨论变上限定积分函数的性质。
3.2 变上限定积分函数的计算方法介绍计算变上限定积分函数的方法。
3.3 变上限定积分函数的例子通过具体例子展示变上限定积分函数的计算过程。
第四章：变上限定积分函数的导数4.1 导数的定义和性质引入变上限定积分函数的导数概念。
讨论变上限定积分函数导数的性质。
4.2 变上限定积分函数导数的计算规则介绍变上限定积分函数导数的计算规则。
4.3 变上限定积分函数导数的例子通过具体例子展示变上限定积分函数导数的计算过程。
第五章：应用5.1 实际应用举例举例说明变上限定积分函数及其导数在实际问题中的应用。
5.2 练习题提供一些练习题，巩固学生对变上限定积分函数及其导数的理解和计算能力。
教学资源：教材或教辅资料。
课件或幻灯片。
练习题和答案。
教学评估：课堂练习和讨论。
课后作业和测试。
学生表现和参与度。
第六章：变上限定积分的图像6.1 函数图像的概念介绍函数图像的基本概念。
强调变上限定积分函数图像的重要性。
6.2 变上限定积分函数图像的绘制学习如何绘制变上限定积分函数的图像。
通过具体例子展示如何绘制变上限定积分函数图像。
6.3 变上限定积分函数图像的性质讨论变上限定积分函数图像的性质。
定积分的变上限求导法
定积分的变上限求导法定积分是微积分中的一个重要概念，在数学、物理、化学等学科中有广泛应用。
在实际中，我们经常会遇到定积分的变上限求导问题，本文将介绍定积分的变上限求导法。
一、定义首先，我们需要了解定积分的定义。
对于一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$x$的任意分割可以写成$a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b$区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$x_i$点处的函数值为$f(x_i)$，则$[x_{i-1},x_i]$的面积为$f(x_i)\times\Delta x_i$。
所以区间$[a,b]$的面积可以近似表示为$S_n=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$当$x$的分割无限细时，即$\Delta x_i\to 0$，$n\to \infty$时，所求面积就是定积分，可以表示为：$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$其中，$a$和$b$分别是积分的下限和上限，$dx$是区间长度的微元，可以理解为$\Delta x$在$n\to \infty$时的极限。
二、变上限的求导法现在考虑定积分的变上限求导问题。
假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$c$是$[a,b]$内的一个定值，定义函数$F(x)=\int_c^xf(t)dt$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
证明：可知$\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=\dfrac{1}{h}\int_c^{x+h}f(t)dt-\dfrac{1}{h}\int_c^xf(t)dt=\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt$在$h\to 0$时，上式变为$F'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt=f(x)$因此$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案一、教学目标：1.理解积分的上限定积分函数及其导数的概念和性质；2.掌握计算上限定积分函数及其导数的方法；3.运用上限定积分函数及其导数解决实际问题。
二、教学内容：1.上限定积分函数的概念：上限定积分函数是将一个带有上限的定积分定义为一个新的函数。
若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续可微，$t \in [a, b]$，则称$F(x) = \int_a^x f(t)dt$为函数$f(x)$的上限定积分函数。
2.上限定积分函数的性质：a.上限定积分函数是连续的；b.上限定积分函数是可导的，且导数为原函数。
证明思路：使用极限的定义证明上限定积分函数的连续性和可导性。
3.上限定积分函数的计算方法：a.根据积分的性质和基本公式，将上限定积分转化为不定积分；b.求导得到上限定积分函数的导数。
例如，若$F(x) = \int_0^x e^{t^2}dt$，则$F'(x) = e^{x^2}$。
4.解题方法：根据题目的要求，进行积分和求导运算，求出上限定积分函数及其导数。
例如，已知函数$f(x) = \int_0^x (1+t^2)e^tdt$，求$f(2)$和$f'(2)$。
三、教学过程：1.导入课题：提问学生是否学过不定积分和定积分，回忆定积分定义和基本公式，为引出上限定积分函数做铺垫。
2.上限定积分函数的概念：通过举例，引导学生理解上限定积分函数的概念。
例如，已知函数$f(x) = \int_0^x e^tdt$，求$f(1)$和$f(2)$。
学生可以观察到$f(1)$和$f(2)$的值分别对应积分区间的上限为1和23.上限定积分函数的性质：向学生介绍上限定积分函数连续和可导的性质，并通过实例进行验证。
4.上限定积分函数的计算方法：a.通过举例，引导学生将上限定积分转化为不定积分。
b.提示学生求导得到上限定积分函数的导数。
5.解题方法：以具体的例题进行讲解，包括计算上限定积分函数和其导数。
《高等数学》(北大版)2-9变上限定积分
xห้องสมุดไป่ตู้
a
o a
x0 x b x
C
=∫
x
x0
积 中 定 分 值 理 f (t)dt = f (c)(x−x0) (x0<c < x)
前页
后页
结束
由此推出
F (x) −F (x0) 0 0 = f (c), x− x0
当 →x0时c →x0,于 由 数的 续 可 x →x0时 x , 是 函 f 连 性 知 f (c) → f (x0), 因而 F (x) −F (x0) 0 lim 0 = f (x0). x→ 0 x x−x0
0 F (x) −F (x0) = f (t)dt −∫ f (t)dt = ∫ f(t)dt +∫ f(t)dt 0 0 ∫a
x
x
x
a
a
a
x0
= ∫ f(t)dt = f (c)(x−x0) →0,
x0
x
当 →x0 +0 （ 中 0 <c < x). x 时 其 x
由 推 此 出
x→ 0 +0 x
a x
(a ≤ x ≤b)
是a,b]上 连 函 ,且 ( a,b)内 导 且 [ 的 续 数 在 可 ， F′(x) = f (x) , 0 ∀x∈ ( a,b) .
d x 即 F′(x) = ∫ f (t)dt = f (x) x∈( a,b) . 0 dx a 证 由 分 值 理 ∀ 0 ∈[a,b) 及 > x0, x∈(a,b], 有 积 中 定 ，x x
x→ 0 −0 x
同 可 理 证
lim F (x) = F (x0), 0 0(x
再 合 才 得（ ) 结 刚 所 F x 0
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案教学目标：1. 理解变上限定积分的概念及其几何意义；2. 学会计算变上限定积分的函数；3. 掌握变上限定积分函数的导数计算方法。
教学重点：1. 变上限定积分的概念及其几何意义；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学难点：1. 变上限定积分的概念理解；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学准备：1. 教师准备PPT课件；2. 教师准备相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习定积分的概念及其几何意义；2. 引导学生思考定积分与变上限定积分的关系；3. 引入变上限定积分的概念。
二、变上限定积分的概念及其几何意义（10分钟）1. 讲解变上限定积分的定义；2. 解释变上限定积分的几何意义；3. 举例说明变上限定积分的应用。
三、变上限定积分函数的计算（10分钟）1. 引导学生理解变上限定积分函数的概念；2. 讲解变上限定积分函数的计算方法；3. 举例演示变上限定积分函数的计算过程。
四、变上限定积分函数的导数计算（10分钟）1. 讲解变上限定积分函数的导数计算方法；2. 举例演示变上限定积分函数的导数计算过程；3. 引导学生总结变上限定积分函数的导数计算规律。
五、巩固练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题；2. 教师讲解练习题的解题思路和方法；3. 学生总结解题经验。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了变上限定积分的概念、几何意义、函数计算和导数计算。
在教学过程中，注意引导学生思考和总结，提高学生的理解能力和解决问题的能力。
注重练习题的设置，使学生巩固所学知识，为后续课程的学习打下基础。
六、变上限定积分的应用举例（10分钟）1. 讲解变上限定积分在几何中的应用，如计算曲线下的面积；2. 讲解变上限定积分在物理学中的应用，如计算物体的体积；3. 引导学生思考变上限定积分在其他领域的应用。
七、变上限定积分的进一步性质（10分钟）1. 讲解变上限定积分的性质，如线性性质、可加性等；2. 举例说明变上限定积分的性质在实际问题中的应用；3. 引导学生探究变上限定积分的其他性质。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用1. 引言1.1 什么是变上限定积分导数变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，是对定积分上限的函数关于变上限的导数。
在数学上，定积分的上限是一个常数，而变上限定积分导数是将上限看作一个变量，对其求导数的过程。
通常用符号F(x,t)表示，其中x为积分上限，t为变量。
变上限定积分导数的定义为\frac{d}{dt}\left(\int_{a}^{t}f(x)dx\right)=f(t)变上限定积分导数的计算方法上，主要利用导数的性质和积分的换元法。
在应用上，变上限定积分导数具有广泛的应用价值。
在数学分析中，可以用于证明一些定理和推论，如黎曼黎曼积分定理。
在经济学中，变上限定积分导数可以用于求解边际效用，生产函数等问题。
在物理学中，可以用于求解一些变化过程的速率，如速度、加速度等。
变上限定积分导数的应用前景广阔，将会在更多领域得到应用和拓展。
1.2 变上限定积分导数的应用变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它在数学、经济学和物理学等领域都有着广泛的应用。
通过对变上限定积分导数的研究和运用，我们可以更好地理解和解决实际问题，从而推动这些领域的发展。
在经济学中，变上限定积分导数被广泛应用于描述市场供需关系、生产函数和效用函数等经济模型。
通过对变上限定积分导数的计算，经济学家可以更好地理解经济现象的发展规律，为经济政策的制定提供科学依据。
在物理学中，变上限定积分导数常常被用来描述物体的运动、力的作用和能量的转化等物理现象。
通过运用变上限定积分导数，物理学家可以更精确地描述和预测物体的运动状态，为物理学理论的建立和实验的设计提供重要参考。
变上限定积分导数在各个领域的应用都具有重要意义，它不仅推动了科学技术的发展，也为我们更深入地认识和理解世界提供了重要工具和方法。
随着研究的深入和技术的不断进步，相信变上限定积分导数的应用前景会更加广阔，为我们带来更多的惊喜和启发。
2. 正文2.1 变上限定积分导数的计算方法变上限定积分导数的计算方法是数学分析中的重要内容，它主要涉及对函数的变上限定积分进行求导。
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案章节一：引言与预备知识1.1 引言引导学生回顾函数、极限、微积分等基本概念。
强调本章重点：理解变上限定积分函数的定义及其性质。
1.2 预备知识复习定积分的概念和性质。
介绍变量的概念，强调变量在数学中的重要性。
章节二：变上限定积分函数的定义与性质2.1 变上限定积分函数的定义解释变上限定积分函数的概念，给出一般形式。
通过示例让学生理解变上限定积分函数的构成。
2.2 变上限定积分函数的性质探讨变上限定积分函数的基本性质，如连续性、可积性等。
讲解变上限定积分函数的图像和性质。
章节三：变上限定积分函数的求导3.1 导数的定义引入导数的定义，解释导数在变上限定积分函数中的意义。
引导学生理解导数与变上限定积分函数的关系。
3.2 变上限定积分函数的求导法则讲解基本导数法则，如常数倍法则、和差法则等。
引导学生运用导数法则求解变上限定积分函数的导数。
章节四：应用与案例分析4.1 应用一：变上限定积分函数的极值问题引导学生运用导数求解变上限定积分函数的极值。
通过案例分析让学生掌握极值问题的解决方法。
4.2 应用二：变上限定积分函数的图像分析引导学生运用导数分析变上限定积分函数的图像特征。
通过案例分析让学生理解图像分析在实际问题中的应用。
章节六：变上限定积分函数的积分6.1 积分的定义复习定积分的概念，引入变上限定积分函数的积分概念。
解释变上限定积分函数积分的意义和性质。
6.2 变上限定积分函数的积分法则讲解变上限定积分函数的积分法则，包括换元积分和分部积分。
引导学生运用积分法则计算变上限定积分函数的积分。
章节七：变上限定积分函数的应用7.1 应用一：物理问题中的应用通过物理问题案例，展示变上限定积分函数在动力学中的应用。
引导学生理解变上限定积分函数在物理问题中的重要性。
7.2 应用二：经济学问题中的应用通过经济学问题案例，展示变上限定积分函数在优化问题中的应用。
引导学生理解变上限定积分函数在经济分析中的作用。
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高等数学教案
变上限定积分函数及其导数
教学内容：变上限定积分函数及其导数。
知识目标：使学生掌握变上限定积分函数的定义；
使学生了解原函数存在定理的证明；
使学生会熟练运用原函数存在定理求导数。
情感目标：通过原函数存在定理体会积分和微分之间的联系。
教学重点：通过对变上限定积分的掌握和原函数存在定理的结论会求
变上限定积分函数的导数。
教学难点：原函数存在定理的证明。
教学设计：对高职生来说，原函数存在定理的证明过程是本节课的难点，所以采用提前给出储备知识减弱学生负担，同时又辅以数形结合
来形象展示。
对变上限积分函数的导数采用讲练结合来强化重点。
教学方法：讲练结合+任务驱动
教学过程：
一课程导入
在前面我们通过两个实例曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引入了定积分的概念。
求定积分的过程实际上是求和式的极限一般来说，根据定义求定积分计算是很复杂的，所以，必须寻求一种简单而有效的方法。
牛顿-莱布尼兹在创建微积分时，就发现定积分和不定积分有密切的联系。
我们第二讲要讲的牛顿-莱布尼兹公式，从而把求定积分的问题转化为求不定积分（既原函数）的问题，为人们计算定积分提供了简便的方法。
本节课所要讲的原函数存在定理，在微分
和积分之间建立了关系，牛顿和莱布尼兹利用这种关系用来计算计算定积分，得出了著名的牛顿-莱布尼兹公式。
二 储备知识
引导学生复习下面一些知识点，为后面的知识做准备。
1 原函数：若)()(x f x =Φ'，则)(x Φ是)(x f 的一个原函数。
2 可导的概念：若x
x f x ∆∆→∆)(lim
0存在 ，则)(x f 可导。
3 复合函数求导：)()())(((x u u f x u f dx d '⋅'= 4 定积分的积分区间可加性：dx x f dx x f dx x f b
c b ⎰⎰⎰+=c a a )()()(。
5 定积分积分中值定理 ：)())(()(b a a b f dx x f b a ≤≤-=⎰ξξ。
三 给出课堂任务目标
给出本节课的任务目标，以便让学生明白本节课的主要任务。
本堂课主要有三个任务目标 ：1 掌握变上限积分函数的概念；
2 了解原函数存在定理的证明；
3 会熟练运用原函数存在定理求导数。
四 课程内容
1变上限定积分函数的概念
设)(x f 在],[b a 上连续，],[b a x ∈，则)(x f 在],[x a ，即定积分⎰x
a dx x f )(存在，这样很容易混淆，又定积分的值与积分变量无关，我们把积分变量换成t,即得⎰x
a dt f )t (。
若固定积分下限a ，则对任意一个],[
b a x ∈，定积分⎰x a
dt f )t (都有唯一的值与x 对应，所以⎰x
a dt f )t (是上限变量x 的函数，称它为变上限定积分函数，
记作⎰=Φx
a dt f x )t ()(。
从定积分的几何意义来解释变上限积分是x 的函数。
对于变上限积分函数⎰x
a dt f )t (在给定的情况下可以求其导数。
2 定理(原函数存在定理）
定理1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续，则变上限积分()x φ=
()x a t dt ⎰(a x b ≤≤)在),(b a 内可导，且其导数为()()()x a d x f t dt f x dx φ'=
=⎰。
即)(x Φ是被积函数的一个原函数。
证明：dt t f x x x x a ⎰∆+=∆+Φ)()( dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f x x x x a x
x x x a x a x x a ⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
∆+∆+∆+=-+=-=∆Φ)()()()()()( 根据定积分的中值定理：存在）（x x x ∆+∈,ξ使x f x ∆=∆Φ)()(ξ（如图）。
，。
这个定理肯定了连续函数的原函数是存在的，通常称为原函数存在定理；同时，该定理也初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，在微分和积分之间建立了关系，我们又把它称之为微积分第一基本定理。
它是下面要将的牛顿-莱布尼兹公式的基础。
3 例题与解答。
（比书上多补充一种类型）
例 求下列函数的导数：
a b x y o x x ∆+)
(x Φx ξ),(ξf x =∆∆Φ
)(lim lim 0
0ξf x x x →∆→∆=∆∆Φx
x →→∆ξ,0)()(x f x =Φ'∴。
；）
（；）（⎰⎰⎰=Φ=Φ+=Φ22
100)()3(3cos )(2)12cos()(1x t x t x
dt e x tdt e x dt t x
解： （1） )12cos()(+=Φ'x x 。
（2） tdt e x t 3cos -)(x 0⎰=Φ，
x e x x 3cos )(-=Φ'。
(3) 令2x u =，则 dt e u t ⎰=Φu 12
)(， 4
222)()(x u xe x e u u x =⋅='⋅Φ'=Φ'。
4 练习 求下列函数的导数：
请两个学生上台做演示。
5 延伸和推广（为有兴趣的学生提供） 。
；）
（；）（⎰⎰⎰=Φ=Φ+=Φ-30
0212sin )()3()(2)12tan()(1x t x t x tdt e x dt e x dt t t x
思考：当积分的上下限都是变量x 的函数时，该如何求导？ 推广： 。
五 小结与作业
小结：针对前面的课堂任务目标学生自查完成情况。
作业：练习5.2第一题
()1.()(),()[()]()x a F x f t dt F x f x x φφφ''==⎰推论设则()()2.()(),x x F x f t dt φψ=⎰推论设则()[()]()[()]()
F x f x x f x x φφψψ'''=-。