平均数、标准差与变异系数
标准差和变异系数的意义
标准差和变异系数的意义
标准差和变异系数是统计学中常用的两个指标，它们可以帮助我们了解数据的
离散程度和相对离散程度，对于数据分析和比较具有重要意义。
在实际应用中，我们常常会用到这两个指标来评估数据的稳定性和可靠性，下面我们将详细介绍标准差和变异系数的意义及其在实际中的应用。
首先，让我们来了解一下标准差的意义。
标准差是一组数据离均值的平均距离
的平方根，它可以反映数据的离散程度。
标准差越大，代表数据的离散程度越大；标准差越小，代表数据的离散程度越小。
通过计算标准差，我们可以了解数据的分布情况，判断数据的稳定性和可靠性。
在科学研究、经济分析、财务管理等领域，标准差被广泛应用，它可以帮助我们评估数据的波动情况，从而进行风险评估和决策分析。
接下来，让我们来了解一下变异系数的意义。
变异系数是标准差与均值的比值，它可以用来比较不同数据集的离散程度。
变异系数越小，代表数据的相对离散程度越小；变异系数越大，代表数据的相对离散程度越大。
通过计算变异系数，我们可以消除数据的量纲影响，进行跨组数据的比较。
在质量控制、产品质量评估、市场调查等领域，变异系数被广泛应用，它可以帮助我们比较不同数据集的稳定性和可靠性，从而进行综合评价和决策分析。
综上所述，标准差和变异系数是两个重要的统计指标，它们可以帮助我们了解
数据的离散程度和相对离散程度，对于数据分析和比较具有重要意义。
在实际应用中，我们可以通过计算标准差和变异系数来评估数据的稳定性和可靠性，从而进行风险评估和决策分析。
因此，我们应该充分理解标准差和变异系数的意义，并灵活运用它们进行数据分析和比较，为科学研究和决策提供有力支持。
变异系数求解-概述说明以及解释
变异系数求解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在概述部分，我们将对本文所涉及的主题进行简要介绍。
本文的主题是"变异系数求解"，我们将探讨变异系数的定义、计算方法、应用以及局限性。
变异系数是用于衡量数据集变异程度的一项统计指标。
它的计算方法是通过将数据集的标准差除以均值，并乘以100来表示，通常以百分比的形式呈现。
变异系数不受不同数据单位的影响，因此可以用于比较不同单位或不同尺度的数据集。
本文将首先介绍变异系数的定义，阐述它在统计学中的重要性和应用场景。
接着，我们将详细讨论变异系数的计算方法，包括对标准差和均值的计算及其相关公式。
通过这些计算步骤，我们可以得到数据集的变异系数值，并将其用于进一步的数据分析和比较。
此外，我们还将探讨变异系数的应用范围，包括它在财务分析、经济学研究和科学实验等领域的具体运用。
通过实际的案例和应用示例，我们将展示变异系数在不同领域中的实际意义和效果。
然而，变异系数也存在一定的局限性，我们将在本文中对这些局限性进行详细探讨。
局限性主要包括对极端值和异常值的敏感性，以及在数据集不满足正态分布假设时的适用性问题。
我们将说明这些局限性对变异系数的应用和解释带来的影响，并提出一些关于如何避免误解和错误解读的建议。
通过本文的阐述，读者将进一步了解变异系数的相关概念、计算方法以及其应用和局限性。
希望本文能够为读者提供一个清晰的理解框架，帮助他们在实际应用中更好地利用变异系数来分析和解读数据集的变异程度。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织框架和组织方式。
一个良好的文章结构可以帮助读者更好地理解文章的内容，并使文章的逻辑性更强。
本文的结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分旨在介绍文章的背景和目的。
首先，我们将概述变异系数的概念和重要性。
变异系数是一种用来度量统计数据变异程度的指标，它可以帮助我们评估数据集中的离散程度。
接着，我们将介绍本文的结构和内容安排，以便读者能够清晰地了解接下来的内容。
生物统计学答案
第一章绪论一、名词解释1、总体：根据研究目的确定的研究对象的全体称为总体。
2、个体：总体中的一个研究单位称为个体。
3、样本：总体的一部分称为样本。
4、样本含量：样本中所包含的个体数目称为样本含量（容量）或大小。
5、随机样本：从总体中随机抽取的样本称为随机样本，而随机抽取是指总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取组成样本。
6、参数：由总体计算的特征数叫参数。
7、统计量：由样本计算的特征数叫统计量。
8、随机误差：也叫抽样误差，是由于许多无法控制的内在和外在的偶然因素所造成，带有偶然性质，影响试验的精确性。
9、系统误差：也叫片面误差，是由于一些能控制但未加控制的因素造成的，其影响试验的准确性。
10、准确性：也叫准确度，指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与真值接近的程度。
11、精确性：也叫精确度，指调查或试验研究中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近的程度。
二、简答题1、什么是生物统计？它在畜牧、水产科学研究中有何作用？答：（1）生物统计是数理统计的原理和方法在生物科学研究中的应用，是一门应用数学。
（2）生物统计在畜牧、水产科学研究中的作用主要体现在两个方面：一是提供试验或调查设计的方法，二是提供整理、分析资料的方法。
2、统计分析的两个特点是什么？答：统计分析的两个特点是：①通过样本来推断总体。
②有很大的可靠性但也有一定的错误率。
3、如何提高试验的准确性与精确性？答：在调查或试验中应严格按照调查或试验计划进行，准确地进行观察记载，力求避免认为差错，特别要注意试验条件的一致性，即除所研究的各个处理外，供试畜禽的初始条件如品种、性别、年龄、健康状况、饲养条件、管理措施等尽量控制一致，并通过合理的调查或试验设计，努力提高试验的准确性和精确性。
4、如何控制、降低随机误差，避免系统误差？答：随机误差是由于一些无法控制的偶然因素造成的，难以消除，只能尽量控制和降低；主要是试验动物的初始条件、饲养条件、管理措施等在试验中要力求一致，尽量降低差异。
计算变异系数怎么算
计算变异系数怎么算
变异系数又称“标准差率”，是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。
当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。
如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。
标准差与平均数的比值称为变异系数，记为C.V。
变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
标准变异系数是一组数据的变异指标与其平均指标之比，它是一个相对变异指标。
变异系数有全距系数、平均差系数和标准差系数等。
常用的是标准差系数，用CV(Coefficient of Variance)表示。
CV(Coefficient of Variance):标准差与均值的比率。
用公式表示为：CV＝σ/μ
作用：反映单位均值上的离散程度，常用在两个总体均值不等的离散程度的比较上。
若两个总体的均值相等，则比较标准差系数与比较标准差是等价的。
变异系数又称离散系数。
第3章-平均数、标准差与变异系数
50只小鸡出壳天数的频数分布表
出壳天数 频数（f） fx
19
2
38
20
3
60
21
10
210
22
24
528
23
9
207
24
2
48
合计
50
1091
x
fx f
1091 50
21.82
fmax=24, Mo=22
Md=22
表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表
组别
44.25— 45.75— 47.25— 48.75— 50.25— 51.75— 53.25— 54.75— 56.25— 57.75— 59.25— 60.75—
• 极差（全距）
•
极差 = 最大值 - 最小值
• 只利用了资料中最大值和最小值, 不
能准确表达资料中各个观察值的变异程
度。
• 平均离差
xx
d
n 1
离均差
(x x)
它不能表示整个资
(x x) 0 料中所有观察值的 总偏离程度
标准差S
x x 使用不方便, 在统 S (x x)2 /(n 1) 计学中未被采用
n
(xi x)2
s 2 i1 n 1
样本标准差 s
n
(xi x)2
i 1
n 1
• 为了方便计算，将离均差平方和转化为另 一种形式，同时略去下标，上式可表示为:
s
x2
( x)2
n
n 1
• 在计算离散型频数资料的标准差时,
s
fx 2
( fx)2
N
N 1
• 式中x为组值, f为频数, N为总频数（∑f）, k为组数。
第3章 平均数、标准差与变异系数
复习题
试分别写出样本平均数、方差和标准差的统计量及参数 符号. 试写出平均数、方差、标准差、几何平均数、变异系数 的计算公式. 平方和的计算公式有-----、-------和-------。 已知∑xi2=45180，平均值=67，n=10，则其方差和标准 差分别为------和------ 。 已知样本平方和为360，样本容量为10，则其标准差等 于-------。
S
x ( x ) / n
2 2
n 1
2955000 5400 / 10
2
10 1
65.828
三、标准差的特性
1、各观测值间变异大，标准差也大，反之则小。 2、各观测值加或减一个常数，其标准差值不变。 3、每观测值乘或除一个常数a，则标准差是原来的
a倍或1/a倍。
Excel计算统计量
二、几何平均数
使用（适用）条件； 定义； 计算方法； 实例。
一、几何平均数适用条件
呈倍数关系或偏态分布的资料，描述
其集中性时可用几何平均数表示。
如畜禽 、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药 物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，可用几何平均 数表示其平均水平。
2、几何平均数定义
n个观测值相乘之积开n次方所得的方根， 称为几何平均数，记为G。
S
x
2
(
x)
2
n
n 1
6、
测定北京肉鸭周龄(x)与体重(g , y)如下:
周龄：0 1 2 3 4 5 体重 48.5 206 535 969 1467 1975 相对数： 4.25 2.60 1.81 1.51 1.35
试求其周平均生长速度。
标准偏差计算
一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简 称平均数或均数，记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 (一)直接法 主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
则样本平均数可通过下式计算：
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差 之和为零的问题。
先将各 个离 均差平方，即 ( )2 ，再求 离均差x平方x和 ， 即
，简
称平方和，记为SS；
由
于
离差平方和
(x
常随
x)2
样
本
大
小
而
改
变
，为
了
消
除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即
1
G n x1 x2 x3 xn (x1 x2 x3 xn ) n
为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n，得lgG，再求lgG的 反对数，即得G值，即
其【年G例平3均.7增】lg长某率波1。[尔1n山(羊lg群x19197—lg200x02年各年度的存lg栏数xn见)表] 3—3，试求
1
1
1
H
208.33
1 5
(
1 200
1 220
1 210
1 190
1 210
)
1 5
(0.024
)
0.0048
即保种群平均规模为208.33头。
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
标准差及标准差变异系数的概念及区别
标准差及标准差变异系数的概念及区别
标准差和标准差变异系数都是用于描述数据分布的统计量。
1. 标准差
标准差（standard deviation）也称为样本标准差（sample standard deviation），是指一组数据平均值与每个数据的离差平方的平均值的平方根，是衡量数据集合中的各项数据与平均数之间的偏离程度和分散程度的一种标准。
标准差越小，表示数据点集中度越高，反之则分散度越高。
2. 标准差变异系数
标准差变异系数（coefficient of variation）是指标准差除以平均数的比值，用于表示样本标准差相对于平均数的大小，进一步衡量数据的相对不确定性和异质性。
标准差变异系数越小，数据分布越集中；标准差变异系数越大，则数据分布越分散。
区别：
标准差和标准差变异系数都可以作为衡量数据分布的指标，其区别在于：
1. 标准差衡量数据的绝对分散情况，即数据与平均值之间的偏离与数据本身的数量级相关；标准差变异系数则是衡量数据相对分散程度，即表示数据相对大小的特征，与数据本身的数量级无关。
2. 标准差容易受数据中异常值的影响；而标准差变异系数相较于标准差，更适用于先验无界或指数类数据的标准化，因为其相对大小更具有稳定性，不容易受到数据本身的数量级和尺度的影响。
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22 第三章 平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数（mean ）、标准差（standard deviation ）与变异系数（variation coefficient ）三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。
在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。
平均数主要包括有算术平均数（arithmetic mean ）、中位数（median ）、众数（mode ）、几何平均数（geometric mean ）及调和平均数（harmonic mean ），现分别介绍如下。
一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为x 。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
（一）直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值：x 1、x 2、…、x n ，则样本平均数x 可通过下式计算：nxnx x x x ni in∑==+++=121 （3-1）其中，Σ为总和符号；∑=ni i x 1表示从第一个观测值x 1累加到第n 个观测值x n。
当∑=ni ix1在意义上已明确时，可简写为Σx ，（3-1）式即可改写为：nx x ∑=【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n =10代入（3—1）式得：.5(kg)528105285∑===nx x即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
（二）加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：23∑∑∑∑==++++++===f fxf x f f f f x f x f x f x ki iki i i kk k 11212211 （3-2） 式中：i x —第i 组的组中值； i f —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量，因此f i 称为是x i的“权”，加权法也由此而得名。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg ）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表组别 组中值（x ）次数（f ）f x 10— 15 3 45 20— 25 6 150 30— 35 26 910 40— 45 30 1350 50— 55 24 1320 60— 65 8 520 70— 753 225 合计1004520利用（3—2）式得：)(2.451004520kg f fx x ===∑∑ 即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg 。
计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。
【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725 kg ，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即)(89.738270012007251500750kg f fx x =⨯+⨯==∑∑即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg 。
（三）平均数的基本性质1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。
24 0)(1=-∑=x x ni i 或简写成∑=-0)(x x2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。
∑=ni 1(x i -x )2<∑=ni 1(x i - a )2 （常数a ≠x ）或简写为：∑-2)(x x <∑-2)(αx以上两个性质可用代数方法予以证明，这里从略。
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为： N x ni i∑==1μ （3-3）式中，N 表示总体所包含的个体数。
当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。
统计学中常用样本平均数（x ）作为总体平均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数x 是总体平均数μ的无偏估计量。
二、中位数将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为M d 。
当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。
中位数简称中数。
当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。
中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。
（一）未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。
1、当观测值个数n 为奇数时，(n+1)/2位置的观测值，即x (n+1)/2为中位数；M d =2/)1(+n x2、当观测值个数为偶数时，n/2和（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位数，即：2)12/(2/++=n n d x x M （3-4）【例3.4】 观察得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位数。
此例n =9，为奇数，则：M d =52/)19(2/)1(x x x n ==++=150（天）即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150天。
【例3.5】 某犬场发生犬瘟热，观察得10只仔犬发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位数。
此例n =10，为偶数，则：255.11212112265)12/(2/=+=+=+=+x x x x M n n d （天）即10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为11.5天。
（二）已分组资料中位数的计算方法 若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：)2(c nf i L M d -+= （3—5）式中：L —中位数所在组的下限； i —组距；f —中位数所在组的次数； n —总次数；c —小于中数所在组的累加次数。
【例3.6】 某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间整理成次数分布表如表3—2所示，求中位数。
表3—2 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表间隔时间（d ）头数（f ）累加头数12—26 1 1 27—41 2 3 42—56 13 16 57—71 20 36 72—86 16 52 87—101 12 64 102—116 2 66 ≥117268由表3—2可见：i =15，n =68，因而中位数只能在累加头数为36所对应的“57—71”这一组，于是可确定L =57，f =20，C =16，代入公式（3—5）得：5.70)16268(201557)2(=-+=-+=c n f i L M d （天）即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为70.5天。
三、几何平均数n 个观测值相乘之积开n 次方所得的方根，称为几何平均数，记为G 。
它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析。
如畜禽、水产养殖的增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。
其计算公式如下：nn nn x x x x x x x x G 1)(321321 ⋅⋅=⋅⋅= （3—6）为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n ，得lgG ，再求lgG 的反对数，即得26 G 值，即)]lg lg (lg 1[lg 211n x x x nG +++=- （3—7）【例3.7】 某波尔山羊群1997—2000年各年度的存栏数见表3—3，试求其年平均增长率。
年度 存栏数（只）增长率（x ）Lgx1997 140 ——1998 200 0.429 -0.368 1999 280 0.400 -0.398 2000 350 0.250 -0.602利用公式（3—7）求年平均增长率G =)]lg lg (lg 1[lg 211n x x x n+++- =lg -1[31（-0.368-0.398–0.602）]=lg -1（-0.456）=0.3501即年平均增长率为0.3501或35.01%。
四、众 数资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，称为众数，记为M 0。
如表2-3所列的50枚受精种蛋出雏天数次数分布中，以22出现的次数最多，则该资料的众数为22天。
又如【例3.6】所列出的次数分布表中，57—71这一组次数最多，其组中值为64天，则该资料的众数为64天。
五、调和平均数资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调和平均数，记为H ，即∑=++=xnx x x n n H 1111111)(121（3—8）调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模。
【例3.8】 某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头；3世代190头，4世代210头，试求其平均规模。
利用公式（3—9）求平均规模：33.2080048.01)024.0(1)(1512101190121012201200151===++++=H （头）27即保种群平均规模为208.33头。
对于同一资料，算术平均数>几何平均数>调和平均数。
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
第二节 标准差一、标准差的意义用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。
如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。
因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。
全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。
全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。
但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。
当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。
为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（x x -），称为离均差。