复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)配套题库(名校考研真题)【圣才出品】
伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解【圣才出品】
伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解1．（15分）把x作为函数，u=xz、v=yz作为自变量，变换公式解：由于du=xdz+zdx，dv=ydz+zdy，所以于是故有代入原式，即得2．（15分）应用Stokes公式，计算曲线积分，式中C为圆周若从Ox轴正向看去，该圆周是沿逆时针方向进行的．解：平而x+y+z=0的法线的余弦为，于是3．（15分）证明：在x=0处三阶导数不存在．证明：当x≠0时，易知有从而根据导数的定义再由左、右导数的定义可得可见所以在x=0处的三阶导数不存在．4．（15分）设f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证明：存在c∈（a，b）使证明：由于做辅助函数则由Lagrange中值定理知，存在使得令即有5．（15分）函数f（x）在闭区间[0，1]上有连续的一阶导数，证明：证明：若结论显然成立．若则f（x）在[0，1]上变号，由f（x）的连续性知，存在使于是取积分可得原不等式得证．6．（15分）计算，其中图一解：如图一：把D分成D1，D2两部分，其中7．（20分）设L为球面和平面x+y+z=0的交线，若从x轴正向看去，L是沿逆时针方向的，试计算下列第二型曲线积分：解：把Y=-x-z代人，得令x=u+v，z=-v，可得所以可取由此知道L的参量方程为（1）因为并由对称性得所以（2）因为并由对称性得所以8．（20分）求函数在条件约束下的极值．解：作拉格朗日函数并令由前三式消去μ，得再消去λ，又得于是求得x=y或x=z或y=z．当x=y时，代入条件函数后又解得由此得出同样，当x=z或y=z时，也可得上述结果．由于函数，在有界闭集上必有最大值和最小值，所以有9．（20分）设悬链方程为，它在[0，t]上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：s（t）、A（t）．该曲边梯形绕x轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为V（t）、S（t）、F（t）．证明：（1）s（t）=A（t），t>0；（2）S（t）=2V （t）；（3）证明：（1）由弧长公式得由定积分的几何意义可得（2）旋转体体积为侧面积为。
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-含参变量的积分和反常积分【圣才
时
从而
于是不等式 p≤α＜p＋1，蕴含 I（p）≥I（α）＞I（p＋1），I（p＋1）≥I（α＋1）＞I（p＋2），
由此推出
因为
所以由上式可得
在此式中用 α＋n 代 α（因而 p＋n≤α＋n＜p＋n＋1，亦即相应地用 p＋n 代 p），即 得
由此可知当 n→∞时，数列 f（α＋n）（n＝1，2，…）有极限 π/2．但上面已证 f（x）以 1 为周期，所以
（2）证明如下： 因为在上面步骤②中已证 I（α）是 α 的减函数，所以 I（α）＞I（α＋1）＞I（α＋2），
由此可知
（最后一步用到上面步骤①中的结果），即 I（α＋1）/I（a）介于 l 和（α＋2）
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/（α＋1）之间，从而
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这蕴含 f（α＋1）＝（α＋2）I（α＋1）I（α＋2）＝（α＋1）I（α）I（α＋1）＝f（α）．
因此 f 是周期函数（周期为 1），从而若 p 为一个整数，则
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台
②因为当 0＜x＜π/2 时 0＜sinx＜1，所以当
由 分
F（y）= 而，更有
易知 f（x，y）是 0≤x≤1，0≤y≤1 上的连续函数．从而，积
是 0≤y≤1 上的连续函数，因此，
．从
9．设：
其中 a<b 及 f（y）为可微分的函数，
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求 F''（x）．
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解：当 x∈（a，b）时，由于
于是，得
（3）利用对称性知，所求的体积为
复旦大学数学分析第三版答案
复旦大学数学分析第三版答案【篇一：数学分析复旦大学第四版大一期末考试】s=txt>一、填空题（每空1分，共9分） 1.函数()cos1fxx??的定义域为________________2.已知函数sin,1()0,1xxfxx????????，则(1)____,()____4ff???3.函数()sincosfxxx??的周期是_____4.当0x?时，函数tansinxx?对于x的阶数为______5.已知函数()fx在0xx?处可导，则00011()()23lim____hfxhfxhh ???6.曲线1yx?在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________7.函数2()fxx?在区间[0,3]上的平均值为________二、判断题（每小题1.5分，共9分） 1.函数()fxx?与2()gxx?是同一个函数。
（）2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（）3.极限0limxxx?不存在。
（）4.函数1,0()1,0xfxx???????是初等函数，而1,0()0,01,0xgxxx?不是初等函数。
（）5.函数()sinfxxx?在区间[0,]?上满足罗尔中值定理。
（）6.函数()fx在区间[,]ab上可导，则一定连续；反之不成立。
（）三、计算题（64分）1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）（1）111lim(...)1223 (1)nnn????????? （2）222111lim(...)12nnnnn????????（3）4213lim22xxx?????（4）210lim(cos)xxx??（5）211lim1xtxedtx???2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）()xtxfxedt????（2）cos()(sin)xfxx? (3) sin1cosxttyt???????1）2 （【篇二：复旦数学真题有答案】?a?bc,y?b?ac,z?c?ab，65、已知是不完全相等的任意实数。
数学分析教材习题全解(复旦版)数学分析教材习题
数学分析教材习题全解（复旦版）数学分析教材习题全解习题 12. 1 偏导数与全微分1( 求下列函数的偏导数:5426222(1); (2); z,x,6xy，yz,xln(x，y)x2z,xy，(3); (4); z,sin(xy)，cos(xy)y2,,xx,,tan(5); (6)z,; z,e(cosy，xsiny),,y,,xyyz,sin,cos(7); (8); z,(1，xy)yxx，yz,ln(x，lny)z,arctan(9); (10); 1,xyy222x(x，y，z)z(11); (12); u,eu,xz1y(13); (14); u,xu,222x，y，znnu,axy,a,a(15)，为常数; (16)为常数。
uax,a,ijijijji,iiii,j,1i,1,z,z54432解 (1) ，,6y,12xy。
,5x,24xy,y,x32,z2x,z2xy22(2) ，。
,,2xln(x，y)，2222,y,xx，yx，y,z1,zx,y，,x,(3) ，。
2,y,xyy,z,z,,(4) ， ,xcos(xy),sin(2xy)。
,y,,cos(xy),sin(2xy),y,x,z,zxx,e(xcosy,siny)(5) ，。
,e(cosy，xsiny，siny),y,x222,,,,,zxx,zxx222,,,,,sec,,sec(6) ，。
2,,,,,xyy,yyy,,,,,z1xyyxyzxxy,1xy,,coscos,coscossinsin,sinsin(7) ，，。
22yyx,,xyyxyxxyxyx1，，,zxy,z2y,1y(8) ， (1)ln(1)。
,y(1，xy),，xy，xy，,,1,x,y，xy，，,z1,z1,,(9) ，。
,yy(x，lny),xx，lny,z1,z1zxy,，arctanarctan(10) 注意，,， ,。
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)-名校考研真题-多变量微积分学【圣才出品】
由于对任意的 y∈[c，d]，有下式成立
所以有
即
．
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第 2 部分 多变量微分学
第 14 章 偏导数和全微分
解答题 1．已知
1 确定，且 h（x）具有所需的性质．求
所以对任意的 ε＞0，取 在（0，0）处连续．
，则当
时，有
，故 f（x，y）
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由于当（x，y）≠（0，0）时，
，故
4．讨论
在（0，0）点的连续性和可微性．[武汉大学研] 解：（1）连续性．可以令 x＝ζcosθ，y＝ζsinθ，因为
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故
12．
解：由
又由
得
[上海交通大学研] 得
，于是
13．设 z 由 求 [南京大学研]
解：由
得 ①式两端再对 x 求导得
定义为 x，y 的隐函数，其中 为二次连续可微，
两边对 x 求导 ①
所以 f（x，y）在（0，0）点连续． （2）可微性．由于 从而
选取特殊路径 y＝kx，有 为 1，所以 f（x，y）在（0，0）点不可微．
5． 解：由于
，求 dz．[华东师范大学研]
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，极限不
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故
．
6．函数 数．[天津大学研]
同时
，
．
5．若函数 f（x，y）在 上对 x 连续，且存在 L＞0，对任意的 x、y′有
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5．（15 分）利用替换 结果，求
来计算积分
利用这个
解：设
则
或
代入得
所以
令 a=－2，b=3，m=2，n=3，并设
即得
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6．（15 分）讨论级数
的敛散性．
解：令
显然必须设 α≥0，否则若 α<0，对于某些
可能无意义． 当 α=0 时，
内且在 后面的诸多
中任取一个作为 ，依次类推可得（这是可能的，因为每个 项）
中包含 无穷多
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台
的一个子序列
满足
由此可得
所以
则
一个子序列，结论得证．
为
的
2．（15 分）若
收敛，则当 x→∞时是否必有 f（x）→0？研究例子：
（2）在任意闭区间[a,b]上，当 δ 足够小时，可使 F（x）与 f（x）一致逼近（即任给
ε>0，对一切
均有
证明：Leabharlann 因为 f（x）处处连续，所以 F'（x）连续，即 F（x）对任何 x 有连续导数． 所以由洛必达法则可得
故对任给 ε>0，当 δ 足够小时，对一切 立．
均有
即所证结论成
8．（20 分）证明：若 f（x）在[a，b]连续，且非线性函数 f（x）在（a，b）可导，
穷多项，则任取其一作为
．再将
二等分，又可得
所给序列的无限多项，依次类推，于是可得一串区间
（若两者均含有无 ，它包含
其中每一项
都包含所给序列的无限多项，且
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
有界，由Dirichlet判别法，知 二、解答题
收敛.
1．设 ，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
， 的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列 在有限闭区间 上连续， 在 上等 度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由 在 上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令 取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由 时，有
，
；对于任意的
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即 这里
，由比值判别法知
绝对收敛．
复旦大学 研究生入学考试《数学分析与线性代数》专业课程考试大纲
复旦大学2005年入学研究生《数学分析与线性代数》专业课程考试大纲第一部分数学分析考试题型：判断说明理由、简答、计算和证明参考书目：《数学分析》欧阳光中等，上海科技出版社或《数学分析》陈纪修，金路等，高等教育出版社总分：105分一、极限与连续内容：映射与函数；数列的极限、函数的极限；实数系的连续性、连续函数、一致连续；Rn中的点集、多元函数的极限与连续；函数和连续函数的各种性质。
要求：理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念；理解极限和连续的有关性质和定理；掌握求数列和函数极限的各种方法；掌握连续性、间断性的判别方法。
二、微分与导数内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；全微分和偏导数的概念；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒公式；最值和极值。
要求：理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质；掌握求微分和导数（一阶和高阶，一元和多元，隐函数，复合函数）的各种方法；理解和应用微分中值定理；掌握各种最值和极值的求法（一元和多元，条件极值）；判断函数的凹凸性；求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。
三、一元和多元函数的积分内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计算；定积分的应用；重积分的概念及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和判别。
要求：理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理，理解黎曼积分概念，并能灵活应用；掌握不定积分和定积分的各种计算方法（换元法、分部积分、有理函数积分）；掌握用定积分计算几何量和物理量的方法；理解二重和三重积分的概念和性质，掌握二重和三重积分的计算方法；掌握曲线积分和曲面积分概念及计算；掌握反常积分收敛性的讨论和判别方法。
四、级数内容：数项级数、数项级数的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。
要求：理解级数收敛、发散、一致收敛的概念；掌握级数收敛的判别方法（绝对收敛、条件收敛、一致收敛）；掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法，并能利用幂级数的性质求和函数；掌握基本初等函数的泰勒展开。
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证明：由
收敛，根据柯西准则，
存在δ＞0，只要
，
总有
利用定积分的绝对值不等式，又有
再由柯西收敛准则的充分性可知 命题的逆不成立，例如：
收敛．
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设
，令
，则
而由狄
利克雷法可以判定
是条件收敛的，从而可知
收敛但
不收敛．
第 10 章 反常积分
一、判断题
1．若 f（x）恒正连续，且
收敛，则必有
通大学研、浙江大学研、南京师范大学 2006 研]
【答案】错
（ ）[上海交
【解析】举反例：
利用反常积分概念，
很明显可知满足题意，但是
二、解答题
1．如果广义积分
（其中 a 是瑕点）收敛，那么
收敛．并举例
说明命题的逆不成立．[中国科学院研]
收敛．
8．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛
学研] 解：数列
是 n 的单调递减函数．且
由莱布尼兹判别法，可知
收敛．
[复旦大
所以
故当 2x＞1，即
时
当 2x≤1，即
时，
收敛，即 绝对收敛； 发散，即
条件收敛．
9．证明：若
绝对收敛，则
大学研]
证明：
绝对收敛，从而
收敛，记
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亦必绝对收敛．[华东师范
为增数列，而
为减数列，所以
．从
所以
．于是当 p＞0 时，由积分判别法知
Weierstrass 判别法知
收敛：当 p＝0 时，因为 发散，所以
当 p＜0 时，
发散．
收敛，故由 发散：
5．设级数
绝对收敛，证明：级数
收敛．[上海理工大学研]
证明：因为
绝对收敛，所以
．从而存在 N＞0，使得当 n＞N 时，
有
．因为
收敛，令
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根据连续函数的介值性可得，φ（x）在（0，＋∞）内至少有一个零点．
8．讨论
的收敛性．[中国地质大学研]
解：令
当α＞1 时，取δ充分小，使α－δ＞1，因为
同时收敛，故 收敛．
当α≤1 时，由于
，所以 与
又因为
，有
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax＝t 和 bx＝t，则有
由积分第一中值定理，有
其中ζ介于 aα与 bα之间．令
及
收敛，即有
，则同时有
由 f（x）的连续性
7．设对任意的 A＞0，f（x）在[0，A]上正常可积，且
，
试证明φ（x）在（0,＋∞）内至少有一个零点．[南京大学研]
证明：由φ（x）的表达式可知
，则有
，故由比较判别法知级数
收敛．
6．求 解：由于
．[中山大学 2007 研] ，所以
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绝对收敛．
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7．设 敛．[大连理工大学研]
证明：因为即，且有，证 Nhomakorabea：收
，所以对任意的ε，存在 N，当 n＞N 时，有 ，
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6．设函数 f（x）在区间[0,＋∞）上连续，0＜a＜b．
（1）证明：如果
，则
（2）证明：如果积分
收敛，则
学研、北京交通大学 2006 研]
证明：（1）对任意的
，有
[中北大
在上式右端的两个积分中分别进行变量替换 ax＝t 和 bx＝t，则有
，则
收敛．[南京师范大学研]
满足条件，而且很容易知道
但是
发散，所以
发散．
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二、解答题
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1．求级数
的和．[深圳大学 2006 研、浙江师范大学 2006 研]
解：
2．讨论正项级数 解：由于 当 a＝1 时，由于
，故发散．
2．积分 学研]
解：
是否收敛？是否绝对收敛？证明所述结论．[北京大
积分
所以 而
是以 x＝0 为瑕点的瑕积分，因为
与 同阶，所以
收敛．
，所以
绝对收敛，积分
是无穷积分，当 x＞1 时，
，可利用
的马克劳林公式得
已知 综合可知：
条件收敛，而
绝对收敛，所以无穷积分
条件收敛但不绝对收敛．
条件收敛．
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由积分第一中值定理，有
其 中 ξ 介 于 aα 与 bα 之 间 ， η 介 于 aβ 与 bβ 之 间 ． 令 由 f（x）的连续性及 f（＋∞）存在性，即有
则同时有
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（2）与（1）的证明完全类似．对任意的
3．计算积分
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[武汉大学研]
解：设
显然
在 SA 上可积，且
作半径为 a 和 的 圆 D1 和 D2，使得
，由
有
而
类似 即 所以
且有 ，
由夹逼原则可得
4．求 解：由于
[中山大学 2007 研] ，所以
绝对收敛．
5．求 解：令
[南京大学研] ，则原式变为
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则
由比较判别法知 收敛，所以
敛散性相同，而
收敛，即
绝对收敛．
10．证明级数
大学研]
证明：令
则
易知 又
发散到 所以 ，所以
所以原级数发散到
发散到
[吉林
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第一模块 名校考研真题
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第3篇 级 数
第 1 部分 数项级数和反常积分
第 9 章 数项级数
一、判断题
1．若
收敛，则
【答案】错
【解析】举反例：
，虽然
发散．
存在．[重庆大学 2003 研] ，但是
2．若
收敛，
【答案】错
【解析】举反例：
取ε充分小，使得
，即
．因为
，所以
单调递减，且
现在证明
．因为
，即
所以对任意的ε，存在 N，当 n＞N 时，有 c-ε＜r，有
所以存在 N，当 n＞N 时，
，则
因此
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则 ． ．对任意的 0＜
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，
由两边夹法则可得
．故由交错级数的 Leibniz 判别法知
的敛散性．[武汉理工大学研] ，所以当 a＞1 时收敛，当 0＜a＜1 时发散；
3．证明： 证明：因为
收敛．[东南大学研] ，所以
又因为
而
收敛，故
收敛．
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4．讨论：
，p∈R 的敛散性．[上海交通大学研]
证明：因为 而