三角函数讲义集
三角函数讲义201204
第一章：三 角 函 数一、任意角和弧度制1、按___________方向旋转形成的角叫正角;按___________方向旋转形成的角叫负角。
象限角： 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与________重合，那么角的_______在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果终边在________上，就认为这个角不属于任何象限。
所有与α终边相同的角，连同α在内，可以用式子__________来表示。
2、弧度制：︒1的角 周角的__________为︒1的角。
1弧度的角 ____________叫1弧度的角。
360o =______rad 180o =______rad ∴ ︒1=______rad 1rad=______ ∴ n o =______rad n rad=_____o3、扇形弧长与面积：扇形半径为R ，圆心角为α，弧长为l ，则l ＝______,面积S ＝________=________. 推导：二、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，α的终边上任意一点()y x P ,，它与原点的距离0r OP ==>，那么sin α=_________,cos α=_________，tan α=________。
2、设α是一个任意角，α的终边与单位圆的交点为()y x P ,，它与原点的距离1r OP ===，那么sin α=_________,cos α=_________，tan α=________。
3、同终边角的三角函数值相等：sin(α+k2π)= _______ cos （α+2 k π)=_______tan(α+2 k π)= _______ (k 为整数，可为正整数、负整数、零)例1、若α为第一象限，则α/3为第_________象限角，若α为第二象限，则2α为第________象限角总结：例2、以下有四个命题：①小于︒90的角是锐角；②第一象限的角一定不是负角；③锐角是第一象限的角；④第二象限的角一定大于第一象限的角。
三角函数讲义
三角函数复习讲义知识要点:一、角的概念与推广：任意角的概念；角限角、终边相同的角； 二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r l α=扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线：如右图，有向线段AT 与MP OM 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。
三、同角三角函数关系：即：平方关系、商数关系、倒数关系。
四、诱导公式：()ααπf n f '±=⎪⎭⎫⎝⎛±2 记忆：单变双不变，符号看象限。
单双：即看πn 中的n 是2π的单倍还是双倍，单倍后面三角函数名变，双不变则三角函数名不变；符号看象限：即把α看成锐角，加上2πn 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。
五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题,一般先化简成单角三角函数式。
然后再求解。
六、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：1、常数代换法：如：αααααα2222tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+= 2、配角方法：ββαα-+=)( ()βαβαα-++=)(2 22βαβαβ--+=3、降次与升次：22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 22αα+= 以及这些公式的变式应用。
4、()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab=θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。
5、常见三角不等式：（1）、若x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈则π （2）、若2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭⎫⎝⎛∈x x x 则π（3）、1c o s s i n ≥+x x6、常用的三角形面积公式：（1）、c b a ch bh ah S 212121===（2）、B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21=== （3）、S = 七、三角函图象和性质：（1）正弦函数图象的变换：()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换象关于轴对称在区间在区间在区间在区间考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础知识。
高一数学三角函数讲义
三角函数讲义知识要点:一、角的概念与推广:任意角的概念;象限角（轴线角）、终边相同的角;二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r l α=扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线:如右图,有向线段A Ｔ与M Ｐ O Ｍ 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。
三、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有:1、 常数代换法：如：αααααα2222tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=2、 配角方法：ββαα-+=)(()βαβαα-++=)(222βαβαβ--+=3、 降次与升次:22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 22αα+= 以及这些公式的变式应用。
4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab=θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。
5、 常见三角不等式:（1）、若x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈则π (２)、若2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭⎫⎝⎛∈x x x 则π（３）、1cos sin ≥+x x 6、 常用的三角形面积公式：（1）、c b a ch bh ah S 212121===(2)、B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===（3）、S =四、三角函图象和性质:正弦函数图象的变换：()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换万能公式:2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α例1 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ,求3c ｏｓ 2θ + 4ｓｉn 2θ 的值。
三角函数的性质讲义1.docx
三角函数的性质讲义1【知识要点】、图象和性质图表解函数正弦函数余弦函数正切函数图象\ ,A.V1 V儿丿丿°, 5七<7 •1定义域R R 』H兰 + k7i、ke Z>2值域[-1,1]最大值为1,最小值为[-1,1]最大值为1,最小值为・1R无最大值，最小值周期性最小止周期为2兀最小正周期为2龙最小正周期为兀奇偶奇函数偶函数奇函数单调性TT 7T[一专+ 2刼冷+ 2切增TT3龙[-- + 2^,—+ 2^ ]减2 2[(2^-1 '兀2k兀)增[2k兀,(2k一\}n ]减伙G Z)7F 7T在（一丝+ k;z■，丝+比龙）（RwZ）上都是增函数对称性JI对称轴X = k7T + —2对称中心坐标伙龙,0）,对称轴x = k兀7T对称中心坐标为伙龙+ —,0）,Ljr对称屮心坐标(——,0) ,(ke Z)【性质的应用】一、求定义域例1、已知三角函数值求角(1) sinx = —(2) tanx = -1 (3) sinx> —2 2 (4) cosx> —(5) sir\x<^-(6) tanx> V32 2例3、求函数y=Jsinx-cosx 的的定义域例4、求函数y = lg(2cosx +72) + 716-x 2的定义域二、周期性例1、下列函数是否是周期函数？若是求出最小正周期(l)y = sin x ; (2)y = cos x ;例 2、设函数 f(x) = sin3兀+ | sin3% 処I/O)为 ________________例3、己知函数^ = sin 2 x + 2sinx-cosx + 3cos 2 x,求该函数的最小正周期例2、求函数 y = lg(2cosx + V2) 1 - cos 兀 2sinx-l的定义域(3)y = sin x三、奇偶性］、若 y = Asin （60r + °）为奇函数则 ____________________________________________若y = A sin （血+°）为偶函数则 ________________________________________________2^ y = Asin （cm ： + °）的对称轴为 ________________ 对称中心为 ____________________ y = Acos （血+ 0）的对称轴为 ___________________ 对称中心为 ___________________ y = A tan （加+ °）的对称中心为 __________________ 无对称轴。
三角函数经典讲义全集
三角函数专题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）终边与终边相同( 的终边在终边所在射线上) 2k (k Z) ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 如与角1825 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25 ；536）（2）终边与终边共线( 的终边在终边所在直线上) k (k Z) .（3）终边与终边关于x 轴对称2k (k Z) .（4）终边与终边关于y 轴对称2k (k Z) .（5）终边与终边关于原点对称2k (k Z).（6）终边在x 轴上的角可表示为：k , k Z；终边在y 轴上的角可表示为：kk , k Z；终边在坐标轴上的角可表示为：,k Z . 如的终边与2 2 6的终边关于直线y x对称，则＝____________。
（答：2k , k Z ）34、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若是第二象限角，则是第22_____象限角（答：一、三）5. 弧长公式：l | | R，扇形面积公式： 1 1 | |2S lR R ，1 弧度(1rad) 57.3 . 如已知扇形2 2AOB 的周长是6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。
（答：2 2cm ）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x, y) 是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是y x2 2 0r x y ，那么sin ,cosr ry，tan , x 0x，cotxy( y 0) ，sec rxrx 0 ，csc y 0y。
06第六章 三角函数【讲义】
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=yx，正割函数se cα=x r ,余割函数c s c α=.yr定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
三角函数讲义
三角函数讲义任意角的三角函数及同角三角函数的关系知识点知识点一三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。
知识点四三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．知识点五三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .知识点六同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.题型一三角函数定义的应用【例1】已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.【例2】已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；2.角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5题型二三角函数符号的判断【例1】判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．【例2】若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【过关练习】1.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第象限的角．2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角．题型三诱导公式一的应用【例1】求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin －11π6＋cos 12π5·tan 4π.【过关练习】1.求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan －15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32D.323.求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.题型四利用三角函数线求角、解不等式【例1】根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cos α＝12；(2)tan α＝－1.【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1) sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32.【例3】当α∈0，π2时，求证：sin α<α<="">【过关练习】1.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( ) A ．cos α<="" αB ．tan α<="" αC ．si n α<="" αD ．cos α<="" α2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( ) A.0，π6 B.π6，5π6 C.π6，2π3D.5π6，π题型五求三角函数定义域【例1】求下列函数的定义域．(1)f (x )＝sin x ·tan x ；(2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2.【过关练习】1. 求函数f (x )＝1－2cos x ＋lnsin x －22的定义域．2．函数y ＝tanx －π3的定义域为( ) A.x |x ≠π3，x ∈R B.?x |x ≠k π＋π6，k ∈Z C.x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z D.x |x ≠k π－5π6，k ∈Z题型六三角函数知一求二【例1】已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．【例2】已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.【过关练习】1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512 D ．－5123.已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α.4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35题型七三角函数平方关系及其应用【例1】已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求：(1)sin θ－cos θ；(2)sin 3θ＋cos 3θ.【例2】已知sin α＋cos α＝m ，求sin 3α＋cos 3α的值．【过关练习】1.已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．2.若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cosA －7的值．3.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α的值是( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 题型八三角函数的化简证明【例1】已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【例2】证明三角恒等式cos α1－sin α＝1＋sin αcos α【例3】已知下列等式成立．(1)a sin θ－b cos θ＝a 2＋b 2；(2)sin 2θm 2＋cos 2θn 2＝1a 2＋b 2.求证：a 2m 2＋b 2n 2＝1.【过关练习】1.若α是第三象限角，化简 1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.2.求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.3.已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.课后练习【补救练习】1.若sin θcos θ>0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 2.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512 D ．－5123.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin 23π________sin 45π；(2)cos 23π________cos 45π；(3)tan 23π________tan 45π.4.函数y ＝lg cos x 的定义域为________________．5.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：(1)sin α≥22；(2)cos α≤12.6.已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．【巩固练习】1.已知角α的终边上一点的坐标为?sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π62．如果3π4<θ<π，那么下列各式中正确的是( ) A ．co s θ<="" θB ．sin θ<="" θC ．tan θ<="" θD ．cos θ<="" θ3.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D ．(0，π3)∪(5π3，2π) 4.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－3105.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为．6.函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为________________．7.化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是．8.已知sin α＝15，求cos α，tan α.9.判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan－23π4；(3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)．10.求证：tan θ·sin θtan θ－si n θ＝1＋cos θsin θ.【拔高练习】1.若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．{x |2k π－34π<="">π，k ∈Z } B ．{x |2k π＋π4<="">π，k ∈Z } C ．{x |k π－π4<="">，k ∈Z } D ．{x |k π＋π4<="">π，k ∈Z } 2.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .3.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是． 4.若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为． 5.在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ .6.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.7.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．8.证明：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；。
三角函数完美讲义
三角函数完美讲义
1.引言
三角函数是高中数学的重要知识点之一，也是解决几何和物理
问题的基础。
本讲义旨在提供一个完整且简明易懂的三角函数讲解，帮助学生更好地理解和应用三角函数的概念和性质。
2.基本概念
研究前提：了解直角三角形和基本三角比的概念
三角函数定义：正弦、余弦和正切的定义及图示
三角恒等式：介绍常见的三角恒等式及其证明方法
3.三角函数图像
正弦函数图像：介绍正弦函数的周期、振幅、相位和对称性
余弦函数图像：介绍余弦函数的周期、振幅、相位和对称性
正切函数图像：介绍正切函数的周期、渐近线和对称性
4.三角函数性质
基本性质：介绍正弦、余弦和正切函数的定义域、值域和奇偶性
三角函数的推导：从直角三角形的角度推导三角函数的值
5.三角函数应用
角度的测量单位：介绍弧度制和度制的转换关系
三角函数应用举例：解决实际问题时如何运用三角函数
三角函数的相关性：介绍三角函数之间的关系，如和差公式和倍角公式
6.总结
本讲义通过简明易懂的语言和清晰明了的图示，全面介绍了三角函数的基本知识和应用。
希望学生能够通过本讲义的研究，更加深入地理解和掌握三角函数，为日后的高中数学研究和实际应用打下坚实的基础。
以上是《三角函数完美讲义》的框架概述，具体内容请根据需要进行补充。
希望对您有所帮助！。