2.3二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共21张ppt)
大于取两端
x1=x2
{x|x>x2或x<x1}{x|x b }
2a
大于取两端
ax2+bx+c<0 (a>0) {x|x x<x }
1<
2
的解集
小于取中间
⊿<0
：
φ
没有实数根 小于取中间
R
(2)不等式解集确定方
程根为x1,x2
⊿≤0，
φ
不等式解集为
图像法
新知讲解
例1 求不等式 2 − 5 + 6 > 0的解集.
() − ≥
对于二次项系数是负数(即 < )的不等式，
可以先把二次项系数化成正数，再求解.
总结
求解一元二次不等式的一般步骤：
形的边长为多少米？
实际问题注意x取值范围
设：这个矩形的一条边长为，则另一条边为(12 − ).由题意，得：
(12 − ) > 20，其中 ∈ {|0 < < 12}.
整理得： − + < ， ∈ {| < < }.①
所以{| < < }又因为{| < < }，
< （函数图象位
于x轴下方）即 − + <
问题3依据求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，如何求
解一般的一元二次不等式 2 + + > 0（ > 0）和 2 + + < 0( >
0)的解集？.
（1）先求出一元二次方程的根，
（2）再根据二次函数图象与轴的相关位置
教学
数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共27张ppt)
∴ 抛物线 = − + + 与轴的两个交点坐标分别为（ − ，）与 ( , )
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
4、小结：二次函数 = + + ( ≠ )与一元二次方程 + + = ( ≠ )的
关系
令 = ,利用整体思想则可将二次
函数转化为一元二次方程
(1)从几何的角度：对于抛物线 = + +
(2)从代数的角度：对于一元二次方程 +
出它的图像？
解：∵ 已知 = − + +
∴ = −( − ) +15
二次函数 = + + ( ≠ )的配方
①化二次项系数为1：用含未知数的项除以二次项
即可得到括号里面的项，常数项照搬
= − − + ( ) −( ) + 15
（或只有一个实数根）
C.当 ∆< 时，原一元二次方程没有实数根
一
复习旧知——一元二次方程与二次函数（导学）
2、请各位同学分别用公式法或十字相乘法求解下列一元二次方程：
（2） − + =
解法一（公式法）：
解法二（完全平方公式法）：
∵ 已知 − + =
∵ 已知 − + =
∴ 原一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为
=
∴ =
−
−±
−
= , =
=
+
−(−)±
×
2.3二次函数与一元二次方程-、不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
4.画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的 二次函数的草图.
5.写解集.根据图象写出不等式的解集.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
例2：当a 0时，解不等式 x2 (a 2)x 2a 0
变式：解不等式 x2 (a 2)x 2a 0
点评：如果未能判断两根的大小，必须按两根的大小关系 进行分类讨论！最后应加一段总结，按参数的大小顺序分 段将结论列举出来
含参数的一元二次不等式的解法
例3
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
b x1 x2 2a
ax
2
bx c 0(a
的解集
0)
{x
|
x
x1或x
x2}
{x | x b } 2a
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
{x | x1 x x2}
0
y 0
x
无实根
R
求解一元二次不等式的过程
小试牛刀
例1 解下列不等式：
1 x2 3x 2 0
2 2x2 3x 5 0
要使矩形 AMPN 的面积大于 32 m2，则 DN 的长应在什么范围 内？
【解】 设 DN 的长为 x(x>0)m，则 AN 的长为(x＋2)m. 因为DANN＝ADMC，所以 AM＝3（x＋ x 2）， 所以 S 矩形 AMPN＝AN·AM＝3（x＋x 2）2. 由 S 矩形 AMPN>32，得3（x＋x 2）2>32. 又 x>0，得 3x2－20x＋12>0， 解得 0<x<23或 x>6， 即 DN 的长的取值范围是 x|0<x<23或x>6.
2019-2020学年高中数学人教A版(2019)必修第一册教师用书：2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
2．3二次函数与一元二次方程、不等式考点学习目标核心素养一元二次不等式的解法掌握一元二次不等式的解法数学运算三个“二次”之间的关系理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系数学抽象一元二次不等式的实际应用会用一元二次不等式解决有关实际问题数学建模预习教材P50－P54，并思考以下问题：1．一元二次不等式的概念是什么？2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？1．一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a，b，c均为常数，a≠0)■名师点拨一元二次不等式概念中的关键词(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．4．求解一元二次不等式的过程判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()答案：(1)×(2)√(3)×不等式3x2－2x＋1>0的解集为()A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13 B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫13<x <1 C ．∅ D ．R解析：选D.因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0， 所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析：选B.由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1x 2＝13×12＝ca，解得a ＝－6，c ＝－1.不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <52解不含参数的一元二次不等式解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0； (4)－12x 2＋3x －5>0.【解】 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－3或x >－12.(2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．1．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( ) A ．{x |x <－1} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 解析：选D.不等式－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，又二次函数y ＝2x 2－x －3的图象开口向上，所以不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32，故选D.2．解不等式：－2<x 2－3x ≤10. 解：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x >－2①，x 2－3x ≤10②，不等式①可化为x 2－3x ＋2>0，解得x >2或x <1. 不等式②可化为x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5. 故原不等式的解集为{x |－2≤x <1或2<x ≤5}．解含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解】 ①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1. ②当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1. ③当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 若a ＝1，即1a ＝1时，不等式无解；若a >1，即1a <1时，解得1a <x <1；若0<a <1，即1a >1时，解得1<x <1a.综上可知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <1.含参一元二次不等式的解法解关于x 的不等式x 2＋x －a (a －1)>0，(a ∈R )． 解：因为关于x 的不等式x 2＋x －a (a －1)>0， 所以(x ＋a )(x ＋1－a )>0，当－a >a －1，即a <12时，x <a －1或x >－a ，当a －1>－a ，即a >12时，x <－a 或x ＞a －1，当a －1＝－a ，即a ＝12时，x ≠－12，所以当a <12时，原不等式的解集为{x |x <a －1或x >－a }，当a >12时，原不等式的解集为{x |x <－a 或x >a －1}，当a ＝12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－12，x ∈R .三个“二次”之间的关系若关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．【解】 由题意知⎩⎨⎧a <0，13＋12＝－ba ，13×12＝c a ，所以⎩⎨⎧a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 解得－3<x <－2，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}．若将本例中“⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12”改为“{x |13<x <12}”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >013＋12＝－b a 13×12＝c a ，即⎩⎨⎧a >0，b ＝－56a <0，c ＝16a >0.代入不等式cx 2－bx ＋a >0，得16ax 2＋56ax ＋a >0(a >0)，即16x 2＋56x ＋1>0， 化简得x 2＋5x ＋6>0， 解得x >－2或x <－3.所以所求不等式的解集为{x |x >－2或x <－3}．三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：1．若不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．－3D ．－1解析：选A.因为不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |1<x ＜2}，所以1和2为方程(x －a )(x－b )＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以a ＋b ＝1＋2＝3，即a ＋b 的值为3.2．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立． 所以Δ＝(－a )2－8a <0，解得0<a <8. 答案：0<a <8一元二次不等式的实际应用某小区内有一个矩形花坛ABCD ，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，如图所示．已知AB ＝3 m ，AD ＝2 m.要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，则DN 的长应在什么范围内？ 【解】 设DN 的长为x (x >0)m ，则AN 的长为(x ＋2)m. 因为DN AN ＝DCAM ，所以AM ＝3（x ＋2）x ，所以S 矩形AMPN ＝AN ·AM ＝3（x ＋2）2x .由S 矩形AMPN >32，得3（x ＋2）2x >32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0， 解得0<x <23或x >6，即DN 的长的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <23或x >6.解不等式应用题的步骤1．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：选C.由题意知y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0， 即x 2＋50x －30 000≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．2．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，求出该矩形边长的取值范围．解：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m ，0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．1．不等式3x 2－7x ＋2<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 D ．{x |x >2}解析：选A.因为3x 2－7x ＋2＝(x －2)(3x －1)<0，所以13<x <2.2．不等式(3x －2)(2－x )≥0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2或x ≤23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32≤x ≤2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤2解析：选A.原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －23(x －2)≤0，解得23≤x ≤2，故选A. 3．要使17－6x －x 2有意义，则x 的取值范围为________．解析：要使17－6x －x 2有意义，则7－6x －x 2>0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1. 答案：－7<x <14．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围为________．解析：由题意可列不等式如下：⎝⎛⎭⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5.答案：3≤t ≤5[A 基础达标]1．下列四个不等式： ①－x 2＋x ＋1≥0； ②x 2－25x ＋5>0； ③x 2＋6x ＋10>0； ④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：选C.①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．故选C.2．(2019·临川一中月考)不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a >4或a <－4}B ．{a |－4<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－4}D ．{a |－4≤a ≤4}解析：选A.不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，所以Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.3．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A ．{x |x <5a 或x >－a }B ．{x |x >5a 或x <－a }C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选A.方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a . 因为2a ＋1<0，所以a <－12，所以－a >5a .结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }，故选A.4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解析：选A.由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，则－1＋2＝－b a，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.所以2x 2＋bx ＋a ＝2x 2＋x －1＜0，解得－1＜x ＜12. 5．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________． 解析：因为不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集为{}x |－7<x <－1，所以方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根为－7和－1，所以(－7)×(－1)＝21a，所以a ＝3. 答案：36．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________． 解析：因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集为{x |1＜x ＜m }．所以a >0，且1与m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根．则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，m ＝a ，即1＋m ＝6m . 所以m 2＋m －6＝0，解得m ＝－3或m ＝2，当m ＝－3时，a ＝m <0(舍去)，故m ＝2.答案：27．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．解析：由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x 的最小值为20. 答案：208．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2>0；(2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1；(3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，所以(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0.所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥1. (3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R .9．已知关于x 的不等式x 2－x －m ＋1>0.(1)当m ＝3时，解此不等式；(2)若对于任意的实数x ，此不等式恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝3时，不等式为x 2－x －2>0，方程x 2－x －2＝0的两根为2和－1， 根据函数y ＝x 2－x －2的图象，可知此不等式的解集为{x |x >2或x <－1}．(2)不等式x 2－x －m ＋1>0对任意实数x 恒成立，等价于二次函数y ＝x 2－x －m ＋1的图象在x 轴上方，即1－4(－m ＋1)<0，解得m <34， 所以实数m 的取值范围是m <34. [B 能力提升]10．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅解析：选A.因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D 选项．11．已知A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－1<0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________． 解析：方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，所以B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1a ＋1≥2，解得1≤a ≤2. 答案：1≤a ≤212．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由题意解得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8.答案：2≤x <813．解关于x 的不等式x 2＋3ax －4a 2<0(a ∈R )．解：由于x 2＋3ax －4a 2<0可化为(x －a )·(x ＋4a )<0，且方程(x －a )(x ＋4a )＝0的两个根分别是a 和－4a .当a ＝－4a ，即a ＝0时，不等式的解集为∅；当a >－4a ，即a >0时，解不等式为－4a <x <a ；当a <－4a ，即a <0时，解不等式为a <x <－4a .综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a >0时，不等式的解集为{x |－4a <x <a }；当a <0时，不等式的解集为{x |a <x <－4a }．[C 拓展探究]14．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝－2x ＋118x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？解：由题设条件应列式为－2x ＋118x 2≥22.5， 移项、整理、化简得不等式x 2－36x －405≥0.因为Δ>0，所以方程x 2－36x －405＝0有两个实数根x 1＝－9，x 2＝45，所以不等式的解为x ≤－9或x ≥45.在这个实际问题中x >0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h.。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册2.3：二次函数与一元二次方程、不等式课标解读：1.一元二次不等式的概念.（理解）2.一元二次不等式的解法.（掌握）3.二次函数与一元二次方程、不等式的关系.（理解）4.一元二次不等式的应用（理解）学习指导：1.从函数观点理解方程和不等式时数学的基本思想方法.学习本节时，用二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，通过理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性，提升数学运算的核心素养.2.深刻体会一元二次不等式的图像特征及其不等式恒成立的相关关系.3.通过具体问题，认识一元二次不等式在现实生活中的广泛应用，培养数学建模等核心素养.知识导图：教材全解知识点1：一元二次不等式及其解法（重点） 1.一元二次不等式的定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是0022<++>++c bx ax c bx ax 或，其中c b a ,,均为常数，0≠a .2.一元二次不等式的解集满足一元二次不等式)0(0)0(022≠<++≠>++a c bx ax a c bx ax 或的实数x 组成的集合叫做一元二次不等式)0(0)0(022≠<++≠>++a c bx ax a c bx ax 或的解集，即}0|{2>++c bx ax x 或}0|{2<++c bx ax x .3.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式02>++c bx ax （或＜0或≥0或≤0），0>a .（2）计算相应方程的根的判别式；（3）当0≥∆时，求出相应的一元二次方程两根. （4）根据一元二次不等式解的结构，写出解集.当0>∆时，设方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，且12x x >，利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集，也就是02>++c bx ax （0>a ）的解集是}|{12x x x x x <>或，即大于大根或小于小根，02<++c bx ax （0>a ）的解集为}|{21x x x x <<，即大于小根且小于大根.当0>∆时，则可结合二次函数的图像和不等号方向来确定不等式的解集. 其求解过程（以02>++c bx ax （0>a ）为例）用框图表示如下：例1-1：下面哪些不等式是一元二次不等式（其中c b a ,,为常数）？ （1）;02>x （2）52≤--x x ； （3）0653>-+x x ； （4）052<-y x ； （5）02>++c bx ax .答案：（1）（2）是一元二次不等式；（3）（4）不是一元二次不等式；（5）不确定，因为当0≠a 时，是一元二次不等式. 例1-2：解下列不等式； （1）;92-≤-x （2）522->x x ； （3）122--<x x ； （4）.962->x x答案：（1）}33|{≥-≤x x x 或；（2）R ；（3）∅；（4）}3|{≠∈x R x .知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 0>∆0=∆0<∆一元二次不等式的解集bx ax +20>+c )0(>a}|{21x x x x x ><或}2|{ab x R x -≠∈R bx ax +20>+c )0(<a}|{21x x x x <<∅∅例2-3：解不等式0122<++-x x . 答案：}121|{>-<x x x 或重难拓展知识点3：一元高次不等式的解法最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.解一元高次不等式的基本思想方法是“化归”，即将高次不等式转化为低次不等式来求解.常见的方法有： （1）不等式组法将高次不等式)0(0)(<>x f 中的多项式)(x f 分解成若干个不可约因式的乘积，然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化为一个或多个一元一次或一元二次不等式组，原不等式的解集就是各不等式组解集的并集. （2）列表法 解题步骤如下：①将不等式化为一端为0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因式）乘积的形式（各因式中x 最高次数的项的系数符号化为“+”），求出相应方程的根； ②根据不等式对应方程的根把x 的取值分成几部分，并按端点值的大小横向排列（由小到大），相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③判断各取值范围内因式的符号，表格最下面一行是各取值范围内对应的各因式乘积的符号；④根据最下面一行积的符号写出不等式的解集. （3）穿根引线法（零点分段法）用穿根引线法解一元高次不等式非常方便，因此应熟练掌握.其解题步骤如下： ①分解因式，将不等式化为一端为0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因式）乘积的形式（各因式中x 最高次数的项的系数符号化为“+”）. ②求出相应方程的根，并在数轴上表示出来.③由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）,简称“奇过偶不过”.④若不等式（x 最高次数的项的符号化为“+”后）“＞0”，则找“线”在数轴上方对应的x 的取值范围；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方对应的x 的取值范围. 例3-4:解不等式0)12)(2(2>--+x x x .答案：}234|{-<<->x x x 或.例3-5：解不等式014322≤---x x x .答案：}41|{≤<x x .题型与方法题型1：一元二次不等式的解法 1.不含参数的一元二次不等式的解法 例6：解下列不等式：;0372)1(2>++x x ;038)2(2>-+-x x;054)3(2≤--x x ;0481184)4(2≥-+-x x;05321)5(2>-+-x x .0232)6(2<-+-x x（5）解集为R.变式训练1：已知集合}032|{},0|{2<--=>=x x x B x x A ，则=⋂B A （ ） A.}30|{<<x x B.}01|{<<-x x C.}30|{><x x x 或 D.}4|{≥x x 答案：A变式训练2：如果，R a ∈且02<+a a ，那么22,,,a a a a --的大小关系为（ ） A.a a a a ->->>22 B.a a a a >->>-22 C.22a a a a ->>>- D.22a a a a ->>-> 答案：B2.已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题例7：若不等式02>++c bx ax 的解集为}43|{<<-x x ，则不等式0322<--+b c ax bx 的解集为 . 答案：}53|{<<-x x变式训练：βα<<0，已知不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ， 求：不等式0)2()(2>+---+a x a b x b c a 的解集.3.含参数的一元二次不等式的解法例8：（1）解关于x 的不等式：)(0)(322R a a x a a x ∈>++-. （2）解关于x 不等式：).(022R a a x ax ∈<+-答案：（1）当0<a 时，不等式的解集为};|{2a x a x x ><或当0=a 时，不等式的解集为};0|{≠x x 当10<<a 时，不等式的解集为};|{2a x a x x ><或 当1=a 时，不等式的解集为};1|{≠x x 当1>a 时，不等式的解集为}.|{2a x a x x ><或（2）当1≥a ，不等式的解集为∅当10<<a 时，不等式的解集为}.1111|{22aa x a a x x -->-+<或 当0=a ，不等式的解集为}0|{>x x当01<<-a 时，不等式的解集为}.1111|{22aa x a a x x -->-+<或 当1-=a 时，不等式的解集为}1|{-≠x x .当1-<a 时，不等式的解集为R.变式训练1：若01<<-a ，则关于x 的不等式0)1)((>--ax x a 的解集是 . 答案：}1|{a x ax <<变式训练2：已知0<a ，关于x 的一元二次不等式02)2(2>++-x a ax 的解集为（ ） A.}12|{><x a x x 或 B.}12|{<<x ax C.}21|{a x x x ><或 D.}21|{ax x << 答案：B题型2：一元二次不等式恒成立问题 1.在R 上恒成立问题例9：若对任意实数x ，关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案：}153|{≤<-x x变式训练：已知关于x 的不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .答案：}191|{<≤m m 2.在某范围内恒成立问题例10：已知a ax x x f -++=3)(2，若22≤≤-x 时，2)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .答案：}2225|{-<≤-a a变式训练1：已知关于x 的不等式0862≥++-k kx kx 对任意的R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）.A.}10|{≤≤k kB.}10|{≤<k kC.}10|{><k k k 或D.}10|{≥≤k k k 或 答案：A变式训练2：设函数121--=mx mx y ，若对于任意的4,311+-<≤≤m y x 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）.A.}0|{≤m mB.}750|{<≤m m C.}7500|{<<<m m m 或 D.}75|{<m m 答案：D题型3：可转化为一元二次不等式（组）的不等式的解法 1.利用换元法转化为一元二次不等式 例11：解下列不等式：（1）;010324<-+x x （2）6<+x x ； （3）.03||22>--x x2.分式不等式的解法 例12：不等式22≥-xx 的解集为 . 答案：}02|{<≤-x x 3.一元高次不等式的解法例13：已知不等式0))((2>+++d x c bx ax 的解集是}413|{<<-<x x x 或. 则不等式0)()(23≤-+++-cd x bd c x ad b ax 的解集为 . 答案：}314|{≥-≤≤-x x x 或 例14：设0<a ，解关于x 的不等式0222>--++ax x a ax x 答案：当0=a 时，原不等式的解集为}02|{<<-x x ；4.含绝对值不等式的解法 例15：1|43|2≤-x x的解集为 . 答案：}4114|{≥≤≤--≤x x x x 或或易错提醒易错1：解含参不等式时忽略分类的完备性 例17：解含参不等式)(12)1(R a x x a ∈>--. 答案：当1=a 时，原不等式的解集为}2|{>x x ；当1>a 时，原不等式的解集为易错2：忽略最高次项系数的符号特征例18：要使12-++=m mx mx y 的值恒为负值，求m 的取值范围. 答案：}0|{≤m m感知高考考向1：一元二次不等式的解法例19：（1）已知集合}06|{},24|{2<--=<<-=x x x N x x M ，则=⋂N M （ ）. A.}34|{<<-x x B.}24|{-<<-x x C.}22|{<<-x x D.}32|{<<x x （2）已知集合}02|{2>--=x x x A ，则=A C R （ ）. A.}21|{<<-x x B.}21|{≤≤-x x C.}2|{}1|{>⋃-<x x x x D.}2|{}1|{≥⋃-≤x x x x答案：（1）C （2）B考向2：一元二次不等式的应用例20：甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件101≤≤x ），每小时可获得的利润是)315(100xx -+元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.答案：（1）103≤≤x ；（2）甲厂应以6千克/时的速度生产产品，最大利润为457500元.基础巩固：1.设集合}0|{},0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S ，则=⋂T S （ ）.A.}32|{≤≤x xB.}32|{≥≤x x x 或C.}3|{≥x xD.}320|{≥≤<x x x 或2.不等式组⎩⎨⎧<>+1|x |0)2(x x 的解集为（ ）.A.}12|{-<<-x xB.}01|{<<-x xC.}10|{<<x xD.}1|{>x x3.若R x ∈∀，式子12++ax x 都有意义，则实数a 的取值范围为（ ）.A.}22|{<<-a aB.}22|{-<>a a a 或C.}22|{≥-≤a a a 或D.}22|{≤≤-a a4.已知方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实数根，则实数m 的取值范围是（）. A.}2232230|{+≥-≤<m m m 或 B.}223223|{+>-<m m m 或C.}2232230|{+>-≤<m m m 或D.}223223|{+≥-≤m m m 或5.不等式0432>+--x x 的解集为 .6.若不等式0232>+-x ax 的解集为}1|{b x x x ><或，则b a += .7.不等式1231522≥-+++x x x x 的解集为 .能力提升9.下列选项中，使不等式21x x x <<成立的x 的取值范围是（ ）.A.}1|{-<x xB.}01|{<<-x xC.}10|{<<x xD.}1|{>x x10.若10<<a ，则不等式0)1)((<--a x a x 的解集为（ ）. A.}1|{a x a x << B.}1|{a x a x << C.}1|{a x a x x <>或 D.}1|{a x a x x ><或11.不等式11<-x ax的解集为},21|{><x x x 或则（ ）.A.21<aB.21>aC.21=a D.21-=a 12.若关于x 的不等式0>+b ax 的解集为}1|{>x x ，则关于x 的不等式0652>--+x x b ax 的解集为 .13.不等式0122>--mx x 对一切31≤≤x 都成立，则m 的取值范围为 .14.若不等式1||<x 成立时，不等式0)]4([)]1([<+-⋅+-a x a x 也成立，则实数a 的取值范围为 .15.若不等式04)4(2222≥+--y m y xy m x 对一切非负的y x ,恒成立，则实数m 的取值范围为 .16.已知集合}122|{<-=x xx A ，集合}0)12(|{22<+++-=m m x m x x B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.17.解关于x 的不等式)(02)12(2R m x m mx ∈>--+.18.解关于x 的不等式组：,1)2()1(01)2(2⎩⎨⎧+->->+-x a x x a 其中1>a .参考答案1. D2. C3. D4. C5. }14|{<<-x x6. 37. }32112|{<≤-<≤-x x x 或9. A10. A11. C12.}116|{<<->x x x 或13.}0|{<m m14.}23|{-≤≤-a a 15.}041|{≥-≤m m m 或16.（1）}1|{+<<=m x m x B （2）}12|{≤≤-m m17.当21-<m 时，解集为}12|{m x x <<-; 当21-=m 时，解集为∅; 当021<<-m 时，解集为}21|{-<<x m x ; 当0=m 时，解集为}2|{-<x x ; 当0>m 时，解集为}12|{m x x x >-<或;18.当21<<a 时，解集为}122|{a x a x x <<->或; 当2=a 时，解集为}.223|{≠>x x x 或; 当2>a 时，解集为}.212|{<<->x a a x x 或;。
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
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2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时， 方程2x2＋ax＋2＝0无实根， 所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时， 若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1； 若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1； (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时， 方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
原不等式的解集为x|x≠23.
6
先转化为一般形式 y
6
5
4
3
2
1
–1 0 2 1 x
3
–1
y＝9x2－12x＋4
课堂精讲
解一元二次不等式的一般步骤 (1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集.
14
按判别式的符 号分类， 即 >0, =0, <0.
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 x1＝41(－a－ a2－16)，x2＝14(－a＋ a2－16).
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时)(教学课件)
∴ 原不等式的解集为 {x|x<0, 或x>2}
当a<0时，由ax(x-2) > 0得 (-a)x(x-2) < 0
方程(-a)x(x-2)=0的根为 x1=0，x2=2
∴ 原不等式的解集为 {x|0<x<2}
2.含参一元二次不等式的解法
解关于x的不等式: (1)x2-(a+1)x+a≤0
例4.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数
量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系： = −20 2 + 2200.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大
约应生产多少辆摩托车？
画出二次函数 = 2 − 110 + 3000的图象，结合图象得不等式 2 −
因为车速 > 0，所以 > 2 .而79.9 < 2 < 80，所以这辆汽车刹车前的车速至少
为80/ℎ.
2.含参一元二次不等式的解法
解关于x的不等式：
(1) x2 - a2x≤ a2 -x; (2) ax(x-2) > 0
解：(1) 由x2 - a2x≤ -x得 x2 + (1-a2)x-a2 ≤ 0
距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之
间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01，s乙＝0.05x＋0.005.
【探究1】
判断甲、乙两车是否超速，各需用怎样的不等式？
【提示】
对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12；对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10.