高中数学《二次函数的最值》 苏教版必修1
高中数学苏教版高一必修1_2.2.1第二课时_函数的最值_作业_word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a ＋1在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，则f (x )的最小值为________．解析：由题意，－a ＝2，即a ＝－2，f (x )＝x 2－4x －1＝(x －2)2－5，故f (x )最小值为－5.答案：－52.函数f (x )＝x ＋x －1的最小值为________．解析：f (x )定义域为[1，＋∞]，x ＝1时f (1)＝1，x >1时f (x )>x > 1，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝1.答案：13.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， 0≤x ≤12， 1<x <2，3， x ≥2的最大值是________．解析：0≤x ≤1时，f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时，f (x )＝2；x ≥2时，f (x )＝3.因此f (x )的最大值是3.答案：34.函数f (x )＝2x x ＋1(x ∈[0，2])的最大值为________． 解析：∵f (x )＝2（x ＋1）－2x ＋1＝2－2x ＋1， ∴f (x )＝2x x ＋1在x ∈[0，2]上单调递增， 所以当x ＝2时，f (x )max ＝43. 答案：435.函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是________． 解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34. 因此，有0＜11－x （1－x ）≤43.所以f (x )的最大值为43. 答案：436.对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________． 解析：法一：f (x )＝⎩⎨⎧2－x x <12x ＋1 x ≥12，f (x )在(－∞，12)和[12，＋∞)上分别为减函数和增函数． ∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.法二：作函数f (x )的图象如图，由图知当x ＝12时，[f (x )]min ＝f (12)＝32.答案：32二、解答题7.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，且f (－1)＝－3.求函数f (x )在区间[2，3]上的最值．解：∵f (－1)＝－3，得1－m －1＝－3，∴m ＝3，则f (x )＝x 2＋3x －1＝(x ＋32)2－134. ∴f (x )在区间(－32，＋∞)上是增函数， 又∵[2，3]⊆(－32，＋∞)， 故在区间[2，3]上，当x ＝2时，f (x )min ＝9；当x ＝3时，f (x )max ＝17.8.已知函数y ＝－x 2＋4x －2.(1)若x ∈[0，5]，求函数的单调区间；(2)若x ∈[0，3]，求函数的最大值、最小值；(3)若x ∈[3，5]，求函数的最大值、最小值．解：作出函数y ＝－x 2＋4x －2的图象，由图象可知：(1)当x ∈[0，5]时，函数y ＝－x 2＋4x －2的单调递增区间是[0，2]，单调递减区间是[2，5]．(2)∵0≤x ≤3，f (x )＝－x 2＋4x －2，其对称轴为x ＝2，∴函数最大值为f (2)＝2.又f (0)<f (3)，∴x ＝0时，函数有最小值－2.(3)∵区间[3，5]在对称轴x ＝2的右侧，即当x ∈[3，5]时，函数单调递减，∴当x ＝3时，函数有最大值1，当x ＝5时，函数有最小值－7.[高考水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最小值为________．解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3， x >2，1， 1≤x ≤2，3－2x ， x <1，作出函数图象(如图)易得f (x )最小值为1.法二：在数轴上，设实数1，2，x 分别对应点A ，B ，P ，则|x －1|＋|2－x |＝A P ＋B P ，结合图象易得A P ＋B P ≥AB ＝1，当P 在A ，B 之间时取等号．答案：12.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则函数y ＝f (2x )＋3的最大值为________，最小值为________．解析：y ＝f (2x )的最大值为M ，最小值为N ，故y ＝f (2x )＋3的最大值为M ＋3，最小值为N ＋3. 答案：M ＋3 N ＋3二、解答题3.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1，1]上的最小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a ＞1）2－a 2 （－1≤a ≤1）.3＋2a （a ＜－1）4.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费．且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量，即m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费； ③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系；(2)m ，n ，a 的值．解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a ， 0<x ≤m ①9＋n （x －m ）＋a ，x >m ② 其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝23分别代入②， 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n （4－m ）＋a ，23＝9＋n （5－m ）＋a .两式相减，得n ＝6，把n ＝6代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16. 又三月份用水量为2.5立方米，水费为11元<14元．∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 解得a ＝2，将a ＝2代入a ＝6m －16，得m ＝3.∴该家庭今年一、二月份的用水量超过了最低限量，三月份的用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。
苏教版(必修1)-§2.1二次函数的最值课件制作教程
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§2.1二次函数的最值一、课件制作软件 本课件使用“几何画板”制作。
几何画板是美国Key Curriculum Press 公司制作的教育软件The Geometer’s Sketchpad 的汉化版。
几何画板可以精确地绘制出平面几何中的所有尺规作图，并可进行动态变换，深刻地揭示出几何概念、几何规律的内涵和本质。
二、课件主要内容二次函数是最重要的初等函数，它贯穿于高中数学的始终，许多问题最后都归结为二次函数来处理。
二次函数在指定区间上的最值问题是二次函数的一个难点。
本课件利用“几何画板”的绘图功能和动态演示功能，清晰、直观地展示了在指定区间上，顶点不定的二次函数图象的变化情况，其最大值、最小值是什么。
还有在二次函数图象不变，区间左右平移的情况下，如何确定最大值、最小值。
显示器分辨率1024×768三、课件制作步骤1.制作“封面”页⑴打开“几何画板”文件，选择工具箱中的文本工具，在画板中拖放出一个矩形框，输入课题“二次函数的最值”，在窗口下方的文本工具栏内选择，设置字体为“隶书”、48号字、红色、加粗。
单击菜单[文件]－[保存]，弹出“另存为”对话框，在“文件名”栏内输入“二次函数的最值”，单击“保存“。
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单击“增加页”按钮，选择“空白页面”，输入当前页名称“问题引入”，确定。
⑵输入文本“问题1：画出函数y=x 2―3x―2的图象……”。
⑶单击菜单[图表]－[定义坐标系]，这时会显示原点、坐标轴、单位长度及网格。
新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时 函数的最大(小)值
第二课时函数的最大(小)值课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.素养要求通过学习求函数最大(小)值的方法，提升学生的数学抽象素养.1.思考函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？提示当x＝0时，f(x)的最小值为1.2.填空函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点；(3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.温馨提醒求函数最值的常用方法(1)图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.(2)运用已学函数的值域.(3)运用函数的单调性.(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.3.做一做函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A.－1，0B.0，2C.－1，2D.12，2答案 C题型一 图像法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解 作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 思维升华 图像法求函数最值的一般步骤训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域.解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图像如图所示，由图像知，函数y＝－|x＋1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].题型二利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5].(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2），因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3，5]上为增函数.(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)的最大值为f(5)＝47，f(x)的最小值为f(3)＝2 5.思维升华利用单调性求最值的步骤：(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值.训练2 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 解 设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[（x 2－1）－（x 1－1）]（x 1－1）（x 2－1）＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上是减函数. 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值， 即在x ＝2时取得最大值，最大值是2， 在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 题型三 二次函数的最值问题例3 (1)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值. 解 (1)∵函数图像的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2，4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 设f (x )在[2，4]上的最小值为g (a ).∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(2)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t ). 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4； 当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 综上，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.思维升华 二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ， y max ＝max{f (m )，f (n )}；(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论).训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3，若x ∈[0，2].求函数的最小值. 解 f (x )＝x 2－2ax －3的对称轴为x ＝a . ①当a ≤0时，f (x )在[0，2]上为增函数，∴f(x)min＝f(0)＝－3；②当0<a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－3；③当a>2时，f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝1－4a.综上所述，当a≤0时，最小值为－3；当0<a≤2时，最小值为－a2－3；当a>2时，最小值为1－4a.[课堂小结]1.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).一、基础达标1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3答案 B解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.2.(多选)下列说法中正确的有()A.若x 1，x 2∈I ，对任意的x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数B.函数y ＝x 2在R 上是增函数C.函数y ＝－1x 在定义域上是增函数D.y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案 AD解析 对于B ，在[0，＋∞)上是增函数；对于C ，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，故不正确. 3.函数y ＝x －1x 在[1，2]上的最大值为( ) A.0 B.32 C.2 D.3答案 B解析 函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1，2]上是增函数， 所以函数y ＝x －1x 在[1，2]上是增函数. 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32. 4.函数f (x )＝11－x （1－x ），x ∈[1，2]的最大值是( )A.54B.43C.1D.34答案 C解析 令g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，则g (x )在[1，2]上单调递增，所以g (x )∈[1，3]，所以13≤11－x （1－x ）≤1.故f (x )的最大值为1.5.函数f (x )＝x －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B.[－1，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 A解析 f (x )＝x －1x ＝1－1x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )为增函数，∴当x ＝12时，函数取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝1－2＝－1，当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为f (2)＝1－12＝12，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故选A.6.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案 －5 0解析 由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，函数y ＝x ＋1单调递增，∴当x ＝－3时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，函数y ＝－x －1单调递减，当x ＝4时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 7.函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 答案 12 解析 易知y ＝1x －1在[2，3]上递减， ∴y min ＝f (3)＝12.8.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________. 答案 －4 解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 9.已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2，4])，求函数f (x )的最大值和最小值.解 设x 1，x 2是[2，4]上任意两个实数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝6（1－x 2）－6（1－x 1）（1－x 1）（1－x 2）＝6（x 1－x 2）（1－x 1）（1－x 2），因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，1－x 1<0，1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2，4]上是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝1，f (x )的最小值为f (2)＝－3.10.已知函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b (a >0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2. (1)求a ，b 的值；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>－x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，又a >0，∴函数图像开口向上，对称轴x ＝2， ∴f (x )在[0，1]上是减函数，∴f (0)＝b ＝1，且f (1)＝b －3a ＝－2， ∴a ＝b ＝1.(2)f (x )>－x ＋m ⇔x 2－4x ＋1>－x ＋m即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1). 二、能力提升11.(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( ) A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D.f (x 1)>f (x 2) 答案 AB解析 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于选项C ，D ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C ，D 不正确.12.定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，设函数f (x )＝min{－x 2＋2x ＋5，x ＋3}，则f (1)＝________；f (x )的最大值为________. 答案 4 5解析 由－x 2＋2x ＋5<x ＋3， 得x <－1或x >2；由－x 2＋2x ＋5≥x ＋3，得－1≤x ≤2， 据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋5，x <－1或x >2，x ＋3，－1≤x ≤2，∴f (1)＝4，当x <－1或x >2时，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (x )<5； 当－1≤x ≤2时，2≤f (x )≤5，∴f (x )的最大值为5.13.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12x＝x ＋12x ＋2.设任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1－12x 1x 2 ＝2x 1x 2－12x 1x 2. 因为x 1≠x 2且x 1≥1，x 2≥1，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0，所以2x 1x 2－12x 1x 2>0，所以Δf Δx >0， 即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数.所以函数f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋12＋2＝72.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0在[1，＋∞)上恒成立， 所以x 2＋2x ＋a >0在[1，＋∞)上恒成立.记y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，所以y ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，y 取得最小值，最小值为3＋a .所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).三、创新拓展14.(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有()A.y＝2x＋x2B.y＝4x＋1 xC.y＝3x－1 xD.y＝x－1＋4 x＋1答案ACD解析A中，x≥1，y＝2x＋x2≥22x·x2＝2，当且仅当x＝2取得最小值2；B中，y＝4x＋1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为5；C中，y＝3x－1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为2；D中，y＝x－1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1－2≥2（x＋1）·4x＋1－2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2.故选ACD.。
高中数第2章函数2.2.1.2函数的最大值、最小值课件苏教版必修1
典例导学
即时检测
一
二
解(1)若 k>0,则由条件得
- + = -3,
3 + = 5,
= 2,
解得
y=2x-1.
= -1,
若 k<0,则由条件得
解得
3 + = -3,
- + = 5,
= -2,
y=-2x+3.
= 3,
典例导学
即时检测
一
二
(2)函数f(x)的对称轴为x=a,且开口向上,如图.
3
4
+ ≥
4
0,
3
.
3
,从而
4
4
f(x)max= .
3
典例导学
即时检测
1
2
3
4
3.已知函数f(x)的图象如图所示,则其单调增区间是
大值为
,最小值是
. (导学号51790051)
,最
答案:[-3,1] 3 0
解析:结合图象分析可知,函数在区间[-3,1]上是上升的,故其单调增
区间为[-3,1].图象上位置最高的点是(1,3),最低点是(-3,0),所以当
作出函数图象如图.
∴当 t=5 时,ymax=1 225;当 t=20 时,y min=600.
典例导学
即时检测
一
二
求解实际问题“四步曲”:
(1)读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情景”译为数学语
言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系).
(2)建模:把问题中的关系转化成函数关系,列出函数解析式,把实际
典例导学
即时检测
一
二
高中数学 第二章函数的最值导学案 苏教版必修1(师生共用)
归纳总结
学后反思
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
（2） ；
（3） ；
例2：画 函数图像，并求函数的最大值和最小值。；
变式训练2：画图像求最值。
x
例3设 当x∈ 时, 恒成立,求实数a的取值范围。
变式训练1：
当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是.
[当堂检测]
1.已知函数y＝ 是单调递增函数,则实数a的取值范围是
2.已知函数f(x)=（x-a)2+2，a∈R，当x∈[1，3]时，求函数f(x)的最小值。
高一数学函数的最值导学案师生共用
【学习目标】
1.掌握最值的概念。
2.掌握求二次函数的最值常见方法。
3.掌握利用函数单调性求最值。
苏教版高中数学必修第一册《函数的基本性质---二次函数的最值问题》名师课件
则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看其图象的对称轴 = 与x轴
的交点的横坐标和区间 , 的位置关系，是在区间 , 内还是在该
区间的左边或右边，当函数图象的对称轴在区间的某一边时，应利用
函数的单调性求解.
在求二次函数的最值时，应先判断它的图象的开口方向，若含有
参数，则要根据对称轴与轴交点和区间的位置关系对参数进行分类讨
(2)当 ∈ [−1，1]时,
max
2
max
= 4 = 4
= (2) = 22 − 2 × 2 − 5 = −5.
2
− 2 × 4 − 5 = 3,
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
思路
分析
由于二次函数的最值与其图象的对称轴位置有关，而题中函数图象的对称轴为
的最小值本题主要考查直观想象、数学运算的核心素养.
变式训练
1.求函数 = − − 在下列区间上的最值：
(1)[-3，0]；(2)[-1，1]；(3)[2，4].
分析
函数 = 2 − 2 − 5 = − 1
(1)当 ∈ [−3，0]时,
min
min
min
= () = − .
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
解析
(2)当 ⩽ ⩽ 时，由图②可知，对称轴在区间[, ]内，
，
=
=
−
−
= () = − .
(3)当 < ⩽ 时，由图③可知，对称轴在区间[, ]内，
2013高一数学必修1课件2.2.1第二课时函数的最大值、最小值(苏教版)
(2)由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增， ∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)max＝f(4)＝147. 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是147，最小值是2.
[一点通] 如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是一条连续不断的 曲线，那么函数y＝f(x)必定存在最大值和最小值． 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最 大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上 的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
点此进入
成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立．
设g(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，因为g(x)＝x2＋2x
＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上递增，
所以当x＝1时，g(x)min＝3＋a，当且仅当g(x)min＝3＋ a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
[一点通] (1)不等式在某区间上的恒成立问题常转化为求某熟知 函数在该区间上的最值问题．即 a≥g(x)恒成立⇔a≥g(x)max(g(x)max表示g(x)的最大值)； a≤g(x)恒成立⇔a≤g(x)min(g(x)min表示g(x)的最小值)．
3．函数y＝－x＋1在区间[12，2]上的最大值是________，最小
值是________．
解析：y＝－x＋1在R上单调递减，故在[
1 2
，2]上的最大值
为－12＋1＝12，最小值为－2＋1＝－1. 答案：12 －1
4．已知函数f(x)＝x－2 1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最
小值．
解：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，
苏教版高中数学必修一溧水县第二高级教学案第课时二次函数的最值
二次函数的最值：二、例题分析：例1：求二次函数342++-=x x y 的最大值以及取得最大值时x 的值。
变题1：⑴、40≤≤x⑵、30≤≤x ⑶、10≤≤x变题2：求函数32++-=ax x y （40≤≤x ）的最大值。
变题3：求函数342+-=x x y （a x ≤≤0）的最大值。
例2：已知322+-=x x y （a x ≤≤0）的最大值为3，最小值为2，求a 的取值范围。
例3：若α，β是二次方程0622=++-k kx x 的两个实数根，求22)1()1(-+-βα的最小值。
三、随堂练习：1、若函数b ax x y ++=2在20≤≤x 上有最小值41-，最大值2，若24-≤≤-x ， 则a =________，b =________。
2、已知α,β是关于x 的一元二次方程0122=--kx x 的两实数根，则22βα+的最小值是（ ）A 、0B 、1C 、－1D 、23、求函数)(a x x y --=在区间a x ≤≤-1上的最大值。
四、回顾小结本节课学习了以下内容：1、二次函数的的最值及其求法。
课后作业班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题：1、函数4)1(2+--=x y（ ） A 、有最大值6 B 、有最小值6 C 、有最大值10 D 、有最大值22、函数q px x y ++=2的最大值是4，且当x =2时，y =5，则p =______，q =_______。
二、提高题：3、试求关于x 的函数22++-=mx x y 在20≤≤x 上的最大值k 。
4、已知函数2142+-+-=a ax x y 当10≤≤x 时，取最大值为2，求实数a 的值。
5、已知21,x x 是方程01254222=-++m mx x 的两实根，求2221x x +的最大值和最小值。
三、能力题：6、已知函数2x y =，a x ≤≤-2，其中2-≥a ，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值。
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二次函数的最值
复习
例题
练习
小结
作业
复习提问
1、二次函数的定义。 2、二次函数 y=ax2+bx+c 的性质： 3、若函数y=f(x)满足 ① 在[m,n]内是增函数， 则最大值是___f_(_n_) _ ，最 小值是 _f_(_m__) ，值域是___[_f(_m_)__, _f(_n_)_] _；
___4 a____；
⑤ a＞0时，在区间_[__2_ba_，___+_∞__)_内是增函数，
在区间_(__-∞___，__ _2b_a]__内是减函数；
例题
例1 例2 例3 例4
练习
例1.求函数 y = x2 - 2x + 3的最小值。
y
解：当x =1时，
ymin= 2 。
x O
例题 练习
例2. 求函数 y = x2 - 2x + 3在区间 [-1 ，2]内的 最小值及最大值。
① 当1-2a≤1,即a≥0时,在x=1时, ymin= 4a； 在x=3时, ymax=12a+4
② 当 ym1in＜= 41a--24aa＜2 ，2，在即x=312时＜，ay＜m0ax时= 1，2a在+4x=1-2a 时 ③ 当2≤1-2a＜3,即-1＜a≤ 时1 ，在x =1-2a时，
ymin= 4a- 4a2 ，在x =1时，2ymax= 4a
y
解：二次函数图象顶点横坐 标为x=1-2a,
⑵当1<1-2a<2，即 1 <a<0时， 二次函数图象如图 2
o
1
23
x
此时函数在x=1-2a 时，取 最小值 4a-4a2 ，
在x=3时，取最大值12a+4
例3
例3③ 求二次函数 y = x2 + 2(2a-1)x + 1 在区间
[ 1 ，3]上的最大值和最小值。
[ 1 ，3]上的最大值和最小值。
y
解：二次函数图象顶点横
坐标为: x=1-2a,
⑴当1-2a≤1,即a≥0
时,二次函数图象如图,
此时在x=1时,函数 取最小值4a,
在x=3时,函数取最
x 大值12a+4。 o 12 3
例3
例3② 求二次函数 y = x2 + 2(2a-1)x + 1 在区间
[ 1 ，3]上的最大值和最小值。
2
6
ymin= 7
4 当t = 1
即 x=
2
时，
ymax= 4
-1 O 1
t
例题 练习
练习
练习一
练习二
练习三
练习四
练习五
练习六
练习七
练习八
例题 小结
练习1. 求函数y = - x2 + 4x – 2在[0 ，3]上的最值。
y
解：当x = 2 时，ymax= 2 ,
当x = 0 时，ymin= -2
二次函数的定义：
我们把形如 y = ax2+bx+c（a≠0）的函数， 叫做二次函数。
二次函数的性质：
① 图象是 __抛__物__线___。
② 当__a_＞__0__时，抛物线开口向上； ③ 当__a_＜__0__时，抛物线开口向下；
④
顶点横坐标是
__ _2_ba__，纵坐标是
4 ac b 2
y
解：二次函数图象顶点横坐
标为x=1-2a,
⑶当2≤1-2a<3,即-1<a≤ 1
2
o
时，函数图象如图
1 2 3 x 函数在x =1-2a时，取最
小值4a- 4a2 ，
在x =1时，取最大值4a。
例3
例3④ 求二次函数 y = x2 + 2(2a-1)x + 1 在区间
[ 1 ，3]上的最大值和最小值。
例题 练习 小结
练习4.1 求函数 y = x2-2a x-1在[0 ，2]上的 最大值、最小值。
解：函数顶点横坐标为 x = a ,
①当a≤0时，
y2 求函数 y = x2-2a x-1在[0 ，2]上的最
大值、最小值。 解：函数顶点横坐标为 x = a,
②在（m,n]内是增函数，则最大值是___f_(_n_)_ ，最 小值 _不__存__在__ ；值域是__(_f(_m__),_f_(_n_)]___；
③在[m,n）内是增函数，则最小值是___f_(m__)_， 最大值 _不__存__在__ ，值域是__[f_(_m_)_,_f_(n_)_)_；
例题
O
23
x 例题 练习 小结
练习2.
求函数 y = -x2+2x+3（-2≤x＜0）的最小值及
值域。
y
解：当x = 0 时，y= 3，
-2 O 1
当x = -2时，ymin= -5
所以，函数的值域为 x [-5 ，3） 。
例题 练习 小结
练习3.求函数 y = x2 + 2x + 3在区间（1，3]内的
y
解：二次函数图象顶点横坐
标为x=1-2a,
x
⑷当1-2a≥3,即a≤-1时，
o1 2 3
函数图象如图
在x=3时，取最小值 12a+4，
在x=1时，取最大值4a。
例3
例3 求二次函数 y = x2 + 2(2a-1)x + 1 在区间
[1 ，3]上的最大值和最小值。
解：二次函数图象顶点横坐标 x=1-2a
y
解：如图，
当x = 1 时，ymin=2；
当x = -1时，ymax=6 。
-1 O
12
x
例题 练习
例3.求二次函数 y = x2 + 2(2a-1)x + 1 在区间
[ 1，3]上的最大值和最小值。 解：二次函数图象顶点横坐标 x=1-2a y
①
②
③
④
x o 12 3
例题 练习
例3① 求二次函数 y = x2 + 2(2a-1)x + 1 在区间
④ 当1-2a≥3,即a≤-1时，在x=3时 ymin=12a+4， 在x=1时，ymax= 4a。
例题 练习
例4.求函数 y=sin2x+sin x+2在[ ， ]内的最值。 22
解：令 t =sinx，则 –1≤t≤1 ，原函数变为 y
= t2+t+2 (–1≤t≤1 )，可得图象为：
y
当t = 1 即 x = 时，
最大值及值域。
解：当x =3时，
y
ymax= 18 。
值域为（6 ， 18]
-1 O 1 3
x 例题 练习 小结
练习4.求函数 y = x2-2a x-1在[0 ，2]上的最 大值、最小值。 解：函数顶点横坐标为 x = a, ①当a≤0时， ymin=-1 , ymax= 3-4a ; ②当0＜a≤1时， ymin= -a2-1 , ymax= 3-4a ; ③当1＜a＜2时， ymin= -a2-1 , ymax= -1 ; ④当a≥2时， ymin= 3-4a , ymax= -1 ;