高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型二
题型三
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解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
④由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数.
A.①③
B.②④
C.①②
D.①②④
答案:C
=
������! ������!(������-������)!
,
规定:
C���0���
=
1.
【做一做 4】 C72 + C63 + C54 =
.
答案:46
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5.组合数的性质:
性质 1: C������������ = C������������-������ .
性质 2: C������������+1 = C������������ + C������������-1 .
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题型二
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解:(1)C19080
+
C210909
=
C1200
+
C2100
=
100×99 2
+
200
=
5
150.
(2)由C138������+6 = C148������-2, 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2.
组合问题,共有C92 = 36 种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的 9 人中选 5 人,共有
C95 = 126 种不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,可分两步:先从甲、乙、丙
中选 1 人,有C31 = 3 种选法;再从另外 9 人中选 4 人,有C94种选法.共有 C31 ·C94 = 378 种不同的选法.
������!
������-������ (������+1)!(������-������-1)!
=
������ + 1 (������ + 1)!
������! ·(������-������)(������-������-1)!
=
������! ������!(������-������)!
,
= C������������+1 + C������������-+11 = C������������+2.
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题型三 简单的组合问题
【例3】 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中 选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
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题型二
题型三
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反思解答简单的组合问题的步骤: (1)弄清要做的这件事是什么事; (2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题; (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
§3 组 合
-1-
第1课时 组合与组合数公式
-2-
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1.理解组合的意义,能写出一些简单问题的组合. 2.能够正确认识排列与组合的区别. 3.掌握组合数公式,能用组合数公式及其性质进行计算、化简. 4.能利用组合数公式解简单的组合问题.
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C84
=
C95
=
C94
=
9×8×7×6 4×3×2×1
=
126.
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题型三
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反思在计算C������������ 时,要充分利用 m≤n 且 m∈N,n∈N+来解题;当C������������ 中m,n 为字母或较大时常用阶乘公式,当 m 相对较小时常用连乘计 算公式;注意C������������ = C������������-������ 的灵活运用.
【做一做 5】 (1)若C160 = C1������0, 则������ =
;
(2)C640 + C650 =
.
答案:(1)6 或 4 (2)C651
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题型一
组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)一个班中有52人,任意两个人握一次手,共握多少次手? (3)4个人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? 分析:交换任何两个元素的顺序,看结果有无影响,如无影响则是组 合问题. 解:(1)因为集合中取出的元素具有“无序性”,所以这是组合问题; (2)因为两人握手是相互的,没有顺序之分,所以这是组合问题; (3)因为5种工作是不同的, 从5种不同的工作中选出4种,按一定的顺 序分配给4个人,它与顺序有关,所以这是排列问题.
∴
C������������
=
������ + 1 ������-������
·C������������+1.
(4)证明: C������������ + 2C������������-1 + C������������-2 = C������������ + C������������-1 + C������������-1 + C������������-2
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【变式训练 2】 (1)计算: C94 + C95 + C160 + C171;
(2)计算: C22 + C32 + C42 + C52 + C62;
(3)求证: C������������
=
������+1 ������-������
·C������������ +1 ;
(4)求证: C������������+2 = C������������ + 2C������������-1 + C������������-2.
(1)解: C94 + C95 + C160 + C171 = C150 + C160 + C171 = C161 + C171 =
C172 = C152 = 792.
∵3n+6≤18,且 4n-2≤18,
∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2.
(3)C54 + C64 + C74 + C84 + C88 = C88 + C54 + C64 + C74 + C84 = C55 +
C54 + C64 + C74 + C84 = C65 + C64 + C74 + C84 = C75 + C74 + C84 = C85 +
(2)解: 由C22 = C33, 得C22 + C32 + C42 + C52 + C62 = C33 + C32 + C42 +
C52 + C62.
∵ C32 + C33 = C43, ∴ C33 + C32 + C42 + C52 + C62
= C43 + C42 + C52 + C62, 依次类推可得C22 + C32 + C42
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
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【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
④由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数.
A.①③
B.②④
C.①②
D.①②④
答案:C
=
������! ������!(������-������)!
,
规定:
C���0���
=
1.
【做一做 4】 C72 + C63 + C54 =
.
答案:46
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5.组合数的性质:
性质 1: C������������ = C������������-������ .
性质 2: C������������+1 = C������������ + C������������-1 .
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解:(1)C19080
+
C210909
=
C1200
+
C2100
=
100×99 2
+
200
=
5
150.
(2)由C138������+6 = C148������-2, 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2.
组合问题,共有C92 = 36 种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的 9 人中选 5 人,共有
C95 = 126 种不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,可分两步:先从甲、乙、丙
中选 1 人,有C31 = 3 种选法;再从另外 9 人中选 4 人,有C94种选法.共有 C31 ·C94 = 378 种不同的选法.
������!
������-������ (������+1)!(������-������-1)!
=
������ + 1 (������ + 1)!
������! ·(������-������)(������-������-1)!
=
������! ������!(������-������)!
,
= C������������+1 + C������������-+11 = C������������+2.
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题型三 简单的组合问题
【例3】 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中 选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
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反思解答简单的组合问题的步骤: (1)弄清要做的这件事是什么事; (2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题; (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.
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【变式训练3】 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
§3 组 合
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第1课时 组合与组合数公式
-2-
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1.理解组合的意义,能写出一些简单问题的组合. 2.能够正确认识排列与组合的区别. 3.掌握组合数公式,能用组合数公式及其性质进行计算、化简. 4.能利用组合数公式解简单的组合问题.
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C84
=
C95
=
C94
=
9×8×7×6 4×3×2×1
=
126.
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反思在计算C������������ 时,要充分利用 m≤n 且 m∈N,n∈N+来解题;当C������������ 中m,n 为字母或较大时常用阶乘公式,当 m 相对较小时常用连乘计 算公式;注意C������������ = C������������-������ 的灵活运用.
【做一做 5】 (1)若C160 = C1������0, 则������ =
;
(2)C640 + C650 =
.
答案:(1)6 或 4 (2)C651
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题型一
组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)一个班中有52人,任意两个人握一次手,共握多少次手? (3)4个人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? 分析:交换任何两个元素的顺序,看结果有无影响,如无影响则是组 合问题. 解:(1)因为集合中取出的元素具有“无序性”,所以这是组合问题; (2)因为两人握手是相互的,没有顺序之分,所以这是组合问题; (3)因为5种工作是不同的, 从5种不同的工作中选出4种,按一定的顺 序分配给4个人,它与顺序有关,所以这是排列问题.
∴
C������������
=
������ + 1 ������-������
·C������������+1.
(4)证明: C������������ + 2C������������-1 + C������������-2 = C������������ + C������������-1 + C������������-1 + C������������-2
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【变式训练 2】 (1)计算: C94 + C95 + C160 + C171;
(2)计算: C22 + C32 + C42 + C52 + C62;
(3)求证: C������������
=
������+1 ������-������
·C������������ +1 ;
(4)求证: C������������+2 = C������������ + 2C������������-1 + C������������-2.
(1)解: C94 + C95 + C160 + C171 = C150 + C160 + C171 = C161 + C171 =
C172 = C152 = 792.
∵3n+6≤18,且 4n-2≤18,
∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2.
(3)C54 + C64 + C74 + C84 + C88 = C88 + C54 + C64 + C74 + C84 = C55 +
C54 + C64 + C74 + C84 = C65 + C64 + C74 + C84 = C75 + C74 + C84 = C85 +
(2)解: 由C22 = C33, 得C22 + C32 + C42 + C52 + C62 = C33 + C32 + C42 +
C52 + C62.
∵ C32 + C33 = C43, ∴ C33 + C32 + C42 + C52 + C62
= C43 + C42 + C52 + C62, 依次类推可得C22 + C32 + C42
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高中数学 第1章 3组合课件 北师大版选修23
第二类：甲、乙都入选，第一步：选甲、乙，有 C22种选法．第 二步：从除去甲、乙、丙之外的 7 人中再选 1 人，有 C17种选法．根 据乘法原理，不同选法的种数为 C22·C17＝7.
综上，根据加法原理，不同选法的种数为 42＋7＝49.
3．Cmn ＋1＋Cmn －1＋2Cmn 等于(
)
A．Cmn＋＋21
1.组合的定义
一般地，从__n_个__不__同__的__元__素__中___，__任__取__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__为__一__组__，
Hale Waihona Puke 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
2．组合数公式
C
m n
＝
___A__mm __
＝
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 计数原理
第一章 §3 组 合
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
• 1.通过实例，理解组合的概念． • 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际
问题．
• 本节重点：组合的概念． • 本节难点：组合数的两个性质.
B．Cmn＋2
C．Cmn＋＋11
D．Cmn＋1
[答案] A
[解析] 原式＝(Cmn ＋1＋Cnm)＋(Cmn ＋Cmn －1)
＝Cmn＋＋11＋Cmn＋1
＝Cmn＋＋21
4．C22000190＝________，C212＋C312＝________. [答案] 2010 286 [解析] C22000190＝C22001100－2009＝C12010＝2010，C212＋C312＝C313＝ 3！1×3！10！＝286.
综上，根据加法原理，不同选法的种数为 42＋7＝49.
3．Cmn ＋1＋Cmn －1＋2Cmn 等于(
)
A．Cmn＋＋21
1.组合的定义
一般地，从__n_个__不__同__的__元__素__中___，__任__取__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__为__一__组__，
Hale Waihona Puke 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
2．组合数公式
C
m n
＝
___A__mm __
＝
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 计数原理
第一章 §3 组 合
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
• 1.通过实例，理解组合的概念． • 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际
问题．
• 本节重点：组合的概念． • 本节难点：组合数的两个性质.
B．Cmn＋2
C．Cmn＋＋11
D．Cmn＋1
[答案] A
[解析] 原式＝(Cmn ＋1＋Cnm)＋(Cmn ＋Cmn －1)
＝Cmn＋＋11＋Cmn＋1
＝Cmn＋＋21
4．C22000190＝________，C212＋C312＝________. [答案] 2010 286 [解析] C22000190＝C22001100－2009＝C12010＝2010，C212＋C312＝C313＝ 3！1×3！10！＝286.
高中数学 1.3 组合课件 北师大版选修23
n！ m！n－m！ (阶乘的形式)
组合数的性质
【问题导思】 1．从 5 名同学中选 1 名担任数学组长的方法数为多少？ 从这 5 名同学中选 4 名不担任数学组长的方法数为多少？两 者之间有何关系？ 【提示】 C51，C45 C15＝C54
2．从 4 名学生和 1 名教师中选 2 人参加一项活动， (1)教师一定参加，有多少种方法？ (2)教师一定不参加，有多少种方法？ (3)共有多少种方法？ (4)(1)与(2)的结果与(3)的结果有何关系． 【提示】 (1)C14 (2)C24 (3)C25或 C41＋C24 (4)C25＝C14＋ C42.
一般地，从 n 个不同的元素中，任取 m(m≤n)个元素为 一组 ，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．我 们把有关求组合的 个数 的问题叫作组合问题．
组合数与组合数公式
【问题导思】 1．从 1、2、3、5 四个数字中任取两个数字放在一起， 写出所有不同的结果． 【提示】 12,13,15,23,25,35 共有 6 个不同的结果．
●教学流程
演示结束
课标 解读
1.理解组合及组合数的定义． 2．掌握组合数公式，并会应用 求值.
组合
【问题导思】 1．从 1、2、3、5 四个数字中，任选两个数作加法，试 写出所有不同的结果． 【提示】 1＋2,1＋3,1＋5,2＋3,2＋5,3＋5.
2．问题 1 中 1＋2 与 2＋1 是不同结果吗？这说明什么问 题？
顺序对排列、组合问题的求解非常重要．因此在教学中 要始终抓住与顺序有无关系，引导学生理解组合的概念，正 确区别排列与组合，以便正确应用到解题过程中去，这样强 化了学生对组合概念的认识．也弄清了具体问题是排列还是 组合，这样既强化了重点、又突破了难点．
2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版选修2_3
提示：从 n 个元素中取 m 个元素，剩余(n－m)个元素，故 Cmn ＝Cnn－m.从 n＋1 个元素中取 m 个元素记作 Cmn＋1，可认为分作 两类：第一类为含有某元素 a 的取法为 Cnm－1，第二类不含有此 元素 a，则为 Cmn ，根据分类加法计数原理得 Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
(2)组合数公式的应用 对于组合数公式我们强调：第一个公式体现了组合数与相应 排列数的关系，当 n 确定而 m 变化时，组合数与 m 的一种函数 关系．第二个公式 Cmn ＝m！nn！－m！的主要作用有： ①当 m，n 较大时，可借助计算器，利用这个公式计算组合 数比较方便． ②对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用此 式．
(2)该问题为排列问题，班级 A，B 的班主任的所有情况为： (甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)， (乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)， 共 12 种情况．
规律方法 用组合的知识解简单的应用题时，首先要判断它 是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问 题与顺序有关，而组合问题与顺序无关．若顺序对结果无影响， 则是组合问题，若顺序对结果有影响，则是排列问题．
的可能情况；
(2)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位分别到 A，B 两个
班级当班主任，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出
所有的可能情况．
[思路探究] (1)两位老师参加学习交流会没有顺序要求，是
组合问题；(2)由于班级不一样，若选出两位老师后，安排班级
不同时，结果不一样，所以是排列问题．
[解] (1)该问题为组合问题，所有情况为：甲、乙，甲、丙， 甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁，共 6 种情况．
(2)组合数公式的应用 对于组合数公式我们强调：第一个公式体现了组合数与相应 排列数的关系，当 n 确定而 m 变化时，组合数与 m 的一种函数 关系．第二个公式 Cmn ＝m！nn！－m！的主要作用有： ①当 m，n 较大时，可借助计算器，利用这个公式计算组合 数比较方便． ②对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用此 式．
(2)该问题为排列问题，班级 A，B 的班主任的所有情况为： (甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)， (乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)， 共 12 种情况．
规律方法 用组合的知识解简单的应用题时，首先要判断它 是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问 题与顺序有关，而组合问题与顺序无关．若顺序对结果无影响， 则是组合问题，若顺序对结果有影响，则是排列问题．
的可能情况；
(2)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位分别到 A，B 两个
班级当班主任，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出
所有的可能情况．
[思路探究] (1)两位老师参加学习交流会没有顺序要求，是
组合问题；(2)由于班级不一样，若选出两位老师后，安排班级
不同时，结果不一样，所以是排列问题．
[解] (1)该问题为组合问题，所有情况为：甲、乙，甲、丙， 甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁，共 6 种情况．
1.3 第一课时 组合与组合数公式 课件(北师大选修2-3)
的子集有多少个？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有 多少种不同的可能？ (3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有 多少种不同的可能？
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(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若 选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？ (5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有 多少种分配方法？
(3)C38 n＋C3n＋n. 3n 21 [思路点拨] [精解详析] 用组合数公式和组合数的性质解决．
4 (1)原式＝C10－A3 7
10×9×8×7 ＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1
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100×99 98 199 2 1 (2)C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200 2 ＝4 950＋200＝5 150.
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n m－1 m 4．证明：Cn ＝ Cn－1 . m
n－1！ n m－1 n 证明：∵m· n－1 ＝m· C m－1！[n－1－m－1]！ n！ ＝ [m· m－1！]n－m！ n！ ＝ ＝Cm， n m！n－m！ n m－1 m ∴Cn ＝ Cn－1 成立. m
4 解：由已知，得2C5 ＝Cn＋C6 ， n n
n！ n！ n！ 所以2· ＝ ＋ ， 5！n－5！ 4！n－4！ 6！n－6！ 整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14. 要求C12的值，故n≥12，所以n＝14， n 14×13 12 2 于是C14＝C14＝ ＝91. 2×1
(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性
质化简，再用组合数的阶乘形式证明．
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2．计算：①C6＝________；②3C2－2C2＝________. 8 5 4
高中数学第一章计数原理3第二课时组合的应用课件北师大选修2_3
[一点通] (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条 件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则， 在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2) 要 正 确 理 解 题 中 的 关 键 词 ， 如 “ 至 少 ”“ 至 多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑 用间接法处理，即“正难则反”的策略．
要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( )
A．70 种
B．80 种
C．100 种
D．140 种Βιβλιοθήκη 解析：可分两类，男医生 2 名，女医生 1 名或男医生 1 名，
女医生 2 名．∴共有 C25C14＋C15C24＝70 种． 答案：A
3．某医科大学的学生中，有男生 12 名女生 8 名在某市人民医院实习， 现从中选派 5 名参加青年志愿者医疗队． (1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？ 解：(1)只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有选法 C318＝816 种． (2)只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有选法 C158＝8 568 种． (3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有 C12·C418种选法；甲、乙两 人都参加，则有 C318种选法． 故共有选法 C21C418＋C318＝6 936 种.
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 C610种选法， 若选取 1 名外科专家参加，有 C14C56种选法；没有外科专家参加， 有 C66种选法，所以共有
C610－C41C56－C66＝185 种抽调方法． (3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种 情况，分类解答． ①没有外科专家参加，有 C66种选法； ②有 1 名外科专家参加，有 C14C56种选法； ③有 2 名外科专家参加，有 C24C46种选法． 所以共有 C66＋C14C56＋C24C46＝115 种抽调方法．
2019高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版
不同元素中取出m个元素的一个组合.
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
北师大版高中数学选修2-3课件：1.3 组合(共62张PPT)
考点类析
考点一 组合数性质的应用 10
考点类析
[答案] (1)B (2)D
考点类析
考点类析
考点类析
考点类析
考点二 简单的组合应用题 [导入] 从17人中任选11人参加一项活动,这是 组合 问题,其方法有
种.
考点类析
例2 如果一名足球教练要从 17名队员中任选1名守门员和 10名队员参加一场足球比赛, 那么这名足球教练有多少种 不同的安排方案?
解：选正、副组长时要考虑顺序，所以是排列 问题，排列数是 A29＝72，所以正、副组长的选 法有 72 种．选代表参加会议不用考虑顺序问题， 所以是组合问题，组合数是 C29＝36，所以选代 表参加会议，不同的选法有 36 种．
备课素材
2．利用公式法计算和证明
m＋1 [例 2] 求证：Cmn ＝n－m·Cmn ＋1.
新课导入
[导入二]问题导入 在日常生活中，我们经常遇到下面一些问题，这些问题有什么共同特征？ 它们与排列问题有什么不同吗？ 问题一：从a，b，c，d这四个元素中任意取出两个，共有多少种取法？ 问题二：某次团代会，要从候选人a，b，c，d，e这5人中选出3人担任代 表，有多少种选法？
预习探究
知识点一 组合及其特点
备课素材
1．细解组合的定义 (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同 元素中进行m次不放回地抽取； (2)抽取的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组 合的本质．根据组合的定义，只要两个组合中的元素相同，不管元素的顺 序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是 不同的组合，这一点与两个集合相等有类似之处．
【拓展】若从4名男生和5名
高中数学第一章计数原理1.3.1组合(一)教案北师大版选修2-3(2021年整理)
陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.3.1 组合（一）教案北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.3.1 组合（一）教案北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.3.1 组合（一）教案北师大版选修2-3的全部内容。
3。
组合(一）一、复习引入：1．排列的概念;2．排列数的定义;3．排列数公式.二、学生自学学生自学课本第12—14页内容,完成优化设计第8页“知识梳理”.1.组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”-—无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示．3．组合数公式的推导：（1)一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得:mn A ＝m n C mm A ⋅．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!mm n n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且三、典例精讲例1、计算：(1)47C ； （2）710C ； (1）解: 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例2、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．（1）全是合格品的抽法有多少种？（2）次品全被抽出的抽法有多少种?(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？（4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？例3、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?解法一：（直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女,1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以,一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C。
2019_2020学年高中数学第一章计数原理3组合第一课时组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
[解析] (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为 A210＝90. (2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的 区别，组合数为 C210＝45. (3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组 合数为 C210＝45. (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的， 是有顺序区别的，排列数为 A210＝90. (5)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为 C310＝120. (6)是排列问题．因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为 A310＝ 720.
②
由①得33n8－≥n38≥－0n，， 解此不等式组得129≤n≤38； 由②得32n1＋≥n0，≥3n， 解此不等式组得 0≤n≤221. ∴129≤n≤221. 又∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C3208＋C3301＝466.
(1)公式 Cmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1(n∈N＋，m∈N，m≤n)一般用于 求值计算． (2)公式 Cmn ＝m！nn！ －m！一般用于化简、证明或 m，n 较大的计算． (3)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即 Cmn 中的 n 为正整数，m 为自然数，且 n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行 检验，将不符合的解舍去．
(3)解法一 C37－C26＝7×36！×5－62×！5＝35－15＝20. 解法二 C37－C26＝C36＝63××52××41＝20. 答案：(1)35 (2)120 (3)20
探究一 排列、组合概念的辨析
[例 1] 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10 个人相互各写一封信，共写了多少封信？ (2)10 个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4)10 支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (5)从 10 个人里选 3 个代表去开会，有多少种选法？ (6)从 10 个人里选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？
高中数学第1章计数原理1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修23
①由 1,2,3,4 构成的双元素集合；②5 个队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由 1,2,3 构成两位数的方法；④由 1,2,3 组合无重复数字的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
【解析】 ①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关．
【答案】 C
第四页，共32页。
教材整理 2 组合数的概念、公式、性质
第十九页，共32页。
探究 2 从含有队长的 10 名排球队员中选出 6 人参加比赛，共有多少种选 法？
【提示】 共有 C610＝160××59××48××37××26××15＝210(种)选法． 探究 3 在探究 2 中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有 多少种选法？由探究 2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？ 【提示】 若队长必须参加，共 C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共 C69 ＝84(种)选法． 由探究 2、3 发现从 10 名队员中选出 6 人可分为队长参赛与队长不参赛两 类，由分类加法计数原理可得：C610＝C59＋C69. 一般地：Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票 价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为 C23＝3×2 2＝3.
【答案】 3
第七页，共32页。
2．C26＝________，C1187＝________. 【解析】 C26＝6×2 5＝15， C1187＝C118＝18. 【答案】 15 18
第三十页，共32页。
5．已知 C4n，C5n，C6n成等差数列，求 Cn12的值． 【解】 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n， 所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！ －6！， 整理得 n2－21n＋98＝0， 解得 n＝7 或 n＝14， 要求 Cn12的值，故 n≥12，所以 n＝14， 于是 C1142＝C214＝142× ×113＝91.