离散数学第四章 谓词演算的推理理论-假设推理系统
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离散数学 第4章 谓词逻辑
一般用大写字母, 如P, Q, R, …等大写英文字 母表示谓词, 对于任意的n元谓词, 为了把谓 词及其元数同时表示出来, 象表示n元函数 一样, 用诸如P(x1, x2,…,xn)表示. 例如, 用P(x): x是素数, S(x): x是学生, D(x): x是要死的, G(x,y): x > y, R(x, y, z): x 通过y和z等等. 对于n元谓词P(x1, x2,…,xn)(n 1), 当个体变 元取定个体域D中元素后就是一个命题, 如 G(3, 2): 3 > 2, 它是关于命题的函数, 称为命 题函数(propositional function). 显然, 命题函 数不是命题.
可以指定个体域为正整数集合,也可以是整数集合, 还可以是实数集合等,要同时讨论(3)和(4),可以指 定个体域为所有人组成的集合,也可以是所有动物 组成的集合等. 指定个体域D后,所涉及到的个体变 元在所给的个体域中可任意取元素. 个体域可以是有限集合,可以是无限集合. 我们把 世界上所有对象,如所有的动物、所有植物、所有 字母、所有数字等组成的集合称为全总个体域,简 称全域,它是最大的个体域. 之所以要给出这样的 个体域,是因为在很多问题讨论时都没有指定个体 域,这时就在全总个体域中讨论,它是默认的个体域.
之所以出现这种推理本身是正确的,但无法 证明其有效性的问题,是因为没有对原子命 题的内部形式结构及其逻辑关系进行讨论, 这正是谓词逻辑首先要研究的内容. 本书讨论的谓词逻辑是一阶逻辑. 利用谓词逻辑建立起来的数据库设计理论, 具有牢固的数学基础和一定的智能特点. 同 时,现实世界中的任何问题只要能用谓词逻 辑推理系统方式表示出来,就可以将它写成 逻辑程序设计PROLOG(PROgramming in LOGic)或LISP语言,并用计算机加以实现,如 已经开发出的一些智能教学专家系统等 .
离散数学24谓词演算的推理理论
谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。
设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。
2_5_谓词演算的推理理论[19页]
![2_5_谓词演算的推理理论[19页]](https://img.taocdn.com/s3/m/09c09a1d336c1eb91b375d17.png)
P US(2)
注：转换为谓词填式
(4) D(s)
T(1), (3) I
做全称指定时，必须指定到s，才能建立与命题M(s)的联系。因证明结论就是谓词填 式，不用再推广到量化形式。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
(b)亚里士多德三段论：所有人都是必死的，希腊人都是人，所以希腊人都是 必死的。
，可符号化为：
∀x(Q(x)→R(x))，∀x(N(x)→R(x))，∀x(I(x)→┐R(x))⇒∀x(I(x)→(┐Q(x)∧┐N(x)))。
(1) ∀x(I(x)→┐R(x)) P
(7) ∀x(N(x)→R(x))
P
(2) I(a)→┐R(a)
US(1)
(8) N(a)→R(a)
US(7)
(3) ∀x(Q(x)→R(x)) P
(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为-） 此规则也可记作UI（Universal Instantiation），即全称（量词）实例化。 若∀xA(x)为1，则A(a)为1，即
∵ ∀xA(x) ∴ A(a) 其中的a为论域中的任意一个个体（arbitrary individual），但不能与A中的其 他个体名重复。 [例]由前提∀x(P(x)→Q(y))可实例化为P(t)→Q(y)，而不能是P(y)→Q(y)。
配律）
量词作用域的扩张与收缩
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
2.5 谓词演算的推理理论
E37 x(B∨A(x)) B∨xA(x) E38 x(B∧A(x)) B∧xA(x) E39 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) E40 x(A(x)B)xA(x)B E41 xA(x)Bx(A(x)B) E42 AxB(x)x(AB(x)) E43 AxB(x)x(AB(x))
离散数学的谓词逻辑详解
两种量词: 全称量词和存在量词.
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学(第四章)解读.
§2.1 一阶逻辑命题符号化
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知,这是真命题。但在命题逻辑中,如 果用P,Q,R表示以上三个命题，则上述推理过 程为：（P∧Q）R。借助命题演算的推理理 论不能证明其为重言式。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系 和数量关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示个体名称 张明, b表示个体名称李华,c表示个体名称这只老 虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命 题,但它们有一个共同的形式,即H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或 泛指的客体，称为个体变元，常用小写英文字 母x, y, z, …表示。相应地，表示具体或特定的客 体的词称为个体常项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
刻划一个个体性质的词称之为一元谓词 ,刻划 n 个个 体之间关系的词称之为n元谓词. 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英文字 母表示客体名称，例如，将上述谓词分别记作大写 字母F、G、H、R，S则上述命题可表示为： (1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华 (3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵 (5) R(a,b,c) (6) S(a,b) a:阿杜 b:阿寺 其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词 ， (5)为三元谓词。
2.5谓词演算的推理理论(Inference theory of
predicate calculus)
§2.1 一阶逻辑命题符号化
第四章 谓词演算的推理理论永真推理系统(共28张PPT)
证明： (1) △(x) (2) △((x)((PP)(x))) (3) △((PP)(x)) (4) △((PP)x (x))
(5) △(PP)
(6) △x(x)
引用定理
(2)(1)分离
全称规则(3)
公理(1)
(4)(5)分离
则有全0规则△(x)├△x(x)
第十四页，共28页。
全n规则、存n规则
(x(P(x))(x P(x))) 分离(2)(7)
(9) x(P(x))(x P(x))
分离(6)(8)
第十九页，共28页。
例( ) 练习4.1(2)
x(P(x))(x P(x))
先证明 x(P(x)) (x P(x))
证明:
(1) x(P(x)) (P(x))
公理20
(2) x(P(x)) (x P(x))
存1规则
1(P(x))├ 1(xP(x)))
第二十页，共28页。
例(续) x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
证明:
(3) P(x) xP(x)
公理21
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x)))
公理3
(5) (xP(x))(P(x))
分(3)(4)
与有关
第七页，共28页。
（二） 公理
公理20 △(xP(x) P(x)) 公理21 △(P(x)x P(x))
与量词有关
如果只有一个自由变元，公理20与公理21可以分别
理解如下：
x(yP(y) P(x))
x(P(x)y P(y))
第八页，共28页。
（三） 规则
(1)分离规则：
如果△(AB)且△A，则△B。 (2)全称规则：
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
离散数学L4谓词
谓词是命题函数
• 一元谓词P可视为从个体域D到集合{T,F} 上的映射:
P: D {T,F}
• n元谓词也是一样:
P: Dn {T,F}
• 注意:P(x)是命题形式但不是命题,因为其 真值不确定.
– 仅当P取定为谓词常项,x取定为个体常项时, P(x)才成为命题.
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑的基本概念
本章主要内容
• 谓词 • 量词 • 一阶谓词公式 • 自然语句的形式表示 • 公式的解释及真假性
Lu Chaojun, SJTU
谓词逻辑与命题逻辑的区别
• 命题逻辑:简单命题是分析的基本单元,不再对 简单命题的内部结构进行分析.
– 例如P:“柏拉图是人”和Q:“亚里士多德是人”是两个 相互独立的命题,看不出P和Q有什么联系.
Lu Chaojun, SJTU
14
量词的辖域
• 量词所约束的范围称为量词的辖域.即:
(x) (…辖域…) (x) (…辖域…)
• 在x(或x)的辖域内的自由x都被该量词 约束.
– 例如(x)(P(x) Q(x)) – 但在(x)(P(x) (x)Q(x))中, Q(x)还处于最近
的(x)的辖域中,此x非自由,故不被(x)约束.
Lu Chaojun, SJTU
15
命题形式P(x)如何化为命题?
• 假设P含义确定,是谓词常项
– 若x用个体常项代入,则P(x) 真假就定了; – 或者将x量化,形如(x)P(x)或(x)P(x),这时也
确定了真假.
• 总之:命题中是不能有自由变元的. • 变元易名规则:约束变元改名不改变命题
的真值,即(x)P(x) = (y)P(y).
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(2) 存在推理定理
如果有
△A1，…，△An，△xP(x)，△P(e)├△Q， 其中Q中不含有自由的e，且在推理过程中不对假设中的自由 变元和额外假设中的自由变元实施全规则和存在规则，则有： △A1，△A2，…，△An，△xP(x)├△Q
去“存在 量词”
二、假设推理过程的证明方法
(1) 把待证公式的前件作为假设一一列出，假 设中的全称量词可用全称量词消去规则 消去，存在量词可引入额外假设删除，并 在式子后注明它为额外假设。
假设
(3) P(a)y(D(y)L(a，y)) 额外假设 (4)(P(a)y(D(y)L(a，y))) P(a)
先将（ 1 ）、（ 2 ）化简 (5)(P(a)y(D(y)L(a，y)))y(D(y)L(a,y))
(6) P(a)
(7) y(D(y) L(a，y))
公理8 公理9
例1 (p44) 求证：
x(P(x) Q(x))(xP(x)xQ(x))
解： (1) x(P(x) Q(x)) 假设 (2) x P(x) 假设 (3) P(e) Q(e) 额外假设 (4) P(e) 全称量词消去规则 (5) Q(e) (3)(4)分离 (6) Q(e)x Q(x) 公理21+全称量词消去规则 (7) x Q(x) (6)(5)分离 由存在推理定理得： x(P(x) Q(x))，x P(x)├xQ(x) 由假设推理定理得： x(P(x) Q(x))(xP(x)xQ(x))
xA( x ) A(t )
规则成立的条件： （1）t是任意个体变项或常项。
例 考察∀x∃yF（x，y）全称量词消去能不能得 到下式: ∃y F（y，y）
✘
存在量词消去规则
xA( x ) A(c)
规则成立的条件： （1）c是使A（c）为真的特定的个体常元。 （2）xA（x）是闭式。
例 考察∃yF（x，y）存在量词消去能不能得到下 式: F（x，c）
则已知知识翻译为：
(1) x(P(x)y(D(y)L(x，y))) (2) x(P(x)y(Q(y) L(x，y))) 结论翻译为： x(D(x) Q(x))
(1) x(P(x)y(D(y)L(x，y))) 假设 (2) x(P(x)y(Q(y) L(x，y)))
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.2.1 假设推理系统的组成及证明方法 4.2.2 推理过程的推导过程 4.3谓词演算的归结推理系统
例 求证苏格拉底三段论
凡人要死，苏格拉底是人，所以苏格拉底要死。
解： P(e): e是人 D(e): e要死 a:苏格拉底 (1) x(P(x) D(x)) 假设 (2) P(a) 假设 (3) P(a) D(a) 全称量词消去规则 (4) D(a) (2)(3)分离 由存在推理定理得： x(P(x) Q(x))，P(a)├Q(a) 由假设推理定理得： x(P(x) D(x))(P(a)D(a))
例2 (p44) 已知知识：
(1)有些病人喜欢所有的医生； (2)所有的病人均不喜欢庸医； 试证明结论：所有的医生均不是庸医。
例2 (p44)
证明：先把知识翻译为符号公式,
令P(e)表示“e为病人”； D(e)表示“e为医生”； Q(e)表示“e为庸医”； L(e1，e2)表示“e1喜欢e2”；
例 下面推理是否正确？
设前提为∀x∃yF（x，y）， （1） ∀x∃yF（x，y） （2） ∃yF（t，y） （3） F（t，c） （4） ∀xF（x，c） （5） ∃yxF（x，y）
前பைடு நூலகம்引入 全称量词消去 存在量词消去 全称量词引入 存在量词引入
解： 推理并不正确。 如果给定解释I：个体域为实数集，F(x,y)：x＞y。 则 x∃yF（x，y）为真， ∃y xF（x，y）意为“存在着最小实数”，是假命题 ，故知推理不正确。 之所以出现这样的错误，是在第（3）步中， ∃yF（t，y ）非闭式（含有自由变元t)。
✘
全称量词引入规则
A(t ) xA( x )
规则成立的条件： （1）A（t）在任何解释I及I中对t的任何赋 值下均为真。 （2）x不在A（t）中约束出现。
存在量词引入规则
A(c) xA( x )
规则成立的条件： （1）c是特定的个体常元。 （2）x不在A（c）中出现。
第四章 谓词演算的推理理论
全称量词消去规则(7) 全称量词消去规则(9) 公理14
(13)L(a，b) Q(b)
(12)(11)分离 (14)(D(b) L(a,b))((L(a,b)Q(b))(D(b) Q(b))) 公理3 (15)(L(a，b) Q(b))(D(b) Q(b)) (14)(10)分离 (16)D(b) Q(b) (15)(13)分离 (17)x(D(x) Q(x)) 全0规则(16) 最后，把公式翻译为日常语句得结论：所有的医生均不是庸医。
第四章 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.2.1 假设推理系统的组成及证明方法 4.2.2 推理过程的推导过程 4.3谓词演算的归结推理系统
一、假设推理系统的组成
(1) (附加前提证明法) 如果Γ，△A├△B， 则Γ├△(AB)， 也可表示为： 如果△A1，△A2，…，△An，△A├△B， 则△A1，△A2，…，△An├△(AB)。 依次类推可得定理： ├△(A1(A2(…(An(AB)))…)
xA( x ) A(t )
xA( x ) A(c)
二、假设推理过程的证明方法
(2) 按永真的证明方法进行证明，但此时不能对 假设实施代入。 (3) 待证公式的后件中若有全称量词，可用全0 规则引入，存在量词可由公理21引入。
A(t ) xA( x )
A(c) xA( x )
全称量词消去规则
例 下面推理是否正确？
设前提为∀x∃yF（x，y）， （1） ∀x∃yF（x，y） （2） ∃y F（y，y） 解 前提引入 全称量词消去
推理并不正确。 如果给定解释I：个体域为实数集， F（x，y）：x＞y。 则 ∀x∃yF（x，y）意为“对于每个实数x，均存在着 比之更小的实数y”，这是一个真命题。 ∃yF（y，y）意为“存在着比自己小的实数”，是 假命题。 之所以出现这样的错误,是因为∃yF（x，y） 中有1个自 由变元x, 而∃y F（y，y）中无自由变元。
例 所有羊都吃草,所有死羊都不吃草. 所以,所有死羊都不是羊.
解: 推理如下: (1) ∀x(羊(x) →吃草(x)) (2) ∀x(死羊(x) →吃草(x)) (3) 羊(x) →吃草(x) (4) 死羊(x) →吃草(x) (5) (羊(x) →吃草(x)) →(吃草(x)→羊(x)) 定理 (6) 吃草(x)→羊(x) (7) (死羊(x) →吃草(x)) 传递公理 →((吃草(x)→羊(x)) →(死羊(x) →羊(x))) (8) (吃草(x)→羊(x)) →(死羊(x) →羊(x)) (9) 死羊(x) →羊(x) (10) ∀x(死羊(x) →羊(x))
去掉（7）、（9）中全称量词
(4)(3)分离 (5)(3)分离 全称量词消去规则(2) (8)(6)分离
(8) P(a)y(Q(y) L(a，y))
(9) y(Q(y) L(a，y))
(10)D(b) L(a，b)
(11)Q(b) L(a，b)
(12)(Q(b) L(a，b))(L(a，b) Q(b))
第四章 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.2.1 假设推理系统的组成及证明方法 4.2.2 推理过程的推导过程 4.3谓词演算的归结推理系统