最新第10讲-不等式的性质与解集
不等式的基本性质及解法
教学过程一、新课导入初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.二、复习预习1.不等式的定义.2.不等式的基本性质.3.不等式的基本定理及推论.4.一元二次不等式解法.5.分式不等式解法.6.高次不等式解法.7.无理不等式解法.8.指对数不等式解法.三、知识讲解考点1 不等式的定义及比较大小1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：>baab⇔>-aa=bb-=⇔ab<ba<-⇔考点2 不等式的基本性质定理1如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性) 即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b定理2如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)即a>b，b>c⇒a>c定理3如果a>b，那么a+c>b+c．即a>b⇒a+c>b+c推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且考点3 一元二次不等式c bx ax ++2 >0(a ≠0)任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关:(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}.(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab ,x ∈R }； ②a <0时,其解集为∅.(3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为∅.类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集.考点4 绝对值不等式的解法不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集 1|x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为: .2|x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:.考点5 分式不等式解法(1))()(x g x f >0 f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ； (4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 考点6 高次不等式根轴法：奇穿偶不穿考点7 无理不等式⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 ⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型考点8 指对数不等式指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩四、例题精析考点1不等式的定义及比较大小例1 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小.【规范解答】 由题意可知：（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1）＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1＝x 2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.例2 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．【规范解答】a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)＝(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)]= - (a-b)2(3a 3+2ab+b 2)=- (a-b)20323322≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号) ∴a 4-b 4≥4a 3(a-b)【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法. 例3 已知x>y ，且y ≠0，比较yx 与1的大小． 【规范解答】yy x y x -=-1 ∵x>y ，∴x-y>0当y<0时，y y x -<0，即yx <1 当y>0时，y y x ->0，即y x 【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论.考点2 不等式的基本性质例4 已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c 【规范解答】 ∵d c b a =∴dd c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且db ＞1 ∴d b dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧.例5 已知函数2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围.【规范解答】∵ ⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a∴ )1(35)2(389)3(f f c a f -=-=∵ -4≤f (1)≤1, 故 )35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1)又 -1≤f (2)≤5, 故 340)2(3838≤≤-f (2)把(1)和(2)的各边分别相加，得：-1≤)1(35)2(38f f -≤20所以，-1≤f (3)≤20【总结与反思】利用(1)f 与(2)f 设法表示 a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围.考点3 一元二次不等式不等式的解法例6解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x .【规范解答】原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x 即R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1. 【总结与反思】结合二次函数图象求解，注意分类讨论.考点4 绝对值不等式的解法例7解不等式|2x +1|+|x -2|>4．【规范解答】|2x +1|+|x -2|>4⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔4)2()12(21x x x ⎩⎨⎧>-++>⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤≤-421224)2(12221x x x x x x 或或 ⇔x <-1或1<x ≤2或x >2⇔x <-1,或x >1.故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}.【总结与反思】解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果.例8 解不等式|552+-x x |<1．【规范解答】原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②① 解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4}.故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}.【总结与反思】解不等式时,在本例中,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用特别要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集.考点5 分式及高次不等式的解法例9解不等式322322--+-x x x x ＜0 【规范解答】根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）. 由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}.【总结与反思】注意根轴法--奇穿偶不穿.考点6 无理不等式的解法例10解不等式0343>---x x .【规范解答】∵根式有意义∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x 又∵ 原不等式可化为343->-x x两边平方得：343->-x x解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x . 【总结与反思】对于无理不等式，注意根式有意义的条件，然后平方再求解.考点7 指对数不等式的解法例11 解不等式31831>⋅+-+x x【规范解答】原不等式可化为：018329332>+⋅-⋅x x即 0)233)(93(>-⋅-x x解之 93>x 或33<x ∴x >2或32log 3<x ∴不等式的解集为{x |x >2或32log 3<x } 【总结与反思】解指数不等式，要结合指数函数的图像与性质综合处理.例12 解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a【规范解答】原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有:221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x 当0<a <1时有: 2234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或 ∴当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x .【总结与反思】因为底数的不确定，所以要注意分类讨论.课程小结1.研究了如何比较两个实数的大小,在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小，作商法是判断商值与1的大小关系.2.不等式的性质定理及其推论: 理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法.3.掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.4.一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定)；三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集.形如|c bx ax ++2|<m 及|c bx ax ++2|>m (m >0)的不等式的解法,关键是去掉绝对值符号使其转化为一元二次不等式(组),借助数轴的直观作用,达到解题目的.5.要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.6.解指对数不等式：注意数形结合思想方法的运用.。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中一种重要的表示不等关系的数学语句，它与等式相对应。
研究不等式的性质和解法对于理解数学知识、解决实际问题具有重要意义。
本文将探讨不等式的性质以及一些常见的解法，并为读者提供一些实用的技巧。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质包括传递性、对称性和加法、减法、乘法性质。
1. 传递性：如果 a > b 且 b > c，则有 a > c。
这种性质使得不等式在运算过程中具有连续性，方便我们研究和解决问题。
2. 对称性：如果 a > b，则有 b < a。
不等式在进行对称变换时可以改变不等式符号的方向，但不等式仍然成立。
3. 加法、减法性质：如果 a > b，则有 a + c > b + c，a - c > b - c。
不等式在加法和减法运算中，可以将数加减到两边，不等关系仍然成立。
4. 乘法性质：如果 a > b 且 c > 0，则有 ac > bc，如果 c < 0，则有 ac < bc。
不等式在乘法运算中可以将等式两边乘以正数，或者乘以负数并改变不等关系的方向。
二、解一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，解这类不等式的方法和解方程类似。
以下是解一元一次不等式的步骤：1. 将不等式中的所有项移到一边，使不等式变为“不等于0”的形式。
2. 如果不等式两边乘以负数，则需要改变不等式的方向。
3. 对于一元一次不等式，在不等式两边同时加上同一个数或者乘以同一个正数时，不等式的不等关系不变。
4. 求解出不等式的解集。
例如，解不等式2x - 5 > 7，按照上述步骤进行解答：1. 将不等式变为“不等于0”的形式：2x - 5 - 7 > 0。
2. 对不等式两边同时加上同一个数：2x - 12 > 0。
3. 不等式两边同时除以正数2：x - 6 > 0。
4. 求解出不等式的解集：x > 6。
不等式的基本性质与解法总结
不等式的基本性质与解法总结不等式是数学中常见的一种数值关系表达形式，它描述了两个数或者数值表达式之间大小关系的不同情况。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要研究不等式的性质并解决不等式的问题。
本文将总结不等式的基本性质和解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a+c<b+c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a+c>b+c仍然成立。
2. 减法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a-c<b-c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a-c>b-c仍然成立。
3. 乘法性质：如果a<b且c>0，那么ac<bc仍然成立；如果a<b且c<0，那么ac>bc仍然成立。
4. 除法性质：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c仍然成立；如果a<b且c<0，那么a/c>b/c仍然成立。
5. 等式的性质：如果a=b且b=c，那么a=c仍然成立。
可以在不等式的两边加上或者减去相等的数值，不等式的关系仍然保持不变。
二、不等式的分类与解法不等式可以分为一元不等式和二元不等式两类。
一元不等式指只有一个变量的不等式，而二元不等式指含有两个变量的不等式。
下面将分别介绍一元不等式和二元不等式的解法。
1. 一元不等式的解法（1）图像法：将一元不等式转化为二元不等式，绘制出二元不等式的图像，通过观察图像得到一元不等式的解集。
（2）数线法：将一元不等式表示在数轴上，根据不等式的性质，确定不等式的解集。
（3）代数法：通过变形和运算等方式将不等式转化为更简单的形式，进而得到不等式的解集。
2. 二元不等式的解法（1）图像法：将二元不等式表示为平面上的区域，通过观察图像确定变量的取值范围，得到不等式的解集。
（2）代数法：利用一元不等式的解法，将一个变量表示成另一个变量的函数，通过求解一元不等式得到二元不等式的解集。
不等式的性质、解不等式
不等式的基本性质、解不等式【基础知识】一、不等式的概念及基本性质注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。
如果遇到减法和除法，可以转化乘加法 和乘法，如：求a b -的范围可以转化成求()a b +-的范围，求a b 的范围可以转化成求1a b⨯的范围。
②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。
三、分式不等式和高次不等式 1、分式不等式的解法 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f xg x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集。
温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。
2、高次整式不等式的解法（序轴标根法）先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集。
实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。
四、绝对值不等式 1、解绝对值不等式 方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴。
方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。
注意小分类求交大综合求并。
方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以用平方法。
2、绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。
【例题精讲】例1 已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT课件
例1：
我是最棒的 ☞
判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
方向不变。
➢如式不果的等a两>式边b，基都c本乘<性0以质（那3或么：除ac以<b）c同(或一ac个负bc数，不)就等是号说的不方等向
改变。
等式性质与不等式性质的区别和联系
• 区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不 为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是 正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改 变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 _x____87_.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
如果_a_>_b_,那么a±c>b±c _________.
不等式还有什么类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3
那么 7×5 _＞___ 3× 5 , 7÷5 __＞__ 3÷ 5 ,
➢如果-1< 3,
那么-1×2<____3×2,
-1÷2__<__3÷2,
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以
不等式的基本性质与解法知识点总结
不等式的基本性质与解法知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是描述数值关系的一种有效方式。
本文将总结不等式的基本性质和解法知识点。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
4. 除法性质：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。
5. 对称性质：若a>b，则-b>-a。
6. 传递性质：若a>b且b>c，则a>c。
7. 绝对值性质：若|a|>|b|，则a^2>b^2。
8. 幂性质：若a>b且n为正整数，则a^n>b^n。
二、不等式的解法1. 图像法：将不等式转化为图像，利用图像直观地判断解集。
2. 对称法：当不等式具有对称性时，可以利用对称性质简化计算。
3. 分情况讨论法：将不等式分成不同的情况进行讨论，逐一求解。
4. 加减法合并法：将不等式中的项进行合并，简化计算。
5. 取绝对值法：若不等式中存在绝对值，可以通过取绝对值简化问题。
6. 平方法：若不等式中存在平方或平方根，可以通过平方或开方简化计算。
7. 代入法：将不等式中的变量代入，通过求解方程得到不等式的解集。
8. 倒置法：将不等式的方向倒置，从而转化为已知的不等式进行求解。
9. 寻找最值法：通过寻找函数的最值，确定不等式的解集。
10. 数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以通过数学归纳方法来证明。
三、实例分析以下是一些例子，通过上述解法来解答：例子1：解不等式2x+3>7。
解法：首先，我们可以使用加减法合并法将不等式化简为2x>4。
然后，再利用乘法性质除以2，得到x>2。
(中考复习)第10讲 不等式与不等式组
解不等式．
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖析
课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
2．不等式的基本性质：
加上(或减去) 同一个数或同一个整式， (1)不等式两边都_______________ 不等式仍然成立；若a>b，则a±c>b±c. 乘以(或除以) 同一个________ 正数 ， (2)不等式两边都_______________ 不等式 a b 仍然成立；若 a>b，c>0，则 ac>bc， > . c c 乘以(或除以) 同一个________ 负数 ， (3)不等式两边都_______________ 改变不 等号的方向， 改变后不等式仍能成立； 若 a>b， c<0， 则 ac<bc， a b < . c c
< 3 x－3， x＋1 【例 3】 2 ( 0 1 3 · 杭州)当 x 满足条件1 时， 求 1 2（x－4）<3（x－4） 出方程 x2－2x－4＝0 的 根 ．
< 3 x－ 3， x＋ 1 2<x， 解：由1 求得 则 2＜x＜4. 1 x<4， 2（ x－ 4） <3（x－4） 解方程 x2－ 2x－4＝ 0 可得 x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5， ∵ 2＜ 5＜ 3， ∴ 3＜ 1＋ 5＜ 4，符合题意． ∴方程 x2－ 2x－4＝ 0 的 根 为
图9－5 解：2(x＋1)≥x＋4，
2x＋2≥x＋4，
x≥2.
在数轴上表示如图9－6所示：
图9－6 1，2，3 ． 2．(2013· 白银)不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是__________
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
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解读一 不等式的概念
1． 用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式． 2． 除了“＜”和“＞”外，表示不等关系的符号还有“≠”、“≥”和“≤”．
温馨提示： 一个式子是否为不等式与不等式是否成立无关．
【例 1】在数学表示式：①－3＜0，②3x＋5＞0，③x2－6，④x＝－2，⑤y≠0，⑥x2＋2≥0
【例 4】不等式( A．x－3＜0 B．x－3≤0 C．x－3＞0 D．x－3≥0
【答案】C
)的解集在数轴上的表示如图所示． 01 23456
【例 5】在数轴上表示下列不等式． （1）x＜－1；
（2）－2＜x≤3．
【答案】解：（1）将 x＜－1 表示在数轴上如下：
-4 -3 -2 -1 0 1 （2）将不等式组－2＜x≤3 表示在数轴上如下：
（1）x＋5＞12；
（2）3x＜1＋2x；
（3）－ x ＞2； 5
（4）2x＋5＜4x－2．
【答案】（1）x＞7；（2）x＜1；（3）x＜－10；（4）x＞ 7 ；数轴上表示略 2
【变 3】解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
（1）m＋n_________0； （3）mn__________0； （5）|m|________|n|．
（2）m－n_________0； （4）m2__________n；
【答案】（1）＜（2）＜（3）＞（4）＞（5）＞
探究二 用不等式的性质解不等式
【例 3】用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
2
3
探究一 用数轴上的点与实数的关系表示不等式
【例 1】数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是(
A．a＞b
B．ab＜0
) 0 b1
【答案】D
【例 2】已知有理数 m，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
n -1 （1）n－m______0； （2）m＋n______0； （3）m－n______0； （4）n＋1______0； （5）m·n______0； （6）m＋1______0．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【变 2】下列说法中正确的是( ) A．a 不是负数，则 a＞0 C．m 不小于－1，则 m＞－1
【答案】D
B．b 是不大于 0 的数，则 b＜0 D．a，b 是负数，则 a＋b＜0
解读二 不等式的解与解集
1． 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
【变 6】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）5x＞4x＋8；
（2）x＋2＜－1；
（3）－ 2 x＞－1； 3
（4）10－x＞0；
（5）－ 1 x＜－2； （6）3x＋5＜0． 5
【答案】解：（1）x＞8；（2）x＜－3；（3）x＜ 3 ；（4）x＜10；（5）x＞10；（6）x＜－ 5 ．
B．x＝2 不是它的解
C．有无数个解
D．x＜3 是它的解集
【答案】B
【变 3】下列关系式中，不含有 x＝－1 这个解的是( )
A．2x＋1＝－1
B．2x＋1＞－1
C．－2x＋1≥3
【答案】B
D．－2x－1≤3
解读三 不等式的解集在数轴上的表示
在数轴上表示不等式的解集时，有等号的画实心圆点，没有等号的用空心圆点，大于向 右画，小于向左画．
【例 6】已知 x＞2，则下列变形正确的是( A．－x＜2 C．－ 1 x＋2＜1 2
【答案】C
) B．若 y＞2，则 x－y＞0 D．若 y＞2，则 x ＞1 y
【例 7】若 a＞b，则下列不等式中，不成立的是( )
A．－3a＞－3b
B．a－3＞b－3
C． a ＞b 33
【答案】A
D．－a＜－b
中，不等式的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【例 2】在数轴上与原点的距离小于 8 的点对应的 x 满足( )
A．－8＜x＜8
B．x＜－8 或 x＞8 C．x＜8
【答案】A
D．x＞8
【变 1】下列式子：①a＋b＝b＋a；②－2＞－5；③x≥－1；④ 1 y－4＜1；⑤2m≥n； 3
⑥2x－3，其中不等式有( )
解读四 不等式的性质 1． 不等式两边加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．即若 a＞b，则 a＋c＞b＋c， a－c＞b－c．
2． 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．即若 a＞b，c＞0，则 ac＞bc(或 a ＞ b )． cc
3． 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．即若 a＜b，c＜0，则 ac＞bc(或 a ＞ b )． cc
0 m1
【答案】（1）＜；（2）＜；（3）＞；（4）＜；（5）＜；（6）＞．
【变 1】若实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是( ) A．a－c＞b－c
B．a＋c＜b＋c C．ac＞bc
a
b
0c
D． a ＜ c bb
【答案】B
【变 2】实数 m，n 在数轴上对应的点的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空． mn 0
2． 一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集． 3． 求不等式的解集的过程叫做解不等式．
温馨提示： 不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等 式的未知数的所有的值．
【例 3】对于不等式 x－3＜0，下列说法中不正确的是( )
A．x＝2 是它的一个解
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
【变 4】在数轴上表示下列不等式：
（1）x＞7；
（2）x＜－1；
（3）x≤4；
（4）x≥－5．
【答案】解：（1）如图所示：-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ； （2）如图所示：-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ； （3）如图所示：-2 -1 0 1 2 3 4 5 ； （4）如图所示：-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 ．
【例 8】已知 a＜b，用不等号填空：
a＋3______b＋3；－ a ______－ b ；3－a______3－b．
4
4
【答案】＜，＞，＞
【变 5】下列不等式变形正确的是( ) A．由 a＞b，得 a－2＜b－2 C．由 a＞b，得－2a＜－2b
【答案】C
B．由 a＞b，得|a|＞|b| D．由 a＞b，得 a2＞b2