导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知识梳理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，①如果在xf′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；0附近的左侧②如果在xf′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.0附近的左侧(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.诊断自测1.判断正误(在括号打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数在某区间上或定义域极大值是唯一的.(×)(2)函数的极大值不一定比极小值大.(√)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√)2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有( )A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值3解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.答案 D3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x ＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.答案 D4.(2015·卷)函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________.解析由y＝x e x可得y′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，从而可得y＝x e x在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝x e x取得极小值－e－1，因为y′|x＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－1e.答案y＝－1 e5.(人教A选修1－1P97例5改编)函数f(x)＝13x3－4x＋4在[0，3]上的最大值与最小值分别为________.解析 由f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2或x ＜－2；令f ′(x )＜0，得－2＜x ＜2.所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增；在(－2，2)上单调递减，而f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，故f (x )在[0，3]上的最大值是4，最小值是－43.答案 4，－43考点一 利用导数研究函数的极值问题 [微题型1] 求不含参函数的极值【例1－1】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)，故舍去. 当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数. 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，f (x )无极大值.[微题型2] 求含参函数的极值【例1－2】 (2015·一中一模)求函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R 的极值. 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞). 求导数，得f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.(1)若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，无极值； (2)若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数.∴当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－ln a －1.综上所述，当a ≤0时，f (x )无极值；当a ＞0时，f (x )极大值为－ln a －1，无极小值. 规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根左右的值的符号. [微题型3] 已知极值求参数【例1－3】 已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，试求b ，c 的值.解 ∵f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处有极值－43，可得⎩⎨⎧f ′（1）＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝3. 若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1). 当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴当x ＝1时，f (x )有极大值－43，故b ＝－1，c ＝3即为所求.规律方法 已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.【训练1】 设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a ＞0).(1)当a ＝1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值； (2)若f (x )在R 上无极值点，求a 的取值围. 解 由题意得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1. (1)函数图象过(0，1)时，有f (0)＝c ＝1. 当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 故函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立.当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.考点二 利用导数解决函数的最值问题【例2】 (2015·德阳模拟)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)当x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0，1]上的最小值. 解 因为f ′(x )＝x 2－a ， (1)当x ＝1时，f (x )取得极值， 所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1， 又当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1时符合题意. (2)①当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0，1)恒成立，所以f (x )在(0，1)上单调递增，f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1. ②当a ＞0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，解得x ＝－a 或a . ⅰ.当0＜a ＜1时，a ＜1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3.ⅱ.当a ≥1时，a ≥1.x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝1，当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3，当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .规律方法 (1)如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可.(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值.【训练2】 (2014·卷)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x ＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞).(2)f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x，a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增. 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)， 由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8， 得a ＝±22－2，均不符合题意. ②当1＜－a2≤4，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意.③当－a2＞4，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意. 综上，a ＝－10.考点三 利用导数研究生活中的优化问题【例3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元.所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3).因r>0，又由h>0可得0＜r<53，故函数V(r)的定义域为(0，53).(2)因V(r)＝π5(300r－4r3)(0＜r＜53)，故V′(r)＝π5(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域，舍去).当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数.由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.规律方法际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.【训练3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)的极大值点，也是最大值点.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.[思想方法]1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分.2.求极值、最值时，要求步骤规、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.3.可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.4.若函数y＝f(x)在区间(a，b)有极值，那么y＝f(x)在(a，b)绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.[易错防]1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.。