组合数学CH1.1,1.2

组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
•Nim游戏： 是一种两人玩的游戏，玩家双方对一 堆硬币。假设k堆硬币，每堆分别为n1,n2,…nk枚硬 币。这一游戏的目标就是取得最后一枚硬币。游戏 规则如下： 1）玩家轮番出场； 2）当轮到一个玩家取子时，他们都要从选择的 硬币堆中至少取走一枚硬币；（这位玩家可以把所 选硬币堆都取走，于是剩下一个空堆，这时它“退 出”） 当所有的硬币堆都空了的时候，游戏结束。走最后 一步的玩家，即取走最后一枚硬币的玩家获胜。
则集合A的r-圆排列为
P n, r n! M r r (n r )!
注意：把一个圆排列旋转可得到另一个圆排列，这两个圆排列 是相同的。 例1 由数字1,2,3,4,5,6可以构成多少个数字互不相同的四位
数.
例2 将具有9个字母的单词FRAGMENTS进行排列,要求A总 是紧跟在字母R的右边,问有多少种这样的排法. 答案：
相关课程
《数学分析》《高等代数》《离散数学》
参考教材:



孙世新编,《组合数学》,电子科技大学出版; 社,2006年 孙淑玲编,《组合数学》,(第三版)中国科学技 术大学出版社,2012年; 卢开澄,卢华明编,《组合数学》,清华大学出版 社,2002年; Richard A.Brualdi著,冯速等译,《组合数学》 (第五版),机械工业出版社,2012年.
例 题
例1、有一所学版本的法汉词典；第二类是四种 不同类型的数学参考书；第三类是二 种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖 品的方法有多少种？
解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第 i类奖品的集合 (i=1,2,3)，显然，Si∩Sj=Φ (i≠j) ，根据加法法则有
若|A|=k，|B|=l ，A×B={(a,b)|a∈A， 集合论定义 b∈B}，则|A×B| = k×l 。 m 设 S i ( i 1, 2,..., m ) 是有限集合，且 S Si
Si
{(a1 , a2 ,..., am ) | ai S i , i 1, 2,..., m }，则有
4 9 5
４ 阶 幻 方
2 16
(Combinatorial mathematics)
• 36军官问题：给定来自6种军衔和6个军团的 36名军官，能不能把他们排成一个6×6编队， 使得每一行上和每一列上都满足每个军衔有 一名军官且每个军团有一名军官呢？ ——这个问题是18世纪由瑞典数学家 L.Euler提出的一个数学娱乐问题，它对统计 学特别是试验设计等产生重要的影响。
组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
•交通管理问题： 对于城市的交通管理，交通规划， 哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方 应该设单行 道，立交桥建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合 理， 如此等等，全是组合数学的问题。 • 最短路径问题：一个通讯网络怎样布局最节省？ 美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合 数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大 的经济利益。
组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
• 吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求， 使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数 学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的 要求下产生的。 • 最近,吴文俊院士又指出，信息技术很可能会 给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数 学则将显示出它的重要作用。
1.1 加法法则 §1.1 § 加法法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
加法法则 相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则产生 A 或 B 的方 法数为 k+l 种。 若|A|=k，|B|=l ，且A∩B=Φ ， 则|A∪B| = k+l 。
m i 1 m
集合论定义
设S是有限集合，若 S i S , S 时， Si
组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
•Gian-Carlo-Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁，组合 数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一 个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发 展组合数学。
组合数学概述
•胡锦涛同志在1998年接见“五四”青年奖章时 发表的讲话中指出，组合数学不同于传统的纯数 学的一个分支，它还是一门应用学科，一门交叉 学科。他希望中国的组合数学研究能够为国家的 经济建设服务。
组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
组合数学具体地说是研究离散结构存在、计 数、分析和优化等问题的一门学科，虽然某 些离散结构是无限的，但一般我们把所研究 的离散视为有限的。
二、组合数学的主要内容
组合数学概述
目
引言 第1章 排列与组合
1.1 加法法则和乘法法则 1.2 排列 1.3 组合 1.4 二项式定理 1.5 组合恒等式及其含义 本章小结
第2章 鸽笼原理与容斥原 理
2.1 鸽笼原理 2.2 容斥原理及其应用 本章小结
(Combinatorial mathematics)
三、开课目的和要求 本课程主要内容为组合数学，是一门理论性 较强，应用性较广的课程。因此，通过本课程 的学习，使学生熟悉组合计算方法的基本原理 和基本方法，掌握常见组合计算的方法，能把 一种较难的组合计数问题转化为一个较易的组 合问题，进一步提高组合计算能力。运用组合 数学的思想和方法，培养分析问题和解决问题 的能力。
组合数学
主讲人:高巧琴
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
课程简介
本课程针对计算机科学中的一个重要学科 —— 组合数学， 组合数学是数学的一个分支，它研究事物在结定模式下的配 置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以 及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛 的应用。 组合学问题求解方法层出不穷、千变万化，应以理解为 基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。
§1.1 加法法则和乘法法则 在实际中，大量的计数问题分为两大类： 1、计算事物的有序安排或有序选择数。这又分为 两种情况： 这是属于 （1）不允许任何事物重复； 排列问题. （2）允许事物重复。 2、计算事物的无序安排或无序选择数。这又分为 两种情况： 这是属 （1）不允许任何事物重复； 于组合问 题 （2）允许事物重复。
例3 求出从8个计算机系的学生、 9个 数学系的学生和10个经济系的学生中 选出两个不同专业的学生的方法数。
1.1.2 乘法法则
例 题
解：由乘法法则有 选一个计算机系和一个数学系的方法数为8×9=72 选一个数学系和一个经济系的方法数为9×10=90 选一个经济系和一个计算机系的方法数为10×8=80 由加法法则，符合要求的方法数为 72+90+80=242
组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
总之，组合数学无处不在，它的主要应用就 是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数 学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了 的运筹学，一门量化了的管理学。
组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
一、组合数学研究什么 组合数学又名组合学是研究“安排”的 学科——把已给的有限或可数个物体按一 定规则来安排时： 存在性问题:符合要求的安排是否存在？ 计数问题:如有，这种安排有多少种？ 构造问题:怎样作出这些安排？ 优化问题:当有衡量这种安排的优劣的标准 时，怎样求出最优安排？
组合数学概述
(Combinatorial mathematics)
四、计划及注意点
• 共32课时，第一～四章
组合数学概述
• 把好入门关，牢固掌握基本原理与方法，反 复思考，认真体会。解题需要智慧和灵感。 组合数学源于实践用于实践。
第一章
排列与组合
本章重点介绍以下的基本计数方法：
• 加法法则和乘法法则 • 排列 • 组合 • 二项式定理的应用 • 组合恒等式
录
第3章 母函数
3.1 母函数的基本概念 3.2 母函数的基本运算 3.3 在排列组合中的应用 3.4 整数的拆分 本章小结 习题
第4章 递推关系
4.1 递推关系的建立 4.2 常系数线性齐次递推关系 4.3 常系数线性非齐次递推关系 4.4 迭代法与归纳法 4.5 母函数在递推关系中的应用 本章小结
n P n P n, n n!.
当n r 2时， P n, r nP(n 1, r 1);
P n, r rP(n 1, r 1) P(n 1, r ).
§1.2 排列 二、圆排列
设集合 A
a1, a2 ,
an 是具有n个元素的集合，r是正整数
1.1.2 乘法法则
例 题
解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选 择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后， 十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、 两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数 个数为 2×4×3×2=48
§1.1 乘法法则例6
§1.1 加法法则和乘法法则
|S|
3 i 1
Si |S1 ||S2 ||S3 | 3 4 2 9
注：运用加法法则的技巧是把集合S划分成少量的易处 理的部分。
§1.1 乘法法则 §1.1 加法法则和乘法法则
1.1.2 乘法法则
乘法法则 相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则选取A以后再选取B 的方 法数为 k×l 种。
组合数学概述