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初中知识速记手卡

初中知识速记手卡初中阶段是学生学习知识的重要时期，掌握好知识点对于学习成绩的提高至关重要。

为了帮助同学们更好地记忆和掌握初中知识，我整理了一份初中知识速记手卡。

这些手卡以简洁明了的方式呈现重要的知识点和关键概念，希望对同学们的学习有所帮助。

一、数学篇1.代数基础- 代数运算符号：+ 加号- 减号×乘号÷除号- 乘方运算：mⁿ = m × m × ... × m （共n个m相乘）- 开平方运算：√n- 方程：Ax + B = 02.几何基础- 直线和曲线- 平面图形：圆、三角形、四边形等常见图形及其性质- 空间几何：立体图形、投影等概念3.函数与图像- 函数的定义：y = f(x)- 常见函数：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等- 图像的性质：对称性、单调性、极值点等4.概率与统计- 基本概率计算- 数据处理：平均数、中位数、众数等概念- 概率统计：抽样调查、频率分布表、统计图表等二、物理篇1.力与运动- 动力学基本定律：牛顿第一定律（惯性定律）牛顿第二定律（力的作用定律）牛顿第三定律（作用与反作用定律）- 运动的描述：位移、速度、加速度等概念2.光与影- 光的传播：直线传播、反射、折射等现象- 光的性质：光的颜色、光的折射、光的干涉等- 影的形成与性质：物体与光的关系、投影等3.电与磁- 电流与电压：电路基本定律、串联与并联电路等- 电磁感应：动生电动势、静生电动势、电磁感应定律等4.能量与能量转化- 动能与势能：动能定理、功与功率等- 能量守恒定律：封闭系统内能量守恒三、化学篇1.物质与化学反应- 纯净物与混合物：元素与化合物的区别- 化学反应类型：合成反应、分解反应、置换反应等- 物质的保存定律：质量守恒原理2.原子结构与周期表- 原子结构：原子核、电子、质子、中子的构成与性质- 元素的周期性：周期表的组成与特点3.化学键与分子- 化学键的类型：离子键、共价键、金属键等- 分子构成：元素的原子数与化学式的关系4.溶液与酸碱- 溶解度与浓度：溶液中溶质的最大溶解量- 酸碱反应：酸、碱的定义及性质四、生物篇1.细胞与生命- 细胞的组成：细胞膜、细胞质、细胞核等- 细胞的功能：营养摄取、分裂繁殖等2.生物分类与进化- 生物的分类方式：动植物分类、五层次生物分类等- 进化论：适者生存、自然选择等概念3.遗传与变异- 遗传的基本规律：孟德尔遗传规律、基因型与表现型等- 突变与变异：基因突变、突变的结果等4.生物生长与繁殖- 生物的体积与表面积关系- 繁殖方式：有性生殖、无性生殖等这份初中知识速记手卡涵盖了数学、物理、化学和生物等学科的重要知识点，通过简洁明了的方式，帮助同学们更好地掌握初中阶段的学科知识。

实数知识点梳理

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）3．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可数求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．4．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．5．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．6．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．7．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：a3．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．8．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．9．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．10．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．11．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．12．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．13．代数式求值（1）代数式的：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．。

知识卡片-图象法求一元二次方程的近似根

图象法求一元二次方程的近似根能量储备●利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤(1)画出函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象.(2)确定抛物线与x轴交点的个数，看交点在哪两个数之间．(3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负过渡的地方，当x由x1取到x2时，若对应的y值出现y1＞0，y2＜0，则x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．一般需要我们求近似根的方程，其根往往是无理数，所以列表时不可能取到精确根．●图象法求解一元二次方程的常用方法(1)方法1：利用找抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象；②观察图象，确定抛物线与x轴的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．(2)方法2：利用抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2(a≠0)与y＝－bx－c(b≠0)[或y＝ax2＋bx(a≠0)与y＝－c或y＝x2与y＝－ba x－ca）（0ab]的图象；②观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现．但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的．通关宝典★基础方法点方法点1：利用图象法求一元二次方程的近似实数根先根据抛物线与x轴的交点，确定出交点的横坐标的大致范围，即得到一元二次方程实数根的大致范围，然后利用取平均数的方法，逐步缩小实数根所在的范围，这样，实数根所在范围的两端的值越来越接近根的值，从而可确定一元二次方程的近似实数根．例：利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根．(精确到0.1)解法1：原方程变形为－x2＋2x＋5＝0.作函数y＝－x2＋2x＋5的图象如图所示．由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在－2与－1之间和3与4之间，即方程－x2＋2x－3＝－8的两实数根分别在－2与－1之间和3与4之间．用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，从而确定方程的近似解．如由图象可知，当x＝3时，y＞0；当x＝4时，y＜0.取3和4的平均数3.5.当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25.当x＝3.25时，y＝0.937 5，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375.当x＝3.375时，y＝0.359 375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间．由此方法可得到原方程的一个近似实数根为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.解法2：作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图所示．由图象知，方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，一个交点的横坐标在－2与－1之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．同样用取平均数的方法，可得方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.★★易混易误点蓄势待发考前攻略考查根据给出的几组x，y值确定一元二次方程的解，题型多为选择题、解答题．完胜关卡。

实数_PPT3

想一想解题后的归纳
江西弋阳方志敏中学
从练习中悟方法
（1）（判断）最小自然数是1. （）
（2）将“百里挑一“用百分数表示出来：
（3）移动一张卡片使等式成立：3 3 - 2 6 = 1
（4）（24点）将1、5、5、5四个数进行加减乘除等运算，使其结果等于24.
（5） (比较大小) 0.9 ○ 1
(3) 3 ＜ ( ) ＜ 5 (4) 3 ＜ ( ) ＜ 4
(5) 0 ＜ ( ) ＜2
江西弋阳方志敏中学
摆一摆:
用二张数字卡片
尽可能多摆数.
26
26、62 29、92
26
29
……
江西弋阳方志敏中学
摆一摆:
用三张数字卡片
尽可能多摆数.
26
126、162、216、261、612、621
129、192
……
6
2、
29
……
2 2 ……
6 、9
29 ……
江西弋阳方志敏中学
移一移：
江西弋阳方志敏中学
至少移动几根火柴棒使等式成立：
移一移：
至少移动几根火柴棒使等式成立：
江西弋阳方志敏中学
移一移：
至少移动几根火柴棒使等式成立：
江西弋阳方志敏中学
移一移：
至少移动几根火柴棒使等式成立：单纯的语言表达和肢体语言表达两种方式是舞台上进行表演的最主要途径，并且这两种表达方式是极具主观性的，所以更能够与表演
片段一虽开始处也表达了理解之情，但立刻责备对方“做法实在欠妥”，并在第二段将其行为提升到“不尊重长辈”“有悖于我国的
等运算，使其结果等于24. （5 - 1÷5）×5 基本礼法”“对自己的不负责任”的道德高度进行批评。这样的文字，站在道德高位上指手画脚，将原本平等对话的双方扭曲成“法

实数(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题2.12 实数（知识讲解）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……..要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念的理解1．已知：a ，b 均为有理数，且满足722322332a b ++-=．化简|2|||x a b x ---．【答案】当x ＜-2时，5x --；当-2≤x ≤1时，33x +；当x ＞1时，5x +【分析】根据已知等式可得关于a 和b 的方程，求出a ，b 的值，再代入，根据x 的范围分类讨论，去绝对值化简即可．解：-=，a ，b 均为有理数，∴((722a b +-=∴73a +=，220b -=，∴a =-4，b =1，∴|2|||x a b x ---=|24||1|x x +--，当x ＜-2时，|24||1|x x +--=()241x x ----=5x --；当-2≤x ≤1时，|24||1|x x +--=()241x x +--=33x +；当x ＞1时，|24||1|x x +--=()241x x ++-=5x +．【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a 和b 的值．【变式1】有下列说法：∴无理数是无限小数，无限小数是无理数；∴无理数包括正无理数、0和负无理数；∴带根号的数都是无理数；∴无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A 【分析】根据无理数、分数的概念判断．解：无限不循环小数是无理数，∴①错误． 0是有理数，∴②错误． 42=是有理数，∴③错误．π也是无理数，不含根号，∴④错误． 33是一个无理数，不是分数， ∴⑤错误．故选：A ．【点拨】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．【变式2】在实数7.5-415π，2⎝⎭中，设有a 个有理数，b 个无=________．【答案】2【分析】由题意先根据有理数和无理数的定义得出a 、b解：7.5-，45=-，212=⎝⎭共有4个有理数，即4a =，15π共有2个无理数，即2b =，2=．故答案为：2．【点拨】本题考查有理数和无理数的定义以及算术平方根的运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．类型二、实数的分类2．把下列各数填入相应的集合内．π、－5200.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），(1)有理数集合{ … }(2)无理数集合{ … }(3)负实数集合{ … }【答案】(1)－520，π，0.3737737773(3)－52，【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．(1)有理数集合：{－52，(2)无理数集合：π，0.3737737773……}(3)负实数集合：{－52，【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.【变式1】在实数：3.14159 1.010 010 001，π，27中，无理数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．4=，∴在实数：3.14159 1.010010001…，π，227中，无理数有1.010010001…，π，共2个．故选：B ．【点拨】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式2】、2π、－31、211、0.101001001…（相邻两个1间依次多1个0）五个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，任意取一张，抽到有理数的概率是______．【答案】25##0.4 【分析】根据题意可知有理数有－31、211，共2个，根据概率公式即可求解解：、2π、－31、211、0.101001001…（相邻两个1间依次多1个0）五个实数中，－31、211是有理数， ∴任意取一张，抽到有理数的概率是25故答案为：25【点拨】本题考查了实数的分类，根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键．类型三、实数的性质3．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果0mx n +=，其中m 、n 为有理数，x 为无理数，那么m=0且n=0．（1）如果(230a b -+=，其中a 、b 为有理数，那么a= ，b= ；（2）如果((219a b -=，其中a 、b 为有理数，求2a b -的平方根；（3）若x ，y 是有理数，满足()(3219x y y --=+x y -的算术平方根．【答案】（1）2，-3；（2）±3；（3）【分析】（1）根据题意可得：a -2=0，b +3=0，从而可得解；（2）把已知等式进行整理可得)290a b a b --+=，从而得2a -b =9，a +b =0，从而可求得a ，b 的值，再代入运算即可；（3）将已知等式整理为379x y -+=+，从而得3x -7y =9，y =3，从而可求得x ，y 的值，再代入运算即可．解：（1）由题意得：a -2=0，b +3=0，解得：a =2，b =-3，故答案为：2，-3；（2）∴((219a b -=，∴)290a b a b --+=，∴2a -b -9=0，a +b =0，解得：a =3，b =-3，∴2a b -=9，∴2a b -的平方根为±3；（3）∴()(3219x y y --=+，∴379x y -=+∴3x -7y =9，y =3，∴x =10，∴x y -=10-3=7，∴x y -的算术平方根为【点拨】本题主要考查实数的运算，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的等式．【变式1】对于数字- ）A ．它不能用数轴上的点表示出来B ．它比0小C ．它是一个无理数D ．它的相反数为【答案】C【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．解：A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；B．20->，故该说法错误，不符合题意；C．2-+D．2-2故选：C．【点拨】本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．【变式2】25的算数平方根是______的相反数为______．【答案】53【分析】根据算术平方根的定义和实数的相反数分别填空即可．解：∴2525=∴25的算数平方根是5；=-3的相反数为3；故答案为：5,3．【点拨】本题考查了实数的性质，主要利用了算术平方根，立方根的定义以及相反数的定义，熟记概念与性质是解题的关键．类型四、实数与数轴4．实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−10|＋|2−a|(1)求b的值；(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．【答案】2(2)【分析】（1）先判断2<a<3，再判断a<0，2−a<0，再化简绝对值，合并即可；b b再求解,m n的值，再求解2m＋2n＋1，最后求解平方根即可．（2）先求解2,8,(1)解：∴2<a<3∴a，2−a<0∴b-a＋a-2(2)∴b＋8－b=8）=10，<<3104,610107,∴m－3，n=10－6=4∴2m＋2n＋6+8－1=3∴2m＋2n＋1的平方根为【点拨】本题考查的是实数与数轴，化简绝对值，无理数的小数部分的理解，平方根的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．【变式1】如图，点A表示的实数是（）B C DA【分析】根据勾股定理可求得OA A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．解：如图，∴OB=OA=OB，∴OA∴点A在原点的左侧，∴点A在数轴上表示的实数是B正确．故选：B．【点拨】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．3在数轴上对应的点分别是点A和点B，那么AB的【变式2】长度为_____．【答案】5【分析】根据数轴两点间的距离，较大的数减较小的数，可得答案．解：由题意，得3＝5．【点拨】本题考查了实数与数轴，利用较大的数减较小的数,是解题关键．类型五、实数的大小比较5．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：∴∴3－2＝1＞0，∴3＞2；∴∴（－2）－1＝－3＜0，∴－2＜1；∴∴（－2）－（－2）＝0，∴－2＝－2像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．(1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：若0a b ->，则a _________b ；若0a b -=，则a _________b ；若0a b -<，则a _________b ；(2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒∴______________∴当x y >时，35x y +____________26x y +；(3)试比较()2231x x ++与2523x x +-的大小，并说明理由．【答案】(1)＞，=，＜(2)＜，＞(3)222()31523x x x x +++-＞，理由见详解【分析】（1）根据作差法可作答；（2）利用作差法即可作答；（3）结合整式的加减混合运算法则，利用作差法即可作答；解：(1)∴0a b ->，∴a b >；∴0a b -=，∴a b =；∴0＜-a b ，∴a b ＜，故答案为：＞、=、＜；(2)①∴0=，∴②∴35(26)x y x y x y +-+=-，又∴x y ＞，∴35(26)0x y x y x y +-+=-＞，∴3526x y x y ++＞，故答案为：＜、＞；(3)222()31523x x x x +++-＞，理由如下：∴222312()()5235x x x x x -=+++-+，又∴2550x +≥＞，∴222()(312)530x x x x +++--＞，∴222()31523x x x x +++-＞．【点拨】本题考查了实数比较大小、二次根式的加减混合运算、整式的加减混合运算等知识，掌握相关的加减混合运算法则是解答本题的关键．【变式1】在四个实数2-，0，1-中，最小的实数是（）A ．2-B ．0C ．D ．1-【答案】A【分析】根据实数比较大小的方法直接求解即可．解：2310-<-<-<，∴四个实数2-，0，1-中，最小的实数是2-，故选：A ．【点拨】本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【变式2_____12．【答案】>解：2=，11>，12>；故答案为：>．【点拨】本题考查了实数的比较大小，无理数的估算，解题关键是正确掌握实数比较大小的法则．类型六、实数的混合运算6．计算：(1)1) 2|【答案】4【分析】（1）根据绝对值的性质、立方根的定义进行计算；（2）根据算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的定义以及乘方得到结果．(1)解：原式22+=(2)解：原式11444=-4=【点拨】本题考查了实数的综合运算能力，解决此题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根和立方根的运算．【变式1】．运算后结果正确的是（）A ．12=B 2C 0D =【答案】C【分析】根据实数的运算法则即可求解；解：A.12=2≠，故错误；0=，故正确；=≠故选：C ．【点拨】本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键．【变式2】已知1x =，1y =，则222x xy y ++=______，22x y -=______．【答案】 12 【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算求值即可；解：由题意得：11x y +=+=112x y -==，222x xy y ++=()(2212x y +==，()()222x y x y x y -=+-==故答案为：12，【点拨】本题考查了代数式求值，实数的混合运算，掌握乘法公式是解题关键．类型七、新定义下的实数运算7．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2+i)+(3﹣4i)＝5﹣3i．(1)填空：i2＝_________，i4＝_________；(2)计算：∴(3+i)(3﹣i)；∴(3+i)2；(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：(x+y)+3i＝(1﹣x)﹣yi（x，y为实数），求x，y的值．【答案】(1)-1，1(2)∴10；∴8+6i(3)23 xy=⎧⎨=-⎩【分析】（1）根据题干中的计算方法即可求得答案．（2）∴先利用平方差公式将原式展开，再结合题干中的计算方法即可求得答案．∴先利用完全平方公式将原式展开，再结合题干中的计算方法即可求得答案．（3）根据实数部分与虚数部分相等列出方程，解方程即可得出答案．解：(1)根据题干中的计算方法，可得i2＝﹣1，i4＝1．故答案为：﹣1；1．(2)∴（3+i）（3﹣i）＝32﹣i2＝9﹣（﹣1）＝10．∴（3+i）2＝32+2×3i+i2＝9+6i+（﹣1）＝8+6i．(3)∴（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，∴13x y xy+=-⎧⎨-=⎩①②，解∴，得y＝﹣3，将y＝﹣3代入∴，得x﹣3＝1﹣x，解得x＝2，∴23xy=⎧⎨=-⎩．【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式1】定义a *b ＝3a ﹣b ，a ∴b ＝b ﹣a 2，则下列结论正确的有（）个． ∴3*2＝7．∴2∴（﹣1）＝﹣5．∴（13*25）∴（72∴14）＝﹣29125．∴若a *b ＝b *a ，则a ＝b ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】先按照定义书写出正确的式子再进行计算就可解决本题．解：∴、3*233-2=7⨯＝，故计算正确，符合题意；∴、2115⊕-==-2（）（﹣）-2，故计算正确，符合题意；∴、()()22127112173330931212352435425525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫*⊕⊕=⨯-⊕-=⊕-=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故计算错误，不符合题意；∴、3a b a b *=-，3b a b a *=-， ∴a *b ＝b *a ，33a b b a -=-，解得：a b =，故计算正确，符合题意．综上所述，正确的有：∴∴∴，共3个．故选：C ．【点拨】本题考查了按照定义运算的知识，严格按照定义书写出正确的式子，准确的计算是解决本题的关键．【变式2】对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算∴如下：a b =※，如32==※34=※______．【答案】【分析】根据定义新运算公式和二次根式的乘法公式计算即可．解：根据题意可得34==※故答案为：【点拨】此题考查的是定义新运算和二次根式的化简，掌握定义新运算公式和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．类型八、实数运算的实际应用8．“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．我们知道面积是2 1.4>． 1.4x =+，画出如下示意图．由面积公式，可得2x +______2=．因为x 值很小，所以2x 更小，略去2x ，得方程______，解得x ≈____（保留到0.001），≈_____．(2)现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为()0x x >．依题意，割补前后图形的面积相等，有22x =，解得x 1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【答案】(1)2.8 1.96x +，2.8 1.962x +=，0.014，1.414；(2)见分析【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．解：(1)由面积公式，可得2 2.8 1.962x x ++=∴x 值很小，所以2x 更小，略去2x ，得方程2.8 1.962x +=，解得0.014x ≈（保留到0.001） 1.4 1.414x ≈+≈．故答案为：2.8 1.96x +，2.8 1.962x +=，0.014，1.414； (2)小敏同学的做法，如图：排列形式如图（3），如图：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示【点拨】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．【变式1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图∴，卡片的长为a ，宽为b ）4）的盒子底部（如图∴），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图∴中两块阴影部分的周长和是（）A．B ．16 C ．)24D ．)44【答案】B【分析】分别求出较大阴影的周长和较小阴影的周长，再相加整理，即得出答案．解：较大阴影的周长为：(42)22b a -⨯+⨯，较小阴影的周长为：(4)222a b -⨯+⨯，两块阴影部分的周长和为：[][](42)22(4)222b a a b -⨯+⨯+-⨯+⨯= 16，故两块阴影部分的周长和为16．故选B ．【点拨】本题考查了图形周长，整式加减的应用，利用数形结合的思想求出较大阴影的周长和较小阴影的周长是解题的关键．【变式2】如图，在纸面上有一数轴，点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为3，点CB 为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A 和点B 重合，则此时数轴上与点C 重合的点所表示的数是_______．【答案】62 【分析】先求出第一次折叠与A 重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C 点重合的点表示的数即可．解：第一次折叠后与A 重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．与C 重合的点表示的数：3+（36第二次折叠，折叠点表示的数为：12（3+7）＝5或12（﹣1+3）＝1．此时与数轴上的点C 重合的点表示的数为： 5+（5﹣11）＝2故答案为：62【点拨】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．类型九、与实数运算的相关规律题9．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．222212OA =+=，1S =；222313OA =+=，2S =222414OA =+=，32S =(1)直接写出：5=OA ______．(2)请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律：2nOA =______=______，n S =______；(3)求出222212310S S S S +++⋯+的值．【答案】221n +，554【分析】（1）由给出的数据写出5OA 的长即可；（2）由（1）222123,,OA OA OA …和S 1、S 2、S 3…Sn ，找出规律即可得出结果；（3）首先求出222212310,,,,,S S S S ⋯再求和即可． (1)解：∴222212OA =+=；222313OA =+=； 222414OA =+= (2)225145,OA55,OA(2) 222212OA =+=，1S ；222313OA =+=，2S =222414OA =+=，3S =归纳总结可得：22211,.2n nnOA n n S故答案为：221n +，(3)∴222123123,,,444S S S …，21010,4S ∴222212310S S S S +++⋯+1231055.44444【点拨】本题主要考查勾股定理的理解，实数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．【变式1】若12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，42211145a =++⋯，则）A ．202120212022B ．202220232023C ．202220222023D ．202120222022【答案】C【分析】先计算1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，2022a 的算术平方根，并进行化简即可．解：1331212a ===⨯77623===⨯，⋅⋅⋅，20222023120222023⨯+=⨯，12123134120222023112233420222023⨯+⨯+⨯+⨯+=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 1111111112233420222023=++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯ 1111111202212233420222023=+-+-+-+⋅⋅⋅+-1202212023=+- 202220222023=．故选C【点拨】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，2022a 的算术平方根是解本题的关键．【变式2】已知1a 为实数，规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，…，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2022a 的值等于______．【答案】1-2【分析】将13a =，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解．解：由题意可知，13a =时，2121=33a =-，3111=223a =--，411=312a =-⎛⎫- ⎪⎝⎭，5121=33a =-，…，其规律是3个为一次循环， ∴2022÷3=674， ∴20221=-2a ，故答案为：1-2．【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字变化类，把13a =代入进行计算，找到规律是解题的关键．类型十、程序设计与实数运算10．一个数值转换器，如图所示：(1)当输入的x 为81时．输出的y 值是_________；(2)若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，请写出所有满足要求的x 的值； (3)若输出的yx 值．【答案】(2)0x =，1；(3)4x =，2x =（答案不唯一）【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． (1)解：当81x =，不是无理数，3，不是无理数，y(2)解：当0x =，1时，始终输不出y 值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；(3)解：4的算术平方根为2，2，∴4x=，2x=都满足要求．【点拨】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．【变式1）AB．2C．6D【答案】A【分析】把x=32即可输出，故可求解．解：把x=2=故把x=23 2 >把x=32 =<故选A．【点拨】此题主要考查求一个数的算术平方根，实数大小的比较，解题的关键是根据程序进行计算求解．【变式2】如图所示的运算序中，若开始输入的a值为21，我们发现第一次输出的结果为24．第二次输出的结果为12，…，则第2019次输出的结果为_________．【答案】6【分析】根据程序图进行计算发现数字的变化规律，从而分析求解．解：当输入a=21时，第一次输出的结果为21324+=，第二次输出结果为124122⨯=，第三次输出结果为11262⨯=，第四次输出结果为1632⨯=，第五次输出结果为336+=，第六次输出结果为1632⨯=，…自第三次开始，奇数次的输出结果为6，偶数次的输出结果为3，∴第2019次输出的结果是6．故答案为：6．【点拨】本题考查代数式求值，准确识图，理解程序图，通过计算发现数字变化规律是解题关键．。

实数ppt课件

。
方程可以看作是实数之间的一种约束关系，实数则是满足这种约
束条件的数值解。
通过解方程，我们可以找到实数之间的特定关系和条件。
实数与不等式的关系
不等式是表达数学大小关系的一种形式，而实数是这些不等式中的变量。
通过解不等式，我们可以找到实数之间的特定范围和界限。
不等式可以看作是实数之间的一种限制关系，实数则是满足这种限制条件的数值。
02
实数的运算规则
实数的加法运算
定义
实数的加法运算是指将两个或多个实数合并成一个实数的运算。
规则
实数的加法运算满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
例子
2+3=5，(-1)+(-2)=-3。
实数的减法运算
定义
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
03
1欧元=100欧分
时间单位的换算
小时与分钟换算：1 小时=60分钟
天与小时换算：1天 =24小时
小时与秒换算：1小时=3600秒
其他应用举例
01
02
03
温度换算
摄氏度与华氏度换算，例如：2摄氏度=3.6华氏度

初中数学数与式知识点考点思维导图实数及其运算整式分式二次根式

分母为０；分式值为０的条件是分子等于０，但分母不等于０
分式的加减法／异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分
４、参数法∶当已经条件形如工－上＝三，所要求值的代数式
是一个含ｘ，ｙ，ｚ，ａ，ｂ，ｃ，而又不易化简的分式
时，通常设艺－为＝三＊（ｋ就是我们所说的参数），
分式
＼式，然后相加减，ｂ即４ｄ± 二ｂ＝ｄａｄ，ｂｂｄｃ＿ａｄｂ±ｄｂｃ
升华符号＂÷＂变成＂×＂，除数变为它的倒数，除
数不能为０．
知识实数 ③用科学记数法表示一个绝对值大于１０的数时，等的分类号右边数的形式为ａ×１０＂，ａ是一个只有一位整数的数
四口＋□＝凶ｎ比等号左边的整数位数小１．
实数中的概念
梳理
正整数。：：：：口：
按定义
有理数
整数
分数
零
负整数
正分数
有限小数或无
（２）从外到里去括号，减少变号次数．只含有小括号和中括号，那么把小括号内的各项视为一个整体，先去中括号，再去小括号．
（３）一次去掉多重括号，在含有多重括号的式子中，去括号时，括
３＋（ａ＋ｂ）：＋ａｂ＝（ｘ＋４刁十二
整式
（ｍ十ｎ）（ａ＋ｂ）＝ｍａ十ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ
的整除式法
乘法公式
单项式除以单项式，分别把系数、同底数幂
６、去括号添括号时，特别是括号前是＂＿＂的情况，容易把某一项或某几项忘记变号而出错．
１、对于幂的运算性质和乘法公式，不仅要掌握它们的结构特征，而且要理解每一公式中字母的内涵，进而灵活、
恰当地应用．
２、因式分解必须在指定的数的范围内进行，且必须分解到
每个多项式都不能再分解为止
３、列代数式时，读题不能只看局部不看整体．

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数学家-华罗庚
华罗庚为中国数学发展作出的贡献，被誉为 “中国现代数学之父”，“中国数学之神”， “人民数学家”.培养出众多优秀青年，如王元、陈景润、万哲先、陈启铿、龚升等.
天才在于积累，聪明在于勤奋. 树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实以终. 发白才知智叟呆，埋头苦干向未来，勤能补拙是良剂，一分辛苦一分才.
第一宇宙速度v1 (单位：m/s)满足v12=gR 第二宇宙速度v2 (单位：m/s)满足v22=2gR
(g是重力加速度，g≈9.8 m/s²)
(R是地球半径，R≈6.4×106 m)
观测距离
“欲穷千里目，更上一层楼” 说的是等得高看得远，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离d，则d ²≈2hR，其中R是地球半径，约等于6400 km.
——华罗庚
实数知识结构图
0.23= 23-2 = 21 ， 90 90
0.2137= 2137-21 = 2116 . 9900 9900
数学家-毕达哥拉斯
毕达哥拉斯是希腊著名哲学家、数学家、天文学家，也是从事政治、宗教活动与科学研究的毕达哥拉斯教派的首领.
毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4” 是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会； “8”是和谐；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好.
自由落体时间
自由下落物体下落的距离s(m) 与下落时间t(s)的关系为s=4.9t ².
平方与开平方
平方
开平方
+1 -11+2 -24
+3
-3
9
（）²=（）
立方与开立方
立方
开立方
+2
8
-2
-8
+3
27
-3
-27
+5
125
-5
-125
（）³=（）
算术平方根与平方根的区别与联系
区别定义不同表示方法不同个数不同
平方根的特征
( )² = ( ) 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根.
立方根的特征
( )³ = ( ) 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数； 0的立方根是0.
算术平方根的性质
立方根的性质
平方根与立方根的区别与联系
区分有理数和无理数的方法
无理数的三种形式
宇宙速度
人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢，这就要使运载飞行器或人造地球卫星的航天飞机或运载火箭的速度要达到宇宙速度.
所谓宇宙速度就是从地球表面发射飞行器，飞行器环绕地球、脱离地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一、第二、第三宇宙速度.
循环小数化分数
1.纯循环小数每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个9；分子则是一个循环节的数.如
0.3= 3 ， 0.21= 21 .
9
99
2.混循环小数每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个9；不循环的部分有几位数字，分母中9的后面就有几个0；分子则是第一个循环节及它前面的数减去不循环的部分.如
实数的分类
实数与数轴上点的关系
实数
一一对应
数轴上的点
实数的性质
实数的运算
无理数的由来
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，从而打破了他们的这一信条.这样就出现了两种数，即rational number和 irrational number，它们的中文译名就是“有理数”和“无理数”.
联系
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
算术平方根
如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根.
正数有两个平方根
正数的算术平方根只有一个
一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个.
非负数才有平方根和算术平方根.
0的平方根和0的算术平方根都是0.