2021年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷(有答案)
2021湖南省衡阳市中考数学模拟试卷及答案1．﹣2的相反数的倒数是（）A．B． C．﹣2 D．2【考点】倒数；相反数．【专题】存在型．【分析】先根据相反数的定义求出﹣2的相反数，再根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵﹣2＜0，∴﹣2的相反数是2；∵2×=1，∴2的相反数是，即﹣2的相反数的倒数是．故选B．【点评】本题考查的是相反数及倒数的定义，熟练掌握相反数及倒数的定义是解答此题的关键．2．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（x3）2=x6 C．3m+2n=5mn D．y3•y3=y【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识求解，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、a2•a3=a5，故本选项错误；B、（x3）2=x6，故本选项正确；C、3m+2n≠5mn，故本选项错误；D、y3•y3=y6，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与合并同类项的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．3．在坐标平面内，若点P（x﹣2，x+1）在第二象限，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜2【考点】点的坐标．【分析】根据点的坐标满足第二象限的条件是横坐标＜0，纵坐标＞0可得到一个关于x的不等式组，求解即可．【解答】解：因为点P（x﹣2，x+1）在第二象限，所以x﹣2＜0，x+1＞0，解得﹣1＜x＜2．故选D．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：=．故选C．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A． B．2 C．3 D．2【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）A．37° B．47° C．45° D．53°【考点】圆周角定理．【分析】连接AC，由AB是直径，可得直角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD的度数，利用两角差可得答案．【解答】解：连接AC，∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，又∠ACD=∠ABD=53°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣53°=37°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理；直径在题目已知中出现时，往往要利用其所对的圆周角是直角这一结论，做题时注意应用，连接AC是正确解答本题的关键．7．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：D．【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．8．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象．【专题】压轴题．【分析】首先观察抛物线y=ax2+bx+c图象，由抛物线的对称轴的位置由其开口方向，即可判定﹣b的正负，由抛物线与x轴的交点个数，即可判定﹣4ac+b2的正负，则可得到一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第几象限，由当x=1时，y=a+b+c＜0，即可得反比例函数y=过第几象限，继而求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0，∴﹣b＞0，∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∴一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2的图象过第一、二、三象限；∵由函数图象可知，当x=1时，抛物线y=a+b+c＜0，∴反比例函数y=的图象在第二、四象限．故选D．【点评】此题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意函数的图象与系数的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．温家宝总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36000000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36000000用科学记数法表示应是 3.6×107 ．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：36000000=3.6×107．故答案为：3.6×107．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠0 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．11．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π．【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长公式L=求解．【解答】解：L===3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．12．如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据（单元：cm）可以得出该长方体的体积是18 cm3．【考点】由三视图判断几何体．【分析】首先确定该几何体为立方体，并说出其尺寸，直接计算其体积即可．【解答】解：观察其视图知：该几何体为立方体，且立方体的长为3，宽为2，高为3，故其体积为：3×3×2=18，故答案为：18．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，牢记立方体的体积计算方法是解答本题的关键．13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为 5 cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将⊙O的半径求出．【解答】解：由垂径定理OC⊥AB，则AC=BC=AB=4cm在Rt△ACO中，AC=4，OC=3，由勾股定理可得AO==5（cm），即⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．14．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ．（用含n的式子表示）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．【解答】解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即Sn：=，∴Sn=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共58分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（﹣2016）0+|﹣2|+（）﹣2+3tan30°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=1+2﹣+4+，=7．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．÷（x﹣），再从1、0、中选一个你所喜欢的数代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹒=，当x=时，原式=+2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．【考点】分式方程的应用．【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，列方程求解．【解答】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米，根据题意得：﹣=3，解得：x=，经检验x=是原方程的解；答：每人每小时的绿化面积是平方米．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．18．某小学三年级到六年级的全体学生参加“礼仪”知识测试，试题共有10题，每题10分．从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，发现抽测的学生每人至少答对了6题，现将有关数据整理后绘制成如下“年级人数统计图”和尚未全部完成的“成绩情况统计表”．成绩情况统计表根据图表中提供的信息，回答下列问题：分；（2）若该小学三年级到六年级共有1800名学生，则可估计出成绩为70分的学生人数约有【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；条形统计图；中位数．【专题】数形结合．【分析】（1）先由直方图得到调查的学生总数，然后计算出各成绩的人数或频率，再根据众数、中位数的定义求解即可．（2）利用成绩为70分的学生所占百分数乘以1800即可．【解答】解：（1）学生总人数=28+30+26++36=120（人），21÷120=0.175，40÷120≈0.333，5÷120≈0.04，0.3×120=36，即成绩为80分的学生人数有36人，120﹣21﹣40﹣36﹣5=18，18÷120=0.15，90出现的次数最多，所以众数为90（分），第60和第61个数都是90分，所以中位数为90分；（2）1800×0.15=270名．估计成绩为70分的学生人数约有270名．故答案为36，18，0.175，0.333，0.15，0.04；36，90，90；270．【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中所扫过得面积S==．【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．20．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的倾斜角∠ACB为30°，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先根据直角三角形的性质得出AC的长，再由锐角三角函数的定义得出DC的长，进而可得出结论．【解答】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2m，∴AC=2AB=4．又∵∠DCE=60°，∴∠ACD=90°．∵AF∥BE，∴∠CAF=∠ACB=30°，∴∠DAC=60°．在Rt△ACD中，∵tan∠DAC=，∴DC=．在Rt△DCE中，∵∠DCE=60°，tan∠DCE=，∴DE=4×=6．答：树DE的高度为6米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．【考点】平行四边形的判定；矩形的性质．【分析】（1）直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案；（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90°，进而得出•ED•DF=EF•CD，求出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：由（1）知：EF=AD=5，在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，∴DE2+DF2=EF2，∴∠EDF=90°，∴•ED•DF=EF•CD，∴CD=．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的逆定理，得出BC=EF是解题关键．22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=2，，求⊙O的半径R的长．【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则=，从而求得R．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．（1分）又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=∠DAB．又∠COB=2∠1=∠DAB，∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（4分）（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，（6分）∴△ADC∽△ACB．（7分）∴=（9分）∴R==．（10分）【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．23．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．已知y=x2+kx﹣4（k为常数）．（1）当k=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论k取何值，该函数总有两个零点．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据函数的零点的定义，令y=0，解方程即可．（2）令y=0，可得x2+kx﹣4=0．只要证明△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0即可．【解答】解：（1）当k=0时，y=x2﹣4．令y=0，x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2∴当k=0时，该函数的零点是2和﹣2．（2）证明：因为y=x2+kx﹣4，令y=0，可得x2+kx﹣4=0．∵△=k2﹣4×（﹣4）=k2+16＞0，∴无论k取何值，方程x2+kx﹣4=0总有两个不相等的实数根，∴无论k取何值，该函数总有两个零点．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征、根的判别式、一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题．24．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）通过解方程可求出m、n的值，也就求出了点A、B的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．（2）抛物线的解析式中，令y=0可求得C点坐标，利用公式法可求出抛物线顶点D的坐标；由于△BCD的面积无法直接求得，可过D作x轴的垂线，设垂足为E，分别求出△CDE、梯形DEOB、△BCO的面积，那么△CDE、梯形DEOB的面积和减去△BCO的面积，即可得到△BCD的面积．（3）若直线BC平分△PCH的面积，那么直线BC必过PH的中点，因为只有这样平分所得的两个三角形才等底等高，可设出点P的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点H的坐标，进而可求得PH中点的坐标，由于PH中点在直线BC上，可将其代入直线BC的解析式中，由此求出点P的坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0，得x1=5，x2=1，由m＜n，知m=1，n=5，∴A（1，0），B（0，5），∴即；所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5．（2）由﹣x2﹣4x+5=0，得x1=﹣5，x2=1，故C的坐标为（﹣5，0），由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），∴S△BCD=S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC==15．（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD=S△CFD﹣S△CFB也可求得）（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点，（）在直线BC上，易得直线BC方程为：y=x+5；∴．解之得a1=﹣1，a2=﹣5（舍去），故所求P点坐标为（﹣1，0）．【点评】此题考查了一元二次方程的解法、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象上点的坐标意义等基础知识，难度不大．。
2020-2021学年湖南省衡阳市中考数学仿真模拟试卷及答案解析
湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2016•衡阳）﹣4的相反数是（）A．﹣B．C．﹣4 D．42．（3分）（2016•衡阳）如果分式有意义，则x的取值范围是（）A．全体实数B．x≠1 C．x=1 D．x＞13．（3分）（2016•衡阳）如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°4．（3分）（2016•衡阳）下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）A．球体B．圆柱体C．四棱锥D．圆锥5．（3分）（2016•衡阳）下列各式中，计算正确的是（）A．3x+5y=8xy B．x3•x5=x8C．x6÷x3=x2D．（﹣x3）3=x66．（3分）（2016•衡阳）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（）A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×1057．（3分）（2016•衡阳）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差8．（3分）（2016•衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．139．（3分）（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9 10．（3分）（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥411．（3分）（2016•衡阳）下列命题是假命题的是（）A．经过两点有且只有一条直线B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半C．平行四边形的对角线相等D．圆的切线垂直于经过切点的半径12．（3分）（2016•衡阳）如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2016•衡阳）因式分解：a2+ab= ．14．（3分）（2016•衡阳）计算：﹣= ．15．（3分）（2016•衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是．16．（3分）（2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC 与△DEF的周长之比为．17．（3分）（2016•衡阳）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为．18．（3分）（2016•衡阳）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）（2016•衡阳）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．20．（6分）（2016•衡阳）为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为；（2）请将图②补充完整；（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）21．（6分）（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．22．（8分）（2016•衡阳）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．23．（8分）（2016•衡阳）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：港口运费（元/台）甲库乙库A港14 20B港10 8（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．24．（10分）（2016•衡阳）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC 海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？25．（10分）（2016•衡阳）在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF 的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．26．（12分）（2016•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y 轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C 在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN 是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2016•衡阳）﹣4的相反数是（）A．﹣B．C．﹣4 D．4【考点】相反数．【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解答】解：﹣4的相反数是：4．故选：D．【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．2．（3分）（2016•衡阳）如果分式有意义，则x的取值范围是（）A．全体实数B．x≠1 C．x=1 D．x＞1【考点】分式有意义的条件．【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确得出分母不能为零是解题关键．3．（3分）（2016•衡阳）如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠B=50°，∵∠C=40°，∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°，故选C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．4．（3分）（2016•衡阳）下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）A．球体B．圆柱体C．四棱锥D．圆锥【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据各个几何体的三视图的图形易求解．【解答】解：A、球体的三视图都是圆，故此选项正确；B、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故此选项错误；C、四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故此选项错误；D、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解．5．（3分）（2016•衡阳）下列各式中，计算正确的是（）A．3x+5y=8xy B．x3•x5=x8C．x6÷x3=x2D．（﹣x3）3=x6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3x+5y，无法计算，故此选项错误；B、x3•x5=x8，故此选项正确；C、x6÷x3=x3，故此选项错误；D、（﹣x3）3=﹣x9，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．6．（3分）（2016•衡阳）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（）A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：3600000=3.6×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．（3分）（2016•衡阳）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【考点】统计量的选择．【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．故选：D【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．（3分）（2016•衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】多边形内角与外角．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：C．【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．9．（3分）（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．10．（3分）（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，∴△=42﹣4k=0，解得：k=4，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（3分）（2016•衡阳）下列命题是假命题的是（）A．经过两点有且只有一条直线B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半C．平行四边形的对角线相等D．圆的切线垂直于经过切点的半径【考点】命题与定理．【分析】根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断A、B、D正确．【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确．B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．故选C．【点评】本题考查命题与定理、直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理等知识，解题的关键是灵活应用直线知识解决问题，属于中考常考题型．12．（3分）（2016•衡阳）如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】反比例函数及其应用．【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S==a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2016•衡阳）因式分解：a2+ab= a（a+b）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a2+ab=a（a+b）．故答案为：a（a+b）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．14．（3分）（2016•衡阳）计算：﹣= 1 ．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式==1．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．15．（3分）（2016•衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是x ＞2 ．【考点】点的坐标．【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可．【解答】解：∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，∴，解得：x＞2．故答案为：x＞2．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出关于x的不等式组是解题关键．16．（3分）（2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC 与△DEF的周长之比为5：4 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．故答案为：5：4．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．17．（3分）（2016•衡阳）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为16 ．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到8π=，然后解方程即可．【解答】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得8π=，解得l=16，即该圆锥的母线长为16．故答案为16．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．（3分）（2016•衡阳）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为10 ．【考点】点、线、面、体．【专题】规律型．【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n（n+1）+1，依此可得等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可．【解答】解：依题意有n（n+1）+1=56，解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．答：n的值为10．故答案为：10．【点评】考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）（2016•衡阳）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项即可化简，将a、b的值代入求值即可．【解答】解：原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab，当a=﹣1，b=时，原式=2×（﹣1）2+2×（﹣1）×=2﹣1=1．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）（2016•衡阳）为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为20% ；（2）请将图②补充完整；（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】统计与概率．【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比；（2）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择C的人数，从而可以将图②补充完整；（3）根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数．【解答】解：（1）由题意可得，本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：×100%=20%．故答案为：20%；（2）由题意可得，选择C的人数有：30÷﹣36﹣30﹣44=70（人），故补全的图②如下图所示，（3）由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：1530×=595（人），即全校共有595名学生选择此必唱歌曲．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．（6分）（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．22．（8分）（2016•衡阳）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解（1）画树状图得：则共有16种等可能的结果；（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及轴对称图形与中心对称图形的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2016•衡阳）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：港口运费（元/台）甲库乙库A港14 20B港10 8（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得出x的取值；（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案．【解答】解（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有（100﹣x）吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，所以y=14x+20（100﹣x）+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80．（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．【点评】本题考查了一次函数的应用，属于方案问题；解答本题的关键是根据题意表示出两仓库运往A、B两港口的物资数，正确得出y与x的函数关系式；另外，要熟练掌握求最值的另一个方法：运用函数的增减性来判断函数的最值问题．24．（10分）（2016•衡阳）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC 海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）求出OC，由题意r≥OC，由此即可解决问题．（2）作AM⊥BC于M，求出AM即可解决问题．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，先列出方程求出x，再求出BN、AN利用不等式解决问题．【解答】解：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC===100，∵OC=×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里．（2）作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB=BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM=AB=15，AM=BM=15，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH=x，∵BM=15，∴15=x+2x，x=30﹣15，∴AN=30﹣30，BN==15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．【点评】本题考查解直角三角形的应用、方位角、直角三角形30°角性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．25．（10分）（2016•衡阳）在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF 的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．。
2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷(含解析)
2021年湖南省衡阳市中考数学仿真试卷一、单选题（共12小题）.1．6的相反数是（）A．6B．C．﹣6D．﹣2．下列运算正确的是（）A．m+2m＝3m2B．2m3•3m2＝6m6C．（2m）3＝8m3D．m6÷m2＝m33．“拒绝浪费，从你我做起”，一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3520万斤粮食．将3520万用科学记数法表示为（）A．0.352×108B．35.2×106C．3.52×107D．352×1084．下列式子中，正确的是（）A．B．C．D．5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上的艺术享受，下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1B．x≤1C．x≠0D．x≤1且x≠0 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列选项不能得到四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OCC．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA8．下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．若反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第一、三象限，则m的值是（）A．﹣1或1B．小于的任意实数C．1D．不能确定11．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）A．x（55﹣x）＝375B．x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝37512．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），对角线AC⊥x轴，点A在第二象限，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点A落在MN上时，则m为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题各3分，满分18分）13．分解因式：6m﹣3m2＝．14．化简：（+）•＝．15．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于度．16．如图，把一块三角板的直角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2＝．17．动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有只，长颈鹿有只．18．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2018次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则B2018的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．20．有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机抽取1张，将卡片的数字记为n．（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．（2）求选出的（m，n）在一、三象限的概率．21．如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求∠ADC的度数．22．手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．组别手机品牌频数（人数）A OPPO80B VIVO mC小米100D华为120E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m＝，扇形统计图中E组所占的百分比为；（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是．23．如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B．AC经过圆心并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半径．24．智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）25．已知，抛物线y＝ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sin B＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求点A到边BC的距离．（2）当点G在边AC上时，求t的值．（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S 与t之间的函数关系式．（4）连接EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．参考答案一、单选题（本大题共12小题，每小题各3分，满分36分）1．6的相反数是（）A．6B．C．﹣6D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．解：6的相反数是：﹣6．故选：C．2．下列运算正确的是（）A．m+2m＝3m2B．2m3•3m2＝6m6C．（2m）3＝8m3D．m6÷m2＝m3【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．解：m+2m＝3m，因此选项A不符合题意；2m3•3m2＝6m5，因此选项B不符合题意；（2m）3＝23•m3＝8m3，因此选项C符合题意；m6÷m2＝m6﹣2＝m4，因此选项D不符合题意；故选：C．3．“拒绝浪费，从你我做起”，一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3520万斤粮食．将3520万用科学记数法表示为（）A．0.352×108B．35.2×106C．3.52×107D．352×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：3520万＝35200000＝3.52×107，故选：C．4．下列式子中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可．解：A、∵（﹣2）3＝﹣8，∴＝﹣2，故本选项正确；B、∵0.62＝0.36，∴﹣＝﹣0.6，故本选项错误；C、∵（﹣2）2＝4，∴＝2，故本选项错误；D、∵62＝36，∴＝6，故本选项错误．故选：A．5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上的艺术享受，下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．6．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1B．x≤1C．x≠0D．x≤1且x≠0【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．解：由题意，得1﹣x≥0且x≠0，解得x≤1且x≠0，故选：D．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列选项不能得到四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AC＝BD，OA＝OC B．OB＝OD，OA＝OCC．AD＝BC，AD∥BC D．△ABC≌△CDA【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可．解：A、AC＝BD，OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；B、OB＝OD，OA＝OC可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、AD＝BC，AD∥BC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、△ABC≌△CDA可得AB＝CD，AD＝BC，可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A．8．下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解：选项A缺少两个底面，不能围成棱柱；选项C中折叠后没有上底面，不能折成棱柱，选项D不能组成棱柱，是因为上下两底面四个边的长不能与侧面的边等长、重合．，只有B能围成三棱柱．故选：B．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解：，由①得，x＜2，由②得，x≥﹣1，故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．在数轴上表示为：故选：B．10．若反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第一、三象限，则m的值是（）A．﹣1或1B．小于的任意实数C．1D．不能确定【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣2＝﹣1，根据函数在一，三象限可以得到比例系数2m﹣1大于0，即可求得m的值．解：根据题意得：，解得：m＝1．故选：C．11．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）A．x（55﹣x）＝375B．x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝375【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．解：设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，根据题意可得，•x•（55﹣x）＝375，故选：A．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），对角线AC⊥x轴，点A在第二象限，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点A落在MN上时，则m为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y＝4时，﹣x+5＝4，解得x＝2，∴点A向右移动2+1＝3时，点A在MN上，∴m的值为3，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题各3分，满分18分）13．分解因式：6m﹣3m2＝3m（2﹣m）．【分析】运用提取公因式法，确定公因式为3m，然后分解因式即可得到答案．解：6m﹣3m2＝3m（2﹣m）．故答案为：3m（2﹣m）．14．化简：（+）•＝1．【分析】首先计算括号内的加法，然后计算乘法即可化简．解：原式＝（﹣）•＝•＝1．故答案为1．15．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于60度．【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝＝＝60°，故答案为：60．16．如图，把一块三角板的直角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2＝42°．【分析】由题意得a∥b，∠4＝90°，根据平行线的性质得出∠3的度数，进而可得∠2的度数．解：由题意得a∥b，∠4＝90°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝48°，∵∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°，故答案为：42°．17．动物园有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，则鸵鸟有8只，长颈鹿有7只．【分析】首先设鸵鸟有x只，长颈鹿有y只，由题意得等量关系：x只鸵鸟的眼睛数+y只长颈鹿的眼睛数＝30只，x只鸵鸟的脚数+y只长颈鹿的脚数＝44，根据等量关系列出方程组即可．解：设鸵鸟有x只，长颈鹿有y只，由题意得：，解得，故答案为：8；718．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2018次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则B2018的坐标为（1346，0）．【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2018＝336×6+2，因此点B2向右平移1344（即336×4）即可到达点B2018，根据点B2的坐标就可求出点B2018的坐标．解：连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝BC＝OC．∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB．∴AC＝OA．∵OA＝1，∴AC＝1．画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2018＝336×6+2，∴点B2向右平移1344（即336×4）到点B2018．∵B2的坐标为（2，0），∴B2018的坐标为（2+1344，0），∴B2018的坐标为（1346，0）．故答案为：（1346，0）；三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．解：原式＝a2﹣b2﹣a2﹣ab＝﹣b2﹣ab．20．有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机抽取1张，将卡片的数字记为n．（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．（2）求选出的（m，n）在一、三象限的概率．解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）点（m，n）在一、三象限的结果数为4，所以选出的（m，n）在一、三象限的概率＝＝．21．如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求∠ADC的度数．解：（1）∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，∴∠ACD＝∠BCD＝31°，∴∠ACB＝62°，∵在△ABC中，∠A＝72°，∠ACB＝62°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣62°＝46°；（2）在△BCD中，由三角形的外角性质得，∠ADC＝∠B+∠BCD＝46°+31°＝77°．22．手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．组别手机品牌频数（人数）A OPPO80B VIVO mC小米100D华为120E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m＝40，扇形统计图中E组所占的百分比为15%；（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是．【分析】（1）从两个统计图中可知“A组”的频数为80，占调查总数的20%，可求出调查人数，进而求出“B组”的频数和“E组”所占的百分比；（2）样本中，“使用华为手机”的人数占调查人数的，因此估计总体3万户的30%是使用“华为手机”的人数；（3）样本中，共调查400户，其中使用“华为手机”的有100户，因此使用“华为手机”的频率为，即为，频率估计概率即可．解：（1）80÷20%＝400（人），400×10%＝40（人），60÷400＝15%，故答案为：40；15%；（2）30×＝30×30%＝9（万人）答：其中使用华为手机的用户数量为9万人；（3）＝，故答案为：．23．如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为点B．AC经过圆心并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE＝3，CE＝9，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AE，再证明OB∥CE得到∠OBC ＝∠ECB，然后证明∠OCB＝∠ECB即可；（2）连接BD，如图，利用勾股定理计算出CB＝3，根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明△CBD∽△CEB，然后利用相似比求出CD，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AE，∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠OBC＝∠ECB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠ECB，∴CB平分∠ACE；（2）解：连接BD，如图，在Rt△CBE中，CB＝＝3，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∵∠DCB＝∠ECB，∴△CBD∽△CEB，∴CD：CB＝CB：CE，即CD：3＝3：9，解得CD＝10，∴⊙O的半径为5．24．智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）解：如图②中，过点D作DH⊥AC于H，在Rt△ADH中，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，∴AH＝AD•cos53°≈25×＝15（m），DH＝AD•sin53°≈25×＝20（m），∵AC＝20m，∴CH＝AC﹣AH＝5（m），∴CD＝＝＝5（m）．25．已知，抛物线y＝ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC＝3OB，∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3），将点B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y＝ax2+2ax+c，或，解得：或，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3或y＝x2+2x﹣3．（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示．∵a＞1，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点A的坐标为（﹣3，0），利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y＝﹣x﹣3．∵点D的横坐标为m，∴点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3），∴DE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∴S＝DE×|﹣3﹣0|＝﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．∵﹣＜0，且S＝﹣（m2+3m）＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，S取最大值，最大值为．26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sin B＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求点A到边BC的距离．（2）当点G在边AC上时，求t的值．（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S 与t之间的函数关系式．（4）连接EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，∴sin B＝＝，∴AH＝AB＝×15＝12．（2）如图2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，∴sin B＝＝，∴cos B＝＝，∴BD＝5t，PD＝4t，∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．∴15﹣5t＝2t，∴t＝．（3）①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，∴S＝（2t）2＝4t2；②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，由（1）可知，BH＝9，则CH＝6，∵DG∥AB，∴∠GNG＝∠A＝∠C，又∵∠AHC＝∠G＝90°，∴△ACH∽△MNG，∴MG：NG＝AH：CH＝2：1，∴MG＝2NG，∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣×2[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．（4）①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵DG∥AB，∴∠COD＝∠A∴∠C＝∠COD，∴DC＝DO，∴15﹣5t＝t，解得t＝；②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t+t，解得t＝；③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t，解得t＝．。
湖南省衡阳市中考数学试题及解析
2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 3 分，共 36分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕计算〔﹣〕1〕 +|﹣2|的结果是〔A ．﹣3B． 1C．﹣ 1D． 32．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕以下计算正确的选项是〔〕A ． a+a=2a33333527 B． b?b =2b C． a ÷a=a D．〔 a 〕 =a3．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕如下图的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，那么这个几何体的俯视图是〔〕A ．B．C．D．4．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕假设分式的值为0，那么x的值为〔〕A ． 2 或﹣ 1B． 0C． 2D．﹣ 15．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕函数y=中自变量x 的取值范围为〔〕A ． x≥0B． x≥﹣1C． x＞﹣ 1D． x≥16．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕不等式组的解集在数轴上表示为〔〕A ．B．C．D．7．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕等腰三角形的两边长分别为5 和 6，那么这个等腰三角形的周长为〔〕A ． 11B． 16C． 17D． 16 或 178．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕假设关于2有一个根为﹣1，那么另一个根为〔〕x 的方程 x +3x+a=0A ．﹣2B． 2C． 4D．﹣ 3第 1 页〔共 22 页〕A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的四边形是正方形10．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕在今年“全国助残日〞捐款活动中，某班级第一小组7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是〔单位：元〕50、20、50、30、25、 50、 55，这组数据的众数和中位数分别是〔〕A ． 50 元， 30 元B． 50 元， 40 元C． 50 元， 50 元D． 55 元， 50 元11．〔3 分〕〔 2021?衡阳〕绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多10 米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为〔〕A ． x〔x﹣ 10〕=900 B． x〔 x+10 〕 =900C． 10〔 x+10 〕 =900D． 2[x+〔 x+10 〕]=90012．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕如图，为了测得电视塔的高度AB ，在 D 处用高为 1 米的测角仪CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 米到达 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为60°，那么这个电视塔的高度AB 〔单位：米〕为〔〕A ． 50B． 51C． 50+1D． 101二、填空题：本大题共8 个小题，每题 3 分，共 24 分。
湖南省衡阳市2021年数学中考一模试卷C卷
湖南省衡阳市2021年数学中考一模试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019八上·锦州期末) 下列各实数为无理数的是（）A .B .C . ﹣0.1D . ﹣2. （2分）(2011·台州) 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）A .B .C .D .3. （2分）若am=2，an=3，则am+2n等于（）A . 18B . 12C . 11D . 84. （2分） (2018八上·泰州期中) 下列点的坐标在第二象限的是（）A . (4，3)B . (－4，3)C . (－4，－3)D . (4，－3)5. （2分）(2019·合肥模拟) 某校文学社成员的年龄分布如下表：年龄岁12131415频数69a15﹣a 对于不同的正整数，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A . 平均数B . 众数C . 方差D . 中位数6. （2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）关于x的方程x2﹣2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为（）A . 1B . -1C . 4D . -48. （2分） (2017八下·黔东南期末) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A . 1，2，3B . ，，C . 3，5，7D . 5，7，99. （2分）如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（）A . BD＝CDB . DE＝DFC . ∠B＝∠CD . AB＝AC10. （2分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A .B . 1﹣C . ﹣1D . 1﹣二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2016七下·吴中期中) 如果多项式x2+kx﹣6分解因式为（x﹣2）（x+3），则k的值是________．12. （1分） (2019九上·鄞州月考) 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为3的“等边扇形”的面积为________.13. （1分） (2020九下·广陵月考) 已知在一个布袋中有红球6个，黄球若干个，它们除颜色外都相同.若随机取出一个球恰好是黄球的概率是，则黄球的个数是________.14. （1分）(2017·南岗模拟) 某工厂原计划生产7200顶帐篷，后来有一个地区突然发生地震，要求工厂生产的帐篷比原计划多20%，并且需提前4天完成任务．已知实际生产时每天比原计划多生产720顶帐篷，设实际每天生产x顶帐篷，根据题意可列方程为________．15. （1分）如图，是用七巧板拼成一个图形，其中③、⑥、①板的面积分别为S③ ，S⑥ ，S① ，则S③：S⑥：S①=________．16. （1分） (2017八上·下城期中) 如图与都是以为直角顶点的等腰直角三角形，交于点，若，，当是直角三角形时，则的长为________．三、解答题 (共8题；共72分)17. （10分）计算：（1）× + × ﹣（﹣）（2） |1﹣ |+| |+| ﹣2|（3）x2•（x2）3÷x5（4）﹣3xy2z•（x2y）2（5） x（x2﹣1）+2x2（x+1）﹣3x（2x﹣5）（6）（a+b）2﹣（a﹣b）2．18. （10分） (2019八下·鹿角镇期中) 已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，（1）求证：AD=BE（2）求：∠BFD的度数.19. （7分）(2017·新野模拟) 郑州地铁1号线在2013年12月28日通车之前，为了解市民对地铁票的定价意向，市物价局向社会公开征集定价意见．某学校课外小组也开展了“你认为郑州地铁起步价定为多少合适？”的问卷调查，征求市民的意见，并将某社区市民的问卷调查结果整理后制成了如下统计图：根据统计图解答：（1）同学们一共随机调查了________人；（2）请你把条形统计图补充完整；（3）假定该社区有1万人，请估计该社区支持“起步价为3元”的市民大约有多少人？20. （3分） (2016九上·昆明期中) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？21. （10分）(2019·包头) 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于），两点，与轴交于点，连接．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点为抛物线对称轴上一点，连接，若，求点的坐标；（3）已知，若是抛物线上一个动点（其中），连接，求面积的最大值及此时点的坐标．（4）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．22. （6分） (2017八下·孝义期中) 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，以BC为边，在△ABC 外作等边△BCD，点E为BC中点，连接AE并延长交CD于点F．（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）如图2，将图1中的ABCD折叠，使点D和点A重合，折痕为GH，求CG的长．23. （15分） (2019八上·温州期末) 某校八年级举行英语演讲比赛，准备用1200元钱（全部用完）购买A，B两种笔记本作为奖品，已知A，B两种每本分别为12元和20元，设购入A种x本，B种y本.（1）求y关于x的函数表达式.（2）若购进A种的数量不少于B种的数量.①求至少购进A种多少本？②根据①的购买，发现B种太多，在费用不变的情况下把一部分B种调换成另一种C，调换后C种的数量多于B种的数量，已知C种每本8元，则调换后C种至少有________本（直接写出答案）24. （11分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．（1）如图1，求⊙O的半径；（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP 于点N，求证：AM=MN．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共72分)17-1、17-2、17-3、17-4、17-5、17-6、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、。
湖南省衡阳市2021年中考数学真题(解析版)
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.8的相反数是（）A.8- B.8 C.18- D.8±【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义即可直接选择．【详解】8的相反数为-8．故选A ．【点睛】本题考查求一个数的相反数．掌握相反数的定义是解答本题的关键．2.2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A.698.9910⨯ B.79.89910⨯ C.4989910⨯ D.80.0989910⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：98990000=9.899×107．故选：B ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A 、不是轴对称图形，故A 不符合题意；B 、不是轴对称图形，故B 不符合题意；C 、不是轴对称图形，故C 不符合题意；D 、是轴对称图形，故D 符合题意．故选D.【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4.下列运算结果为6a 的是（）A.23a a ⋅ B.122a a ÷ C.()23a D.2312a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可．【详解】A 选项，23235a a a a +⋅==，不符合题意；B 选项，12210122=a a a a -=÷，不符合题意；C 选项，()23326=a a a ⨯=，符合题意；D 选项，22233611=1224a a a ⨯⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式的积的乘方，再把所得的幂相乘．5.下列计算正确的是（）A.4=±B.()021-=C.=D.3=【答案】B【解析】【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．【详解】4=，故A 选项错误，不符合题意；0(2)1-=，故B 选项正确，符合题意；不是同类二次根式不能合并，故C 选项错误，不符合题意；D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根．掌握各知识点和运算法则是解答本题的关键．6.为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）A.众数是82B.中位数是84C.方差是84D.平均数是85【答案】C【解析】【分析】根据该组数据结合众数、中位数的定义和平均数、方差的计算公式，求出众数、中位数、平均数和方差即可选择．【详解】根据该组数据可知82出现了2次最多，故众数为82，选项A 正确，不符合题意；根据中位数的定义可知该组数据的中位数为8385842+=，选项B 正确，不符合题意；根据平均数的计算公式可求出858286828392856x +++++==，选项D 正确，不符合题意；根据方差的计算公式可求出2222222(8585)(8285)(8685)(8285)(8385)(9285)126s -+-+-+-+-+-==，选项C 错误，符合题意．故选C ．【点睛】本题考查求众数、中位数、平均数和方差．掌握众数、中位数的定义，平均数、方差的计算公式是解答本题的关键．7.如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合题意，根据视图的性质分析，即可得到答案．【详解】由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下：故选：A【点睛】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图的性质，从而完成求解．8.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin 370.6,cos370.8,tan 370.75︒≈︒≈︒≈）（）．A.7.5米B.8米C.9米D.10米【答案】D【解析】【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．9.下列命题是真命题的是（）．A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和B.正六边形的每一个内角为120︒C.有一个角是60︒的三角形是等边三角形D.对角线相等的四边形是矩形【答案】B【解析】【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒∴选项A 不符合题意；正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒∴每一个内角为7201206︒=︒，即选项B 正确；三个角均为60︒的三角形是等边三角形∴选项C 不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形∴选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．10.不等式组1026x x +<⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择．【详解】解不等式x +1＜0，得x ＜-1，解不等式-26x ≤，得3x ≥-，所以这个不等式组的解集为-3-x≤<1，在数轴上表示如选项A所示，故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键．11.下列说法正确的是（）A.为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B.某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C.从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是3 4D.某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【答案】D【解析】【分析】根据普查的特点，得出了解我国中学生课外阅读情况应采取抽样调查；由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖；共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为37；根据计算公式列出算式853200200×，即可求出答案．【详解】解：A、根据普查的特点，普查适合人数较少，调查范围较小的情况，而了解我国中学生课外阅读情况，人数较多，范围较广，应采取抽样调查，选项说法错误，不符合题意；B、由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖，选项说法错误，不符合题意；C、共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为37，选项说法错误，不符合题意；D、根据计算公式该项人数等于该项所占百分比乘以总人数，列出算式853200200×，求出结果为1360人，选项说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了普查与抽样调查的区别、概率发生的可能性、求随机事件的概率与求某项的人数，关键在于熟悉普查的适用范围是调查对象的个体数很少，没有破坏性，要求结果准确，同时会根据等可能事件的概率公式求解，进行判断．12.如图，矩形纸片,4,8ABCD AB BC ==，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM 的面积S 的取值范围是45S ≤≤．其中所有正确结论的序号是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出PMN PNM ∠=∠，PM PN =，通过等量代换，得到PM =CN ，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理5CN =，12CQ AC ==，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出2MN QN ==；当MN 过点D 时，最小面积1144444CMPS S S ==⨯⨯=菱形，当P 点与A 点重合时，S 最大为15454S =⨯⨯=，得出答案．【详解】解：①如图1，P，∵PM CN∠=∠，∴PMN MNC∠=∠，NC=NP ∵折叠，∴MNC PNM∠=∠，∴PMN PNM=，∴PM PN∴PM=CN，∥，∴MP CN∴四边形CNPM为平行四边形，=，∵CN NP∴平行四边形CNPM为菱形，故①正确，符合题意；②当点P与A重合时，如图2所示设BN x =，则8AN MC x ==-，在Rt ABN △中，222AB BN AN +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴5CN =，2245AC AB BC =+=，∴1252CQ AC ==，又∵四边形CNPM 为菱形，∴AC MN ⊥，且2MN QN =，∴225QN CN CQ =-∴25MN QN ==，故②错误，不符合题意．③当MN 过点D 时，如图3所示：此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S 最小为1144444CMPS S S ==⨯⨯=菱形，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大为15454S =⨯⨯=，∴45S ≤≤，故③正确，符合题意．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）13.要使二次根式3x -有意义，则x 的取值范围是________．【答案】x ≥3【解析】【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．【详解】由题意知，30x -≥，解得，x ≥3，故答案为：x ≥3．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．14.计算：11+a a a-=_____【答案】1【详解】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．解：原式=11a a-+=1．故答案为1．本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．15.因式分解：239a ab -=__________．【答案】()33a a b -【解析】【分析】利用提取公因式法因式分解即可【详解】解：()23933a ab a a b -=-故答案为:()33a a b -【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键16.底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π）【答案】12π【解析】【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积公式求解即可．【详解】圆锥的侧面积=()112341222lR ππ=⨯⋅⨯=故答案为：12π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积．1=2S lR 扇形，其中l 为扇形的弧长，即底面圆的周长，R 为半径，即圆锥的母线长．17.“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．【答案】500【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x 的分式方程进行求解即可．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，6000600031.25x x-=，400x =，经检验，400x =是原方程的解，∴实际每天植树400 1.25500⨯=棵，故答案是：500．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程．18.如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为__________厘米．【答案】()3+【解析】【分析】四边形ABCD 是菱形，由图象可得AC 和BD 的长，从而求出OC 、OB 和ACB ∠．当点P 在A D-段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，此时PQ 连线过O 点且垂直于BC ．根据三角函数和已知线段长度，求出P 、Q 两点的运动路程之和．【详解】由图可知，2AC BD ==（厘米），∵四边形ABCD 为菱形∴11122OC AC OB BD ====（厘米）∴30ACB ∠=︒P 在AD 上时，Q 在BC 上，PQ 距离最短时，PQ 连线过O 点且垂直于BC ．此时，P 、Q 两点运动路程之和2()S OC CQ =+∵3cos 22CQ OC ACB =⋅∠==（厘米）∴3232S ⎫=+=+⎪⎭（厘米）故答案为3)+．【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．）19.计算：()()()()22224x y x y x y x x y ++-++-．【答案】23x 【解析】【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可【详解】解：()()()()22224x y x y x y x x y ++-++-222224x 444x y y x y x xy=+++-+-23x =.【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式，准确合并计算是解题的关键．20.如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．21.“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【答案】（1）64.8；（2）20万元；（3）2 3【解析】【分析】（1）根据统计图中的数据用360°乘以其他垃圾所占百分比，可以计算其他垃圾所对应的扇形圆心角的度数；（2）根据统计图中的数据，可以计算出该市500吨垃圾中约有多少吨可回收物．（3）列表后利用概率公式求解可得．【详解】解：（1）360(155%20%7%)64.8︒⨯---=︒故答案为64.8（2）50020%0.220⨯⨯=（万元）答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元（3）用列表法如图：男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男1男2男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1共12种机会均等的结果，其中恰好为一男一女结果数为8，所以，恰好选到一男一女的概率是82123=答：抽取的学生中恰好一男一女的概率为23【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，同时考查了概率公式．22.如图，点E 为正方形ABCD 外一点，90AEB =︒∠，将Rt ABE △绕A 点逆时针方向旋转90︒得到,ADF DF 的延长线交BE 于H 点．（1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由；（2）已知7,13BH BC ==，求DH 的长．【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB ＝∠AFD ＝90°，AE ＝AF ，∠DAF ＝∠EAB ，由正方形的判定可证四边形BE 'FE 是正方形；（2）连接BD ，利用勾股定理可求22132BD CD CB =+=，再利用勾股定理可求DH 的长．【详解】解：（1）四边形AFHE 是正方形，理由如下：根据旋转：90AEB AFD AE AF DAF EAB ∠∠︒∠∠＝＝，＝，＝，∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB=90°∴∠FAE ＝∠DAB=90°∴90AEB AFH FAE ∠∠∠=︒＝＝∴四边形AFHE 是矩形，又∵AE AF=∴矩形AFHE 是正方形．（2）连接BD∵13BC CD ==，在Rt BCD 中，22132BD CD CB =+=∵四边形AFHE 是正方形∴90EHD ∠=︒在Rt DHB △中，DH =，又7BH =，∴17DH =．故答案是17．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．23.如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为cm x ，单层部分的长度为cm y ．经测量，得到下表中数据．双层部分长度()cm x 281420单层部分长度()cm y 148136124112（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为cm L ，求L 的取值范围．【答案】（1）2152y x =-+；（2）22cm ；（3）76152L ≤≤【解析】【分析】（1）根据观察y 与x 是一次函数的关系，利用待定系数法求解析式；（2）背带的长度为单层部分与双层部分长度的和，可求出背带的长度与双层部分长度的函数关系式152L x =-+，令130L =，即可求出此时对应的双层部分长度的值；（3）根据0y ≥和0x ≥，求出x 的取值范围，再根据152L x =-+求出L 的取值范围．【详解】解：（1）根据观察y 与x 是一次函数的关系，所以设(0)y kx b k =+≠依题意，得21488136k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，2152k b =-⎧⎨=⎩；∴y 与x 的函数关系式：2152y x =-+（2）设背带长度是cmL 则(2152)152L x x x =+-+=-+当130L =时，152130x -+=解得，22x =；（3）∵0y ≥，∴21520x -+≥解得，76x ≤又0x ≥∴076x ≤≤∴76152152x ≤-+≤即76152L ≤≤．【点睛】本题主要考查一次函数的相关知识．利用待定系数法求解一次函数的解析式．24.如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为 BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2,30DE BDE =∠=︒，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明B ODB ∠=∠，通过等量代换再证明90CDA ODA ∠+∠=︒即可证明（2）先证明OBE △是等边三角形，再证明60DOC ∠=︒，解直角三角形即可计算出结果【详解】解：（1）连接OD ，∵OD OB =，∴B ODB ∠=∠，又∵B CDA ∠=∠，∴ODB CDA∠=∠又∵90ODB ODA ∠+∠=︒，∴90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒，所以，CD 是O 的切线．（2）连接BE 、OE∵E 是BD 的中点，∴2,BE DE OE BD==⊥260BOE BDE ∠=∠=︒，∴OBE △是等边三角形从而2,60OB BE BOE ==∠=︒∵,OB OD OE BD =⊥，∴60BOE DOE ∠=∠=︒，所以60DOC ∠=︒在,60,2Rt ODC DOC OD OB ∠=︒== ，∴CD ==【点睛】本题考查切线的证明、圆周角定理、等边三角形的证明及性质、锐角三角函数，熟练应用圆的性质及定理是解题的关键25.如图，OAB 的顶点坐标分别为()()()0,0,3,4,6,0O A B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒）．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．【答案】（1）3,22M t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）四边形MNBP 面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6.（3）存在，443y x =-；（4）103或24.5【解析】【分析】（1）做适当的辅助线，过M 点作MG x ⊥轴于G 点．过A 点作AD x ⊥轴于D 点，利用三角形相似的判定定理证明两个三角形相似，根据对应边成比例，从而可得答案；（2）根据坐标先求解,,,OM OA OP OB 长度，再证明,MOP AOB ∽再利用相似三角形的性质证明//,MP AB 证明四边形MNBP 为平行四边形，再列面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可；（3）先判断存在，通过观察图形知，当直线l 过MNBP 的对角线交点时，总能平分其面积；再利用平行四边形的性质求解对角线的中点坐标，从而可得答案；（4）当0t <＜2时，证明AOP PBN ∽，利用三角形相似，对应边成比例，求解时间,t 再利用等面积法求解点N 到直线OA 的距离即可．当0t =时，利用等面积法直接求解即可，当2t =不合题意，舍去．【详解】解：（1）过M 点作MG x ⊥轴于G 点．过A 点作AD x ⊥轴于D 点．则90,//,MGO MG AD ∠=︒90,//,QOB MN OB ∠=︒ 18090,OQM QOB ∴∠=︒-∠=︒四边形QOGM 为矩形，则2,MG OQ t == ()()()0,0,3,4,6,0O A B ，,AD OB ⊥()3,0D ∴，3,4,OD AD ==//,MQ AD MOG AOD ∴ ∽，∴OG MG OD AD =，即234OG t =∴32OG t =∴3,22M t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）∵()32,,3,4,2OQ t QM t OG A ===22225,345,2OM OQ QM t OA ∴=+==+= ()3,60,OP t B =，6,OB ∴=5132,526t OM t OP t OA OB∴====,MOP AOB ∠=∠ ,MOP AOB ∴ ∽,MPO ABO ∴∠=∠//,MP AB ∴//,MN OB ∴四边形MNBP 为平行四边形∵2(63)26(1)6MNBP S BP OQ t t t =⋅=-⨯=--+ ，0 ＜t ＜2,（当0t =或2t =时，四边形不存在）而6a =-，∴当1t =时，S 取最大值6∴四边形MNBP 面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6.（3）存在．理由如下：连接,BM 交PN 于,H由（2）得：四边形PBNM 为平行四边形，∴过H 的任意直线都平分MNBP 的面积，,MH BH =()3,2,6,0,2M t t B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以由中点坐标公式可得：33,4H t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即l 过点H ，33,4x t y t⎧=+⎪∴⎨⎪=⎩33,4x y ∴=+∴4:43l y x =-（4）如图，当0t <＜2时，()()3,4,6,0,5,A B AO = ()()2236405,AB ∴=-+-=5,AB AO ∴==,AOB ABO ∴∠=∠∵,OAP BPN ∠=∠∴AOP PBN∽∴AO OP PB BN =，即5363BNt t =-，//,MN OB ,,AMN AOB ANM ABO ∴∠=∠∠=∠,AMN ANM ∴∠=∠,AM AN ∴=5,2OM BN t ∴==53,6352t t t ∴=-∴1211,018t t ==，经检验；11118t =是原方程的根，20t =是增根，舍去，此时：2563,6MN PB t ==-=112,9OQ t ==如图，过N 作NK AO ⊥于,K 112,2ABC OBN AON S OB AD S S =⨯⨯==+ 11116512,292NK ∴⨯⨯+⨯⨯=10.3NK ∴=当0t =时，0,OAP BPN ∠=∠=︒此时N 到OA 的距离是B 到OA 的距离，设这个距离为,h 由等面积法可得：11,22OA h OB AD = 564,h ∴=⨯24.5h ∴=当2t =时，不合题意，舍去．综上：N 到OA 的距离为：103或24.5【点睛】本题考查了平面图形中动点的综合性问题，涉及动点的轨迹，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的定义与性质，矩形的判定与性质，图形与坐标，列二次函数的关系式，二次函数的性质，解题的关键是：灵活应用基础知识；注意知识的系统化．26.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或1031,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出“雁点”坐标即可；（2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EMH 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴2440ac ∆=-=∵4c a=∵1a >∴04c <<②将4c a =代入，得2440E E ax x a++=解得2k x a =-，∴22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x a α=++，令0y =有2450ax x a ++=解得41,N M x x a a =-=-∴4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a ---=∴2EH MH a ==∴EMH 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H 设C （m ，m ），P （x ，y ）∵△CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+=∴315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB ∴KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m yy m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122+1021022x x -==，∴2103(,)22P +或2103(,)22P -如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y-=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122102-10,=22x x +=∴此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或2+103()22，或2103()22-，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．。
2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷(含解析)
2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷（一）一、选择题（共12小题）.1．出水浮萍的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C．7.6×10﹣8D．76×10﹣102．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线3．如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（）A．B．C．D．4．下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（2a2）3＝6a65．下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形6．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①7．小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．下列各式从左到右的变形一定正确的是（）A．＝B．＝x﹣yC．＝D．＝9．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．310．疫情复课之前，某校七年级（1）班购置了一批防疫物资，其中有10支水银温度计，若干支额温枪．水银温度计每支5元，额温枪每支230元，如果总费用超过1000元，那么额温枪至少有（）A．3支B．4支C．5支D．6支11．如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0）交于点A（m，4），B（﹣4，n），与x 轴，y轴交于点C，D，连接OA，OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝3，则k＝（）A．24B．20C．16D．1212．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D 运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（）A．96cm2B．84cm2C．72cm2D．56cm2二、填空题（每小题3分，共18分）13．若ab＝3，a﹣b＝1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．14．为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响，实现“离校不离教、停课不停学”，我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动．为了解教学效果，某校对“线上教学”的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“满意”的总人数为．15．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝度．16．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是．17．若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是．18．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为．三、解答题（共66分）19．计算：．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3+．21．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD 为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．22．只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如10＝3+7．（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是；（2）从7，13，23，29这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于36的概率．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．（1）请判断该方程实数根的情况；（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．24．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．25．如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k 值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”（1）当n＝1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．26．如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．（1）求证：△MEP≌△MBQ；（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由；（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B′，若点B′落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共36分．每小题只有一个正确答案．）1．出水浮萍的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076g，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A．0.76×10﹣7 B．7.6×10﹣7 C．7.6×10﹣8D．76×10﹣10解：0.000000076＝7.6×10﹣8 ．故选：C．2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．3．如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（）A．B．C．D．解：由图可得，此三视图所对应的直观图是．故选：B．4．下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（2a2）3＝6a6解：A、a+a＝2a，故A错误；B、a2•a3＝a5，故B错误；C、按照平方差公式可知，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故C正确；D、（2a2）3＝23×（a2）3＝8a6，故D错误．故选：C．5．下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．6．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D．7．小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为：＝．故选：A．8．下列各式从左到右的变形一定正确的是（）A．＝B．＝x﹣yC．＝D．＝解：A、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意；B、分子、分母约分时出现错误，正确的是原式＝x+y，原变形错误，故本选项不符合题意；C、该式左到右的变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故本选项不符合题意；D、该式左到右的变形正确，原变形正确，故本选项符合题意．故选：D．9．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（）A．4B．4C．4D．3解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，而∠C＝∠OAC，∴∠C＝30°，∴AC＝AP＝4．故选：A．10．疫情复课之前，某校七年级（1）班购置了一批防疫物资，其中有10支水银温度计，若干支额温枪．水银温度计每支5元，额温枪每支230元，如果总费用超过1000元，那么额温枪至少有（）A．3支B．4支C．5支D．6支解：设购进额温枪x支，依题意，得：5×10+230x＞1000，解得：x＞4．又∵x为正整数，∴x的最小值为5．故选：C．11．如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0）交于点A（m，4），B（﹣4，n），与x 轴，y轴交于点C，D，连接OA，OB，若tan∠AOD+tan∠BOC＝3，则k＝（）A．24B．20C．16D．12解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，在Rt△AOE中，tan∠AOE＝＝，在Rt△BOF中，tan∠BOF＝＝﹣，而tan∠AOD+tan∠BOC＝3，所以+＝3①，而根据点的对称性：m+n＝0②，联立①②并解得：m＝6，n＝﹣6，则A（6，4），B（﹣4，﹣6），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×6＝24，故选：A．12．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D 运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（）A．96cm2B．84cm2C．72cm2D．56cm2解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC于H，由三角形面积公式得：y＝＝30，解得EH＝AB＝6，∴AE＝＝＝8，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，∴矩形的面积为12×6＝72．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）13．若ab＝3，a﹣b＝1，则代数式a2b﹣ab2的值等于3．解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），把ab＝3，a﹣b＝1代入上式得：原式＝3×1＝3．故答案为：3．14．为最大程度减少因疫情延迟开学带来的影响，实现“离校不离教、停课不停学”，我市全面开展了形式多样的“线上教学”活动．为了解教学效果，某校对“线上教学”的满意度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息，计算表示“非常满意”和“满意”的总人数为70．解：调查的总人数：（40+50+10）÷（1﹣15%﹣35%）＝200（人），“非常满意”的人数：200×15%＝30（人），因此“非常满意、满意”的人数为：30+40＝70（人），故答案为：70．15．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝72度．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝∠ABC＝，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．故答案为：7216．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是1．解：∵3※x＝3x﹣3+x﹣2＜2，∴x＜，∵x为正整数，∴x＝1．故答案为：1．17．若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是120°．解：由题意可设，圆锥的底面半径为r，则母线＝3r，从而可得出扇形的弧长＝2πr，扇形的半径＝3r，又∵l＝，R＝3r，l＝2πr，∴可得n＝120°，即侧面展开图的圆心角是120°．故答案为：120°．18．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x 轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．三、解答题（共66分）19．计算：．解：原式＝＝．20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3+．解：原式＝•＝x﹣3，当x＝3+时，原式＝．21．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD 为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．解：（1）根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB＝∠EAD＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝60（米），∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF＝BD＝DF＝60米，在Rt△AFC中，∠FAC＝30°，∴CF＝AF•tan∠FAC＝60×＝20（米），又∵FD＝60米，∴CD＝（60﹣20）（米），∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．22．只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如10＝3+7．（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是；（2）从7，13，23，29这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于36的概率．解：（1）从7，11，13，17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到的两个素数之和等于36的结果有4个，∴抽到的两个素数之和等于36的概率为＝．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝p（p+1）．（1）请判断该方程实数根的情况；（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22＝3p2+5，求p的值．【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0，∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p），＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2，∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：由韦达定理知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p，∵x12+x22＝3p2+5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，∴p2﹣2p﹣8＝0，解得：p＝﹣2或4，∴p＝﹣2或4．24．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠FAC，∴∠BAD＝∠DAE∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAE＝∠ODA，∴OD∥AE，∴∠E＝∠ODF，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∵∠E＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°∴∠BDF＝∠DAE，∵∠BAD＝∠DAE，∴∠BDF＝∠DAE＝∠BAD，∵tan∠BDF＝，∴tan∠BDF＝tan∠DAE＝tan∠BAD＝，∴，∵DE＝，∴AE＝，AD＝，∴BD＝，∴AB＝6，又∠F＝∠F，∠BDF＝∠BAD，∴△FBD∽△FDA，∴，∴DF＝2BF，FD2＝FB•FA，∴（2BF）2＝BF•（FB+BA），又BA＝6，∴BF＝2，∴DF＝4．25．如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k 值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”（1）当n＝1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．解：（1）①当n＝1时，B（5，1），设线段AB所在直线的函数表达式为y＝mx+n，把A（1，2）和B（5，1）代入得：，解得：，则线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣x+；②不完全同意小明的说法，理由为：k＝xy＝x（﹣x+）＝﹣（x﹣）2+，∵1≤x≤5，∴当x＝1时，k min＝2；当x＝时，k max＝，则不完全同意；（2）当n＝2时，A（1，2），B（5，2），符合；当n≠2时，y＝x+，k＝x（x+）＝（x﹣）2+，当n＜2时，k随x的增大而增大，则有≥5，此时≤n＜2；当n＞2时，k随x的增大而增大，则有≤1，此时n＞2，综上，n≥．26．如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，△MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足∠PMQ＝60°，连接PQ．（1）求证：△MEP≌△MBQ；（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由；（3）设∠QMB＝α，点B关于QM的对称点为B′，若点B′落在△MPQ的内部，试写出α的范围，并说明理由．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，AM＝BM＝3，∵△MBE是等边三角形，∴MB＝ME＝BE，∠BME＝∠PMQ＝60°，∴∠BMQ＝∠PME，又∵∠ABC＝∠MEP＝90°，∴△MBQ≌△MEP（ASA）．（2）解：PF+GQ的值不变，理由如下：如图1，连接MG，过点F作FH⊥BC于H，∵ME＝MB，MG＝MG，∴Rt△MBG≌Rt△MEG（HL），∴BG＝GE，∠BMG＝∠EMG＝30°，∠BGM＝∠EGM，∴MB＝BG＝3，∠BGM＝∠EGM＝60°，∴GE＝，∠FGH＝60°，∵FH⊥BC，∠C＝∠D＝90°，∴四边形DCHF是矩形，∴FH＝CD＝6，∵sin∠FGH＝＝＝，∴FG＝4 ，∵△MBQ≌△MEP，∴BQ＝PE，∴PE＝BQ＝BG+GQ，∵FG＝EG+PE+FP＝EG+BG+GQ+PF＝2+GQ+PF，∴GQ+PF＝2．（3）解：如图2，当点B′落在PQ上时，∵△MBQ≌△MEP，∴MQ＝MP，∵∠QMP＝60°，∴△MPQ是等边三角形，当点B′落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B′，∴△MBQ≌△MB′Q，∴∠MBQ＝∠MB′Q＝90°，∴∠QME＝30°，∴点B′与点E重合，点Q与点G重合，∴∠QMB＝∠QMB′＝α＝30°，如图3，当点B′落在MP上时，同理可求：∠QMB＝∠QMB′＝α＝60°，综上，当30°＜α＜60°时，点B'落在△MPQ的内部．。
2021年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验中学中考数学一模试卷(附答案详解)
2021年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验中学中考数学一模试卷1. 下列各数中最大的一个数是( )A. 0.5B. −3C. 0D. −22. 深圳市卫健委2日称，截至4月2日16时，全市指定接种门诊591家，累计接种2410000人．将2410000用科学记数法表示为( )A. 24.1×105B. 2.41×105C. 2.41×106D. 0.241×1073. 如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是( )A.B.C.D.4. 下列计算正确的是( )A. √20=2√10B. √2⋅√3=√6C. √4−√2=√2D. √(−3)2=−35. 不等式组{−2x +5≥33(x −1)<2x的解集在数轴上表示正确的是( )A. B. C.D.6. 下列命题正确的是( )A. 圆内接四边形的对角互补B. 平行四边形的对角线相等C. 菱形的四个角都相等D. 等边三角形是中心对称图形7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上，如果将△ABC 沿y 轴翻折，得到△A′B′C′，那么点B 的对应点B′的坐标为( )A. (0,2)B. (3,1)C. (1,4)D. (−3,−1)8.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是()A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为()A. (30−2x)(40−x)=600B. (30−x)(40−x)=600C. (30−x)(40−2x)=600D. (30−2x)(40−2x)=60010.如图，CD是⊙O的直径，弦DE//AO，若∠D的度数为60°，则∠C的度数为()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°11.如图，函数y=x+1与函数y2=2的图象相交于点xM(1,m)，N(−2,n).若y1>y2，则x的取值范围是()A. x<−2或0<x<1B. x<−2或x>1C. −2<x<0或0<x<1D. −2<x<0或x>112.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=2.动点P沿AB从点A向点B移动(点P不与点A，点B重合)，过点P作AB的垂线，交折线A−C−B于点Q.记AP=x，△APQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是()A. B.C. D.13.在函数y=√x−2中，自变量x的取值范围是______．14.化简：2m−3m=______．15.把多项式ab2−4ab+4a分解因式的结果是______ ．16.一个扇形的面积是13πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是______度．(x<0)的图象经过点A，AB⊥x轴17.如图，若反比例函数y=kx于B，且△AOB的面积为6，则k=______．18.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是______．)−2+|−√3|−(√2−π)0−2cos30°．19.计算：(1220.如图，在▱ABCD中，E、F为BD上两点，BF=DE.求证：AE//CF．21.中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：(1)本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部；(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度；(3)请将条形统计图补充完整；(4)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．22.某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图．并发现衰退时y与x成反比例函数关系．(1)a=______；(2)当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为______；当x>100时，y与x之间的函数关系式为______；(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？23.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，当地政府决定对A，B两地间的道路进行改建，修建一条从A地到景区B的笔直公路，这样由A地沿直线AB行驶，直接可以到达B地.已知∠A=45°，∠B=30°，BC=100千米．(1)公路修建后，求从A地直接到景区B地旅游大约要走多少千米？(结果保留整数)(考数据：√2≈1.4，√3≈1.7)(2)为迎接“五一”旅游旺季的到来，需加快修建公路的速度，于是施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前50天完成了施工任务，请在(1)的条件下，求施工队原计划每天修建多少千米？24.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径作⊙O交AC于点H，E为AC上一点，且AB=AE，BE交⊙O于点D，OD交AC于点F．(1)求证：DO⊥AC．(2)若CE=4，BC=8，求DE的长．25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10.点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P 出发的同时，点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位的速度向终点B运动.当点Q 到达终点时，点P也停止运动.以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与点C在PQ的同侧.设P、Q两点的运动时间为t秒(t>0)．(1)用含t的代数式表示线段BQ的长．(2)当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值．(3)当∠AQM为锐角时，求t的取值范围．(4)当点M与△ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值．x2−(a+1)x+2a(a≥3)交x26.如图，抛物线y=12轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x1<x2)，交y轴于点C．(1)直接写出：点A的坐标为______，点B的坐标为______，对称轴为______(结果可用含a的式子表示)；x(x≥0)的方向平移(2)若把该抛物线沿射线y=128√5a个单位长度，所得抛物线恰好与x轴只有一个5公共点，求a的值；(3)设该抛物线的对称轴交x轴于点M，交线段BC于点N，点P是对称轴上位于BC上方的一动点，连接AP交BC于点E，问：是否存在这样的点P，使BN2=NE⋅NC？若存在，求PM的最小值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵0.5>0>−2>−3，∴所给的各数中最大的一个数是0.5．故选：A．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2.【答案】C【解析】解：2410000=2.41×106，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：根据俯视图的意义可得，选项D的图形符合题意，故选：D．从物体的上面看到的物体的形状，即可得出其俯视图．本题考查简单组合体的三视图，从正面看物体所得到的图形是主视图，从上面看物体所得到图形是俯视图．4.【答案】B【解析】解：A、√20=2√5，故A错误；B、二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除，故B正确；C、√4−√2=2−√2，故C错误；D、√(−3)2=|−3|=3，故D错误．故选：B．根据二次根式的性质化简二次根式，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算．二次根式的加减，实质是合并同类二次根式；二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除．此题考查了二次根式的化简和二次根式的运算．注意二次根式的性质：√a2=|a|．5.【答案】B【解析】解：解不等式−2x+5≥3，得：x≤1，解不等式3(x−1)<2x，得：x<3，故选：B．分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6.【答案】A【解析】解：A、圆内接四边形的对角互补，本选项说法正确，符合题意；B、平行四边形的对角线不一定相等，本选项说法错误，不符合题意；C、菱形的四条边相等，但四个角不一定都相等，本选项说法错误，不符合题意；D、等边三角形不是中心对称图形，本选项说法错误，不符合题意；故选：A．根据圆内接四边形的性质、平行四边形和菱形的性质、中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7.【答案】B【解析】解：∵将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，∴点B(−3,1)与点B′关于y轴对称，∴B′(3,1)，故选：B．由折叠的性质可求解．本题考查了翻折变换，坐标与图形变换−对称，关键是掌握点的坐标的变化规律．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=14，BC=7，∴DE=12∵∠AFB=90°，AB=8，AB=4，∴DF=12∴EF=DE−DF=7−4=3，故选B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为(40−2x)cm，宽为(30−2x)cm，根据题意得：(40−2x)(30−2x)=600．故选D．10.【答案】B【解析】解：∵弦DE//AO，∠D的度数为60°，∴∠AOD=∠D=60°，∠AOD=30°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠C=12故选：B．根据平行线的性质得出∠AOD=∠D，再根据圆周角定理求出答案即可．本题考查了平行线的性质和圆周角定理，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，零直线平行，内错角相等．11.【答案】D【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为−2<x<0或x>1，故答案为：−2<x<0或x>1．故选：D．的图象，即可得出当y1>观察函数y=x+1与函数y2=2xy2时，相应的自变量x的取值范围．本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．12.【答案】B【解析】解：当点Q在AC上时，y=12×AP×PQ=12⋅x⋅x⋅tan∠A=12x2(0≤x≤1)；当点Q在BC上时，如下图所示，y=S△ABC−S△BPQ=12AB⋅12AB−12BP⋅BP⋅tan45°=12×2×12×2−12(2−x)(2−x)×1=−12x2+2x−1(1<x≤2)，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．13.【答案】x≥2【解析】解：在函数y=√x−2中，有x−2≥0，解得x≥2，故其自变量x的取值范围是x≥2．故答案为x≥2．根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．14.【答案】−m【解析】解：2m−3m=(2−3)m=−m．故答案为：−m．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此计算即可．本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．15.【答案】a(b−2)2【解析】解：原式=a(b2−4b+4)=a(b−2)2．故答案为：a(b−2)2．原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16.【答案】130【解析】解：设这个扇形的圆心角为n°，nπ×62=13π，360解得，n=130，故答案为：130．，即可求得这个扇形的圆心角的度数．根据扇形面积公式S=nπr2360．本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式S=nπr236017.【答案】−12【解析】解：∵AB⊥OB，=6，∴S△AOB=|k|2∴k=±12，∵反比例函数的图象在二象限，∴k<0，∴k=−12，故答案为−12．根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.【答案】(0,21009)【解析】【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．本题点A坐标变化规律可以分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系进行解答．【解答】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的√2倍∵2018=252×8+2∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018=(√2)2018=21009故答案为：(0,21009)19.【答案】解：(12)−2+|−√3|−(√2−π)0−2cos30°=4+√3−1−2×√3 2=3+√3−√3=3．【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠ADE=∠CBF．在△ADE与△CBF中，{AD=CB∠ADE=∠CBF DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴∠AED=∠CFB，∴AE//CF．【解析】根据平行四边形的性质证明△ADE≌△CBF，即可得结论．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．21.【答案】1 2 72【解析】解：(1)本次调查的人数为：10÷25%=40，读2部的学生有：40−2−14−10−8=6(人)，故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是(2+2)÷2=2(部)，故答案为：1，2；(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×840=72°，故答案为：72；(3)由(1)知，读2部的学生有6人，补全的条形统计图如右图所示；(4)《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，树状图如下图所示：一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的的可能性有4种，故他们恰好选中同一名著的概率是416=14，即他们恰好选中同一名著的概率是14．(1)根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；(2)根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；(3)根据(1)中读2部的人数，可以将条形统计图补充完整；(4)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】19 y =0.2x −1 y =1900x【解析】解：(1)a =0.2×(100−5)=19；(2)当5≤x ≤100时，设y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x +b∵经过点(5,0)，(100,19)∴{5k +b =0100k +b =19 解得：，{k =0.2b =−1∴解析式为y =0.2x −1；当x >100时，y 与x 之间的函数关系式为y =k x ，∵经过点(100,19)，∴k 100=19解得：k =1900，∴函数的解析式为y =1900x ；(3)令y =0.2x −1=10解得：x =55，令y =1900x =10，解得：x =190∴190−55=135分钟，∴服药后能持续135分钟；(1)利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a 值；(2)分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；(3)分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．23.【答案】解：(1)过点C 作CD ⊥AB于D ，在Rt △BCD 中，AB ⊥CD ，sin30°=CD BC ，BC =100千米，∴CD =BC ⋅sin30°=100×12=50(千米)，BD =BC ⋅cos30°=100×√32=50√3(千米)， 在Rt △ACD 中，∵∠A =45°，∴∠ACD =45°，∴AD =CD =50(千米)，∴AB =50+50√3≈135(千米)．答：从A 地直接到景区B 地旅游大约要走135千米；(2)设施工队原计划每天修建x 千米，则实际每天修建(1+25%)x 千米，依题意得：135x −135(1+25%)x =50， 解得x =0.54，经检验x =0.54是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.54千米．【解析】(1)过点C 作CD ⊥AB 于D ，在直角△BCD 中，解直角三角形求出CD 的长度和BD 的长度，在直角△ACD 中，解直角三角形求出AD 的长度，进而求出从A 地直接到景区B 地旅游大约要走多少千米；(2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间−实际的工作时间=50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．24.【答案】(1)证明：∵∠ABC =90°，∴∠ABE +∠OBD =90°，又∵AB =AE ，∴∠ABE =∠AEB =∠DEF ，∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ，∴∠ODB +∠DEF =90°，即∠DFE =90°，∴DO ⊥AC ；(2)解：设AB =AE =x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，∵CE =4，BC =8，∴(x +4)2=x 2+82，解得：x =6，∴sin∠ACB =OF OC =AB AC =35，∴OF =35×4=125，∴DF =OD −OF =4−125=85， ∴cos∠ACB =CF OC =BC AC =45，∴CF =45×4=165，∴EF =CE −CF =4−165=45，在Rt △DEF 中，DE =√EF 2+DF 2=√(45)2+(85)2=45√5．【解析】(1)根据直角三角形的性质得出∠ABE+∠OBD=90°，根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB=∠DEF，∠OBD=∠ODB，求出∠ODB+∠DEF=90°即可；(2)设AB=AE=x，根据勾股定理求出x，解直角三角形求出OF，DF，CF，EF，根据勾股定理求出答案即可．本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．25.【答案】解：(1)由题意，得AQ=2t，∵AB=10，∴BQ=AB−AQ=10−2t(0<t≤5)．(2)当四边形APMQ为轴对称图形时，PQ的垂直平分线过A点，∴Rt△PMQ为轴对称图形，∴PA=AQ，∵AP=AC−CP，AC=6，CP=2t，∴AP=6−2t，即6−2t=2t，∴t=32．(3)当∠AQM为直角时，∠AQM=90°，∵△PQM为等腰直角三角形，∴∠PQM=45°，∴∠AQP=∠AQM−∠PQM=90°−45°=45°，如图，作PD⊥AQ交AQ于点D，∴PD=DQ，∴APsin∠A=AQ−APcos∠A，即(6−2t)×45+(6−2t)×35=2t，∴t=74，当t<74时，∠AQM>90°，当t>74时，∠AQM<90°，∴74<t ≤5．(4)分三种情况，使得PQ 的中垂线分别经过A 、B 、C ．①过A 点，与(2)情况相同，PA =AQ ，6−2t =2t ，t =32；②过B 点，此时PQ =QB ，PB =√CP 2+BC 2=√4t 2+64，QB =10−2t ，∴√4t 2+64=10−2t ，∴t =910；③过C 点，此时CP =CQ ，CQ =5，CP =2t ，即2t =5，∴t =52； ④当3<t ≤5时，CP 的表示方法为12−2t ，故C Q =12−2t ，t =4514．综上，t 的值为32或910或52或4514．【解析】(1)根据线段的和差关系可得答案；(2)由轴对称图形和线段垂直平分线性质得PA =AQ ，然后由线段和差关系得方程，解方程可得答案；(3)根据等腰直角三角形的性质得∠AQP 的度数，作PD ⊥AQ 交AQ 于点D ，由三角函数列出方程求解可得答案；(4)分三种情况：使得PQ 的中垂线分别经过A 、B 、C ，分别列出方程，解方程可得问题的答案．本题考查四边形综合题、勾股定理、线段的垂直平分线的性质定理、方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】(2,0) (2a,0) x =a +1【解析】解：(1)令y =12x 2−(a +1)x +2a =0，则x =2或2a ，则函数对称轴为x =a +1，故答案为：(2,0)，(2a,0)，x =a +1；(2)抛物线沿射线y=12x(x≥0)的方向平移85√5a个单位，则在垂直方向移动的距离为85√5a×1√5=85a个单位，抛物线的顶点坐标为(a+1,−a2−2a+12)，则a2−2a+12=8a5，解得：a=5或15(a≥3，舍去15)，故a=5；(3)连接AN，则AN=BN，∵OB=OB=2a，∴∠BCO=∠CBO=∠NAB=45°，∵BN2=NE⋅NC=AN2，∠CNA=∠CNA，∴△ANE∽△CNA，∴∠ACN=∠EAN，∴∠CAO=∠PAM，∴tan∠CAO=tan∠PAM，即：2a2=PMa−1，则PM=a2−a，该函数在a>12时，PM随a的增大而增大，则a≥3时，PM在a=3时取得最小值，该最小值6．(1)将y=12x2−(a+1)x+2a(a≥3)转化为交点式即可求出AB坐标．根据对称轴公式即可求出对称轴；(2)将抛物线沿射线y=12x(x≥0)的方向平移85√5a个单位长度，转化为水平向右移动165个单位，向上移动85个单位即可解答；(3)BN2=NE⋅NC=AN2，证明△ANE∽△CNA，则∠CAO=∠PAM，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象平移等知识点，其中(3)通过BN2=NE⋅NC=AN2，证明△ANE∽△CNA，确定∠CAO=∠PAM，是本题的难点．。
2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷(二)(附答案详解)
2021年湖南省衡阳市中考数学全真模拟试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在实数−1，−√2，0，14中，最小的实数是()A. −1B. 14C. 0D. −√22.用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是()A. 3.1B. 3.14C. 3.142D. 3.1413.在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为()A. (−4,5)B. (−5,4)C. (4,−5)D. (5,−4)4.下列各式中，属于分式的是()A. 12x B. x+1πC. 3x+1D. x+y25.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A. B.C. D.6.某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图尚不完整的调查问卷：准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是()A. ①②③B. ①③⑤C. ②③④D. ②④⑤7.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如右表：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是()册数/册12345人数/人25742A. 3，3B. 3，7C. 2，7D. 7，38.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为()A. 8B. 11C. 16D. 179.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是()A. x=20B. x=5C. x=25D. x=15(a、b为常数)的图象如图所示，由学10.小明同学利用计算机软件绘制函数y=ax(x+b)2习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足()A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<011.如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC=35°，则∠ABO的度数为()A. 25°B. 20°C. 30°D. 35°12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.若a+b=3，a2+b2=7，则ab=______．14.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a=______．15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC=4，CD=3，则cos∠DCB的值为______．16.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为______．17.如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC=4，则CD的长为______．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A(−2,0)，B(1,2)，C(1,−2).已知N(−1,0)，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM//FN.求证：AB//CD．20.解方程：x2−5x+6=021.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE=BF．22.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE=10m，其坡度为i1=1：√3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1：4，求斜坡AF的长度．(结果精确到0.01m，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122)23.为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：(1)本次被抽查的学生共有______名，扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为______度；(2)请你将条形统计图补全；(3)若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有多少名？(4)本次调查中抽中了七(1)班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．24.某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元，1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？(2)电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元？25.我们把方程(x−m)2+(y−n)2=r2称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,−2)、半径长为3的圆的标准方程是(x−1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中，⊙C与轴交于点A，B，且点B的坐标为(8,0)，与y轴相切于点D(0,4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E．(1)求⊙C的标准方程；(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．26.如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．(1)求证：△AEH≌△AGH；(2)当AB=12，BE=4时．①求△DGH周长的最小值；②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3.若存在，请求出AH的值；若不存在，AF请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵|−√2|>|−1|， ∴−1>−√2，∴实数−1，−√2，0，14中，−√2<−1<0<14． 故4个实数中最小的实数是：−√2． 故选：D ．直接利用实数比较大小的方法得出答案．此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．2.【答案】C【解析】解：3.14159精确到千分位的结果是3.142． 故选：C ．把万分位上的数字5进行四舍五入．本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．3.【答案】D【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标以及点到坐标轴的距离，正确掌握第四象限点的坐标特点是解题关键．直接利用点的坐标特点进而分析得出答案． 【解答】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5， ∴点M 的纵坐标为：−4，横坐标为：5， 即点M 的坐标为：(5,−4)． 故选：D ．4.【答案】C【解析】解：A、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；B、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；C、分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；D、分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；故选：C．根据分式的定义逐个判断即可．本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．5.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查设置问卷的方法，一般情况下问卷的各个选项之间相对独立，不能有重合或交叉的地方．根据体育项目的隶属包含关系，以及“户外体育项目”与“其它体育项目”的关系，综合判断即可．【解答】解：根据体育项目的隶属包含关系，选择“篮球”“足球”“游泳”比较合理，故选：C．7.【答案】A【解析】解：因为共有20个数据，=3，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为3+32由表格知数据3出现了7次，次数最多，所以众数为3．故选：A．根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．8.【答案】B【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故选：B．在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案．本题考查了一次函数与一元一次方程，两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．【解答】解：∵直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P(20,25)∴直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P为x=20．故选：A．10.【答案】C【解析】解：由图象可知，当x>0时，y<0，又∵(x+b)2>0，∴ax<0∴a<0；∵x+b≠0，∴x≠−b.结合图象可知−b<0，故b>0．故选：C．由图象可知，当x>0时，y<0，可知a<0；根据x+b≠0，得出x≠−b，结合图象可知b>0．本题考查函数的图象；根据当x>0时，y<0及x≠−b即可解答．11.【答案】B【解析】【分析】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB=90°，∵∠ADC=35°，∴∠AOB=2∠ADC=70°，∴∠ABO=90°−70°=20°．故选B．12.【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，∴AB=4，∠A=45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD=BD=2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE=PF，PE=CF，∵点P运动的路程为x，∴AP=x，则AE=PE=x⋅sin45°=√22x，∴CE=AC−AE=2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0<x<2时，y=PE⋅CE=√22x(2√2−√22x)=−12x2+2x=−12(x−2)2+2，∴当0<x<2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x<4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE=PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD=2，PD=x−2，∴CP=4−x，y=12(4−x)2=12(x−4)2．∴当2≤x<4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，可得AB=4，根据CD⊥AB于点D.可得AD=BD=2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．13.【答案】1【解析】解：(a+b)2=32=9，(a+b)2=a2+b2+2ab=9．∵a2+b2=7，∴2ab=2，ab=1，故答案为：1．根据完全平方公式，可得答案．本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式是解题关键．14.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a=±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．【解答】解：把x=0代入(a−1)x2−2x+a2−1=0得a2−1=0，解得a=±1，∵a−1≠0，∴a=−1．故答案为−1．15.【答案】23【解析】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴DE//AC，又∵点D为AB边的中点，∴BE=EC=12BC=2，在Rt△DCE中，cos∠DCB=ECCD =23，故答案为：23．过点D作DE⊥BC，由平行线平分线段定理可得E是BC的中点，再根据三角函数的意义，可求出答案．考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．16.【答案】3【解析】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH=DH=12CD=12×8=4，∵直径AB=10，∴OC=5，在Rt△OCH中，OH=√OC2−CH2=3，故答案为3．根据垂径定理由CD⊥AB得到CH=12CD=4，再根据勾股定理计算出OH=3．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．17.【答案】2【解析】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12BC=2，MN//BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE(AAS)，∴CD=MN=2．故答案为：2．BC=2，MN//BC，依据△MNE≌△DCE(AAS)，依据三角形中位线定理，即可得到MN=12即可得到CD=MN=2．本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18.【答案】(−1,8)【解析】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为(−1,0)，N点关于A点对称的N1点的坐标为(−3,0)，N1点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4)，N2点关于C点对称的N3点的坐标为(−3,−8)，N3点关于A点对称的N4点的坐标为(−1,8)，N4点关于B点对称的N5点的坐标为(3,−4)，N5点关于C点对称的N6点的坐标为(−1,0)，此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6=336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为(−1,8)．故答案为：(−1,8)．先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解．19.【答案】证明：∵EM//FN，∴∠FEM=∠EFN，又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠FEB=∠EFC，∴AB//CD．【解析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB=∠EFC，进而得出AB//CD．20.【答案】解：∵x2−5x+6=0，∴(x−2)(x−3)=0，则x−2=0或x−3=0，解得x1=2，x2=3．【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，∵CE=DF，∴BE=CF，在△AEB与△BFC中，{AB=BC∠ABE=∠BCF BE=CF，∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE=BF．【解析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质结合已知条件可证明△AEB≌△BFC(SAS)，然后根据全等三角形的判定即可求出答案．22.【答案】解：∵DE=10m，其坡度为i1=1：√3，∴在Rt△DCE中，DE=√DC2+CE2=2DC=10，∴解得DC=5m．∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=5m．∵斜坡AF的坡度为i2=1：4，∴ABBF =14，∴BF=4AB=20m，∴在Rt△ABF中，AF=√AB2+BF2=5√17≈20.61(m)．故斜坡AF的长度约为20.61米．【解析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．23.【答案】解：(1)50；72；(2)B类人数是：50−10−8−20=12(人)，补全条形统计图如图所示：(3)850×600=96名，答：估计该校学生选择“C.社会实践类”的学生共有96名；(4)列表如下：由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率=416=14．【解析】解：(1)本次被抽查的学生共有：20÷40%=50(名)，扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为1050×360°=72°；故答案为：50，72；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案；【分析】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．(1)用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中“A.书画类”的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数；(2)用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；(3)用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；(4)先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．24.【答案】解：(1)设1kg甲产品的售价为x元，则1kg乙产品的售价为(x+5)元，1kg 丙产品的售价为3x元，根据题意，得：270 3x =60x+5×3，解得：x=5，经检验，x=5既符合方程，也符合题意，∴x+5=10，3x=15．答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；(2)设40kg的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有mkg，则乙种产品有2mkg，甲种产品有(40−3m)kg，∴40−3m+m≤2m×3，∴m≥5，设按此方案购买40kg农产品所需费用为y元，根据题意，得：y=5(40−3m)+20m+15m=20m+200，∵20>0，∴y随m的增大而增大，∴m=5时，y取最小值，且y最小=300，答：按此方案购买40kg农产品最少要花费300元．【解析】(1)设1kg甲产品的售价为x元，则1kg乙产品的售价为(x+5)元，1kg丙产品的售价为3x元，根据“用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍”列方程解答即可；(2)设40kg的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有mkg，则乙种产品有2mkg，甲种产品有(40−3m)kg，根据题意列不等式求出m的取值范围；设按此方案购买40kg农产品所需费用为y元，根据题意求出y与m之间的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用．本题属于中档题，难度不大，解决该体系题目时，找准数量关系是解题的突破点．25.【答案】解：(1)如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M.设⊙C的半径为r．∵与y轴相切于点D(0,4)，∴CD⊥OD，∵∠CDO=∠CMO=∠DOM=90°，∴四边形ODCM是矩形，∴CM =OD =4，CD =OM =r ，∵B(8,0)，∴OB =8，∴BM =8−r ，在Rt △CMB 中，∵BC 2=CM 2+BM 2，∴r 2=42+(8−r)2，解得r =5，∴C(5,4)，∴⊙C 的标准方程为(x −5)2+(y −4)2=25．(2)结论：AE 是⊙C 的切线．理由：连接AC ，CE ．∵CM ⊥AB ，∴AM =BM =3，∴A(2,0)，B(8,0)设抛物线的解析式为y =a(x −2)(x −8)，把D(0,4)代入y =a(x −2)(x −8)，可得a =14，∴抛物线的解析式为y =14(x −2)(x −8)=14x 2−52x +4=14(x −5)2−94， ∴抛物线的顶点E(5,−94)，∵AE =√32+(94)2=154，CE =4+94=254，AC =5，∴EC 2=AC 2+AE 2，∴∠CAE =90°，∴CA ⊥AE ，∴AE 是⊙C 的切线．【解析】(1)如图，连接CD ，CB ，过点C 作CM ⊥AB 于M.设⊙C 的半径为r.在Rt △BCM 中，利用勾股定理求出半径以及等C 的坐标即可解决问题．(2)结论：AE 是⊙C 的切线．连接AC ，CE.求出抛物线的解析式，推出点E 的坐标，求出AC ，AE ，CE ，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE =90°即可解决问题．本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BCD=120°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∠BCD=60°=∠ABC，∴∠ACD=12∵BE=CG，∴△ABE≌△ACG(SAS)，∴AE=AG，∵AF平分∠EAG，∴∠EAF=∠GAF，∵AH=AH，∴△AEH≌△AGH(SAS)；(2)①如图1，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，∵AB=12，BE=4，∴CG=4，∴CE=DG=12−4=8，由(1)知，△AEH≌△AGH，∴EH=HG，∴l△DGH=DH+GH+DG=DH+HE+8，要是△AEH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，在Rt△DCM中，∠DCM=180°−120°=60°，CD=AB=12，∴CM=6，∴DM=√3CM=6√3，在Rt△DME中，EM=CE+CM=14，根据勾股定理得，DE=√EM2+DM2=√142+(6√3)2=4√19，∴△DGH周长的最小值为4√19+8；②Ⅰ、当OH与线段AE相交时，交点记作点N，如图2，连接CN，∴点O是AC的中点，∴S△AON=S△CON=12S△ACN，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S△AONS△AEC =14，∴S△CEN=S△ACN，∴AN=EN，∵点O是AC的中点，∴ON//CE，∴AHAF =12；Ⅱ、当OH与线段CE相交时，交点记作Q，如图3，连接AQ，FG，∵点O是AC的中点，∴S△AOQ=S△COQ=12S△ACQ，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴S△COQS△ACE =14，∴S△AEQ=S△ACQ，∴CQ=EQ=12CE=12(12−4)=4，∵点O是AC的中点，∴OQ//AE，设FQ=x，∴EF=EQ+FQ=4+x，CF=CQ−FQ=4−x，由(1)知，AE=AG，∵AF是∠EAG的角平分线，∴∠EAF=∠GAF，∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴FG =EF =4+x ，过点G 作GP ⊥BC 交BC 的延长线于P ，在Rt △CPG 中，∠PCG =60°，CG =4，∴CP =12CG =2，PG =√3CP =2√3， ∴PF =CF +CP =4−x +2=6−x ，在Rt △FPG 中，根据勾股定理得，PF 2+PG 2=FG 2，∴(6−x)2+(2√3)2=(4+x)2，∴x =85，∴FQ =85，EF =4+85=285， ∵OQ//AE ，∴AH AF=EQ EF =4285=57， 即AH AF 的值为12或57．【解析】(1)先判断出△ABC 是等边三角形，进而判断出∠ACD =∠ABC ，判断出△ABE≌△ACG ，即可得出结论；(2)①先判断出EH +DH 最小时，△AEH 的周长最小，在Rt △DCM 中，求出CM =6，DM =6√3，在Rt △DME 中，根据勾股定理得，DE =4√19，即可得出结论；②分两种情况：Ⅰ、当OH 与线段AE 相交时，判断出点N 是AE 的中点，即可得出结论；Ⅱ、当OH 与CE 相交时，判断出点Q 是CE 的中点，再构造直角三角形，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，判断出点N 是AE 的中点和点Q 是CE 的中点是解本题的关键．。
2021年衡阳市中考数学模拟试卷(有答案)(Word版)
2021年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷(解析版)一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣4的相反数是（）A．4 B．﹣4 C．﹣D．【解答】解：﹣4的相反数是4．故选：A．2．（3分）2018年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1800000000元支持民生幸福工程，数1800000000用科学记数法表示为（）A．18×108 B．1.8×108C．1.8×109D．0.18×1010【解答】解：1800000000=1.8×109，故选：C．3．（3分）下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．4．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（）A．B． C．D．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层有1个正方形，且位于中间．故选：A．5．（3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（）A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的【解答】解：A、连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；B、连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；C、大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．故选：A．6．（3分）下列各式中正确的是（）A．=±3 B．=﹣3 C．=3 D．﹣=【解答】解：A、原式=3，不符合题意；B、原式=|﹣3|=3，不符合题意；C、原式不能化简，不符合题意；D、原式=2﹣=，符合题意，故选：D．7．（3分）下面运算结果为a6的是（）A．a3+a3B．a8÷a2C．a2•a3D．（﹣a2）3【解答】解：A、a3+a3=2a3，此选项不符合题意；B、a8÷a2=a6，此选项符合题意；C、a2•a3=a5，此选项不符合题意；D、（﹣a2）3=﹣a6，此选项不符合题意；故选：B．8．（3分）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（）A．﹣=10 B．﹣=10C．﹣=10 D．+=10【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为：﹣=10．故选：A．9．（3分）下列命题是假命题的是（）A．正五边形的内角和为540°B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．圆内接四边形的对角互补【解答】解：正五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，A是真命题；矩形的对角线相等，B是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；圆内接四边形的对角互补，D是真命题；故选：C．10．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【解答】解：，解①得x＞﹣1，解②得x≤3，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3．故选：C．11．（3分）对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（）A．图象分布在第二、四象限B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．图象经过点（1，﹣2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2【解答】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．故选：D．12．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），∴x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+c=0，所以①错误；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为90°．【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，∴OB=OD，∴旋转的角度是∠BOD的大小，∵∠BOD=90°，∴旋转的角度为90°．故答案为：90°．14．（3分）某公司有10名工作人员，他们的月工资情况如表，根据表中信息，该公司工作人员的月工资的众数是0.6万元、0.4万元．所以该公司工作人员的月工资的众数是0.6万元和0.4万元，故答案为：0.6万元、0.4万元．15．（3分）计算：= x﹣1 ．【解答】解：==x﹣1．故答案为：x﹣1．16．（3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为75°．【解答】解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，∴∠FBC=∠EAB=（180°﹣90°）=45°，∵∠AFC是△AEF的外角，∴∠AFC=∠FAE+∠E=45°+30°=75°．故答案为：75°．17．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是16 ．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=MC．∴△CDM的周长=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．故答案为16．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点A 1（1，﹣）作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为1009 ．【解答】解：由题意可得，A 1（1，﹣），A2（1，1），A3（﹣2，1），A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），…，∵2018÷4=504…2，2018÷2=1009，∴点A2018的横坐标为：1009，故答案为：1009．三、解答题（本题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分）19．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x=﹣1．【解答】解：原式=x2﹣4+x﹣x2=x﹣4，当x=﹣1时，原式=﹣5．20．（6分）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．21．（8分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．请根据图中信息完成下列各题．（1）将频数分布直方图补充完整人数；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．【解答】解：（1）70到80分的人数为50﹣（4+8+15+12）=11人，补全频数分布直方图如下：（2）本次测试的优秀率是×100%=54%；（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，则所有的可能性为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，所以小明和小强分在一起的概率为．22．（8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？【解答】解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A=30°，AP=2000米，则CP=AC=1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，∴BC=PC=1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为=10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）【解答】解：（1）如图，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE=∠DAO，∴∠DAE=∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）如图，作OG⊥AE于点G，则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，∵OD=OG，∴四边形ODEG是正方形，∴OA=OD=OG=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，在Rt△AOG中，∵OA=2AG，∴∠AOG=30°，∴∠BOD=60°，则的长度为=．24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y=﹣x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣x+40）=﹣x2+50x﹣400=﹣（x﹣25）2+225，∵a=﹣1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．25．（10分）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①如图1，∵y=﹣2x2+2x+4=﹣2（x﹣）2+，∴顶点为M的坐标为（，），当x=时，y=﹣2×+4=3，则点N坐标为（，3）；②不存在．理由如下：MN=﹣3=，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD=﹣2m 2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m 2+4m ，∵PD ∥MN ，当PD=MN 时，四边形MNPD 为平行四边形，即﹣2m 2+4m=，解得m 1=（舍去），m 2=，此时P点坐标为（，1），∵PN==，∴PN ≠MN ，∴平行四边形MNPD 不为菱形，∴不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形；（2）存在．如图2，OB=4，OA=2，则AB==2， 当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P （1，2），∴PB==，设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+4，把A （2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a ﹣2，∴抛物线的解析式为y=ax 2﹣2（a+1）x+4，当x=1时，y=ax 2﹣2（a+1）x+4=a ﹣2a ﹣2+4=2﹣a ，则D （1，2﹣a ），∴PD=2﹣a ﹣2=﹣a ，∵DC ∥OB ，∴∠DPB=∠OBA ， ∴当=时，△PDB ∽△BOA ，即=，解得a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣2x 2+2x+4；当=时，△PDB ∽△BAO ，即=，解得a=﹣，此时抛物线解析式为y=﹣x 2+3x+4； 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x 2+2x+4或y=﹣x 2+3x+4．26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A 时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．【解答】解：（1）如图1中，连接BP．在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP=BQ，∵AQ=t，CP=t，∴BQ=4﹣t，PB2=42+t2，∴（4﹣t）2=16+t2，解得t=12﹣8或12+8（舍弃），∴t=12﹣8s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．则有PA=AQ，∴4﹣t=•t，解得t=．②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．则有：AQ=AP，∴t=（4﹣t），解得t=2，综上所述：t=s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．∵S=S △QNC +S △PCQ =•CN •QF+•PC •QE=t （QE+QF ）=2t （0＜t ＜4）．。
湖南省衡阳市2021版中考数学模拟试卷(II)卷
湖南省衡阳市2021版中考数学模拟试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019七上·开州月考) 如果，且，那么的值一定是（） .A . 正数B . 负数C . 0D . 不确定2. （2分）已知（x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（）A . m=3，n=9B . m=3，n=6C . m=﹣3，n=﹣9D . m=﹣3，n=93. （2分）光的速度约为每秒300000千米,太阳光射到地球上需要的时间约为500秒,则地球与太阳间的距离用科学记数法表示为（）A . 15×105千米B . 1.5×106千米C . 1.5×107千米D . 1.5×108千米4. （2分）将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周，得到的几何体是（）．A .B .C .D .5. （2分） (2019九上·黄石期末) 学生作业本每页大约为7.5忽米(1厘米＝1000忽米)，请用科学计数法将7.5忽米记为米，则正确的记法为（）A . 7.5× 米B . 0.75× 米C . 0.75× 米D . 7.5× 米6. （2分） (2020八上·覃塘期末) 当时，下列运算正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）下列调查所选取的样本中，具有代表性的是（）A . 了解全校同学喜欢课程的情况，对某班男同学进行调查B . 了解某小区居民防火意识，对你们班同学进行调查C . 了解某商场的平均日营业额，选在周末进行调查D . 了解全校同学对动画电视节目的喜爱情况，上学时在学校门口随意调查100名同学8. （2分） (2016九上·太原期末) 已知△ABC∽△ ，△ 的面积为6 ，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于（）A . 1.5B . 3C . 12D . 249. （2分） (2019九上·如皋期末) 已知点、都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是A .B .C .D .10. （2分）如图，直径AB为6的半圆O，绕A点逆时针旋转60°，此时点B 到了点，则图中阴影部分的面积为（）A . 6πB . 5πC . 4πD . 3π二、填空题： (共4题；共4分)11. （1分）若不等式组无解.则m的取值范围是________ ．12. （1分）(2018·拱墅模拟) 分解因式： ________13. （1分） (2019九上·天河期末) 一个圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的侧面积是________．14. （1分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=________三、计算题： (共2题；共20分)15. （10分）(2018·吉林模拟) 计算：（1）；（2） .16. （10分） (2017九上·满洲里期末) 解方程：（1）（2）四、作图题： (共1题；共10分)17. （10分） (2017九上·海淀月考) 在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．（1）小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．（2）小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由．五、解答题： (共4题；共48分)18. （15分）(2018·河池模拟) 如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2） E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．19. （10分）(2016·姜堰模拟) 如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为18°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；（2）跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）20. （8分） (2016九上·盐城开学考) 直线y=x+b与双曲线y= 交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y 轴交于点C、B．（1）直接写出b=________，m=________；（2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为________；（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．21. （15分）(2017·深圳模拟) 某校初三（1）班名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12一分钟跳绳80.16投掷实心球0.32推铅球50.1合计501（1）求的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生.为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率.六、综合题： (共2题；共27分)22. （15分） (2016九上·广饶期中) 如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．（1）求m的值．（2）求A、B两点的坐标．（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．23. （12分） (2016九下·巴南开学考) 已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC．（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是________，MN与EC的数量关系是________．（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A顺时针旋转45°得到的图2，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（3）若把（1）小题中的△AED绕点A逆时针旋转45°得到的图3，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、计算题： (共2题；共20分)15-1、15-2、16-1、16-2、四、作图题： (共1题；共10分) 17-1、17-2、五、解答题： (共4题；共48分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、六、综合题： (共2题；共27分)22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、。