无锡市滨湖中学必修第二册第二单元《复数》检测(答案解析)
最新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(含答案解析)(2)
一、选择题 1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -4．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．325．若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．26．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或68．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -9．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．110．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.14．已知i 为虚数单位，计算：132cos sin 233i i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 15．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 16．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；17．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 18．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 19．已知，则 =____．20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.22．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.23．设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ． （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|．24．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．25．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ；（2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 26．复数z 满足||1z =，且2120z z z++<．求z ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．3．B解析：B 【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.4．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．B解析：B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.8．A解析：A 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .9．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i =++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故复数201812z i i =++对应的点位于第三象限,故选C. 12．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值解析：1 【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】 解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题解析：144-+【分析】先把12+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.【详解】 解：原式cossin2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1344i =-+.故答案为：134i -+. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】 解析：6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.17．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1 【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：313i +【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==， ∴0113cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=， ∴1134z i z -=+，解得31z i =+. 故答案为：31i +. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了.20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i 【解析】 设z=a+bi(a,b ∈R), 因为|z|=3,所以a 2+b 2=9. 又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限， 则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.22．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=；解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.23．（1）a =4（2）54 【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简12z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.【详解】解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ，∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4；（2）由12z z =()()()()134134343434342525ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数， 得{340340a a -=+≠，即34a =， ∴|z 1|=|314i -54=． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．24．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+，故152z ==． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.25．（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩1z =-； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈， 则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=1=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.26．1z =-或12z =-± 【分析】由题意可知设复数cos sin z i αα=+,计算出2z ,2z ,1z ,代入2120z z z++<中可得cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩可求得复数z . 【详解】由题意可知：cos sin z i αα=+,则222cos sin 2sin cos z i αααα=-+,22cos 2sin z i αα=+,1cos sin i zαα=-, ∴212(cos23cos )(2sin cos sin )0z z i zααααα++=+++<, ∴cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩,即()cos 23cos 0sin 2cos 10αααα+<⎧⎨+=⎩， 若sin 0α=，则cos21α=，由cos23cos 0αα+<得cos 1α=-，所以1z =-，若1cos 2α=-，则1cos 2cos 23cos 02ααα=-+<，，得122z =-±，∴1z =-或122z =-±. 【点睛】本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.。
(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．12i 12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( )A ．1BC ．2D4．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i --B ．122-+C ．122i +D ．122- 5．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2 C ．D 6．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +CD - 8．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．19．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4D 11．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．3 12．若11i ai ++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-二、填空题13．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.14．已知复数342i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.15．化简2012221i ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________.点集{||1|1,}D z z z C =++=∈，则||z 的最小值_____和最大值________.16．若复数z 满足5z z +=，则复数z =________________.17．已知复数()22356()=-+-+∈z k k k k i k R ，且0z <，则k =________.18．若复数z 满足||1z =，则()()z i z i +-的最大值是________.19．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________.20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________ 三、解答题21．设m R ∈，复数22(56)(3)m m m m i -++-(i 为虚数单位)是纯虚数．（1）求m 的值；（2）若2mi -+是方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值．22．已知复数()12251z a i a =+--，()223105z a i a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位. （1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值.23．设12cos ,1sin z x i z i x =+=+（x 为实数且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，i 是虚数单位），求函数()212f x z z =-的值域.24．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位.（1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b+≥. 25．已知方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ.（1）若2i α=-，求,p q 的值；（2）若3p =，且||1αβ-=，求q 的值.26．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2-，且z 在复平面内对应的点在第二象限. （1）求复数z ；（2）若复数ω满足1z z iω-≤+，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i i i ++-+==∴-选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 3．A解析：A直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2．∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离．数形结合，得最小距离为1故选A ．【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．4．C解析：C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得122z z i +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.5．D解析：D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi6．A解析：A利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-， 由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】 本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.8．A解析：A【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 9．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．A解析：A【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A. 12．B解析：B设11i bi ai+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】 设()1,,1i bi a b R ai+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩， 解得11a b =-⎧⎨=⎩， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.二、填空题13．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题解析：1122i + 【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.14．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识 解析：一【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限.【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 15．13【分析】根据复数的代数形式的除法乘方运算法则计算可得根据复数的几何意义得到的轨迹即可得到的最值；【详解】解：设因为即根据复数的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆上的点集则故答案为：；；【点睛】本 解析：1- 1 3【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z 的轨迹，即可得到||z 的最值；【详解】解：2012221i ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭)()()201222111i i i ⎡⎤-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦2012022⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭20120⎫=+⎪⎪⎝⎭1006222⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()100610062514221i i i i ⨯+=-====-设(),z x yi x y R =+∈，因为{||1|1,}D z z z C =++=∈即11x yi +++=根据复数的几何意义可知{||1|1,}D z z z C =+=∈表示以(1,-为圆心，1为半径的圆上的点集，则max 13z ==，min 11z ==，故答案为：1-；1；3. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题． 16．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的应用解析：115【分析】由z 一定为实数,由题可知z 设()a a R z =∈,进而求解即可【详解】因为5z z +=+,所以z设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以115z =,故答案为:115【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用 17．2【分析】由知为实数且的实部小于零由此可构造方程求得结果【详解】解得：故答案为：【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题关键是能够明确复数只有在虚部为零即为实数时才可以比较大小解析：2.【分析】由0z <知z 为实数且z 的实部小于零，由此可构造方程求得结果.【详解】0z < z R ∴∈ 2256030k k k k ⎧-+=∴⎨-<⎩，解得：2k = 故答案为：2【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题，关键是能够明确复数只有在虚部为零，即为实数时才可以比较大小.18．【分析】设求出后再求其模利用可求模的最大值【详解】设则故其中当时故答案为：2【点睛】本题考查复数的乘法共轭复数以及复数的模处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实解析：2【分析】设,,z a bi a b R =+∈，求出()()z i z i +-后再求其模，利用221a b +=可求模的最大值.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，则()()()22()()111z i z i a b i a b i a b +-=+-+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故()()z i z i +-==[]1,1b ∈-. 当1b =-时，max ()()2z i z i +-=，故答案为：2.【点睛】本题考查复数的乘法、共轭复数以及复数的模，处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实数化即把复数的模的问题归结实部和虚部的问题（即实数范围内的问题），本题属于中档题.19．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和 解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．（1）2.（2）4p =，8q =．【分析】（1）根据纯虚数的定义求出m 的值即可；（2）将2mi -+代入方程20x px q ++=，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．【详解】（1）复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数， 2256030m m m m ⎧-+=∴⎨-≠⎩解得：2?30?3m m m m ==⎧⎨≠≠⎩或且 2m ∴=（2）2mi -+是方程20x px q ++=的一个根由（1）可得2m =，即：22i -+是方程20x px q ++=的一个根2(22)(22)0i p i q ∴-++-++=即(2)(28)0p q p i -++-=20280p q p -+=⎧∴⎨-=⎩解得：4p =，8q =．【点睛】本题解题关键是掌握纯虚数定义和复数相等求参数方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22．（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1z =【分析】（1）根据复数1z 对应点所在的象限得出关于实数a 的不等式组，解出即可；（2）根据12z z +是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a 的值，再利用复数的模长公式可计算出1z 的值.【详解】 （1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则201250a a ⎧<⎪-⎨⎪-<⎩，解得152a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即512a <<.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()223105z a i a =+-+，()223105a i a z =--+∴， ()()()2212233225102151551z z a i a i a a i a a a a∴+=+-+--=+++--++-. 12z z +是实数，2215015a a a a ⎧+-=⎪∴≠⎨⎪≠-⎩，解得3a =， ()122511z a i i a∴=+-=-+-，1z ∴= 【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.23．3⎡⎤-⎣⎦【分析】求出()f x 的解析式后利用辅助角公式化简得到()34f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由x 的范围结合正弦函数的性质可得()f x 的值域.【详解】 ()()()()22212cos 11sin 32cos sin f x z z x x x x =-=-+-=-+ 34x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦sin 14x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x的值域为3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查复数的模的计算以及三角函数的值域的求法，此类问题属于中档题.24．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析. 【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，从而可求出a ，b 的值；（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b+≥. 【详解】 （1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩， 解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以44a b b a +≥=， 当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.25．（1）6,15p q ==；（2）94q =或154q =. 【分析】（1）由实系数一元二次方程两虚数根互为共轭虚数,结合根与系数关系即可求出,p q 的值; （2）对方程是否为实数根进行分类讨论,然后再利用韦达定理和模长公式即可得出结果.【详解】（1）方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ,2i α=-，则2i β=+,由根与系数关系可得, 24,63p p αβ+==∴=,5,153q q αβ==∴= 6,15p q ∴==； （2）3612,2,3q q αβαβ∆=-+==当0,3,,q αβ∆≥≤为实数根, 23612()413q αβαβαβ--=+-==,解得94q =; 当0,3,,q αβ∆<>为虚数根为3393q i ±-, 23913q αβ--==,解得154q =. 94q ∴=或154q = 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的分类讨论,根的特征,以及根与系数的关系,考查计算能力，属于中档题.26．（1）1z i =-+；（2）25π 【分析】（1）设出复数z ，利用已知列出方程组，求解可得复数z ； （2）把复数1i z =-+代入iz z +，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算i z z +，由复数ω满足1015ω-≤，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积.【详解】(1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限, 得解得 ∴z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i,∴i z z +====-+i,∴i z z +==, ∴复数ω满足|ω-1|≤. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,∴其面积为π·=. 【点睛】 本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)(5)
一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ） A ．2B ．10C ．2D ．44．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i --5．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．26．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A 2B ．2C ．22D 58．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝ A ．2 B ．2C ．4D 210．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +11．若i 为虚数单位，复数z 满足33z i ≤，则2z i -的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．23D ．3312．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+二、填空题13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.15．计算：88112i i -⎛⎫-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭______________. 16．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.17．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 18．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 19．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______. 20．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=. （1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．化简下列复数（1）()()6532i i -++ （2）()()()56234i i i -+---+23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．24．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．25．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位） （1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．26．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =. （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确， 对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确，综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案． 【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ， 所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =， 所以(0,2)AB OB OA =-=，则22022AB AB ==+=，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．4．B解析：B 【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+， 根据复数与复平面内的点一一对应， 可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-， 根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．5．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.7．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi8．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.9．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y=⎧⎨=⎩， 则2x y ==，224422x yi i +=+=+=. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B 【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i111iz i i i ==+=-+-,选B. 11．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -， 又因为22(22)(30)5AB =--+-=，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74-【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320axax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=. 所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74- 【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .15．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为： 解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．16．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-， ()1010202010102101010082222i 2i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43ii n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.17．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解. 【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ = 所以|3|z -的最大值为51CQ r +=. 51. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.18．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的 解析：12- 【分析】 先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解.【详解】 因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055a a +=-≠， 解得12a =-， 所以a 的值为12-. 故答案为：12-【点睛】 本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.19．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：4π或54π. 【解析】【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案.【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 20．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分： 则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i+-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++， 因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）93i -；（2）11i -.【分析】利用复数的加减运算法则求解.【详解】（1）()()6532i i -++，()()6325i =++-，93i =-.（2）()()()56234i i i -+---+，()()523614i =--+---，11i =-.【点睛】本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）1z =2）13a > 【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-. （1）13251122i z i i -+==---，∴12z =； （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．24．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a＝4，z1＝2＋4i，∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；（Ⅱ）∵()() 126438 23425a a iz aiz i-+++==-是纯虚数，∴133,222a z i==+，故195442z=+=．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.25．（1）23z i=-；（2）11m-<<【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i=-代入得()()23123Z m m m i=--+--，由复数的概念和几何意义得()210230mm m⎧-->⎨--<⎩，解得11m-<<.试题（1）1255z z i=-+，21555532i iz iz i-+-+===--+（2）()()()2323231z z m m m i⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i⎡⎤=--+-⎣⎦()()2123m m m i=--+--由于3z所对应的点在第四象限，，所以实数m的取值范围是26．（1）132z=-+.(2）33ABCS∆=.【解析】分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b=+<>，则z a bi=-，由题2z z=，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z，2z，3z在复平面上对应点A，B，C，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b=+，则z a bi=-，故2222z a b abi z a bi=-+==-.所以22a b a -=，2ab b =-.又0a <，0b >，解得12a =-，3b =，132z i =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得132z i =-+，2132z i =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)(2)
一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆2．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2 3．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 7．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( )A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --8．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 9．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ） A ．15i + B ．1i - C ．15i - D ．1i +10．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 11．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限12．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32二、填空题13．若i 为虚数单位，则计232020232020i i i i ++++=___________.14．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______．15．若12ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 16．已知复数342i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限. 17．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.18．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 19．复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____ 20．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________.三、解答题21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值；（2）若123x x +=，求实数p 的值．22．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.25．已知z 是纯虚数，并使得21z i +∈-R ，求z 26．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【详解】 因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 3．B解析：B【分析】 由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.7．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解. 8．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】 由复数的运算法则可知：51i i-()()()1111122i i i i i +==-+-+， 则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论.【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题11．D解析：D【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．12．C解析：C先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-， 因为32a i i-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．【分析】设两边乘以相减结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则计算可得所求和【详解】设上面两式相减可得则故答案为：【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法以及复数的运算考查等比数列的求和公式以及 解析：10101010i -【分析】设232020232020S i i i i =+++⋯+，两边乘以i ，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．【详解】设232020232020S i i i i =+++⋯+，2342021232020iS i i i i =+++⋯+，上面两式相减可得，2320202021(1)2020i S i i i i i -=+++⋯+-20202021(1)(11)20202020202011i i i i i i i i--=-=-=---， 则(1)202020201010101012i i i S i i +=-=-=--． 故答案为：10101010i -．【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．14．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题. 15．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及 解析：-1【分析】先把122ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.【详解】解：复数122ω=+对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=，所以1cos isin 2233i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：-1.【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.16．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识 解析：一【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限.【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 17．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．故答案为：66i -【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【分析】设代入题目所给已知条件利用复数相等的条件列方程组解方程组求得的值【详解】设则于是有解得即【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算考查复数相等的概念考查方程的思想属于基础题 解析：9522i -+ 【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得z 的值.【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，则()()()1223i a bi a bi i ++--=+，()()323a b a b i i --++=+，于是有233a b a b --=⎧⎨+=⎩ 解得9252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即9522z i =-+. 【点睛】 本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题. 20．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以 (32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z2=. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础. 三、解答题21．（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ， 则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222x x x x x x x x x x x x +=++=+-+， 1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.22．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0，由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥ 所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ . 【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．25．-2i【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i +-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z .【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题. 26．56-或76【分析】 若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，12122x x x x =+=+=，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩， ①0∆≥，即m ≤m ≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=； ②∆<0，即331212m -+<<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得m =综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题.。
人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－C ．12i －D ．12i 3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．12-- B ．12-+ C ．12+ D ．122- 5．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -7．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4B ．2C ．0D ．2-9．下列命题中,正确的命题是（ ） A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z > B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立 C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =10．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ）A ．52B ．1C ．1-D ．52-11．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -12．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --二、填空题13．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______. 14．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则MN =______.15．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.16．设i 为虚数单位，复数z 满足()()21z i +=，则z =______．17．复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____ 18．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________.19．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅的值.22．设复数z 的共轭复数为z ，且23z z i +=+，sin cos i ωθθ=-，复数z ω-对应复平面的向量OM ，求z 的值和2OM 的取值范围.23．设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 24．已知i 为虚数单位，当实数m 为何值时，复数是()2262m m z m m i m+-=+-：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？25．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.26．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ； （2）求z ω-的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确， 对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-，∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．4．C解析：C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得122z z i +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.5．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.6．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.7．B解析：B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8．C解析：C 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解. 【详解】因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以1z i =+也是方程的一个根， 故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩，所以0p q +=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.9．C解析：C 【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z zz ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确. 【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=.10．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：z =，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以12z -±=，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =x =11．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算即可． 【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=- 故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题12．B解析：B 【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i iz i i i ==+=-- ，选B. 二、填空题13．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的解析：4 【分析】本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值． 【详解】 由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=，则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤．故12z z +的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．14．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果. 【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆. i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-. 【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.15．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74-【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320axax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=)则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=. 所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74- 【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .16．【分析】根据复数的除法运算化简求得再结合复数的模的运算公式即可求解【详解】由则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及复数的模的运算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解 解析：2【分析】根据复数的除法运算，化简求得1z =-，再结合复数的模的运算公式，即可求解. 【详解】由()222(2ii =-+=-，则1z ====-，所以12z =-=. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．【分析】设代入题目所给已知条件利用复数相等的条件列方程组解方程组求得的值【详解】设则于是有解得即【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算考查复数相等的概念考查方程的思想属于基础题解析：9522i -+【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得z 的值. 【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，则()()()1223i a bi a bi i ++--=+，()()323a b a b i i --++=+，于是有233a b a b --=⎧⎨+=⎩ 解得9252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即9522z i =-+. 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题.18．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模. 【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以(32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z= 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.19．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题 解析：1i -根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i -【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．（1）1i z =+或1i z =--；（2）2-【分析】（1）设出z a bi =+,根据题意可得22222a b ab ⎧+=⎨=⎩,求解即可； （2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可（1）设z a bi =+,由题,可得z ==,()()22222z a bi a b abi =+=-+, 2z 的虚部为2则22222a b ab ⎧+=⎨=⎩11a b =⎧∴⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 故1z i =+或1i z =--（2）由（1）可知22z i =,即B 为()0,2,()0,2OB ∴=当1z i =+时,即A 为()1,1,()1,1OA ∴=,此时21z z i -=-,即C 为()1,1-,()1,1OC ∴=- ()1,3OA OB ∴+=∴()()11+312OA OB OC +⋅=⨯⨯-=-当1i z =--时,即A 为()1,1--,()1,1OA ∴=--,此时213z z i -=--,即C 为()1,3--,()1,3OC ∴=--()1,1OA OB ∴+=-∴()()()()11+132OA OB OC +⋅=-⨯-⨯-=-综上, ()2OA OB OC +⋅=-【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力22．1z i =+,3⎡-+⎣【详解】分析：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件列方程求得1z i =+，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得234OM πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性可得2OM 的取值范围. 详解：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件解得11a b =⎧⎨=⎩，所以1z i =+. ()()1sin 1cos z i ωθθ-=-++()()22211OM sin cos θθ=-++ ()32sin cos θθ=--322sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为1sin 14πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以334πθ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭3≤+即233OM -≤≤+故所求1z i =+，2OM 的取值范围是3⎡-+⎣.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.23．（1）1；（2）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b bi u a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i a a b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈，则220b b a b -=+， 由0b≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．（1）2m =；（2）0m ≠且2m ≠；（3）3m =-.【分析】（1）由实数定义可知实部为零，由此可构造方程求得结果；（2）由虚数定义可知虚部不为零，结合分式分母不为零可构造不等式组求得结果； （3）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此可构造方程组求得结果.【详解】（1）由2200m m m ⎧-=⎨≠⎩得：2m = ∴当2m =时，复数z 是实数 （2）由2200m m m ⎧-≠⎨≠⎩得：0m ≠且2m ≠ ∴当0m ≠且2m ≠时，复数z 是虚数 （3）由226020m m m m m ⎧+-=⎪⎨⎪-≠⎩得：3m =- ∴当3m =-时，复数z 是纯虚数 【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，关键是熟练掌握实数、虚数和纯虚数的定义；易错点时忽略无论复数为什么类型，分式分母不能为零的要求.25．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-，由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.26．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2. 【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-=，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，122z i ∴=+； （2）()11sin cos sin cos 222z i i i ωθθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)(3)
一、选择题 1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-3．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．325．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i6．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -7．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．128．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,89．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i + 10．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -11．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i --12．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-3二、填空题13．复数31+i i 1i+-的值是______. 14．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个. 15．若复数72aiz i+=-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______. 16．已知复数342iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.17．化简：202020192i z i ⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭________.18．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 19．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____20．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．三、解答题21．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数； （2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上. 22．设虚数z 满足2510z z +=+. （1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．已知复数()()()121z m m m i =-++- (m R ∈，i 为虚数单位) (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值； (2)若2m =，设1z ia bi z +=+- (,ab ∈R )，试求+a b .24．已知复数1z 满足：111z i z =++. （1）求1z ；（2）若复数()()22111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值.25．（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值. 26．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．D解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a a z i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a a x y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈， 所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a -<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确， 对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.4．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．B解析：B 【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z =-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 7．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.8．A解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围. 【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤， 因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．10．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.12．D解析：D 【解析】 因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 二、填空题13．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题解析：0 【分析】先利用复数的除法运算计算1+i1i-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】()()()231i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题.14．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36 【分析】若复数i a b +为虚数，则0,0a b =≠，分0,0a a =≠两种情况讨论即得解. 【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，当0a =时，对应的b 有6个值；当a 取1,2,3,4,5,6时，对应的b 只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36. 【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题.15．6【分析】化简复数实部为3求出a 进而求出【详解】解：由题意知的虚部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算属于基础题解析：6化简复数，实部为3,求出a ，进而求出2z . 【详解】 解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++==--+(14)(72)1472555a a i a ai -++-+==+. 由题意知1435a-=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+， 2z ∴的虚部为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.16．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识解析：一 【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限. 【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故答案为：一. 【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.17．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43ii n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.18．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值. 【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①②22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积． 【详解】由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．20．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4 【解析】 【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可 【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1， ∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4， ∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆． 则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离， 圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d 22(3)(4)=-+-=5， ∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题．三、解答题21．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值； （3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值． 【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--， （1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =； （2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0，由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．22．（1）5；（2或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位）， 则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++，由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==；（2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得103102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或103102x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，10310i z =-或10310i -+. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题. 23．（1）2m =-；（2）85【解析】分析：（Ⅰ）先把复数 整理成z a bi =+的形式，由虚部等于0得到实数m 的值； （Ⅱ）把复数z iz i+-整理成a bi +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +．详解：（Ⅰ）若z 是纯虚数，则()()m 1m 2010m ⎧-+=⎨-≠⎩，()()m 1m 20,10,m ⎧-+=⎨-≠⎩解得m 2=-.（Ⅱ）若m 2=，则z 4i =+. ∴()()()()42i 3i 4i i 42i 71a bi i 4i 13i 3i 3i 55+-++++====++-++-()()()()42i 3i 4i i 42i a bi 4i 13i 3i 3i +-++++====+-++- 71i 55+， ∴7a 5=，1b 5=，∴8a b 5+=. 点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算．对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数 的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．24．（1）1z i =-；（2）1a =-. 【分析】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ； （2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值. 【详解】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，1(1)(1)i a bi a b i =+++=+++，100,,11b a b a +=⎧=⎧⎪∴∴⎨=-=+⎩ ∴1z i =-.（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，1a ∴=-. 【点睛】本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.25．（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=. 【分析】（1）设,z a bi z a bi =+=-，代入(3)13z i z i -⋅=+，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，由此求得z .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b 的值. 【详解】（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+； （2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132ai i b i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩，即12,26a b =-=. 【点睛】本小题主要考查复数运算，考查复数相等的概念，属于中档题.26．56-或76 【分析】若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，12122x x x x =+=+=，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求. 【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩， ①0∆≥，即m ≤m ≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=；②∆<0，即331212m -+<<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得m = 综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题.。
(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 2．若复数(1a i z i i +=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．23．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i 4．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12 D ．-15．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）A B C ．D ．36．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．18．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3210．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2B ．12CD ．2 11．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．3 12．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．若复数z 满足|3|1z i -+，则32z i +-（i 为虚数单位）的最小值为______． 15．若复数72ai z i+=-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______. 16．复数2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭的辐角主值为________.17．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________.18．已知复数()()()4231234a i z i i -=-+⋅-，且1z =，则实数a =_________. 19．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．三、解答题21．（1101032213122132i i i ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭； （2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)32z z z --的三角形式.22．已知i 是虚数单位，复数11()z ai a R =-∈，复数2z 的共轭复数234z i =-. （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z . 23．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）. （1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .24．已知复数1sin 2i z x λ=+，2()i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =. （1）若0λ=且0πx <<，求x 的值；（2）设()f x λ=；①求()f x 的最小正周期和单调递减区间；②已知当x α=时，12λ=，试求cos(4)3πα+的值. 25．已知m ∈R ，复数z ＝()()22211m m m m i m +++--，当m 为何值时： （1）z ∈R ；（2）z 是虚数；（3）z 是纯虚数.26．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值；（2）若212z z =，求m ，n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值.【详解】 由()()()()11711768341112i i i i z i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由 222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离， ()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1， 所以21max 516z z -=+=.故选：D【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．C解析：C【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i z i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】 ()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．B解析：B【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z 满足21i i z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．C解析：C【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 5．A解析：A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+，∴z ==故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题. 6．C解析：C【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.7．A解析：A【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ，∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 8．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，z ∴=故选A ． 11．A解析：A【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A. 12．D解析：D【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-， 则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以z ==.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上 的点(,)P a b在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题. 15．6【分析】化简复数实部为3求出a 进而求出【详解】解：由题意知的虚部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算属于基础题解析：6【分析】化简复数，实部为3,求出a ，进而求出2z .【详解】 解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++==--+(14)(72)1472555a a i a a i -++-+==+. 由题意知1435a -=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+，2z ∴的虚部为6.故答案为：6.【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.16．【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可【详解】因为所以所以所以复数z 的辐角主值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析属于基础题 解析：34π 【分析】 先化简2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭再根据辐角主值的定义求解即可.【详解】 因为11i i i +=-,所以2021202111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭所以331cos sin 44z i i ππ⎫=-+=+⎪⎭,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34π 【点睛】 本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.17．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和 解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 18．【分析】化简的表达式根据列方程由此求得的值【详解】依题意由于即即即即解得故填：【点睛】本小题主要考查复数的除法乘法和乘方运算考查复数模的运算考查运算求解能力属于中档题解析：2±【分析】化简z 的表达式，根据1z =列方程，由此求得a 的值.【详解】依题意，()()()433434a i z i i -=--⋅-()()()()44343434i i a i i ---⋅-=-42534a i i -⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭()()()()434253434a i i i i ⎡⎤-+=-⋅⎢⎥-+⎣⎦()434432525a a i ++-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦，由于1z =，即()4344325125a a i ++-⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦，即()()44344334431252525a a i a a i ++-++-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，即()24334125255a a i -++=，即223443125255a a +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22525125a +=，24a =，解得2a =±. 故填：2±【点睛】本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方运算，考查复数模的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 19．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i =-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复 解析：23-3π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )23233πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）122-；（2）22(cos sin )233i ππ+； 【分析】（1）由(1)cos sin 244i i ππ+=+，1cos()sin()2233i i ππ-+=-+-，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得11(cos sin )233z i z ππ-=+，进而得到z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.【详解】（11010101011(1)122222i i i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛++-+=-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而101010101(1)(cos sin )[cos()sin()]2224433i i i i i i ππππ⎛⎫⎛-+++-+=-+++-+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴原式551010221(cossin )[cos()sin()]cos sin 2233332i i i i i i ππππππ=-+++-+-=-+++=-； （2）由题意知：11(cos sin )233z i z ππ-=+，所以(cos sin )333z i ππ=+，sin )33z i ππ=-，∴322(2||)3sin )233z z i i z ππ--+=-=+ 【点睛】本题考查了复数的三角形式，利用复数三角形式的乘方运算化简求值，并由已知复数的模、复角求目标复数的三角形式.22．（1）4；（2）54. 【分析】（1）先求出124(4)z +z =+a i -，再根据12z z R +∈，求出实数a 的值；（2）由已知得1234(34)25z a a i z --+=，再根据12z z 是纯虚数求出a 的值即得解. 【详解】 223434z i z i =-∴=+（1）由已知得12(1)(34)4(4)z +z =ai ++i =+a i --12,40z z R a +∈-=∴4a ∴=（2）由已知得121(1)(34)34(34)34(34)(34)25z ai ai i a a i z i i i -----+===++- 12z z 是纯虚数，340340a a -=⎧∴⎨+≠⎩, 解得34a =，135144z i ∴=-==. 【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.23．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．24．（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；②78- 【分析】根据复数相等的概念列方程，求得关于,,sin 2,cos 2m x x λ的关系式.（1）将0λ=代入上述求得的关系式，由此解出x 的值.（2）由上述求得的关系式，求得()f x λ=的表达式.①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得()f x 的最小正周期和单调递减区间.②利用二倍角公式和诱导公式，求得cos(4)3πα+的值.【详解】 由于12z z =，所以sin 22x m m xλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故sin 22x x λ=. （1）当0λ=时，sin 220x x -=，则tan 2x =0πx <<所以022πx <<，所以π23x =或4π23x =，所以π6x =或2π3x =. （2）由于sin 22x x λ=，故()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z . ②依题意π1sin 222sin 232x αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 2163αα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-. 【点睛】本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题.25．（1）1m =-+1m =-2）1m ≠-+1m ≠-1m ≠；（3）0m =或2m =-.【分析】（1）解221m m +-=0，1m ≠，即可得解；（2）虚部不为0，则该复数为虚数，则2210m m +-≠，1m ≠即可得解；（3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠即可得解.【详解】（1）z ∈R ，所以221m m +-=0，1m ≠，212m -±==-所以，当1m =-+1m =--z ∈R ；（2）z 是虚数，则2210m m +-≠，1m ≠，当1m ≠-+1m ≠--1m ≠时，z 是虚数；（3）z 是纯虚数，()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠，所以0m =或2m =-时，z 是纯虚数.【点睛】此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的取值，需要熟练掌握复数的概念，准确求解.26．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-，所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.。
无锡滨湖区胡埭中学必修第二册第二单元《复数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） A ．2a ≠，或1a ≠ B ．2a ≠，且1a ≠ C ．2a =，或0a = D ．0a =2．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）.①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0 B ．1C ．2D ．33．213(1)ii +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．已知复数132z i =--，则z z +=（ ） A ．132i -- B ．132i -+ C ．132i + D ．132i - 5．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．26．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限 7．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --8．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．129．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数11ii+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 14．设i 为虚数单位，复数z满足()()21z i+=，则z =______．15．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.16．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.17．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 18．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________19．已知i 是虚数单位，则复数21iz i-=+的共轭复数是_______. 20．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．参考答案三、解答题21．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.22．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ． 23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值； (2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 24．设复数(,0)z a bi a b R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 25．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值. 26．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出. 【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上, 因此, 220a a -=，解得2a =，或0a = 故选C 【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.2．B解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．C解析：C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得132z z i +=+，从而求得结果. 详解：根据132z i =--，可得132z i =-+，且13144z =+=，所以有131312222z z i i +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.5．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．B解析：B 【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++， 即()()222211x y x y -+=++， 解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上. 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.7．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.8．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==， 又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.9．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+．则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.10．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C11．A解析：A 【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11ii+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得a b +的值.12．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1 【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】根据复数的除法运算化简求得再结合复数的模的运算公式即可求解【详解】由则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及复数的模的运算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解 解析：2【分析】根据复数的除法运算，化简求得1z =-，再结合复数的模的运算公式，即可求解. 【详解】由()222(2ii =-+=-，则1z ====-，所以12z =-=. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题 解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.16．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】 【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值.【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题 解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果. 【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-． 故答案为：66i - 【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可. 【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321 x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B⎛⎫⎪⎝⎭，，由321x yx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C⎛⎫⎪⎝⎭，，所以11172242222S=⨯-⨯⨯⨯=阴影.故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.19．【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简求出复数z进而求得其共轭复数从而求得结果详解：因为所以故答案是点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题在解题的过程中需要对复数解析：1322i+【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数z，进而求得其共轭复数，从而求得结果.详解：因为2(2)(1)13131(1)(1)222i i i iz ii i i----====-++-，所以1322z i=+，故答案是1322i+.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，在解题的过程中，需要对复数的除法运算法则灵活掌握，以及共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数.20．1【解析】由|z－2|＝|z＋2|知z对应点的轨迹是到(20)与到(－20)距离相等的点即虚轴|z －1|表示z 对应的点与(10)的距离∴|z －1|min ＝1点睛：要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为解析：1【解析】由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴． |z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.22．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果 【详解】 （Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+， 故195442z =+=． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（1）1；（2）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b bi u a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则220b b a b-=+， 由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ， 由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．56-或76【分析】 若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，12122x x x x =+=+=，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩， ①0∆≥，即m ≤m ≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=；②∆<0m <<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得m =综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题. 26．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长； （2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n ⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.。
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【解析】
分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.
详解：设 ，则 ，如图,
因此复平面内复数z的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为
2．C
解析：C
【分析】
利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．
【详解】
因为复数 与 分别对应向量 和 ，
所以向量 和 ，
所以 ，则 ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
3．B
解析：B
【分析】
先求出 ， ，再利用平面向量的数量积求解.
二、填空题
13．【分析】设两边乘以相减结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则计算可得所求和【详解】设上面两式相减可得则故答案为：【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法以及复数的运算考查等比数列的求和公式以及
解析：
【分析】
设 ，两边乘以 ，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．
【详解】
∵在复平面 的交点.
由 得 或 （舍），即 ，
则 ， ， ，
∴ .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．B
解析：B
【分析】
由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.
5．已知复数 是方程 的一个根，则实数 ， 的值分别是（）
A．12，26B．24，26C．12，0D．6，8
6．若复数 为纯虚数， ，则 （）
A． B． C． D． 或
7．“复数 在复平面内对应的点在第三象限”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若 ，且 ，则 的最小值是（）
【详解】
对于①中，例如复数 ，此时 ，所以①是错误的；
对于②中，复数 对应的点坐标为 位于第二象限，所以②是错误的；
对于③中，若 是纯虚数，则满足 ，解得 ，
所以③是正确的；
对于④中，例如 ，则 ，所以④错误的.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
26．已知复数 ， （ ），且 .
（1）若 且 ，求 的值；
（2）设 ；
①求 的最小正周期和单调递减区间；
②已知当 时， ，试求 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据复数 ，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据 ，可得④错误的.
11．D
解析：D
【解析】
分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.
详解：
，
实部为 ,故选D.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意 和 运算的准确性，否则很容易出现错误.
12．D
解析：D
【解析】
， ， 的共轭复数在复平面内对应点坐标为 ， 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.
一、选择题
1．在下列命题中，正确命题的个数是（）.
①两个复数不能比较大小；
②复数 对应的点在第四象限；
③若 是纯虚数，则实数 ；
④若 ，则 .
A．0B．1C．2D．3
2．在复平面内,复数 与 分别对应向量 和 ,其中O为坐标原点,则 =（）
A． B． C．2D．4
3．在复平面内，虚数 对应的点为 ，其共轭复数 对应的点为 ，若点 与 分别在 与 上，且都不与原点 重合，则 （）
【详解】
设 ，则 ，
所以 ，表示圆心为 ，半径为 的圆.
，表示点 和 之间的距离，
故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
9．C
解析：C
【分析】
由 可知 ，令 ，即可求出 的范围.
【详解】
因为对任意 ， ，则 ,
，
，解得 .
故选：C.
【点睛】
20．3i【解析】设z=a+bi(ab∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i
解析：3i
【解析】
设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=3,所以a2+b2=9.
又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.
【详解】
由复数的运算法则可知： ，
则复数 的虚部是 .
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【详解】
因为虚数 （ ， ）的模为4，所以有 ，
故点 的轨迹是以圆心 ，半径为 的圆，
设 （ ， ）， 表示的几何意义为点 到点 的距离，
由图可知，点 到点 的距离的最大值为 ，最小值为 ，
又因为 ，
所以点 到点 的距离的最大值为 ，最小值为 ，
则 的取值范围为 .
故答案为 .
【点睛】
本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x和y关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.
（1）求复数 的模；
（2）求复数 实部的取值范围；
（3）设 ，求证： 为纯虚数.
22．已知关于 的方程 的两根为 、 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求实数 的值.
23．已知 是纯虚数，并使得 ，求
24．已知 , ,设 ,且 ,求复数 , .
25．已知关于 的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为 的虚根，求实数k的值．
∴a＜0，
由|z|=2，得 =2，解得a=﹣1或1（舍去），
∴z=﹣1+ i．
故答案为﹣1+ i.
【点睛】
该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．
19．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复
【详解】
设 ，
，
上面两式相减可得，
，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．
14．6【解析】分析：先找到复数z对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这
18．已知复数z＝a＋ i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于________．
19．如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于 ，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是___．
20．已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.
三、解答题
21．设复数 ，且 ， .
【详解】
由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
5．A
解析：A
【分析】
复数 是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q的值.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题
13．若 为虚数单位，则计 ___________.
14．设复数 满足 ，则 的最大值是_______.
15．已知虚数 （ ， ）的模为4，则 的取值范围为________．
16． 是虚数单位，若 ，则 ___________.
17．已知复数 满足等式 （ 为虚数单位），则 的最大值为________.
【详解】
因为 是方程 的一个根，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.
6．B
解析：B
【解析】
分析：由题意得到关于 的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数 为纯虚数，则：
，即： ，
结合 ，可知： ，故 .
所以 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.