2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 I 卷)word版
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若,则
A.0
B.1
C.
D.2
2.设集合，，且，则
A.-4
B.-2
C.2
D.4
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A.
B.
C.
D.
4.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则
A．2
B．3
C．6
D．9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A．
B．
C．
D．
6.函数的图像在点处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
7.设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为
A.
B.
C.
D.
8. 的展开式中的系数为
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
9. 已知，且，则=
A.
B.
C.
D.
10. 已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面
积为,则球的表面积为
A. 64
B. 48
C. 36
D. 32
11. 已知，直线为上的动点.过点作的切线，,切点为,当最小时，直线的方程为
A.
B.
C.
D.
12.若则
A.a>2b
B.a<2b
C.a>
D.a<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为。
14.设a，b为单位向量，且︱a+b︱=1,则︱a-b︱= 。
15.已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为3，则的离心率为__________.
16.如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，
，，则________.
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共60分。
17.（12分）
设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.
（1）求的公比；
（2）若=1，求数列的前项和.
18.（12分）
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底
面直径，AE=AD,是底面的内接正三角形，P为DO上一点,.
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B-PC-E的余弦值.
19. （12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20.已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为上顶点，
.为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为.
（1）求的方程
（2）证明:直线过定点
21.（12分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标
原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标.
23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）画出y=f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集.。
2020年高考考试理科数学试卷 全国Ⅰ卷 (含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷理科数学一、选择题1.若1i z =+，则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51- 51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( )B.23 C.1310.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( ) A.2a b > B.2a b < C.2a b > D.2a b <二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||-=a b ___________.15.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.16.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.三、解答题17.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ；(2)求二面角B PC E --的余弦值.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.20.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 21.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 23.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为'h，则依题意有：222212'()2'h ahah h⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'ah ah-=，化简得2'4()2()1'h ha a--=，解得5'1ha+=.4.答案：C解析：设点A的坐标为()x y，，由点A到y轴的距离为9可得9x=，由点A到C的焦点的距离为12，可得122px+=，解得6p=.5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为lny a b x=+.6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x=-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 13.答案：114.15.答案：2 16.答案：14-17.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3n n n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.18.答案：(1)见解析；(2)25. 解析：(1)设DO a =，由题设可得63,,PO a AO a AB a ===， 2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),,0,22E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以31,,0,0,2EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,210.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取⎛= ⎝m . 由(1)知AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记AP =n ，则cos ,||||⋅==⋅n m n m n m 所以二面角B PC E --. 19.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.20.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.21.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤.综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.22.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C 的直角坐标方程为1x y +=， 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.23.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2020年全国卷Ⅰ理科数学(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A B C D4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度x y i=得到下面的散点图：条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+ 6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+ 7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A B ．23 C ．13D 10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷Ⅰ理科数学含答案2020 数学 理科
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=A．0 B．1 C．2D．22．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=A．–4 B．–2 C．2 D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 51-B51-C51+D51+4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i ix y i=得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+ 7．设函数()cos π()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3 D ．3π28．25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=AB ．23C ．13D10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π11．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=12．若242log 42log a ba b +=+，则A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学试题及答案-全国卷12020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）如果事件A B ，互斥，那么球的表⾯积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独⽴，那么其中R 表⽰球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独⽴重复试验中恰好发⽣k 次的概率其中R 表⽰球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，⼀、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速⾏驶、匀速⾏驶、减速⾏驶之后停车，若把这⼀过程中汽车的⾏驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满⾜2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满⾜244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．（）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ??=+的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()() 0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底⾯边长都相等，1A 在底⾯ABC 内的射影为ABC △的中⼼，则1AB 与底⾯ABC 所成⾓的正弦值等于（）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，⼀环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块⾥种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满⾜约束条件03003x y x y x ?+?-+，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最⼤值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三⾓形⾯积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离⼼率e = ．16．等边三⾓形ABC 与正⽅形ABDE 有⼀公共边AB ，⼆⾯⾓C AB D --的余弦值为3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成⾓的余弦值等于．三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本⼩题满分10分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设ABC △的内⾓A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最⼤值． 18．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底⾯BCDE 为矩形，侧⾯ABC ⊥底⾯BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平⾯ABE 所成的⾓为45，求⼆⾯⾓C AD E --的⼤⼩．CDE AB19．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??--，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验⾎液来确定患病的动物．⾎液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下⾯是两种化验⽅法：⽅案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为⽌．⽅案⼄：先任取3只，将它们的⾎液混在⼀起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为⽌；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依⽅案甲所需化验次数不少于依⽅案⼄所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表⽰依⽅案⼄所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）双曲线的中⼼为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离⼼率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的⽅程． 22．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满⾜101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案⼀、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. ⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin =acosB-bcosA=(A CB C A cos sin sin cos sin sin ?-?)c=c B A AB B A ?+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ?+-sin cos cos sin sin cos cos sin=1cot tan )1cot (tan +-B A cB A依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+-解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐⾓，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43，且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最⼤值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂⾜为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底⾯BCDE ，且O 为BC 中点，由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ，从⽽∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ，由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧⾯ABC ，⼜BE ?侧⾯ABE ，所以侧⾯ABE ⊥侧⾯ABC 。
2020年高考理科数学(全国卷Ⅰ真题)——(含答案和解析)
（一）必考题：共60分.
17.设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
18.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
8. 的展开式中x3y3的系数为（）
A.5B.10
C.15D.20
【答案】C
据此结合目标函数 几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
A.0B.1C. D.2
2020全国高考数学I卷_理科数学
15．已知
F
为双曲线
C：
x2 a2
−
y2 b2
=1
(a > 0，b > 0) 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且
BF 垂直于 x 轴．若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_________．
16．如图，在三棱锥 P -ABC 的平面展开图中，AC = 1，AB = AD = 3 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠ CAE = 30o，则 cos∠FCB = _________．
1．若 z = 1＋i，则|z2－2z| =（
）
A．0
B．1
C． 2
D．2
2．设集合 A = {x|x2－4 ≤ 0}，B = {x|2x＋a ≤ 0}，且 A∩B = {x|－2 ≤ x ≤ 1}，则 a =（
）
A．－4
B．－2
C．2
D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边 长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的 边长的比值为（ ）
B． 7 6
C． 4 3
D． 3 2
8．(x＋ y2 )(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为（ x
A．5
B．10
） C．15
9．已知 α∈(0，π)，且 3cos2α－8cosα = 5，则 sinα =（ ）
A． 5 3
B． 2 3
C． 1 3
D．20 D． 5
9
10．已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，⊙ O1 为△ABC 的外接圆，若⊙ O1 的面积为 4π，AB
理科数学试题第 3 页（共 6 页）
2020年全国i卷理科数学试题及答案
2020年全国i卷理科数学试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C3. 若直线l的方程为y=2x+3，求直线l与x轴的交点坐标。
A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B4. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，判断三角形ABC的形状。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B5. 求函数y=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最小值。
A. -2B. -1C. 0D. 1答案：A6. 若复数z满足|z-1|=2，求复数z的实部的取值范围。
A. [-1, 3]B. [-3, 1]C. [1, 3]D. [-3, -1]答案：A7. 已知向量a=(2,-3)，b=(1,2)，求向量a与向量b的数量积。
A. -4B. -1C. 1D. 4答案：B8. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，求双曲线C的离心率。
A. √2B. √3C. 2D. 3答案：B9. 求函数y=ln(x+√(x^2+1))的导数。
A. 1/(x+√(x^2+1))B. 1/(x-√(x^2+1))C. 1/xD. 1/√(x^2+1)答案：A10. 若椭圆E的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，且椭圆E的焦点在x轴上，求椭圆E的离心率。
A. √(1-(b/a)^2)B. √(1-(a/b)^2)C. √((a^2-b^2)/a^2)D. √((b^2-a^2)/b^2)答案：C11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=35，求a6的值。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅰ) Word版含答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z＝1＋i，则|z2－2z|＝A.0B.1C.2D.22.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝A.－4B.－2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514-B.512-C.514+D.512+4.已知为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋be xD.y＝a＋blnx6.函数f(x)＝x 4－2x 3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为A.y ＝－2x －1B.y ＝－2x ＋1C.y ＝2x －3D.y ＝2x ＋17.设函数f(x)＝cos(ωx ＋6π)在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π 8.(x ＋2y x)(x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为 A.5 B.10 C.15 D.209.已知a ∈(0，π)，且3cos2α－8cos α＝5，则sin α＝A.53B.23C.13D.59 10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π1..已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为A.2x －y －1＝0B.2x ＋y －1＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x ＋y ＋1＝012.若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则A.a>2bB.a<2bC.a>b 2D.a<b 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考理数全国卷一 试题及答案解析
2 2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 5 页，23 题（含选考题）．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置．2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效．4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若 z = 1 + i ，则 z 2 - 2z =A ．0B ．1C ．D ．22．设集合 A = {x x 2 - 4 ≤ 0} , B = {x 2x + a ≤ 0},且 AB = {x -2 ≤ x ≤ 1} ,则 a =A. -4B. -2C ．2D ．43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边 长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为 A ．5 -1 4C ．5 + 1 4 B ．5 -1 2 D ．5 + 1 24. 已知 A 为抛物线C : y 2 = 2 px ( p > 0) 上一点，点 A 到C 的焦点的距离为12 ，到 y 轴的距离为9 ，则 p = A ．2B ．3C ．6D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位： ︒C ）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据( x i , y i )(i = 1, 2,, 20 ) 得到下面的散点图：由此散点图，在10 C 至40 C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是2 4 ⎨ ⎩2 A. y = a + bx B. y = a + bx 2 C. y = a + be x D. y = a + b ln x6. 函数 f (x ) = x 4 - 2x 3 的图像在点(1, f (1)) 处的切线方程为A ． y = -2x - 1B ． y = -2x + 1 C. y = 2x - 3 D. y = 2x + 17. 设函数 f (x ) = cos ⎛ωx + π⎫ 在[-π,π] 的图像大致如下图，则 f (x ) 的最小正周期为6 ⎪ ⎝ ⎭A ． 10πB ．7πC ．4π D ．3π8． (x + 9 6 3 2y )(x + y )5 的展开式中 x 3 y 3的系数为x A ．5 B ．10C ．15D ．209．已知α∈ (0,π) ，且3cos 2α- 8cos α= 5 ，则sin α=A.53B.23C.13D.5 910. 已知 A ， B ， C 为球 O 的球面上的三个点，O 1 为△ABC 的外接圆．若O 1 的面积为 4π，AB = BC = AC = OO 1 ，则球O 的表面积为 A ． 64πB ． 48πC ． 36πD ． 32π11. 已知M : x 2 + y 2 - 2x - 2 y - 2 = 0 ，且直线l : 2x + y + 2 = 0 ， P 为l 上的动点，过点 P 作M 的切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ，当 PM ⋅ AB 最小时，直线 AB 的方程为A ． 2x - y -1 = 0B ． 2x + y -1 = 0C ． 2x - y + 1 = 0D ． 2x + y + 1 = 012. 若 2a+ log a = 4b+ 2 l og b ，则A. a > 2bB. a < 2bC. a > b 2D. a < b 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．⎧2x + y - 2 ≤ 0 13. 若 x , y 满足约束条件⎪x - y - 1 ≥ 0 ，则 z = x + 7 y 的最大值是．⎪ y + 1 ≥ 0 14. 设a , b 为单位向量，且 a + b = 1 ，则 a - b = ．15. 已知 F 为双曲线C : x a 2 y 2- = 1 （ a > 0, b > 0 ）的右焦点， A 为C 的右顶点， B 为C 上的点，且 b2BF 垂直于 x 轴．若 AB 斜率为 3，则C 的离心率为．16. 如图，在三棱锥 P - ABC 的平面展开图中 AC = 1 ，AB = AD = 3 ， AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ， ∠CAE = 30︒ ， 则cos ∠FCB = ．2三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12分）设{a n }是公比不为1的等比数列，a1 为a2 ，a3 的等差中项．（1）求{a n }的公比；（2）若a1 =1，求数列{na n }的前项和．18．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形， P 为DO 上一点， PO =（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B -PC -E 的余弦值．6DO ．619．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1 ．2（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．20．（12分）已知A,B分别为椭圆E:xa2+y 2 =1(a >1) 的左、右顶点，G为E 的上顶点，AG ⋅GB = 8 ．P为直线x = 6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．21．（12分）已知函数f(x)=e x +ax2 -x．（1）当a =1时，讨论f (x)的单调性；（2）当x ≥ 0 时，f (x)≥1x3 +1 ，求a 的取值范围．22⎩（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）⎧⎪x = cos kt在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为 ⎨⎪ y = sin kt （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，（1） 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？（2） 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f ( x ) = 3x + 1 + 2 x - 1 ．（1） 画出 y = f ( x ) 的图象；（2） 求不等式 f ( x ) > f (x + 1) 的解集．5 +1 ωω ω一、选择题 1【答案】 D .参考答案【解析】∵ z 2 - 2z = (1+ i )2- 2 (1+ i ) = -2 ,∴ z 2- 2z 2. 【答案】 B .= -2 = 2 ，故选 D .【解析】 A = {x x 2 - 4 ≤ 0}= {x -2 ≤ x ≤ 2} , B = {x 2x + a ≤ 0} = ⎧x x ≤ - a ⎫,⎨ 2 ⎬ ⎩ ⎭∵ A B = {x -2 ≤ x ≤ 1} ,∴ - a= 1,∴ a = -2. 故选 B .23. 【答案】C .【解析】如图，设金字塔对应的正四棱锥的高为 h ，金字塔斜面上的高为 h ' ，金字塔底面边长为 a ，⎧h 2 = 1a ⋅ h ' ⎪ 2 ⎛ h ' ⎫2 ⎛ h ' ⎫2则有⎨⎛ h ⎫2化简得 4 a ⎪ - 2 a ⎪ -1 = 0 ， ⎪h 2 + ⎪ = h '2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎩⎪ ⎝ 2 ⎭ 解得 h '= .故选C .a 44. 【答案】C .【解析】设点 A ( x , y ) ，由点 A y 轴的距离为9 得 x = 9 ，根据抛物线定义，p p由 A 到C 的焦点的距离为12 得 x += 12 ，即6 + = 12 ，解得 p = 6. 故选C .2 25. 【答案】 D .【解析】由题中散点图可知，大致分布在一条递增的对数型函数图象附近，故选 D .6. 【答案】 B .【解析】∵ f '( x ) = 4x 3 - 6x 2 ,∴ k = f '(1) = -2 ,又∵ f (1) = 1 - 2 = -1 ,∴由点斜式方程可得所求切线方程为 y - (-1) = -2 (x - 1) ,即 y = -2x -1 .故选 B .7. 【答案】C .【解析】根据函数图象得 f ⎛ - 4π⎫ = 0 ，∴ cos ⎛ - 4ππ⎫ = 0 ，9 ⎪ 9 ω+ 6 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭π π π ω+ = +9 6 2 k π(k ∈ Z ) ，解得ω= - 3 + 9k (k ∈ Z ) ， 4又∵ T < 2π< 2T ，∴ 2π < 2π< 4π，解得1 < ω < 2 ，∴ω= 3，∴最小正周期T = 2π =4π.故选C . 238. 【答案】C .【解析】∵ ( x + y )5的通项为T= C r x 5-r y r (r = 0,1,,5) ，r +15h ' ha∴ - 43 y 14 3 3 1 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 ⎪ ∴ r = 1 时， 2C x y = 5x y ； r = 3 时， xC 3 x 2 y 3 = 10x 3 y 3 .x 55∴ x 3 y 3 项的系数为5 + 10 = 15 .故选C .9. 【答案】 A .【解析】根据余弦倍角公式，3cos 2α- 8cos α= 5 可化为3cos 2 α- 4 cos α- 4 = 0 ，解得cos α= 2 （舍）或cos α= - 2.3 ∵α∈(0,π) ，∴ sin α= 10. 【答案】 A .5.故选 A . 3【解析】不妨设 AB = a ， O 1 的半径为 r ，球O 的半径为 R ，依题意有πr 2 = 4π，∴ r = 2 ， 又 r = O 1 A =3 a ，∴ a = 2 3, R 2 = OO 2 + O A 2 = 4 ，∴球O 的表面积为 4πR 2 = 64π.故选 A .11. 【答案】 D .【解析】M 方程化为标准方程得： ( x -1)2 + ( y -1)2= 4 ，∵四边形 PAMB 的面积 S = 1 PM 2 ⋅ AB = 2S∆PAM = 2⨯ ⎛ 1 PA AM ⎫2 ⎝ ⎭= 2 PA = 2 ∴当且仅当 PM 最小时 PM ⋅ AB 最小，此时 PM ⊥ l ，又∵ l : 2x + y + 2 = 0 ，∴ PM : y = 1 x + 1，2 2易得 PM 与直线l 的交点坐标 P (-1, 0) ， ∴过 P (-1, 0) 作M 的切线所得切点所在直线方程为 2x + y +1 = 0 ，故选 D .12. 【答案】 B .【解析】 2a + log a = 4b + 2 l og b = 2 2b+ log b ，∵ 22b + log b < 22b + log 2b = 22b+1 + log b ∴ 2a + log a < 22b + log b ，构造函数 f ( x ) = 2x + log x ，易知 f ( x ) 在(0, +∞) 单调递增， ∴由 f (a ) < f (2b ) 得 a < 2b ，故选 B .二、填空题13. 【答案】1.【解析】如图，易知当直线 z = x + 7 y 经过直线2x + y - 2 = 0 与 x - y - 1 = 0 的交点(1, 0) 时， z 取最大值， z max = 1 + 7 ⨯ 0 = 1 .yOy + 1 = 0x - y -1 = 0(1, 0)x2x + y - 2 = 014. 【答案】 .3 PM 2- 43 6 3 6 a n n n n n n n 1- (-2) 1 【解析】∵ a + b 2 = (a + b )2 = a 2 + b 2+ 2a ⋅ b = 1 ,∴ a ⋅ b = - 1 ,2∴ a - b 2= (a - b )2= (a + b )2- 4a ⋅ b = 3 ,∴ a - b = .15. 【答案】 2 .【解析】由题意得 A (a , 0), F (c , 0) ，⎛ b 2 ⎫∵ BF 为通径长的一半，∴ B c , ⎪ ，⎝ ⎭b 2ab 2c + a又 k == = = e + 1= 3 ，∴离心率e = 2 . c - a a (c - a ) a 16. 【答案】 - 1.4【解析】根据题意得 BD = 2AB = ，∵ D , E , F 三点重合，∴ AE = AD = ， BF = BD = ， 在∆ACE 中，由余弦定理得CE 2 = AC 2 + AE 2 - 2AC ⋅ AE ⋅ cos ∠ACE= 1 + 3 - 2 ⨯1⨯ ∴ CE = CF = 1，3 cos 30︒ = 1在∆BCF 中，根据余弦定理得BC 2 + CF 2 - BF 2 1cos ∠FCB = = -三、解答题2BC ⋅ C F 417. 解：（1）设{a } 的公比为q ，由题设得 2a = a + a ，即 2a = a q + a q 2 n123111∴ q 2 + q - 2 = 0 ，解得 q = 1 （舍去）或 q = -2 . ∴{a } 的公比为-2 . （2）记 S 为{na } 的前 n 项和，由（1）及题设可知 a = (-2)n -1，∴ S =1+ 2⨯ (-2) ++ n ⨯ (-2 )n -1①-2S = -2 + 2⨯ (-2 )2+ + (n -1)⨯ (-2 )n②由①②得3S =1 + (-2 ) + (-2 )2+ + (-2 )n -1- n ⨯ (-2 )nn= - n ⨯ (-2)n3∴ S n = 9 - (3n +1)(-2)n918. 解：（1）设 DO = a ，由题设可得， 3 PO =6a , AO = 3 a , AB = a ， PA = PB = PC = 2 a ， 6 3 2∴ PA 2+ PB 2= AB 2，∴ PA ⊥ PB ，z又 PA 2+ PC 2= AC 2，∴ PA ⊥ PC ， ∴ PA ⊥ 平面 PBC（2） 以O 为坐标原点, OE 方向为 y 轴正方向, OE 为单位长建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz .y⎛ 1 ⎫由题设可得 E (0,1, 0), A (0, -1, 0 ), C - , , 0 ⎪ ，⎛ 2 ⎫⎛ ⎝ 3 1 ⎫ 2 2 ⎭x ⎛ 2 ⎫ P 0, 0, 2 ⎪ ，∴ EC = - 2 , - 2 , 0⎪, EP = 0.-1, 2 ⎪ 。
2020年高考数学试题全国Ⅰ卷(理科)(纯word版)
2020年高考数学试题全国Ⅰ卷理科试题及其解答一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
）1．(2020全国Ⅰ理)若z=1+i ，则 |z 2-2z| = ( D ) A.0 B.1 C. 2 D.22．(2020全国Ⅰ理)设集合A={x|x 2-4≤0}，B={x|2x+a ≤0}，且A ∩B={x|-2≤x ≤1}，则 a= ( B )A.-4B.-2C. 2D.4 3．(2020全国Ⅰ理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之 一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为 边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比为 ( C )A.514 B.512 C.514 D. 512解析：如图，设四棱锥的高为h ，底面边长为a ， 侧面三角形底边上的高为b ，则22221,2(),2h ab a h b 221(),22a ab b 24()2()10,b b a a 即 51=.4b a 解得4．(2020全国Ⅰ理)已知A 为抛物线C:y 2=2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为9,则p=( C )A.-2B.3C.6D.9解析：设A(x 0,y 0)，则x 0=9，且x 0+2p=12，解得p=6. 5．(2020全国Ⅰ理) 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃） 的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，与实验 数据（x i ,y i ）（i=1,2,…,20） 得到下面的散点图：和温度x 的回归方程类型的是 ( D ) A.y=a+bx B.y=a+bx 2 C.y=a+be x D.y=a+blnx解析：用光滑曲线顺次连结图中各点，观察图象的大致走向，可知此函数是对数 函数类型，故选D.6．(2020全国Ⅰ理)函数f(x)=x 4-2x 3的图像在点（1，f(1)）处的切线方程为 ( B ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1解析：∵f ′(x)=4x 3-6x 2，∴切线斜率为k= f ′(1)= -2. 又f(1)=-1，∴切线方程为y+1=-2(x-1)即y=-2x+1. 7．(2020全国Ⅰ理)设函数()cos()6f x x的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为 ( C ) A.109B.76C.43D. 32解析：44()cos()0,996f 4(),962k k Z3+9().4kk Z 即 2422,2,1||2,||||TT 即3241,.2||3k T 由此可知，周期 8．(2020全国Ⅰ理)25()()y x x y x的展开式中33x y 的系数为 ( C )A.-5B.10 C15 D.20解析：555()(0,1,2,3,4,5),r rrx y C xy r的通项为 21413351=5y rC x y x y x时，，233353=10rx C x y x y 时，， ∴3x y 的系数为5+10=15.9．(2020全国Ⅰ理)已知α∈（0，π），且3cos2α-8cos α=5，则sin α= ( A ) A.53 B.23 C.13D. 59 解析：由原式可得3cos 2α-4cos α-4=0，解得cos α=-2/3或cos α=2（舍去）， 又α∈（0，π），∴sin α=5/3.10．(2020全国Ⅰ理)已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB=BC=AC= O O 1，则球O 的表面积为 ( A ) A.64π B.48π C.36π D.32π 解析：设AB=a ，⊙O 1的半径为r ，球O 的半径为R ，则πr=4π，∴r=2. 13,23rAO a a 又，2222214,=464.R AO OO S R 球11．(2020全国Ⅰ理)已知⊙M ：x 2+y 2-2x-2y-2=0，直线l ：2x+y+2=0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA,PB ，且切点为A,B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为 ( D ) A.2x-y-4=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0解析：∵⊙M ：(x-1)2+(y-1)2=4，∴圆心M(1,1)，半径r=2.2PAMB 1=||||2||||2||2||4,2PAMS PM AB SPA MA PA PM当|PM|·|AB|最小时， |PM|有最小值，此时PM ⊥l ，||5,5PM22||||||1PA PM AM .设PM ⊥AB 于D ，则22||||||||||==.||5AM AM MD MP MD MP ，∴AB//l ,∴可设AB 的方程为2x+y+c=0，||,55MD 解得c=1,∴直线AB 的方程为2x+y+1=0.方法2：∵⊙M ：(x-1)2+(y-1)2=4，∴圆心M(1,1)，半径r=2.2PAMB 1=||||2||||2||2||4,2PAMS PM AB SPA MA PA PM当|PM|·|AB|最小时， |PM|有最小值，此时PM ⊥l ，PM 的方程为x-2y+1=0, ∴可得PM 与l 的交点为P(-1,0)，由此易得直线AB 的方程为2x+y+1=0.12．(2020全国Ⅰ理)若2a +log 2a=4b +2log 4b ，则 ( B ) A.a>2b B.a<2b C.a>b 2 D.a<b 2解析：由题设知a,b 均为正数，且2a +log 2a=22b +log 2b=22b +log 2(2b)-1＜22b +log 2(2b). 设函数f(x)=2x +log 2x ，则上式等价于f(a)<f(2b).易知f(x)是(0,+∞)的增函数， ∴a<2b ，∴答案为B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。