阿波罗尼斯圆.pdf
2 −1
2 −1 BC
从而 P,Q,C 同时在到 A, B 两点距离之比等于 的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定
的圆是唯一的，因此圆 O 上任意点到 A, B 两点距离之比等于常数。
2、关于性质 6 的补充
若已知圆 O 及圆 O 外一点 A ，则可作出与点 A 对应的点 B ，只要过点 A 作圆 O 两条切
| PB |
(x − c)2 + y2
化简得 (1 − a 2 )x 2 + 2c(1 + a 2 )x + c 2 (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) y 2 = 0.
当 a 1时,得x 2 + 2c(1 + a 2 ) x + c 2 + y 2 = 0 ，整理得 (x − 1 + a 2 c)2 + y 2 = ( 2ac )2 .
设AB = a,过点B作圆O的与直径PQ垂直的弦CD，则
AP = a , BP = a , AQ = a , BQ = a
+1
+1
−1
−1
由相交弦定理及勾股定理得：
BC 2
=
BP
BQ
=
a2 2 −1
AC2
=
AB2
+
BC 2
=
Байду номын сангаас
a2
+
a2 2 −1
=
a 22 2 −1
于是BC = a , AC = a ,则 AC =
例 3 （2005 江苏高考数学）如图，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1， O1O2 = 4 ，过动点 P 分别作圆 O1 .圆 O2 的切线 PM、PN（M.N 分别为切
点），使得 PM =
2PN 试建立适当的坐标系，并求动点 新疆 王新敞
P
的轨迹方程 新疆 王新敞
奎屯
奎屯
解：以 O1 O2 的中点 O 为原点， O1 O2 所在的直线为 x 轴，建立平面直
(x +1)2 + y2 = 4 。 例 2 （2003 北京春季文）设 A(−c,0), B(c,0)(c 0) 为两定点，动点 P 到 A 点的距离与
到 B 点的距离的比为定值 a(a 0) ，求 P 点的轨迹.
解：设动点 P 的坐标为（x，y）
由 | PA | = a(a 0)，得 (x + c)2 + y 2 = a .
的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）
（A） p
（B） 4p
（C） 8p
（D） 9p
解：B
例 5 （2008 江苏高考） ABC中，AB = 2, AC = 2BC ，则 SABC 的最大值为________.
答案： 4 3
M O1 o
N O2 x
即 (x − 6)2 + y 2 = 33 ，
所以所求轨迹方程为 (x − 6)2
+
y2
= 33 （或 x2 新疆 王新敞
+
y2
−12 x + 3 =
0）
奎屯
例 4 （2006 四川高考理）已知两定点 A(−2,0) 、 B(1, 0) ，如果动点 P 满足 PA = 2 PB ，则点 P
M O1
P
N O2
角坐标系，则 O1 （-2，0）， O2 （2，0），
由已知 PM =
2PN PM = 2PN ，得 2
2
新疆 王新敞
奎屯
yP
因为两圆的半径均为 1，所以
PO −1 = 2(PO −1) 2 1
2
2
新疆 王新敞
奎屯
设 P(x, y) ，则 (x + 2)2 + y 2 −1 = 2[(x − 2)2 + y 2 −1] ，
1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比 内分 AB 和外分 AB 所得 的两个分点；
2、直线 CM 平分 ACB ，直线 CN 平分 ACB 的外角；
3、 AM = AN BM BN
4、 CM ⊥ CN
5、 1时，点B在圆O内；0 1,点A在圆O内； 6、若 AC, AD是切线，则 CD 与 AO 的交点即为 B ； 7、若点 B 做圆 O 的不与 CD 重合的弦 EF ，则 AB 平分 EAF ；
设三角形的三边长分别为 a,b, c ，中线长分别为 ma , mb , mc ,则：
b2
+
c2
=
1 2
a2
+
2ma 2
a2
+ c2
=
1 b2 2
+
2mb 2
a2
+ b2
=
1 2
c2
+
2mc 2
（二）阿波罗尼斯圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 ( 1) 的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿 波罗尼斯圆”
1− a2
a2 −1
a2 −1
当 a=1 时，化简得 x=0.
所以当
a
1 时，P
点的轨迹是以
a2 (a2
+ 1 c,0) −1
为圆心， |
2ac a2 −1
|
为半径的圆；
当 a=1 时，P 点的轨迹为 y 轴.
2
《每周一讲》高中系列 第七讲
——————————————————————————————————————————————
《每周一讲》高中系列 第七讲
——————————————————————————————————————————————
阿波罗尼斯圆
一、适用题型
1、已知两个线段长度之比为定值； 2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等； 3、向量的定比分点公式结合角平分线； 4、线段的倍数转化；
二、基本理论
（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）
线，切点分别为 C, D ，连结 CD 与 AQ 即交于点 B 。反之，可作出与点 B 对应的点 A
四、典型例题
例 1（教材例题）已知一曲线是与两个定点 O(0,0) 、A(3,0) 距离的比为 1 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
解：设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，则 x2 + y2 = 1 ，整理即得到该曲线的方程为： (x − 3)2 + y2 2
三、补充说明
1、关于性质 1 的证明
定理：A, B 为两已知点，P,Q 分别为线段 AB 的定比为 ( 1) 的内、外分点，则以 PQ
为直径的圆 O 上任意点到 A, B 两点的距离之比等于常数 。 证明：不妨设 1
1
《每周一讲》高中系列 第七讲
——————————————————————————————————————————————
不妨设A(− a,0), B(a,0), AP = BP(a 0, 0, 1)，若设P(x, y),则
(x + a)2 + y2 = (x − a)2 + y2
化简得：
x
−
2 2
+ −
1 1
a
2
+
y2
=
2 2 −
1
a
2
轨迹为圆心
2 2
+1 −1
a，0，半径为
2 2 −1 a
的圆
（三）阿波罗尼斯圆的性质
第八章 培优点10 阿波罗尼斯圆与蒙日圆-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
培优点10阿波罗尼斯圆与蒙日圆在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档．题型一阿波罗尼斯圆“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A (－a ,0)，B (a ,0)(a >0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C ，|2aλλ2－1|为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．例1(1)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆T 长轴的端点，C ，D为椭圆T短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左、右焦点，动点M 满足|ME ||MF |＝2，△MAB 面积的最大值为46，△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.32答案A解析设M (x ，y )，E (－c ,0)，F (c ,0)，由|ME ||MF |＝2，可得(x ＋c )2＋y 2＝2(x －c )2＋y 2，化简得＋y 2＝16c 29.∵△MAB 面积的最大值为46，△MCD 面积的最小值为2，∴12×2a ×43c ＝46，12×2b ×13c ＝2，∴b 2＝13a 2＝a 2－c 2，即c 2＝23a 2，∴e ＝63.(2)已知点P 是圆(x －4)2＋(y －4)2＝8上的动点，A (6，－1)，O 为坐标原点，则|PO |＋2|PA |的最小值为________．答案10解析假设A′(m，n)，使得|PO|＝2|PA′|，设P(x，y)，则x2＋y2＝2(x－m)2＋(y－n)2，从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一个圆，所以4m3＝4，4n3＝4，解得m＝n＝3，即A′(3,3)．所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA′|＋|PA|)≥2|A′A|＝2(6－3)2＋(－1－3)2＝10.即|PO|＋2|PA|的最小值为10.思维升华阿波罗尼斯圆的逆用当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标．跟踪训练1(1)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|＝3，则|PA|2＋|PB|2的最大值为()A．16＋83B．8＋43 C．7＋43D．3＋3答案A解析由题意，设A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，因为|PA||PB|＝3，所以(x＋1)2＋y2(x－1)2＋y2＝3，即(x－2)2＋y2＝3，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为3的圆，因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋83，即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8 3.(2)在平面直角坐标系Oxy中，M，N是x轴上两定点，点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，且满足|PM|＝2|PN|，则|MN|＝________.答案3 2解析如图所示，设M (m ,0)，N (n ,0)，P (x ，y )，∵|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝4|PN |2，∴(x －m )2＋y 2＝4[(x －n )2＋y 2]，即x 2－2mx ＋m 2＋y 2＝4x 2－8nx ＋4n 2＋4y 2，即3x 2＋(2m －8n )x ＋3y 2＋4n 2－m 2＝0，由题意得，x 2＋y 2＋2m －8n 3x ＋4n2－m 23＝0与x 2＋y 2＝1表示同一个圆．0，1，＝2，＝12＝－2，＝－12，∴|MN |＝|m －n |＝32.题型二蒙日圆在椭圆x2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆．设P 为蒙日圆上任一点，过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A ，B ，O 为原点．性质1PA ⊥PB .性质2k OP ·k AB ＝－b 2a2.性质3k OA ·k P A ＝－b 2a 2，k OB ·k PB ＝－b 2a 2(垂径定理的推广)．性质4PO 平分椭圆的切点弦AB .性质5延长PA ，PB 交蒙日圆O 于两点C ，D ，则CD ∥AB .性质6S △AOB 的最大值为ab2，S △AOB 的最小值为a 2b 2a 2＋b 2.性质7S △APB 的最大值为a 4a 2＋b 2，S △APB 的最小值为b 4a 2＋b2.例2(1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：x2a＋2＋y2a＝1(a>0)的蒙日圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(0，a)，(2＋a，0)，则两条切线分别是x＝2＋a，y＝a，这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为P(2＋a，a)，而P在蒙日圆上，∴(2＋a)2＋(a)2＝4，解得a＝1. (2)(2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆x23＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；②求△AMN面积的取值范围．①证明当直线l1，l2有一条斜率不存在时，不妨设l1的斜率不存在，∵l1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x＝±3，当l1的方程为x＝3时，此时l1与圆的交点坐标为(3，±1)，∴l2的方程为y＝1或y＝－1，故l1⊥l2成立，同理可证，当l1的方程为x＝－3时，结论成立；当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2＋n2＝4，设过点A的直线方程为y＝k(x－m)＋n，代入椭圆方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化简整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2成立，综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立．②解记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，∴|MA|＝2d2，|NA|＝2d1，d21＋d22＝|OA|2＝4，则△AMN的面积为S＝12|MA|·|NA|＝2d1d2，则S2＝4d21d22＝4d21(4－d21)＝－4(d21－2)2＋16，∵d1∈[1，3]，即d21∈[1,3]，∴S2∈[12,16]，∴S∈[23，4]，故△AMN 的面积的取值范围为[23，4]．思维升华蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两条互相垂直的切线PA ，PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2＋y 2＝a 2－b 2(只有当a >b 时才有蒙日圆)．抛物线y 2＝2px (p >0)的两条互相垂直的切线PA ，PB 交点P 的轨迹是该抛物线的准线：x ＝－p2(可以看作半径无穷大的圆)．跟踪训练2(多选)(2023·泰州模拟)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A ，B 为椭圆上两个动点．直线l 的方程为bx ＋ay －a 2－b 2＝0.下列说法正确的是()A ．椭圆C 的蒙日圆的方程为x 2＋y 2＝3b 2B ．对直线l 上任意一点P ，PA →·PB →>0C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则d －|AF 2|的最小值为433b D ．若矩形MNGH 的四条边均与椭圆C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为6b 2答案AD解析对于A ，过点Q (a ，b )可作椭圆的两条互相垂直的切线x ＝a ，y ＝b ，∴点Q (a ，b )在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为x 2＋y 2＝a 2＋b 2，由e ＝c a＝1－b 2a 2＝22得a 2＝2b 2，∴椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝3b 2，A 正确；对于B ，由l 方程知，l 过点P (b ，a )，又点P 满足蒙日圆方程，∴点P (b ，a )在圆x 2＋y 2＝3b 2上，当A ，B 恰为过点P 所作椭圆两条互相垂直的切线的切点时，PA →·PB →＝0，B 错误；对于C ，∵点A 在椭圆上，∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴d －|AF 2|＝d －(2a －|AF 1|)＝d ＋|AF 1|－2a ，当F 1A ⊥l 时，d ＋|AF 1|取得最小值，最小值为F 1到直线l 的距离，由A 知，a 2＝2b 2，则c 2＝a 2－b 2＝b 2，即c ＝b ，∴F 1到直线l 的距离d ′＝|－bc －a 2－b 2|a 2＋b 2＝|－b 2－2b 2－b 2|3b＝433b ，∴(d －|AF 2|)min ＝433b －2a ，C 错误；对于D ，当矩形MNGH 的四条边均与椭圆C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝12b 2，∴矩形MNGH 的面积S ＝xy ≤x 2＋y 22＝6b 2(当且仅当x ＝y ＝6b 时取等号)，即矩形MNGH 面积的最大值为6b 2，D 正确．1．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为()A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4答案B解析因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，所以1a ＋1＝12，解得a ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，根据蒙日圆的定义知，蒙日圆的半径r ＝22＋(3)2＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.2．在圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆x 23＋y 2＝1的两条互相垂直的切线，则r 的取值范围是()A ．(3,7)B ．[3,7]C ．(1,9)D ．[1,9]答案B解析根据蒙日圆的定义得椭圆x 23＋y 2＝1的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝4，其圆心为(0,0)，半径为2，依题意，点P在圆x2＋y2＝4上，又点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，且其圆心为(3,4)，所以|2－r|≤(3－0)2＋(4－0)2≤2＋r，即|2－r|≤5≤2＋r，所以r∈[3,7]．3．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，则当△ABC的面积最大时，|BC|等于()A．12B．20C．25D．52答案C解析如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，因为|AC|＝6，所以A(－3,0)，C(3,0)，设B(x，y)，因为sin C＝2sin A，由正弦定理可得|AB|＝2|BC|，所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化简得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，圆的位置如图所示，圆心为(5,0)，半径r＝4，观察可得，在三角形底边长|AC|不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方或正下方时，高最大，此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5,4)或(5，－4)，所以|BC|＝(5－3)2＋42＝2 5.4．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,0)，B(4,0)，若直线x－y＋m＝0上存在点P使得|PB|，则实数m的取值范围是()|PA|＝12A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－∞，－22]∪[22，＋∞)D．[－22，22]答案D解析设P(x，y)，则|PA|＝(x－1)2＋(y－0)2，|PB |＝(x －4)2＋(y －0)2，因为|PA |＝12|PB |，所以(x －1)2＋(y －0)2＝12(x －4)2＋(y －0)2，同时平方，化简得x 2＋y 2＝4，故点P 的轨迹为圆心为(0,0)，半径为2的圆，又点P 在直线x －y ＋m ＝0上，故圆x 2＋y 2＝4与直线x －y ＋m ＝0必须有公共点，所以|m |1＋1≤2，解得－22≤m ≤2 2.5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝a 2＋b 2，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若△MPQ 面积的最大值为4b 2，则椭圆C 的离心率为()A.63B.32C.33D.23答案A解析由已知条件可得MP ⊥MQ ，则PQ 为圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，则|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝4(a 2＋b 2)，所以S △MPQ ＝12|MP |·|MQ |≤|MP |2＋|MQ |24＝a 2＋b 2，当且仅当|MP |＝|MQ |时，等号成立．所以a 2＋b 2＝4b 2，所以a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，即2a 2＝3c 2，所以e ＝63.6．阿波罗尼斯圆指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O ：x 2＋y 2＝1，点A －12，M 为圆O 上的动点，则2|MA |－|MB |的最大值为()A.52B.172C.32D.22答案B解析设点M (x ，y )，令2|MA |＝|MC |，则|MA ||MC |＝12，由题知圆x 2＋y 2＝1是关于点A ，C 的阿波罗尼斯圆，且λ＝12，设点C (m ，n )，则|MA ||MC |＝x ＋122＋y2(x －m )2＋(y －n )2＝12，整理得x 2＋y 2＋2m ＋43x ＋2n 3y ＝m2＋n 2－13，比较两方程可得2m ＋43＝0，2n3＝0，m 2＋n 2－13＝1，即m ＝－2，n ＝0，点C (－2,0)，当点M 位于图中M 1的位置时，2|MA |－|MB |＝|M 1C |－|M 1B |，此时取得最大值，最大值为|BC |＝172.7．(多选)在平面直角坐标系中，A (－1,0)，B (2,0)，动点C 满足|CA ||CB |＝12，直线l ：mx －y ＋m ＋1＝0，则()A ．动点C 的轨迹方程为(x ＋2)2＋y 2＝4B ．直线l 与动点C 的轨迹一定相交C ．动点C 到直线l 距离的最大值为2＋1D ．若直线l 与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，且|PQ |＝22，则m ＝－1答案ABD解析对于A 选项，设C (x ，y )．因为|CA ||CB |＝12，所以(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，整理得x 2＋y 2＋4x ＝0，即(x ＋2)2＋y 2＝4，所以动点C 的轨迹为以N (－2,0)为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，故A 正确；对于B 选项，因为直线l 过定点M (－1,1)，而点M (－1,1)在圆N 内，所以直线l 与圆N 相交，故B 正确；对于C 选项，当直线l 与NM 垂直时，动点C 到直线l 的距离最大，且最大值为r ＋|NM |＝2＋2，故C 错误；对于D 选项，记圆心N 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m －1|m 2＋1.因为|PQ |2＝4(r 2－d 2)＝8.又r ＝2，所以d ＝ 2.由(m －1)2m 2＋1＝2，得m ＝－1，故D 正确．8．(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的蒙日圆方程为C ：x 2＋y 2＝32a 2，过C 上的动点M 作Γ的两条互相垂直的切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则()A ．椭圆Γ的离心率为22B ．△MPQ 面积的最大值为32a 2C ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为(2－2)aD ．若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为k 1，k 2，则k 1k 2＝－12答案ABD解析依题意，过椭圆Γ的上顶点作y 轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x 轴的垂线(图略)，则这两条垂线的交点在圆C 上，所以a 2＋b 2＝32a 2，即a 2＝2b 2，所以椭圆Γ的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22，故A 正确；因为点M ，P ，Q 都在圆C 上，且∠PMQ ＝90°，所以PQ 为圆C 的直径，所以|PQ |＝2×32a 2＝6a ，所以△MPQ 面积的最大值为12|PQ |·32a 2＝6a 2·32a 2＝32a 2，故B 正确；设M (x 0，y 0)，Γ的左焦点为F (－c ,0)，连接MF (图略)，因为c 2＝a 2－b 2＝12a 2，所以|MF |2＝(x 0＋c )2＋y 20＝x 20＋y 20＋2x 0c ＋c 2＝32a 2＋2x 0·22a ＋12a 2＝2a 2＋2ax 0，又－62a ≤x 0≤62a ，所以|MF |2∈[(2－3)a 2，(2＋3)a 2]，则M 到Γ的左焦点的距离的最小值为(6－2)a 2，故C 不正确；由直线PQ 经过坐标原点，易得点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，＋y 21b 2＝1，＋y 22b 2＝1，所以x 21－x 222b 2＋y 21－y 22b2＝0，所以y 21－y 22x 21－x 22＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12，所以k 1k 2＝－12，故D 正确．9．(2023·赣州模拟)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)上，动点P 在直线3x ＋4y －10＝0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为__________．答案解析根据题意可得，圆x 2＋y 2＝a 2＋1上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直，因此当直线3x ＋4y －10＝0与圆x 2＋y 2＝a 2＋1相离时，∠APB 恒为锐角，故a 2＋＝4，解得1<a2<3，从而离心率e ＝1－1a2∈10．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系Oxy 中，A (－2,1)，B (－2,4)，点P 是满足λ＝12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为________________；若点Q 为抛物线E ：y 2＝4x 上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则|PA |＋|PQ |＋|QH |的最小值为________．答案(x ＋2)2＋y 2＝410－1解析设点P (x ，y )，∵λ＝12，∴|PA ||PB |＝12⇒(x ＋2)2＋(y －1)2(x ＋2)2＋(y －4)2＝12，∴该阿氏圆方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.设抛物线的焦点为点F ，如图所示，由题意知F (1,0)，|QH |＝|QF |－1，∴(|PA|＋|PQ|＋|QH|)min＝(|PA|＋|PQ|＋|QF|－1)min＝|AF|－1＝(－2－1)2＋12－1＝10－1.。
阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
k2 1
x2 y2
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k2
1
x2
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
x
2
R150 47
R40
L
A
R100
C
B
R57.14285714
120
R60
图 6 运用方法三两对圆法绘制阿氏圆
A
C
B
R57.14285714
D
120
图 7 阿波罗尼斯圆定理扩展 1——点到两圆切线定比
圆圆阿氏圆方程，见图 9。
Y
kL
P(x,y)
图 8 题目 1 题解
TA
RA
O OA
RB TB C OB OQ
图 23 题目 4 题解—— 运用方法八点圆定比分点法解题
7a
R50 120
图 24 题目 5——点到圆点切距定比
图 25 扩展 3——点到圆点切距定比
点圆阿氏圆方程，见图 26。 根据已知条件列方程：
x2
y2
R
2 A
k
2
L2
，
x a 2 y2 L2
x2 2ax a2 y2 L2
50
20
R60
A
120
C
B
R57.14285714
R60 R82.85714286
一类动点轨迹问题的探求---“阿波罗尼斯圆”(1)
一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究： 2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,2PA PA PB a PA PB a a PB-=== 引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则——5分 ()222221y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 4545当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222-λλ()222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分 1222-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即 P ),(y x 2||||=PN PM ，整理得2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(33+±=x y 将代入整理得 )1(33+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，32+=x 32-=x 则点坐标为或P )31,32(++)31,32(+--或，直线的方程为或． )31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MP MQ λλλ=>≠且）S ()S f λ=。
(完整版)阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创),推荐文档
阿波罗尼斯圆性质及其应用背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一（人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M 的轨迹方程。
12 （人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点距离的比是一M 1，M 2个正数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m ）。
≠1两种情形公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数（）的点的轨迹为圆，此λλ≠1圆称为阿波罗尼斯圆类型一：求轨迹方程1.已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程M ()0,0O ()0,3A 21M 2.已知，，试分析点的轨迹()02>=a a AB ()0≥=λλMB MAM3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ）|PA |=2|PB |A ． B. C. D.9π 4π8ππ类型二：求三角形面积的最值4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是2 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，△BD=3，则ABC 面积的最大值为△6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时ABC 面积的最大，m=△π3△类型三：定点定值问题 7. 已知圆O ：,点B(-5,0),在直线OB 上存在定点A(不同于点B )，满x 2+y 2=9足对于圆O 上任意一点P ，都有为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，PAPB 并求PAPB 8.（2014湖北文科卷17题）已知圆O ：,点A(-2.0),若定点B(b,0)(bx 2+y 2=1)和常数：对圆O 上任意一点M ，都有= ,≠‒2λ满足|MB |=λ|MA |，则b λ=类型四：阿波罗尼斯圆的性质9. 已知圆C:其中P 为圆C 上的动点，(x ‒1)2+(y ‒1)2=1,定点O (0,0),B (2,0),PO+PB 的最小值为210.已知函数=2,若集合f (α)(cosα+12)2+sin 2α‒cos 2α+(sinα‒12)2{α∈R │f (α)>m }≠∅,则实数m 的取值范围为类型五：阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）11.已知+,设,若BC =6，AC =2AB ，点D 满足AD =2x x +y AB y 2(x +y )AC f (x ,y )=|AD |恒成立，则的最大值为f (x ,y )≥f (x 0,y 0)f (x 0,y 0)12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题）．设点是P 所在平面内动点，满足,（），ABC ∆CP CA CB λμ=+ 3+42λμ=,R λμ∈．若，则的面积最大值是 ．==PA PB PC 3AB =ABC ∆阿波罗尼斯圆与三角形13.（2018.5月宁波模拟16题）已知向量a ,b 满足，若|b |=3，|a |=2|b ‒a |恒成立，则实数的取值范围为|a +λb |≥3λ14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在ABC 中，△恒成立，求的最大值∀λ∈R ，|BA ‒λBC |≥|BC |cb +b c15.在中，、分别为中线，若，则的取值范围 .ABC ∆AD BE b a 35=BE AD 阿波罗尼斯圆与几何体16.（2014二模（理））在等腰梯形中，、分别为底边的中点，把ABCD E F CD AB ,四边形沿直线折起后所在平面记为，，设与所成的AEFD EF αα∈P PC PB ，α角分别为，（，均不为0），，则点的轨迹为.1θ2θ1θ2θ21θθ=P A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线17.在四面体中，已知，，，且，则ABCD BC AD ⊥6=AD 2=BC 2==CD AC BD AB 的最大值为 .BCD A V -18.（2018.5月浙江高三五校联考17题）棱长为36的正四面体ABCD 的内切球上有一个动点M ，则MB+的最小值13MC 练习：1.恒成立，则实数的取值范围为 .33λ2.（2015湖北理科卷14题）如图，圆与轴相切与点，与轴正半轴交C x ()0,1T y 于两点（在A 的上方），B A ,B 2=AB （1（圆C 的标准方程为.过点任作一条直线与圆相较于两A 1:22=+y x O N M ,点，下列三个结论：（2（①;②;③MB MA NB NA =2=-MB MA NA NB 22=+MBMA NA NB 其中正确结论的序号是。
微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用(学生版)
专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点1阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点1阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法．阿波罗尼斯（Apollonius 约公元前262~192），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点,A B ，设P 点在同一平面上且满足PAPBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（1λ=时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设()()()1,,,0,,0P x y A a B a -．若PAPBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹方程是2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其轨迹是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．证明：由PA PB λ=及两点间距离公式，可得()()22222x a y x a y λ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简可得()()()()2222222112110x y ax a λλλλ-+-+++-=①，（1）当1λ=时，得0x =，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；（2）当1λ≠时，方程①两边都除以21λ-得()222222101a x x y a λλ++++=-，化为标准形式即为：2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，∴点P 的轨迹方程是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．图①图②图③阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】,A B 为两已知点，,M N 分别为线段AB 的定比为()1λλ≠的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到,A B 两点的距离之比为λ．证明：以1λ>为例．如图②，设2AB a =，AM ANMB NBλ==，则222,2111a a aAM BM a λλλλλ==-=+++，222,2111a a aAN BN a λλλλλ==-=---．过B 作AB 的垂线圆C 交于,Q R 两点，由相交弦定理及勾股定理得222 22222244,11a a QB MB BN QA AB QBλλλ=⋅==+=--，于是,QAQB QAQBλ∴=．,,M Q N同时在到,A B两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C上任意一点P到,A B两点的距离之比恒为λ．同理可证01λ<<的情形．3、阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当1λ>时，点B在圆C内，点A在圆C外；当01λ<<时，点A在圆C内，点B在圆C外．性质2：因2AQ AM AN=⋅，故AQ是圆C的一条切线．若已知圆C及圆C外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为241aMNλλ=-，面积为()222241aλλπ-．性质4：过点A作圆C的切线AQ（Q为切点），则,QM QN分别为AQB∠的内、外角平分线．性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB和外分AB所得的两个分点，如图所示，M是AB的内分点，N是AB的外分点，此时必有PM平分APB∠，PN平分APB∠的外角．证明：如图①，由已知可得PA MA NAPB MB NBλ===（0λ>且1λ≠），PAMPBMS MAS MBλ∆∆==，又11sinsin,sin,22sinPAM PBMPA PM APMS PA PM APM S PB PM BPMPB PM BPMλ∆∆⋅∠=⋅∠=⋅∠∴=⋅∠，sin sin,,APM BPM APM BPM∴∠=∠∴∠=∠∴PM平分APB∠．由等角的余角相等可得BPN DPN∠=∠，PN∴平分APB∠的外角．性质6：过点B作圆C不与QR重合的弦EF，则AB平分EAF∠．证明：如图④，连结,ME MF，由已知,.ABEABFSFA EA EB EA EBFB EB FB FA S FBλ∆∆==∴==（0λ>且1λ≠），又11sinsin,sin,22sinABE ABFAB AE BAE EB AES AB AE BAE S AB AF BAFAB AF BAF FB AF ∆∆⋅∠=⋅∠=⋅∠∴==⋅∠，sin sin,,BAE BAF BAE BAF AB∴∠=∠∴∠=∠∴平分EAF∠．sin sin,,BAE BAF BAE BAF AB∴∠=∠∴∠=∠∴平分EAF∠．【典例刨析】例1．（2022·河北盐山中学高二期中）1．已知两定点()2,1A -，()2,1B -，如果动点P 满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.例2．（2022四川涪陵月考）2．若ABC ∆满足条件4, 2 AB AC BC ==，则ABC ∆面积的最大值为__________．3．已知圆O ：229x y +=，点()5,0B -，在直线OB 上存在定点A （不同于点B ），满足对于圆O 上任意一点P ，都有PA PB 为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求PAPB．4．在平面直角坐标xOy 中，已知点()()1,0,4,0A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是_______．5．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=，则22PA PB +的最大值为（）A ．16+B ．8+C ．7+D ．3例6．（2022四川·成都外国语学校高二月考）6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A ．⎣⎦B ．542⎡⎢⎣⎦C ．2⎛ ⎝⎦D ．22⎤⎢⎥⎣⎦【针对训练】7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44-+=O x y ，动点P 在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．8．已知,A B 是平面上两个定点，平面上的动点,C D 满足||||CA DA CB DBm ==，若对于任意的3m ≥，不等式k CD AB ≤恒成立，则实数k 的最小值为______．9．已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若||2||AD BD ≤恒成立，则最小正整数t =__________.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆1O ：22(4)4x y ++=，动点P 在直线l ：0x b -+=上（0b <），过P 分别作圆O ，1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______.11．在平面直角坐标系xOy 中，,M N 是两定点，点P 是圆O ：221x y +=上任意一点，满足：2PM PN =，则MN 的长为.（2022辽宁·高二期中）12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，动点P 满足||1||2PA PB =.设点P 的轨迹为1C .(1)求曲线1C 的方程；(2)若曲线1C 和2222:(4)(6)(0)C x y r r -+-=> 无公共点，求r 的取值范围.。
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题 解析版
阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③【定理】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2aλ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．【结论2】因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．【结论4】过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．【结论6】过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图③，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE=12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，则椭圆两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．①当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 斜率均存在且不为0时，可设P x 0,y 0 (x 0≠±a 且y 0≠±b )，过P 的椭圆的切线方程为y -y 0=k x -x 0 k ≠0 ，由y -y 0=k x -x 0 ,x 2a2+y 2b2=1,得a 2k 2+b 2 x 2-2ka 2kx 0-y 0 x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ,k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b2x 20-a2，由已知PA ⊥PB ,∴k PA ⋅k PB =-1,∴y 20-b 2x 20-a2=-1,∴x 20+y 20=a 2+b 2,∴点P 的坐标满足方程x 2+y 2=a 2+b 2．②当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为±a ,b 或a ,±b ，此时点P 也在圆x 2+y 2=a 2+b 2上．综上所述：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆x 2+y 2=a 2+b 2上的动点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两条切线PA ,PB ，则PA ⊥PB ．证明：设P 点坐标x 0,y 0 ，由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k x -x 0，得a 2k 2+b 2x 2-2ka 2kx 0-y 0x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ，k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a 2，x 20+y 20=a 2+b 2，k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a2=-1，PA ⊥PB ．【结论2】设P 为蒙日圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2上任一点，过点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线，交椭圆于点A ,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值k OP⋅k AB=-b2a2．【结论3】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值k OA⋅k PA=-b2a2，且OB,PB的斜率乘积为定值k OB⋅k PB=-b2a2(垂径定理的推广)．【结论4】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，O为原点，则PO平分椭圆的切点弦AB．证明：P点坐标x0,y0，直线OP斜率k OP=y0x0，由切点弦公式得到AB方程x0xa2+y0yb2=1，k AB=-b2x0a2y0，k OP⋅k AB=-b2a2，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．【结论5】设P为蒙日圆O:x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则OP,CD的斜率乘积为定值k OP⋅k CD=-b2a2．【结论6】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,OB的斜率乘积为定值：k OP⋅k CD=-b4a4．【结论7】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SΔAOB的最大值为ab2，SΔAOB的最小值为a2b2a2+b2．【结论8】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B，则SΔAPB的最大值为a4a2+b2,SΔAPB的最小值为b4a2+b2．二、题型精讲精练1设A ，B 是平面上两点，则满足PA PB=k (其中k 为常数，k ≠0且k ≠1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A 6,0 ，B 62,0，且k =2.(1)求点P 所在圆M 的方程.(2)已知圆Ω:x +2 2+y -2 2=5与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：∠ECD =∠FCD .【详解】(1)解：由题意可得，PA PB=2，即PA =2PB ，则x -6 2+y 2=2x -622+y 2，整理得x 2+y 2=3，即圆M 的方程为x 2+y 2=3.(2)证明：对于圆Ω，令y =0，得x =-1或x =-3，所以C -3,0 ，D -1,0 .设直线l 的方程为x =ty -1，E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 .由x =ty -1,x 2+y 2=3,得1+t 2 y 2-2ty -2=0，则y 1+y 2=2t 1+t 2，y 1y 2=-21+t 2.k CE +k CF =y 1x 1+3+y 2x 2+3=y 1x 2+3 +y 2x 1+3 x 1+3 x 2+3=y 1y 2t +2 +y 2ty 1+2 x 1+3 x 2+3 =2×ty 1y 2+y 1+y 2x 1+3 x 2+3 =2×-2t 1+t 2+2t 1+t 2x 1+3 x 2+3 =0则直线EC 与FC 关于x 轴对称，即∠ECD =∠FCD .2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点为5,0 ，离心率为53．(I )求椭圆C 的标准方程；(II )若动点P x 0,y 0 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【详解】(I )可知c =5，又e =c a =5a =53,∴a =3,b 2=a 2-c 2=9-5=4，故椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1．(II )设两切线为l 1,l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知P ±3,2 或P 3,±2 ．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0,l 2的斜率为-1k，l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 29+y 24=1，得9k 2+4 x 2+18k y 0-kx 0 x +9y 0-kx 0 2-4 =0，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得18k 2y 0-kx 02-36y 0-kx 0 2-4 9k 2+4 =0,∴4y 0-kx 0 2-49k 2+4 =0，整理得x 20-9 k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0(*)，∴k 是方程(*)的一个根，同理-1k是方程(*)的另一个根，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13x ≠±3 ，又P ±3,2 或P 3,±2 满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A -1,0 和B 2,1 ，且该平面内的点P 满足|PA |=2|PB |，若点P 的轨迹关于直线mx +ny -2=0(m ,n >0)对称，则2m +5n的最小值是()A.10B.20C.30D.40【答案】B【分析】点P 的轨迹为圆，直线mx +ny -2=0过圆心，得5m +2n =2，利用基本不等式求2m +5n的最小值.【详解】设点P 的坐标为x ,y ，因为PA =2PB ，则PA 2=2PB 2，即x +1 2+y 2=2x -2 2+y -1 2 ，所以点P 的轨迹方程为(x -5)2+(y -2)2=20，因为P 点的轨迹关于直线mx +ny -2=0m >0,n >0 对称，所以圆心5,2 在此直线上，即5m +2n =2，所以2m +5n =125m +2n 2m +5n =1220+4n m +25m n ≥10+12×24n m ⋅25m n=20，当且仅当4n m =25m n ，即m =15,n =12时，等号成立，所以2m +5n的最小值是20.故选：B .2.(2023·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0),A ,B 为椭圆T 长轴的端点，C ,D 为椭圆T 短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点M 满足ME MF=2,△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.32【答案】A【分析】由题可得动点M 的轨迹方程x -5c 3 2+y 2=16c 29，可得12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，即求.【详解】设M x ,y ，E -c ,0 ,F c ,0 ，由ME MF=2，可得x +c2+y 2=2x -c 2+y 2=2，化简得x -5c 3 2+y 2=16c 29.∵△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，∴12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，∴b 2=13a 2=a 2-c 2，即c 2=23a 2，∴e =63．故选：A ．3.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，定点Q 为x 轴上一点，P -12,0 且λ=2，若点B 1,1 ，则2MP +MB 的最小值为()A.6B.7C.10D.11【答案】C【分析】根据点M 的轨迹方程可得Q -2,0 ，结合条件可得2MP +MB =MQ +MB ≥QB ，即得.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a2+y 2，又P -12,0 ，所以MP =x +122+y 2．因为MQ MP=λ且λ=2，所以x -a2+y 2x +122+y 2=2，整理可得x 2+y 2+4+2a 3x =a 2-13，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以4+2a3=0a 2-13=1，解得a =-2，所以Q -2,0 ，又MQ =2MP ，所以2MP +MB =MQ +MB ，因为B 1,1 ，所以2MP +MB 的最小值为BQ =1+22+1-0 2=10．故选：C ．4.(2023·广西·统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P 到A 2,0 ，B -2,0 的距离比为3，则点P 到直线l ：22x -y -2=0的距离的最大值是()A.32+23B.2+23C.43D.63【答案】A【分析】先由题意求出点P 的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【详解】由题意，设点P x ,y ，则PA PB=x -22+y 2x +2 2+y2=3，∴x -22+y 2x +2 2+y 2=3，化简得点P 的轨迹方程为x +4 2+y 2=12，∴点P 的轨迹是以-4,0 为圆心，半径r =23的圆.圆心-4,0 到直线l ：22x -y -2=0的距离d =-82-222 2+-12=32，∴点P 到直线l 最大距离为d +r =32+2 3.故选：A .5.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，动点M 满足MA =2MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是()A.-133,133B.-143,143C.-153,153D.-43,43【答案】C【分析】设点M x ,y ，求出动点M 的轨迹圆C 的方程，再求出直线l 过定点坐标，依题意点1,b 在圆C 的内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】设点M x ,y ，∵MA =2MO ，∴(x +2)2+y 2=4x 2+4y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：3x 2+3y 2-4x -4=0，又直线l :y =k x -1 +b 恒过点1,b ，若对任意实数k 直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，∴1,b 在圆C 的内部或圆上，所以3+3b 2-8≤0，所以3b 2≤5，解得-153≤b ≤153，即b 的取值范围为-153,153.故选：C6.(2023·全国·校联考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ,B 4,0 ，点P 满足PA PB=12.设点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法错误的是()A.C 的方程为(x +4)2+y 2=16B.当A ,B ,P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得|MO |=2|MA |D.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】C【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【详解】设P x ,y ，由PAPB =12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得(x +4)2+y 2=16，故A 正确；当A ,B ,P 三点不共线时，OA OB =12=PA PB，所以PO 是∠APB 的角平分线，所以∠APO =∠BPO ，故B 正确；设M x ,y ,则x 2+y 2=2x +2 2+y 2，化简得x +832+y 2=169，因为-4+832+0-02=43<4-43，所以C 上不存在点M ，使得|MO |=2|MA |，故C 错误；因为PA PB=12，所以PB =2PA ，所以PB +2PD =2PA +2PD ≥2AD =45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故D 正确.故选：C .7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知平面上两定点A ，B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一个侧面ABB 1A 1上运动，且满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为()A.8π3B.4π3C.3πD.15π2【答案】B【分析】根据阿氏圆的定义分析得P 点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r .因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×6=4.设圆O 与AB 交于点M .由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2.又MB =4-BO =4-a ，所以MA =2MB =8-2a .又MA +MB =6，所以8-2a +4-a =6，解得a =2，所以O 2,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为4的球.当点P 在侧面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ，BB 1分别交于点M ，R ，所以点P 在侧面ABB 1A 1内的轨迹为MR.因为在Rt △RBO 中，RO =4，BO =2，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×4=4π3，所以点P 在侧面ABB 1A 1内部的轨迹长为4π3.故选：B.二、多选题8.(2023秋·云南保山·高三统考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A-1,0,B2,0，点P满足PAPB=12，设点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为(x+2)2+y2=4B.曲线C与圆C :x2+(y-2)2=4外切C.曲线C被直线l:x+y=0截得的弦长为22D.曲线C上恰有三个点到直线m:x+3y=0的距离为1【答案】ACD【分析】对于A，设点P x,y，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C 的半径分析判断.【详解】对于A，设P x,y，由定义PAPB=12，得(x+1)2+y2(x-2)2+y2=12，化简整理得(x+2)2+y2=4，故A正确；对于B，C的圆心为-2,0，半径r1=2；C 的圆心为0,2，半径r2=2；圆心距CC =22≠r1+r2，故B错误；对于C，圆心C-2,0到直线l:x+y=0的距离d=22=2，所以弦长为2r12-d2=22，故C正确；对于D，圆心C-2,0到直线m:x+3y=0的距离d=22=1，半径r=2，所以圆C上恰有三个点到直线m的距离为1,故D正确.故选：ACD.9.(2024·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(3,0)，点P满足PAPB=2，点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为x2+y2-10x+17=0B.直线3x+4y=0与曲线C有公共点C.曲线C被x轴截得的弦长为42D.△ABP面积的最大值为22【答案】ACD【分析】通过阿氏圆的定义结合PAPB=2，设P x,y，从而可以得到曲线C的方程；通过计算圆心到直线3x+4y=0的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；计算圆心到x轴的距离d，结合d2+l22=r2，得到曲线C被x轴截得的弦长l，从而判断C的正确性；AB的长度确定，所以△ABP面积的最大值即为点P到AB距离的最大值，从而判断C的正确性.【详解】设P x,y，对于选项A，因为PAPB=2，所以x-12+y2x-32+y2=2，化简得x2+y2-10x+17=0，故A正确；对于选项B，因为曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以圆心为5,0，半径为22，计算圆心5,0到直线3x +4y=0的距离为d=3>22，所以直线3x+4y=0与曲线C没有公共点，故B错误；对于选项C，曲线C的圆心在x轴上，所以被x轴截得的弦即为直径，所以曲线C被x轴截得的弦长为42，故C正确；对于选项D，因为A(1,0)，B(3,0)，所以AB=2,故S△ABP=12⋅AB⋅y p =y p ，而曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以y p∈-22,22，即S△ABP的最大值为22，故D正确.故选：ACD10.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12．设点P的轨迹为C，则( )．A.轨迹C的方程为x+42+y2=9B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线D.在C上存在点M，使得MO=2MA【答案】BC【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹C的方程可判断A；设D m，0，E n，0，由两点间的距离公式结合轨迹C的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设M x，y，由MO=2MA求出点M的轨迹方程与x2+y2+8x=0联立，可判断D.【详解】对于A，在平面直角坐标系xOy中，A-2，0，B4，0，点P满足PAPB=12，设P x，y，则x+22+y2x-42+y2=12，化简得x2+y2+8x=0，即x+42+y2=16，所以A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12，设D m，0，E n，0，则x-n2+y2=2x-m2+y2，化简得3x2+3y2-8m-2nx+4m2-n2=0，由轨迹C的方程为x2+y2+8x=0，可得8m-2n=-24，4m2-n2=0，解得m=-6，n=-12或m=-2，n=4(舍去)，所以B正确；对于C，当A，B，P三点不共线时，OAOB =12=PAPB，可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确；对于D，若在C上存在点M，使得MO=2MA，可设M x，y，则x2+y2=2x+22+y2，化简得x2+y2+163x+163=0，与x2+y2+8x=0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC．11.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是()A.C 的方程为x +4 2+y 2=16B.当A ，B ，P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得MO =2MAD.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】ABD【分析】对于A ，通过直接法求出点P 的轨迹方程即可判断；对于B ，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；对于C ，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点M 轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；对于D ，将PB +2PD 转化为2PA +2PD 进行判断即可.【详解】设P x ,y ，(P 不与A ，B 重合)∵A -2,0 ，B 4,0 ，∴PA =x +22+y 2，PB =x -42+y 2，∴PAPB=12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得x +4 2+y 2=16，∴点P 的轨迹曲线C 是以C -4,0 为圆心，半径r =4的圆，对于A ，曲线C 的方程为x +4 2+y 2=16，故选项A 正确；对于B ，由已知，OA =2，OB =4，∴OA OB=12=PA PB，∴当A ，B ，P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO 是△APB 内角∠APB 的角平分线，∴∠APO =∠BPO ，故选项B 正确；对于C ，若MO =2MA ，则MO MA=2，由题意，M 点轨迹是圆，设M x ,y ，由MO MA=2得x 2+y 2x +22+y 2=2，化简得点M 轨迹方程为x +832+y 2=169，即点M 的轨迹是圆心为C -83,0 ，半径r =43的圆，圆C 与圆C 的圆心距CC =-4+832+0-0 2=43<r -r =83，∴圆C 与圆C 的位置关系为内含，圆C 与圆C 无公共点，∴C 上不存在点M ，使得MO =2MA ，故选项C 错误；对于D ，∵PA PB=12，∴PB =2PA ，∴PB +2PD =2PA +2PD =2PA +PD ≥2AD =2×-2-22+0-2 2=45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故选项D 正确.故选：ABD .三、填空题12.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约前262-前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点O 0,0 ，A 3,0 ，动点P 满足PO PA=12，则点P 的轨迹方程是．【答案】x +1 2+y 2=4【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．【详解】设P x ,y ，PO PA=12即x 2+y 2x -32+y 2=12，整理得：x 2+y 2+2x -3=0即x +1 2+y 2=4．故答案为：x +1 2+y 2=4．13.(2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足PA PB=2，则PA ⋅PB的范围为.【答案】-2,18【分析】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，由题可得点P 轨迹方程，后可得答案.【详解】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，因为AB =3，所以A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，因为PA PB=2，所以x +322+y 2=2⋅x -322+y 2，整理得x 2+y 2-5x +94=0，即x -522+y 2=4.y 2=4-x -522≥0⇒x ∈12,92.又PA =-32-x ,-y ，PB =32-x ,-y ，则PA ⋅PB =x 2+y 2-94=x 2+4-x -52 2-94=5x -92，则PA ⋅PB ∈-2,18 .故答案为：-2,1814.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC ，BC =6,sin B =12sin C ，当△ABC 的面积最大时，则AC 的长为.【答案】25【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点A 的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点A 的坐标，最后求解AC 的长度即可．【详解】解：因为sin B =12sin C ，由正弦定理可得b =12c ，即c =2b ，因为BC =6，不妨令B (-3,0)，C (3,0)，建立如图所示的平面直角坐标系，设点A 的坐标为A x ,y y ≠0 ，点A 的轨迹方程满足：(x +3)2+y 2=2(x -3)2+y 2，整理可得：(x -5)2+y 2=16，y ≠0 ，即点A 的轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆(除与x 轴两交点外)，当点A 的坐标A (5,4)或A (5,-4)时三角形的面积最大，其最大值为S =12×6×4=12，由勾股定理可得AC =22+42=25．故答案为：25．15.(2023·河北衡水·校联考二模)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -3,1 ,B -3,6 ，点P 是满足λ=63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y =16x 2的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.【答案】106+123【分析】由阿氏圆的定义得到点P 的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.【详解】设P x ,y ，由阿氏圆的定义可得PA PB=63，即(x +3)2+(y -1)2(x +3)2+(y -6)2=23，化简得x 2+y 2+6x +18y -60=0.所以(x +3)2+(y +9)2=150，所以点P 在圆心为-3,-9 ，半径为56的圆上，因为抛物线C :y =16x 2的焦点为F .所以F 0,32，因为(0+3)2+32+92=4774<150.所以点F 在圆(x +3)2+(y +9)2=150内，因为点F 到与圆心的距离为4774=4772，所以过点F 的最短弦长为2150-4774=123，过点F 的最长弦长为2150=106，所以过点F 的最长弦与最短弦的和为106+123.故答案为：106+12316.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为．【答案】43π+32π【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，结合题意可得点P 在空间内的轨迹为以O 1,0 为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy 如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r ，因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×3=2，设圆O 与AB 交于点M ，由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2，又MB =2-BO =2-a ，所以MA =2MB =4-2a ，又MA +MB =3，所以4-2a +2-a =3，解得a =1，所以O 1,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为2的球，当点P 在面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ,BB 1分别交于点M ,R ，所以点P 在面ABB 1A 1内的轨迹为MR，因为在Rt △RBO 中，RO =2,BO =1，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×2=2π3，所以点P 在面ABB 1A 1内部的轨迹长为2π3，同理，点P 在面ABCD 内部的轨迹长为2π3，当点P 在面BCC 1B 1内部时，如图3所示，因为OB ⊥平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1截球所得小圆是以B 为圆心，以BP 长为半径的圆，截面圆与BB 1,BC 分别交于点R ,Q ，且BP =OP 2-OB 2=4-1=3，所以点P 在面BCC 1B 1内的轨迹为RQ，且RQ=π2×3=32π，综上，点P 的轨迹长度为2π3+2π3+32π=43π+32π.故答案为：43π+32π.【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)18.(2023·全国·高三专题练习)平面上两点A 、B ，则所有满足PA PB=k 且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆C 1上的动点P 满足：PO PA=2(其中O 为坐标原点，A 点的坐标为0,3 .(1)直线L ︰y =x 上任取一点Q ，作圆C 1的切线，切点分别为M ，N ，求四边形QMC 1N 面积的最小值；(2)在(1)的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.【答案】(1)4；(2)证明见解析，1,3 .【分析】(1)设点P 的坐标为x ,y ，求出点P 的轨迹方程为x 2+(y -4)2=4，求出S QMC 1N =2S △QMC 1=2QM ，QM =|C 1Q |2-4，求出|QM |最小值即得解；(2)设Q a ,a ，两圆方程相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，即得解.【详解】(1)解：设点P 的坐标为x ,y ，根据题设条件有P ∈P PO =2PA ， 所以有x 2+y 2=2x 2+y -3 2，化简得x 2+(y -4)2=4. 所以S QMC 1N =2S △QMC 1=2×12C 1M ⋅QM =2QM QM =C 1Q |2- C 1M |2=|C 1Q |2-4，由题知，当C 1Q ⊥L 时，此时C 1Q =d =0-42=22，|QM |最小，即四边形QMC 1N 面积取得最小值4.(2)解；设Q a ,a ，由几何性质，可知M ，N 两点在以C 1Q 为直径的圆上，此圆的方程为x x -a +y -4 y -a =0，而直线MN 是此圆与圆C 1的相交弦所在直线，相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，所以直线MN 恒过定点1,3 .19.(2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．【答案】(1)x 28+y 26=1；(2)①13,1 ；②y =52x -102．【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MF MA为常数，求得系数，得到椭圆方程；(2)①首先由面积比值求得BS DS=BF DF，令BF DF=λ，则BF =λFD，利用坐标表示向量，求得λ=35-2x 0，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，S ，T ，F 在以B ，D 为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得BF DF=2r -BF 2r +DF，求得r ，再根据1BF-1DF=2-2x 0322-12x 0=229，求得x 0,y 0，即可计算直线方程.【详解】(1)方法(1)特殊值法，令M ±2,0 ，c -2a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2∴a 2=8，b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1方法(2)设M x ,y ，由题意MF MA=x -c2+y 2x -a 2+y2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22，c =2．∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1．方法(3)设M x ,y ，则x 2+y 2=4．由题意MF MA=x -c 2+y 2x -a2+y2=x -c 2+4-x 2x -a2+4-x2=c 2+4-2cxa 2+4-2ax∵MF MA为常数，∴c 2+4a 2+4=c a ，又c a =12，解得：a 2=8，c 2=2，故b 2=a 2-c 2=6∴椭圆C 的方程为x 28+y 26=1(2)①由S △SBF S △SDF =12SB ⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用内江六中 陈廷勇【定义1】阿波罗尼斯圆：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆(定值为1时是直线，定值不是1时为圆)．【定义2】已知平面上两点A、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆． 下面证明k ＞1的情况．〖证明〗〔几何法〕连接PM ,PN ，在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ．则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵AM MB ＝P A PB ＝APPC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ＝12∠APB ．同理，∠BPN ＝∠CPN ＝12∠BPC ．∴∠BPM ＋∠BPN ＝12∠APB ＋12∠BPC ＝π2．∴点P 的轨迹是以MN 为直径的圆．证毕．AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． 设AB ＝2c ，P (x ,y )，则A (－c ,0)，B (c ,0)．由|P A ||PB |＝k (k ＞1)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝k ⇒(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2c (k 2＋1)x ＋c 2(k 2－1)＝0⇒[x －c (k 2＋1)k 2－1]2＋y 2＝(2kc k 2－1)2．∴点P 的轨迹是以点(c (k 2＋1)k 2－1,0)为圆心，以2kck 2－1为半径的圆．【定义3】圆的反演点：已知⊙O 的半径为r ，从圆心O 出发任作一射线，在射线上任取两点A 、B ，若OA •OB ＝r 2，则称A ,B 是关于⊙O 的反演点．【方法1】圆的反演点的获取：①若A 在⊙O 外，过A 作⊙O 的两条切线，两切点的连线与OA 的交点B 就是点A 的反演点；②若A 在⊙O 内，连接OA ，过A 作OA 的垂线与圆交点处的两切线的交点B 即为点A 的反演点．【性质1】已知平面上两点A 、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆．①当k ＞1时，点A 在圆外，点B 在圆内；②当0＜k ＜1时，点A 在圆内，点B 在圆外．【性质2】已知⊙O 的直径为MN ＝2r ，在直线MN 上有两点A ,B 满足OA •OB ＝r 2，则⊙O 是以A ,B 为定点，MA MB 或NANB为比值的阿波罗尼斯圆，反之也成立．〖证明〗MA MB ＝NA NB ⇔OA －OM OM －OB ＝OA ＋ON OB ＋ON ⇔OA －r r －OB ＝OA ＋rOB ＋r⇔(OA －r )(OB ＋r )＝(OA ＋r )(r －OB )⇔OA •OB ＝r 2．证毕．【性质3】MN 是⊙O 的一条直径，A 是直线MN 上异于O 的一定点，过A 任作一条异于MN 的直线交⊙O 于P ,Q 两点，点P 关于直线的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．特别地，过A 作⊙O 的两条切线，两切点分别为P ,Q ，连接PQ 与MN 相交于点B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点，过B 垂直于OA 的直线l 称为点A 对⊙O 的极线，A 称为l 的极点．〖证明〗连接QO 交⊙O 于R ，连接P ′R ，则∠QP ′R ＝90°，及P ,Q ,P ′,R 四点共圆． ∴∠QPP ′＝∠QRP ′．又∠P AD ＋∠APD ＝∠P ′QR ＋∠QRP ′＝90°， ∴∠OAQ ＝∠OQB ，又∠AOQ ＝∠BOQ ，∴ΔOAQ ∽ΔOQB ．∴OA OQ ＝OQOBOA •OB ＝r 2．证毕． 【性质4】已知B ,A 是过半径为r 的⊙O 的圆心直线上一内一外两点(圆心除外)，PQ 是过B 的任意一弦，且∠P AB ＝∠QAB ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．〖证明〗只考虑MN 不垂直AB 和重合的情况． 设AQ 与⊙O 的另一交点为P ′，∵∠P AB ＝∠QAB ，由圆的对称性知，P ,P ′关于AB 对称，∴PP ′⊥AB ． 由性质2的证明方法，可得OA •OB ＝r 2．证毕．【性质5】MN 是以A ,B 为反演点的阿波罗尼斯圆在直线AB 上直径，P 是圆上异于M ,N 一点，则PM ,PN 分别为∠APB 内角平分线和外角平分线．〖证明〗在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ． 则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵MA MB ＝P A PB ＝P APC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ．∴PM 是∠APB 的平分线． 同理，PN 是∠APB 的外角平分线．证毕．【性质6】过⊙O 外一点A 作其切线AP ,AQ ，OA 与⊙O 和PQ 分别交于I ,B ，MN 是过B 的任意弦，则I 为ΔAMN 的内心．〖证明〗连接OP ，∵AP ,AQ 是⊙O 的切线，∴PQ ⊥OA ，OP ⊥AP ． ∴OA •OB ＝r 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点．连接MI ,NI ，由性质5得，MI ,NI 分别为∠AMN , ∠ANM 的平分线．故I 为ΔAMN 的内心．【性质7】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，MN 是过B 的任意弦，则AB 平分∠MAN ．〖证明〗同性质6的证明方法．【性质8】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，且AB ＝m ，⊙O 上任意一点P 到A ,B 的距离之比为λ，则m λ＋1＋mλ－1＝2r ．〖证明〗设MB ＝x ，NB ＝y ，则x ＋y ＝2r ．由MA MB ＝NA NB ＝λ，得m －x x ＝m ＋y y ＝λ⇒x ＝m λ＋1，y ＝m λ－1．∴m λ＋1＋mλ－1＝2r ． 〖注〗若A 在⊙O 内，则λm 1＋λ＋λm 1－λ＝2r ．【性质9】将通过伸缩变换为椭圆，可得如下结论：设A 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴MN 上异于中心O 的一个定点，过点A 任作一条异于MN 的直线交椭圆O 于P ,Q 两点，点P 关于直线MN 的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则OA •OB ＝a 2．【题型】①已知两条线段长度之比为定值；②过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；③向量的定比分点公式结合角平分线；④线段的倍数转化．〖注〗问题主要围绕两个反演点坐标，阿氏圆方程，阿氏圆上点到两反演点距离比四个方面设置，其中测度主要涉及两个反演点间距离，阿氏圆的半径，阿氏圆上点到两反演点距离比．1．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k ＞0且k ≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比满足：P A ＝3PB ，当P 、A 、B 三点不共线时，ΔP AB 面积的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 C ． 3 D ． 2 〖解析〗〔法一〕设A (－1,0)，B (－1,0)，P (x ,y )，则由P A ＝3PB ，得(x ＋1)2＋y 2＝3•(x －1)2＋y 2⇒(x －2)2＋y 2＝3． 当点P 到AB 的距离最大，即等于3时，ΔP AB 的面积取得最大． ∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．〔法二〕设以A ,B 为反演点的阿氏圆的半径为r ，则2r ＝23＋1＋23－1＝23⇒r ＝3．∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0），与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2．过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2． 其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③〖解析〗设⊙C 的半径为r ∴⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2． 令x ＝0，得A (2－1,0)，B (2＋1,0)．∴|OA |＝2－1，|OB |＝2＋1． ∴|OA |•|OB |＝1＝r O 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点． ∵M ,N 是⊙O 上点，∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |．故①正确．设|NB ||NA |＝k ，则由|AB |k ＋1＋|AB |k －1＝2r O ，得2k ＋1＋2k －1＝2⇒k ＝2＋1． ∴|MB ||MA |＝|NB ||NA |＝2＋1，|MA ||MB |＝|NA ||NB |＝12＋1＝2－1．∴|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22．故选A ． 3．设A (－c ,0)，B (c ,0)(c ＞0)为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值a (a ＞0)，求点P 的轨迹．〖解析〗设P (x ,y )，由|P A ||PB |＝a (a ＞0)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝a⇒(a 2－1)x 2＋(a 2－1)y 2－2c (a 2＋1)x ＋c 2(a 2－1)＝0．当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为[x －c (a 2＋1)a 2－1]2＋y 2＝(2aca 2－1)2．∴当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点(c (a 2＋1)a 2－1,0)为圆心，以2ac|a 2－1|为半径的圆．4．在平面直角坐标系xOy 中，设圆C 的半径为1，圆心在直线l ：y ＝2x －4上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点B (2,4)作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆心C 的横坐标为a ，已知点A (0,3)，若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求a 的取值范围．〖解析〗(1)解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，∴⊙C 的圆心为C (3,2)，半径r ＝1． ①当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝2，满足题意．②当切线斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0， 则|3k －2－2k ＋4|k 2＋1＝1⇒k ＝－34．此时切线方程为3x ＋4y －22＝0．综上，所求切线方程为x ＝2或3x ＋4y －22＝0．(2)设M (x ,y )，则由MA ＝2MO ，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，即x 2＋(y ＋1)2＝4． 记⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4，则D (0,－1)，r D ＝2．又M 在⊙C 上，∴|r －r D |⩽|CD |⩽ r ＋r D ⇔1⩽|CD |⩽3． 又C (a ,2a －4)，∴1⩽a 2＋(2a －3)2⩽3⇒0⩽a ⩽125．【注】∵MA ＝2MO ，∴点M 的轨迹是以A ,O 为反演点的圆，且圆的圆心在AO 的延长线上．其半径r 满足：2r ＝32＋1＋32－1⇒r ＝2．设圆的圆心为D (0,b )(b ＜0)，则AD →＝(0,b －3)，OD →＝(0,b )．由AD →•OD →＝r 2，得b (b －3)＝4⇒b ＝－1或b ＝4．∴⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4．5．如图，圆C ：x 2＋y 2－(1＋a )x －ay ＋a ＝0． (1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的左侧)，过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ,B ，问：是否存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ?〖解析〗(1)∵⊙C ：(x －a ＋12)2＋(y －a 2)2＝2a 2－2a ＋14，∴C (a ＋12,)，r ＝2a 2－2a ＋12．∵⊙C 与x 轴相切，∴|a |2＝2a 2－2a ＋12⇒a ＝1．∴⊙C ：(x －1)2＋(y －12)2＝14．(2)令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)．假设存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ． ①当直线AB 不重合于x 轴时，设l AB ：x ＝ty ＋1，A (ty 1＋1,y 1)，B (ty 2＋1,y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 2＋y 2＝4，得(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1．∵∠ANM ＝∠BNM ，∴k NA ＋k NB ＝0⇒y 1ty 1＋1－a ＋y 2ty 2＋1－a ＝0⇒2ty 1y 2＋(1－a )(y 1＋y 2)＝0⇒2t (a －4)t 2＋1＝0．又t ∈R ，∴a ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ． 综上，存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．【注】令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)． ∵∠ANM ＝∠BNM ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点．∴OM •ON ＝r 2⇒a ＝4． 故存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．6．已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0． (1)求直线l 所过定点A 的坐标．(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长． (3)已知点M (－3，4),在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．〖解析〗(1)∵l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0⇔(3x －y )m ＋(x ＋y －4)＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3．∴l 过定点A (1,3)． (2)由平面几何知识知，当l ⊥AC 时，l 被⊙C 截得弦长最短．由题有C (0,4)，r ＝2，∴k AC ＝－1，∴k l ＝1⇒3m ＋1m －1＝1⇒m ＝－1．此时，C 到l 的距离为d ＝|AC |＝2．∴最短弦长为2r 2－d 2＝22． (3)由题知，l MC ：y ＝4．假设存在定点N (t ,4)满足题意．设P (x ,y )，则|PM |2|PN |2＝(x ＋3)2＋(y －4)2(x －t )2＋(y －4)2＝6x ＋9＋x 2＋(y －4)2－2tx ＋t 2＋x 2＋(y －4)2．又由P 在⊙C 上，得x 2＋(y －4)2＝4．∴|PM |2|PN |2＝6x ＋13－2tx ＋t 2＋4．若|PM ||PN |为常数，则需6－2t ＝13t 2＋4⇔t ＝－43或t ＝－3． 当t ＝－3时，N (－3,4)与M 重合，不符合题，舍去． 当t ＝－43时，N (－43,4)，此时|PM ||PN |＝32．综上可知，在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．【注】由题知，l MC ：y ＝4．若|PM ||PN |为常数，则知N 是⊙C 的反演点中一点．设N (t ,4)(－3＜t ＜0)，则|MC |＝3，|NC |＝－t ．∴由|MC |•|NC |＝r 2，得－3t ＝4⇒ t ＝－43．∴N (－43,4)，|MN |＝53．设|PM ||PN |＝k ，则53k ＋1＋53k －1＝4⇒k ＝32或k ＝－23(舍)． 故在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点Q (0,1)，过点P (0,4)的直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B (不在y 轴上)．(1)若直线l 的斜率为3，求AB 的长度；(2)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值，并求出该定值； (3)设AB 的中点为M ，是否存在直线l ，使得MO ＝62MQ ?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．〖解析〗(1)由题知，l ：y ＝3x ＋4．∴O 到l 的距离为d ＝432＋12＝410．∴|AB |＝2r 2－d 2＝22－(410)2＝4155．(2)设l ：y ＝kx ＋4，A (x 1,kx 1＋4)，B (x 2,kx 2＋4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4x 2＋y 2＝4，得(k 2＋1)x 2＋8kx ＋12＝0． ∴Δ＝64k 2－48(k 2＋1)＝16(k 2－3)＞0，x 1＋x 2＝－8k k 2＋1，x 1x 2＝12k 2＋1．∴k 1＋k 2＝kx 1＋3x 1＋kx 2＋3x 2＝2k ＋3(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2k ＝0．∴k 1＋k 2为定值，定值为0．【注】由题知，l PQ ：x ＝0，|OP |＝4，|OQ |＝1，r ＝2． ∴|OP |•|OQ |＝r 2，∴P ,Q 是⊙O 的一对反演点．∴QA 与⊙O 的另交点B ′是B 关于y 轴的对称点，QB 与⊙O 的另交点A ′是A 关于y 轴的对称点． ∴QA 与QB 关于y 轴对称．∴k 1＋k 2＝0． (3)〔法一〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ， 得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6． 由(2)知，M (－4k k 2＋1,4k 2＋1)，∴(－4k k 2＋1)2＋(4k 2＋1)2－6×4k 2＋1＋3＝0⇒k ＝±153，与k 2＞3矛盾．∴满足条件的l 不存在． 〔法二〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ， 得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6． 又OM →＝(x ,y )，PM →＝(x ,y －4)，OM →⊥PM →，∴OM →•PM →＝x 2＋y (y －4)＝0⇒x 2＋y 2－4y ＝0⇒x 2＋(y －2)2＝4(0⩽y ＜1)．解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6y ＋3＝0x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝±152y ＝32．又0⩽y ＜1，该方程组无解，即满足条件的M 不存在．∴满足条件的l 不存在．8．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．〖解析〗(1)设C (a ,0)(a ＞－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．∴⊙C ：x 2＋y 2＝4．(2)①当l AB 的斜率为不为0时，设l AB ：x ＝my ＋1，A (my 1＋1,y 1)，B (my 2＋1,y 2)，N (t ,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 2＋y 2＝4，得(m 2＋1)y 2＋2my －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，y 1y 2＝－3m 2＋1．若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＋k BN ＝0⇒y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0⇒2my 1y 2－(t －1)(y 1＋y 2)＝0⇒－6mm 2＋1＋2m (t －1)m 2＋1＝0⇒m (t －4)＝0，又m ∈R ，∴t ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ． 综上，存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．【注】由题知，l OM ：y ＝0．∵∠ANO ＝∠BNO ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点，且N 在OM 的延长线上． 设N (t ,0)(t ＞1)，则OM ＝1，ON ＝t ．∴OM •ON ＝r 2⇒t ＝4． 故存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．。
阿波罗尼斯圆
PA ( 0且 1） ,则点 P 的轨迹为圆. PB 证明：在 直线 AB 上必存在 一点 O （ OB 为定值） 使得 POB PAB 如图所示 ，则 OP PA OP 为定值.故点 P 的为圆，且 O 为圆心，也即圆心 POB ~ AOP ， OB BP
例题 1.等边 ABC 边长为 6，内切圆记为 O ，P 是圆上动点. 求
解：如图 1，点 P 在圆 O 上运动，即点 A1 在 OA 的连线上，且满足
PA d1 r 2 ， PA1 r d 2 1
1 129 PA 2 PA1 ，所以 PA PB PA1 PB A1 B 2 2
同理：如图 2，
129 PB d1 r 2 ， 2 PA PB 2 PA 2 PB1 A1 B 2 PB1 r d 2 1 1 PA二：连接 OA，在 OA 上截取 OA1
1 129 PA PB PA1 PB A1 B ，同理一样可得到第问. 2 2
设点 P 到两定点 AB 的距离满足： 一定在 AB 的连线上.逆定理也同样成立. 从 上 可 以 知 道 圆 心 在 AB 的 连 线 上 ， 记 圆 的 半 径 为 r ， OA d1 , OB d 2 ， 则
PA d1 r d1 r PA d1 r (等比性质） PB r d 2 r d 2 PB r d 2 1 PA PB ； 2 PA PB 的最小值. 2
习题：已知圆心在坐标原点， r 1 的圆 O， A(2, 0), B (2, 2) ，P 是圆上动点 求 2 2 PA PB 最小值. PA 2 PB 的最小值.
阿波罗尼斯圆定理及应用
x
l
A
O
y
例2、(08年江苏，13题)若AB=2，AC= √2 BC，则三角形ABC的面积的最大值是____。
变式：
在等腰三角形ABC中，如图，AB=AC，BD 是腰AC的中线，且BD= √3 ，则 三角形 ABC面积的最大值是________
A
D
B
C
课后巩固，检验定理
课后作业: 1、已知点P是圆O：x2+y2=25上任意一点， 平面上有两个定点M（10，0），N（13/2,3） 则PN+1/2PM的最小值为_____
特殊到一般，提出猜想
猜想：平面内到两个定点的距离之比为定值 的动点轨迹是圆。
总结提炼 ，得到定理
阿波罗尼斯圆定理：在平面上给定两点A,B 设点 P 在同一平面上，且满足 PA/PB= λ ， 当 λ>0且λ ≠1 时，点 P 的轨迹是一个圆。 称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。 （当 λ=1 时，点 P 的轨迹是线段AB的垂直平 分线）
2、一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方 向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东 30 °方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉 私艇立即追击。已知缉私艇的最大航速是走私船 最大航速的3倍。假设缉私艇和走私船均按直线 方向以最大航速航行。问：无论走私船沿何方向 逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说 明理由。
阿波罗尼斯圆定理及其应用
.
教材入手，奠定基础
问题1 （必修2 习题2.2（1）探究拓展第12题）已知 点M（x,y）与两点O（0,0），A（3,0） 的距离之比为 1/2 ，那么点M的坐标应满足什 么关系？
教材入手，奠定基础
问题2 （选修2-1.2.6.2求曲线的方程例2）求平面内 到两定点A，B的距离之比为2的动点M的轨迹 方程。
2022年高考数学圆中鬼魅,阿波罗尼斯圆
8.3 角平分线 vs 阿波罗尼斯圆
例
(1)(2016
台州一模)已知
C
是线段
AB
上的一点，AC
2CB
，MAMC
MBMC
，
MA
MB
则 MAM2B 的最小值范围为
．
AB
(2)(2016
杭州一模)已知
OA 、OB
是非零不共线的向量，设
OC
r
1
OA 1
r
r
NB MB r OB
NA
③都正确．
例 (1) 已知点 P 在边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆上运动，则 AP 2BP 的最小值 是_______．
(2) 已知 P 在边长为 2 的正三角形 ABC 的内切圆上运动，则 AP 2BP 的最小值是 _______．
解 (1) 有圆 O 和一个定点（A 或 B），由于 OA OB ，故不妨取 A 为定点，设另一个
NB MB
NA MB
NA MB
其中正确结论的序号是
．（写出所有正确结论的序号）
y
B
C
N
MA
O
x
解 (1) (x 1)2 ( y 2)2 2 ；
(2) 显然圆 O 是以 A、B 为定点的阿波罗尼斯圆，易得 A(0 , 2 1) ， B(0 , 2 1) ，阿
波罗尼斯圆的半径 r 1，故 NA MA OA r 2 1 ， NB 2 1，因此，①②
xOy
中，已知圆
x2
y2
r2 (r 0)
，两个定点
A
r 3
,
0
和
B(a
,