历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-20161987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a(B )1a(C )1n a -(D )n a九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B )12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中(A )必有一列元素全为0 (B )必有两列元素对应成比例(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D )任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+=++=+++=+⎧⎪⎨⎪⎩有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A )1211212()2k k -+++ββααα(B )1211212()2k k ++-+ββααα(C )1211212()2k k -+++ββαββ(D )1211212()2k k ++-+ββαββ七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A )=ACB E (B )=CBA E (C )=BAC E (D )=BCA E 七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A )[]212-(B )201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C )102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D )011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A )6t =时P 的秩必为1 B )6t =时P 的秩必为2(C )6t ≠时P 的秩必为1 (D )6t ≠时P 的秩必为2 七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵. 八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A )12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B )12233441,,,----αααααααα线性无关 (C )12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D )12233441,,,++--αααααααα线性无关八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +- (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且1003100,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有 (A )12AP P =B(B )21AP P =B (C )12P P A =B(D )21P P A =B八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)四阶行列式1122334400000000a b a b a b b a 的值等于(A )12341234a a a a b b b b - (B )12341234a a a a b b b b +(C )12123434()()a a b b a a b b --(D )23231414()()a a b b a a b b --八、（本题满分6分）设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T ξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T =ξξ (2)当1T =ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线 1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 (A )123,,ααα线性相关(B )123,,ααα线性无关(C )秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D )123,,ααα线性相关12,,αα线性无关七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量. 1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值. 2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆. (2)求1.-AB1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设矩阵 111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A )相交于一点 (B )重合(C )平行但不重合（D )异面 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分） 设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0 证明:向量组1,,,k -αA αA α是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,220n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A )当m n >时,必有行列式||0≠AB (B )当m n >时,必有行列式||0=AB(C )当n m >时,必有行列式||0≠AB(D )当n m >时,必有行列式||0=AB十、(本题满分8分)设矩阵153,10a c b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T=--α求,,a b c 和0λ的值. 十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a= _____. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A )向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B )向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C )向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价 (D )矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A (2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A )合同且相似 (B )合同但不相似 (C )不合同但相似(D )不合同且不相似九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设向量组I :12,,,r ααα可由向量组II :12,,,s βββ线性表示,则(A )当s r <时,向量组II 必线性相关 (B )当s r >时,向量组II 必线性相关 (C )当s r <时,向量组I 必线性相关 (D )当s r >时,向量组I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题:① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④ 九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010 (B )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010 (D )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有(A )A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B )A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C )A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D )A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα, 如果1=A ,那么=B .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是 (A )01≠λ (B )02≠λ (C )01=λ (D )02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则 (A )交换*A 的第1列与第2列得*B (B )交换*A 的第1行与第2行得*B(C )交换*A 的第1列与第2列得*-B (D )交换*A 的第1行与第2行得*-B(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(B )若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C )若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(D )若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则 (A )1-=C P AP (B )1-=C PAP (C )T =C P AP (D )T =C PAP(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解. (1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A .2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A ),,122331---αααααα (B ),,122331+++αααααα (C )1223312,2,2---αααααα (D )1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A )合同,且相似 (B )合同,但不相似 (C )不合同,但相似 (D )既不合同,也不相似 二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则(A )-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B )-E A 不可逆,+E A 可逆 (C )-E A 可逆,+E A 可逆 (D )-E A 可逆,+E A 不可逆二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明: (1)()2r ≤A . (2)若,αβ线性相关,则()2r <A .(21)(本题满分11分)设矩阵2221212n na a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T n x x =X ,()1,0,,0=B , (1)求证()1n n a =+A .(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x .(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为(A )101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )120023103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (C )111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D )111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A )**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B )**23O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C )**32O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ(1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则(A )秩(),m =A 秩()m =B (B )秩(),m =A 秩()n =B (C )秩(),n =A 秩()m =B (D )秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A )1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (C )1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D )1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .(20)(本题满分11分)设11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.(1)求,.a λ(2)求方程组=A x b 的通解.(21)(本题满分11分)设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212,y y +且Q的第三列为(.22T(1)求.A(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)5、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得到单位阵E ，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******P ，则A =（ ）A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。
历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-20161987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分)(2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a(B )1a(C )1n a -(D )n a九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα (B )12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中(A )必有一列元素全为0 (B )必有两列元素对应成比例(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D )任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) 七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+=++=+++=+⎧⎪⎨⎪⎩有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A )1211212()2k k -+++ββααα(B )1211212()2k k ++-+ββααα(C )1211212()2k k -+++ββαββ(D )1211212()2k k ++-+ββαββ七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分） 求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (A )=ACB E (B )=CBA E (C )=BAC E (D )=BCA E 七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A )[]212-(B )201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C )102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D )011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A )6t =时P 的秩必为1 B )6t =时P 的秩必为2(C )6t ≠时P 的秩必为1 (D )6t ≠时P 的秩必为2 七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵. 八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A )12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B )12233441,,,----αααααααα线性无关 (C )12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D )12233441,,,++--αααααααα线性无关八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +- (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且1003100,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有 (A )12AP P =B(B )21AP P =B (C )12P P A =B(D )21P P A =B八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)四阶行列式1122334400000000a b a b a b b a 的值等于(A )12341234a a a a b b b b - (B )12341234a a a a b b b b +(C )12123434()()a a b b a a b b --(D )23231414()()a a b b a a b b --八、（本题满分6分）设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,T ξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T =ξξ (2)当1T =ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线 1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 (A )123,,ααα线性相关(B )123,,ααα线性无关(C )秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D )123,,ααα线性相关12,,αα线性无关七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量. 1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值. 2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆. (2)求1.-AB1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设矩阵 111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A )相交于一点 (B )重合(C )平行但不重合（D )异面 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分） 设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0 证明:向量组1,,,k -αA αA α是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,220n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A )当m n >时,必有行列式||0≠AB (B )当m n >时,必有行列式||0=AB(C )当n m >时,必有行列式||0≠AB(D )当n m >时,必有行列式||0=AB十、(本题满分8分)设矩阵153,10a c b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T=--α求,,a b c 和0λ的值. 十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a= _____. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A )向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B )向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C )向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价 (D )矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A (2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A )合同且相似 (B )合同但不相似 (C )不合同但相似(D )不合同且不相似九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设向量组I :12,,,r ααα可由向量组II :12,,,s βββ线性表示,则(A )当s r <时,向量组II 必线性相关 (B )当s r >时,向量组II 必线性相关 (C )当s r <时,向量组I 必线性相关 (D )当s r >时,向量组I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题:① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④ 九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010 (B )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010 (D )⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有(A )A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B )A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C )A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D )A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα, 如果1=A ,那么=B .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是 (A )01≠λ (B )02≠λ (C )01=λ (D )02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则 (A )交换*A 的第1列与第2列得*B (B )交换*A 的第1行与第2行得*B(C )交换*A 的第1列与第2列得*-B (D )交换*A 的第1行与第2行得*-B(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(B )若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C )若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关(D )若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则 (A )1-=C P AP (B )1-=C PAP (C )T =C P AP (D )T =C PAP(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解. (1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T =Q AQ A .2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A ),,122331---αααααα (B ),,122331+++αααααα (C )1223312,2,2---αααααα (D )1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A )合同,且相似 (B )合同,但不相似 (C )不合同,但相似 (D )既不合同,也不相似 二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则(A )-E A 不可逆,+E A 不可逆 (B )-E A 不可逆,+E A 可逆 (C )-E A 可逆,+E A 可逆 (D )-E A 可逆,+E A 不可逆二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明: (1)()2r ≤A . (2)若,αβ线性相关,则()2r <A .(21)(本题满分11分)设矩阵2221212n na a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T n x x =X ,()1,0,,0=B , (1)求证()1n n a =+A .(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x .(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为(A )101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )120023103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (C )111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D )111222111444111666⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A )**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B )**23O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C )**32O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D )**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为 . (20)(本题满分11分)设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ(1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则(A )秩(),m =A 秩()m =B (B )秩(),m =A 秩()n =B (C )秩(),n =A 秩()m =B (D )秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A )1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (C )1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (D )1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .(20)(本题满分11分)设11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.(1)求,.a λ(2)求方程组=A x b 的通解.(21)(本题满分11分)设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212,y y +且Q的第三列为(.22T(1)求.A(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)5、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得到单位阵E ，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******P ，则A =（ ）A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。
历年考研数学真题及答案
历年考研数学真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】ss=txt>（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?1?2z?11?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中??301?a??110?,求矩阵b.?4??01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处 (a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t(3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1a(c)an?1(d)an六、（本题满分10分）求幂级数??1n?1n?1n?2nx的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?其中?是由曲线f(x)???z?1?y?3?绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3? ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x的概率密度函数为f(x)?十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.10?x?1其它,?yy?0,求zfy(y)?y?00?2x?y的概率密度函数.【篇二：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】ass=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)二、(本题满分8分)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值. (2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?xx12求正的常数a与b,使等式lim?1成立. x?0bx?sinx?0(5)已知三维向量空间的基底为坐标是_____________.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u??u?v,. ?x?xf(x,xy),v?g(x?xy),(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?1??111都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l(2)设矩阵?3a???1??011a和b满足关系式ab=a?2b,其中l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分21??求矩阵0b. ?,?4???(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= _____________.第 1 页共 1 页四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limx?at和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k?0,则级数?(?1)nk?2nn?1n(a)发散(b)绝对收敛(c)条件收敛(d)散敛性f(x)?f(a)??1,则在x?a处 2(x?a)f(x)(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)导数不存在(2)设f(x)为已知连续函数,i?t?ist0取与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a是a的伴*f(x)(a)a (b)1af(tx)dx,其中t?0,s?0,则(c)a (d)an?1n的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、六、（本题满分10分）第 2 页共 2 页求幂级数?七、（本题满分10分）??z?1?y?3其中?是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.2x?0??1n?1的收敛域，并求其和函数. xn2n?1n??求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3? ax4??1第 3 页共 3 页有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x的概率密度函数为f(x)?十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?1?x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.0?x?1其它,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?yy?0第 4 页共 4 页第 5 页共 5 页【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)。
1987考研数学(改革前不分数一二三)真题+答案
1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答
数 学（试卷Ⅰ）
一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分. 只写答案不写解题过程）
(1) 与两直线
x 1
y
1
t
z 2 t
及
x 1 y 2 z 1 121
都平行，且过原点的平面方程是
1987 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答
(3) 已知连续随机变量 X 的密度为 f (x) 1 ex2 2x1 ，则 X 的数学期望为
方差为 1 / 2 .
1 ；X 的
十一、（本题满分 6 分）
设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为
十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）
(1) 在一次试验中事件 A 发生的概率为 p ，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率
为 1 (1 p)n ；而事件 A 至多发生一次的概率为 [1 (n 1) p](1 p)n1 .
(2) 三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个白球 3 个黑球，第三 个箱子中有 3 个黑球 5 五个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个 球为白球的概率为 53/120 ，已知取出的是白球，此球属于第二箱的概率是 20 / 53 .
f13 )e y
ey
f1
f21 xey
f23
.
四、（本题满分 8 分）【 同数学Ⅰ、第四题 】
五、（本题满分 12 分）【 同数学Ⅰ、第五题 】
六、（本题满分 10 分）【 同数学Ⅰ、第六题 】
历年考研数学一真题及答案(1987-)
历年考研数学一真题1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数2xy x取得极小值.(2)由曲线lny x与两直线e1y x及0y所围成的平面图形的面积是_____________.1x(3)与两直线1y t2z t及121111x y z都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L为取正向的圆周229,x y则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα则向量(2,0,0)β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与,b使等式221lim1sinxxtdtbx x a t成立.三、(本题满分7分) (1)设f、g为连续可微函数,(,),(),uf x xy vg xxy 求,.u v x x (2)设矩阵A和B 满足关系式2,AB =AB 其中301110,014A求矩阵.B 四、(本题满分8分) 求微分方程26(9)1y y a y的通解,其中常数0.a五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()()lim1,()x a f x f a xa 则在x a 处(A)()f x 的导数存在,且()0f a (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值(D)()f x 的导数不存在(2)设()f x 为已知连续函数,(),st I tf tx dx 其中0,0,t s 则I 的值(A)依赖于s 和t(B)依赖于s 、t 和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s(D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k则级数21(1)nn k nn(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A的行列式||0,a A 而*A是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a(B)1a(C)1n a(D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn xn 的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,Ix ydydzy dzdxyzdxdy 其中是由曲线113()zy yf x x绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x 1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组12342342341234221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211()e,xx f x 则X的数学期望为____________,X的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y相互独立,其概率密度函数分别为()X f x 101x其它,()Y f y e 0y00y y, 求2ZX Y的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求幂级数1(3)3nnn x n 的收敛域.(2)设2()e ,[()]1xf x f x x 且()x ,求()x 及其定义域.(3)设为曲面2221x y z 的外侧,计算曲面积分333.Ix dydzy dzdxz dxdy 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),txxf t t x则()f t =_____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x 则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为()f x 22x101x x,则的傅里叶()Fourier 级数在1x处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB= _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 可导且01(),2f x 则x 时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x 是方程240y y y 的一个解且00()0,()0,f x f x 则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,xyzR z xyzR xyz则(A)124xdv dv (B)124ydvydv(C)124zdvzdv (D)124xyzdv xyzdv(4)设幂级数1(1)nn n a x 在1x 处收敛,则此级数在2x 处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,,,(3)s s n ααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使1122s sk k k ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分) 设()(),xy uyf xg yx其中函数f、g 具有二阶连续导数,求222.uuxyxx y五、(本题满分8分) 设函数()yy x 满足微分方程322e ,xy y y 其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx 在该点处的切线重合,求函数().y y x 六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0k kr为常数,r为A 质点与M之间的距离),质点M 沿直线22yxx自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,AP BP 其中100100000,210,001211BP 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101xA与2000001y B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1PAPB的可逆阵.P 九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x 证明:在(,)a b 内存在唯一的,使曲线()yf x 与两直线(),yf xa所围平面图形面积1S 是曲线()y f x 与两直线(),y f x b所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知221()e,(2.5)0.9938,2uxx du 则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为21(),(1)X f x x 求随机变量31Y X 的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知(3)2,f 则(3)(3)lim2hf h fh=_____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt则()f x=_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周21,y x则曲线积分22()Lx y ds=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P处的散度div u=_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001A I则矩阵1(2)A I=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0x时,曲线1siny xx(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y上点P处的切平面平行于平面2210,x y z则点的坐标是(A)(1,1,2)(B)(1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y (B)1122123()c y c y c c y (C)1122123(1)c y c y c c y (D)1122123(1)c y c y c c y (4)设函数2(),01,f x x x 而1()sin ,,n n S x b n x x其中102()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n 则1()2S 等于(A)12(B)14(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,A 则A 中(A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),zf xy g x xy 其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy 与路径无关,其中()x 具有连续的导数,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)()xy dxy x dy 的值.(3)计算三重积分(),xz dv 其中是由曲面22zxy与221zx y所围成的区域.四、(本题满分6分) 将函数1()arctan1x f x x展为x 的幂级数.五、(本题满分7分) 设0()sin ()(),x f x x x t f t dt 其中f为连续函数,求().f x 六、（本题满分7分）证明方程ln 1cos 2ex xxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组13x x 123422x x x 1236423x x x 有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设为n 阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)1为1A 的特征值.(2)A为A 的伴随矩阵*A的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyza a上,问当R 为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率()0.5,P A随机事件B的概率()0.6P B及条件概率(|)0.8,P B A则和事件A B的概率()P A B=____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点(1,21)M且与直线34y t垂直的平面方程是_____________.1zt(2)设a为非零常数,则lim()xxxa xa=_____________. (3)设函数()f x 1011x x,则[()]f f x =_____________. (4)积分222ey x dx dy的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e()(),xxF x f t dt 则()F x 等于(A)e(e )()xxf f x (B)e(e )()xxf f x (C)e (e )()xxf f x (D)e (e )()x x f f x(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x 则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x (B)1[()]n n f x (C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()1[]n na nn(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在x 的某个邻域内连续,且()(0)0,lim2,1cos x f x f x则在点0x 处()f x (A)不可导(B)可导,且(0)f (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组AX的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组AX b的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k ββααα(B)1211212()2k k ββααα(C)1211212()2k k ββαββ(D)1211212()2k k ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求12ln(1).(2)x dx x (2)设(2,sin ),zf xy y x 其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y(3)求微分方程244exy y y 的通解(一般解).四、(本题满分6分) 求幂级数(21)nn n x的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S 是球面2224xyz外侧在z的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b 证明在(,)a b 内至少存在一点,使得()0.f 七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,001100210102BC且矩阵A 满足关系式1()A E C B CE其中E为四阶单位矩阵1,C 表示C 的逆矩阵,C表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fx x x x x x x x x 成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数1()e,2xf x x则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e{},0,1,2,,!kP X k k k 则随机变量32ZX的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x yx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21Z X的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x tyt,则22dydx=_____________.(2)由方程2222xyzxyz所确定的函数(,)zz x y 在点(1,0,1)处的全微分dz=_____________. (3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y zx y z l l 则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当x 时123,(1)1ax 与cos1x 是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt 则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2eln 2x (C)eln 2x(D)2eln 2x(3)已知级数12111(1)2,5,n n nn n a a 则级数1n n a 等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9(4)设D 是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxyx y dxdy 等于(A)12cos sin D x ydxdy (B)12D xydxdy(C)14(cos sin )D xy x y dxdy(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,ABCE 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)ACB E(B)CBA E(C)BAC E(D)BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20lim(cos ).xx(2)设n 是曲面222236xyz在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数2268xy u z在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),xyz dv 其中是由曲线220y z x绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围城的立体.四、(本题满分6分) 过点(0,0)O 和(,0)A 的曲线族sin (0)ya x a中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx xy dy 的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x 展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dxf 证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c 七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aa αααα及(1,1,3,5).b β(1)a、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A E的行列式大于 1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布,且{24}0.3,P X 则{0}P X=____________.(2)随机地向半圆202(y ax x a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,)f x y(2)2e0,0x y x y其它求随机变量2Z X Y的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x由方程e cos()0x y xy确定,则dydx =_____________.(2)函数222ln()u x y z在点(1,2,2)M处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x211xxx,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_____________.(4)微分方程tan cosy y x x的通解为y=_____________.(5)设111212121212,nnn n n na b a b a ba b a b a ba b a b a bA其中0,0,(1,2,,).i ia b i n则矩阵A的秩()r A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x时,函数1211e1xxx的极限(A)等于2 (B)等于0(C)为(D)不存在但不为(2)级数1(1)(1cos)(nn an常数0)a(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,,x t y t z t的所有切线中,与平面24x y z 平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x则使()(0)nf存在的最高阶数n为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121ξξ都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为(A)212(B)201011(C)102011(D)011422011三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求20esin 1lim.11xx x x(2)设22(e sin ,),xzf y x y 其中f具有二阶连续偏导数,求2.zx y(3)设()f x 21exx 00x x,求31(2).f x dx 四、(本题满分6分)求微分方程323exyy y 的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydzyax dzdxzay dxdy 其中为上半球面222zaxy的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f 证明对任何120,0,x x 有1212()()().f x x f x f x 七、（本题满分8分）在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a bc上第一卦限的点(,,),M问当、、取何值时,力F 所做的功W最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111,2,3,149ξξξ又向量12.3β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC 则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e}XE X =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布2(,),N Y服从[,]上的均匀分布,试求Z X Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中221()e)2txx dt.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数11()(2)(0)xF x dt x t的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nxb nx 则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场222ln ,u xyz 则div(grad)u =_____________.(5)设n 阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,n则线性方程组AX的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 234()sin(),(),x f x t dt g x xx 则当x 时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()xy xy所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d(B)404cos 2d(C)402cos 2d(D)2401(cos 2)2d(3)设有直线1158:121x y z l 与2:l 623x y yz 则1l 与2l 的夹角为(A)6(B)4(C)3(D)2(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydxf x ydy与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f 则()f x 等于(A)ee 2xx(B)e e 2xx(C)ee 12x x(D)ee 12x x(5)已知12324,369t QP 为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则(A)6t时P 的秩必为 1 (B)6t 时P 的秩必为 2 (C)6t 时P 的秩必为 1 (D)6t 时P 的秩必为 2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求21lim(sincos ).xx xx(2)求e .e1xx x dx(3)求微分方程22,x yxy y 满足初始条件11x y的特解.四、(本题满分6分) 计算22,xzdydz yzdzdxz dxdy 其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分) 求级数20(1)(1)2n nn nn 的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x kf 证明()f x 在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设,bae 证明.baab 七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a通过正交变换化成标准形22212325,fy yy 求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是nm矩阵,B 是mn矩阵,其中,n m I是n阶单位矩阵,若,ABI 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y 轴正向运动.物体B从点(1,0)与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为1()e,.2xf x x (1)求X 的数学期望EX和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)11lim cot ()sin x xx= _____________.(2)曲面e 23x z xy 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设esin ,xxuy则2ux y在点1(2,)处的值为_____________.(4)设区域D为222,xyR 则2222()Dx y dxdy ab=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23αβ设,Aαβ其中α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x Mxdx Nxx dx Px x x dx x则有(A)NPM(B)M P N(C)NMP(D)P M N(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y 、00(,)y f x y 存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数21nn a收敛,则级数21(1)n nn a n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)xx a x b x c x d e其中220,ac则必有(A)4b d(B)4b d(C)4a c(D)4a c(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)11lim cot ()sin x xx= _____________.(2)曲面e23xz xy在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设esin ,xx u y则2ux y在点1(2,)处的值为_____________.(4)设区域D为222,xyR 则2222()Dx y dxdy ab=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23αβ设,Aαβ其中α是α的转置,则nA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x Mxdx N x x dx Px x x dx x 则有(A)NPM(B)M P N(C)NMP(D)P M N(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y 、00(,)y f x y 存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数21nn a收敛,则级数21(1)n nn a n(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)xx a x b x c x d e其中220,ac则必有(A)4bd(B)4b d(C)4a c(D)4a c(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,αααααααα线性无关(B)12233441,,,αααααααα线性无关(C)12233441,,,αααααααα线性无关(D)12233441,,,αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()1cos()cos 2t x t yt t uduu,求dy dx、22d y dx在2t的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x xxx展开成x的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x四、(本题满分6分) 计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdy xyz其中S是由曲面222xyR及,(0)z R z R R两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f 且2[()()][()]0xy xy f x y dxf x x y dy为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点x 的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x证明级数11()n f n绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x ,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当*AA时,证明0.A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB 且(),P A p 则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y具有同一分布率,且X 的分布率为X1P1212则随机变量max{,}Z X Y 的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X和Y分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X与Y 的相关系数1,2xy设,32X Y Z(1)求Z 的数学期望EZ和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)x x x =_____________.(2)202cos xd x t dt dx= _____________.(3)设()2,a b c 则[()()]()ab bc ca =_____________.(4)幂级数2112(3)n nnn nx的收敛半径R=_____________. (5)设三阶方阵,A B满足关系式16,A BAA BA 且1003100,4107A 则B=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 32102103x y z xyz,及平面:4220,xyz则直线L(A)平行于(B)在上(C)垂直于(D)与斜交(2)设在[0,1]上()0,f x 则(0),(1),(1)(0)f f f f 或(0)(1)f f 的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f (B)(1)(1)(0)(0)f f f f (C)(1)(0)(1)(0)f f f f (D)(1)(0)(1)(0)f f f f (3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x 则(0)0f 是()F x 在0x处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设1(1)ln(1),nnu n则级数(A)1n n u 与21nn u 都收敛(B)1n n u 与21nn u都发散(C)1n n u 收敛,而21nn u发散(D)1n n u 收敛,而21nn u发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a AB P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yuf x y z x z y x 其中,f 都具有一阶连续偏导数,且0.z求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设10(),f x dxA 求110()().xdxf x f y dy 四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS 其中为锥面22zxy在柱体222xyx 内的部分.(2)将函数()1(02)f x xx展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分) 设曲线L 位于平面xOy的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y轴总相交,交点记为.A 已知,MAOA 且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分) 设函数(,)Q x y 在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy与路径无关,并且对任意t恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydxQ x y dyxydxQ x y dy 求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b 试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x (2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,使()().()()f fg g八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为1231,1,对应于1的特征向量为11,1ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足(AAI I是n 阶单位矩阵,A是A 的转置矩阵),0,A 求.AI 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P XYP X P Y 则{max(,)0}P X Y ____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度为()X f x e 0x00x x,求随机变量eXY的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xxx a x a 则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22exy y y的通解为_____________.(4)函数22ln()u x yz 在点(1,0,1)A 处沿点A指向点(3,2,2)B 方向的方向导数为_____________.(5)设A是43矩阵,且A的秩()2,r A 而10220,103B则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()xay dx ydyxy 为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,xf x f x则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()yf x 的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()yf x 的拐点(3)设0(1,2,),n a n 且1nn a 收敛,常数(0,),2则级数21(1)(tan)nnn n a n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与有关(4)设有()f x 连续的导数22,(0)0,(0)0,()()(),x f f F x xt f t dt 且当x 时,()F x 与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b (B)12341234a a a ab b b b (C)12123434()()a ab b a a b b (D)23231414()()a ab b a a b b 三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)。
历年考研数一真题及答案
历年考研数一真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)【篇二：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(word版)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=_____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)1,a发生b不发生的概率与b发生a不发9(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有 (a)(c) ??xds?4??xdsss1(b)(d)??yds?4??xdsss1ss1??zds?4??xdsss1??xyzds?4??xyzds(3)设级数?un?1?n收敛,则必收敛的级数为u(a)?(?1)nnn?1n?(b)?un?1?2n(c)?(un?1?2n?1?u2n)(d)?(un?1?n?un?1)(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y 与 ??x?y不相关的充分必要条件为(a)e(x)?e(y)(c)e(x2)?e(y2)三、(本题满分6分)(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x四、(本题满分5分)xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求. yy?x?y五、(本题满分6分)计算曲线积分i?xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???xsx?0?(f)x?dyd(z)x?2xyfex?dzd0x,f(x)在z(0,d??x)内具有连续的一阶导数dy其中函数,且limf(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)八、(本题满分7分)1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两?个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)?10?01*?设矩阵a的伴随矩阵a??10??0?300100?0??,?1?1且aba?ba?3e,其中e为4阶单位矩阵,求0??8?矩阵b.十一、(本题满分8分)1熟练工支援其他生产部62门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?1??xn??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式:?a???????.?yn?1??yn??yn?1??yn??xn??. ?yn?(1)求??4???1??1??1??1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求??.y1y?1????n?1????2?十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分)?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设x???0x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.2(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a) (b)(c) (d)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则(a)dz|(0,0)?3dx?dy(b)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}(c)曲线z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}y?0z?f(x,y)(d)曲线在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}y?0(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?f(1?cosh)(a)lim存在2h?0h(c)limh?0f(1?eh)(b) lim存在h?0h(d)limh?0f(h?sinh)存在h2111111111??4??1?0,b???01???1??00000000f(2h)?f(h)存在h?1?(4)设a??1?1??10??0?,则a与b 0??0?(a)合同且相似 (c)不合同但相似(b)合同但不相似 (d)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则x和y相关系数为(a) -1 (c)(b)0 (d)11 2三、(本题满分6分)arctanex. 求?e2x四、(本题满分6分)【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2015)】1987-2014 （经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)1(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵 ?4?b.?01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛2(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*六、（本题满分10分）求幂级数?a1n?1的收敛域，并求其和函数. xnn?2n?1?是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1 (c)an?1七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?(d)an??z?1?y?3f(x)?其中?是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. ?2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）3问a,b为何值时,现线性方程组?x2?x3?x4?02?2x3?2x4?1x2?(a?3)x3?2x4?bx1?2x2?x3?ax4?? 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量____________.4x的概率密度函数为f(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?10?x?1,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?y其它y?05。
1987考研数学真题答案
1987考研数学真题答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ .(3)设l为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分?lxdy?2ydx的值为__________.(4)欧拉方程x2d2ydx2?4xdydx?2y?0(x?0)的通解为__________ .?210?(5)设矩阵a???120?,矩阵满?1?b?00??足aba*?2ba*?e,其中a*为a的伴随矩阵,e是单位矩阵,则b=__________ .(6)设随机变量x服从参数为?的指数分布,则p{x?dx}= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把x?0?时的无穷小量???xcost2x2dt,???0tantdt,???0sint3dt,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(a)?,?,?(b)?,?,?(c)?,?,? (d)?,?,?(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得(a)f(x)在(0,?)内单调增加 (b)f(x)在(??,0)内单调减少(c)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)(d)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0) (9)设??an为正项级数,下列结论n?1中正确的是(a)若?limn??nan=0,则级数?an收敛 n?1(b)若存在非零常数?,使得?limn??nan??,则级数?an发散 n?1(c)若级数??an收敛,则n?1limn??n2an?0(d)若级数??an发散, 则存在非零n?1常数?,使得limn??nan?? (10)设f(x)为连续函数,f(t)??tt1dy?yf(x)dx,则f?(2)等于(a)2f(2)(b)f(2)(c)?f(2)(d) 0(11)设a是3阶方阵,将a的第1列与第2列交换得b,再把b的第2列加到第3列得c,则满足aq?c的可逆矩阵q为?010?(a)??100??01??1???010?(b)??101????001???010?(c)??100??011?????011?(d)??100? ?001????(12)设a,b为满足ab?o的任意两个非零矩阵,则必有(a)a的列向量组线性相关,b的行向量组线性相关(b)a的列向量组线性相关,b的列向量组线性相关(c)a的行向量组线性相关,b的行向量组线性相关(d)a的行向量组线性相关,b的列向量组线性相关(13)设随机变量x服从正态分布n(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足p{x?u?}??,若px?x}??,则x等于(a)u?2(b)u1??2(c)u1??2(d) u1??(14)设随机变量x1,x2,?,xn(n?1)独立同分布,且其方差为?2?0. 令 y?1nn?xi,则i?1(a)cov(x1,y)??2现有一质量为9000kg的飞机,着n(b)cov(x1,y)??2(c)d(xn?21?y)?n?2(d)d(x?n?11?y)n?2三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分i???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中??是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.(18)(本题满分11分)?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当??1时,级数??x?n收敛.n?1(19)(本题满分12分) 设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组??(1?a)x1?x2???xn?0,??2x1?(2?a)x2???2xn?0,(n?2),?????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)?12?3?设矩阵a????14?3?的特征方程?a5??1??有一个二重根,求a的值,并讨论a是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设a,b为随机事件,且p(a)?14,p(b|a)?113,p(a|b)?2,令x???1,a发生,?0,a不发生; y???1,b发生,?0,b不发生. 求:(1)二维随机变量(x,y)的概率分布.(2)x和y的相关系数?xy.(23)(本题满分9分) 设总体x的分布函数为?f(x,?)???1?1?,x?1,?0x?,x?1,其中未知参数??1,x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随机样本,求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.【篇二：1987-2014历年考研数学一真题及答案】士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值. (2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u??x,v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵b.?14??0??12四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处 (a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设sf(x)为已知连续函数,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t(3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1a(c)an?1(d)an六、（本题满分10分）23求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?求幂级数?1n?1的收敛域，并求其和函数. xn2n?1n??七、（本题满分10分）??z?1?y?3其中?是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3? ax4??134有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x的概率密度函数为f(x)?十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?1?x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.0?x?1其它,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?yy?0455【篇三：(1987-2014)考研数学一真题及答案】ass=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值. (2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.1(5)已知三维向量空间的基底为坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数与b,使等式lim1x2ax?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵b.?14??0??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设sf(x)为已知连续函数,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t2(3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?n2n?1n(a)发散(b)绝对收敛(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1a(c)an?1(d)an六、（本题满分10分）求幂级数??1n?1的收敛域，并求其和函数?1n?2nx. n七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,???z?1?y?3其中?是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3? ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生3一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x的概率密度函数为f(x)?十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?1?x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.0?x?1其它,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?yy?041988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数??(x?3)nn?1n3n的收敛域. (2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.(3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分i????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.?二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若f(t)?limx??t(1?1x)2tx,则f?(t)= _____________.(2)设3f(x)连续且?x?1f(t)dt?x,则f(7)=_____________.5(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]f(x)?2?1?x?020?x?1,则的傅里叶x(fourier)级数在x?1处收敛于_____________.4维列向量,且已知行列式a?4,b?1,则行列式a?b= _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)可导且f?(x0)?12,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是(a)与?x等价的无穷小(b)与?x同阶的无穷小(c)比?x低阶的无穷小(d)比?x高阶的无穷小。
考研数学一24年完整真题(1987-2016)
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设 可导且 则 时 在 处的微分 是
(A)与 等价的无穷小(B)与 同阶的无穷小
七、（本题满分10分）
求曲面积分
其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于
八、（本题满分10分）
设函数 在闭区间 上可微,对于 上的每一个 函数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅有一个 使得
九、（本题满分8分）
问 为何值时,现线性方程组
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十一、（本题满分6分）
设随机变量 与 独立,且 服从均值为1、标准差(均方差)为 的正态分布,而 服从标准正态分布.试求随机变量 的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)过点 且与直线 垂直的平面方程是_____________.
七、（本题满分6分）
问 为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设 为 阶可逆矩阵 的一个特征值,证明
(1) 为 的特征值.
(2) 为 的伴随矩阵 的特征值.
九、（本题满分9分）
设半径为 的球面 的球心在定球面 上,问当 为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
考研真题【1987-2016考研数学(一)真题答案与解析】2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛域为( )(A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121PP -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ． (13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E XY = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x-→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xyDI xy fx y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=-==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=-=-= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=-=-=- 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=-=-=- (3)()y x P x ''=-，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=-∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=-∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂-''''==⋅=-=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''-=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>． (4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP -=． 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x -=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )xe x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x -=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xyy x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂-⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +-=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdy ydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅-+-+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=--+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x-→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+--=2ln(1)limx x xx e→+-=22201()2lim x x x o x x x e→-+-=22201()2lim x x o x x e→-+=12e -=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂[][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=-()()22arctan 1arctan xx x f x x -+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =-∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +-⋅'=-=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=-=-，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=-=+∞， 所以当10k -<时，由零点定理可知()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k -≥时，则()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++-=-∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=->+- ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏， ()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=->+->+-> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =-⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'0(,)x I xdx f x y dy =-⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =-⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭， 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ0220122001100010022⎛-⎛⎫ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2200122000000022100010⎛-⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=-==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==-=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====-==--===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==-==--==-=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====-===．即(II)Z的所有可能取值为1,0,1-．{}{}111,13P Z P X Y=-===-=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==-=-=-=．Z XY=的概率分布为(III)因为XYCov XY E XY E X E Yρ-⋅==，其中()()1111010333E XY E Z ==-⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =-⋅+⋅+⋅=．所以()()()0-⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X的概率密度为202()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x n nnx i i i L f x eμμσσσσπσ=-----==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=-=--∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=-=-+∑2202211[()]2()nii x μσσ==--∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==-∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==-∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=-，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑ 442244112{()[()]}(3)σσσ=-=-=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ-，得到()2201~nii X Y n μχσ=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==-∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=-===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=-===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
考研数学历年真题(1987-2011)数一(免费-文字版无水印)
八、 （本题满分 8 分）
19 , 则 事 件 A 在一次 试验中出 现的 概率是 27 6 ” 的概 5
2 0 0 2 0 0 已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似. 0 1 x 0 0 1 (1)求 x 与 y.
则 (A)
(C) α1 , α 2 ,L , α s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) α1 , α 2 ,L , α s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
xdv 4 dv
1 2 2
(B)
ydv 4 ydv
1
四、(本题满分 6 分) (D)
十、 填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中 横线上) (1)设在三次独立试验中 ,事件 A 出现的概率相等,若已知 A 至少 出 现一次的 概率等于 ____________. (2) 若在区间 (0,1) 内任取两个数 , 则事件 ” 两数之和小于
1 0 0 1 0 0 已 知 AP BP, 其 中 B 0 0 0 , P 2 1 0 , 求 0 0 1 2 1 1
一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求幂级数
2 x
2
1 x 0 , 则 的 傅 里 叶 ( Fourier ) 级 数 在 x 1 处 收 敛 于 0 x 1
(4) 设 4 阶 矩 阵 A [α, γ 2 , γ 3 , γ 4 ], B [β, γ 2 , γ 3 , γ 4 ], 其 中
下的坐标是_____________. 二、(本题满分 8 分)
1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
1987-2017年考研数学一真题(打印版)
1987-2017年考研数学一真题(打印版)1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.X = 1(3)与两直线 1y t =-+ 及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_______.2z t =+ (4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰Ñ= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 二、(本题满分8分) 求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.)(1)设2()()lim 1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处(A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在(2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)nn k n n ∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a (C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑g 的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分） 求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x = 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X的方差为____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x =101x ≤≤其它,()Y fy =e 0y - 00y y >≤, 求2Z X Y=+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求幂级数1(3)3nn n x n ∞=-∑的收敛域.(2)设2()e ,[()]1x f x f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221xy z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰Ò二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),txx f t t x→∞=+则()f t '= _____________. (2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x = 22x 1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==AB则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)ss n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220ssk k k +++≠αααL(B)12,,,sαααL 中任意两个向量均线性无关(C)12,,,sαααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,sαααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg y x=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u ux y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x = 六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0k k r >为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M沿直线y =自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功. 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似.(1)求x 与.y (2)求一个满足1-=PAP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u x x du φφ-==⎰则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Yf y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)已知(3)2,f '=则(3)(3)lim2h f h f h→--=_____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lx y ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u=_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)当0x >时,曲线1sin y x x= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)水平渐近线,铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面224z xy =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c yy ++ (B)1122123()c y c yc c y +-+(C)1122123(1)c y c yc c y +--- (D)1122123(1)c y c yc c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰L 则1()2S -等于 (A)12- (B)14- (C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算 (1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数. 五、(本题满分7分)设0()sin ()(),x f x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程ln e xx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分） 问λ为何值时,线性方程组 13x x λ+=123422x xx λ++=+ 有解,并求出解的一般形式.1236423x x x λ++=+ 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明(1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA 为A 的伴随矩阵*A 的特征值. 九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B U 的概率()P A B U =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. (3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210xx ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标,而Y服从标准正准差(均方差)态分布.试求随机变量23Z X Y=-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________ . 1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x = 111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e(e )()xx f f x ---- (B)e(e )()xx f f x ---+(C)e(e )()xx f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n fx 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x + (C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα (B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ (D)1211212()2k k ++-+ββαββ 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求12ln(1).(2)x dx x +-⎰ (2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解). 四、(本题满分6分)求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy=+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'> 七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分） 质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F r 作用(见图).F r 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F r 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________. (2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===L 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________. (4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________. (5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2eln 2x(C)e ln 2x+ (D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求2lim .x π+→(2)设n r是曲面222236xy z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向nr 的方向导数. (3)22(),xyz dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220yzx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体. 四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、（本题满分7分） 设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分） 已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________. (2)随机地向半圆0y a<<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________. 十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,) f x y=(2)2e0,0 0x y x y-+>>其它求随机变量2Z X Y=+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dy dx=_____________. (2)函数222ln()u xy z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x = 211x -+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点xπ=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cosy y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,nnn n n na b a b a ba b a b a ba b a b a b⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ALLL L L LL其中0,0,(1,2,,).i ia b i n≠≠=L则矩阵A的秩()r A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)当1x→时,函数1211e1xxx---的极限(A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos)(nn a n∞=--∑常数0)a>(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,,x t y t z t==-=的所有切线中,与平面24x y z++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在 (4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f存在的最高阶数n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为 (A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)12011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求0x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)设()f x =21exx -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分） 在变力F yzi zxj xyk=++r r r r的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F r 所做的功W 最大?并求出W 的最大值. 八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分） 设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________. (2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e}XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Yμσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e )t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________. (2)由曲线 223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n aa nxb nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小 (2)双纽线22222()xy x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)44cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)241(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xLf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于 (A)e e 2x x-- (B)e e 2x x-- (C)e e 12x x-+- (D)e e 12x x -+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).xx x x→∞+ (2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰Ò其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分) 求级数20(1)(1)2n n n n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分） 已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x xx x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________. (2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为__________ (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)M P N << (C)N M P << (D)P M N << (2)二元函数(,)f x y 在点0(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、0(,)yf x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21nn a∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)xx a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,ac +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu==-⎰,求dydx、22d y dx 在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dx x x +⎰ 四、(本题满分6分) 计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解. 六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim 0,x f x x →=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积. 八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 122400xx x x+=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xyρ=-设,32X YZ =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xzρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)22cos xdx t dtdx ⎰= _____________. (3)设()2,⨯=a b c g 则[()()]()+⨯++a b b c c a g =_____________.(4)幂级数2112(3)n nnn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+ABA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1nnu=-+则级数(A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1nn u ∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有 (A)12AP P=B(B)21AP P =B(C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设10(),f x dx A =⎰求110()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222xy x+≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程. 六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证: (1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''='' 八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Yf y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设2lim()8,xx x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =+在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点 (D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),nan >=L 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )nnn n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数22,(0)0,(0)0,()()(),x f f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b - (B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b -- (D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2)设1110,1,2,),n xx n +===L 试证数列{}nx 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay=-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),xf t dt x ⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分） 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=AA的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分） 已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该。