第二讲多重纳什均衡
多重均衡
博弈论与行为经济学章平pzhng@反应函数法乙正面q 反面1-q1-1甲正面p-11-11反面1-p1-1期望支付函数混合策略均衡eg1混合策略均衡eg1混合策略均衡eg1多重纳什均衡及甄别•标准一：帕累托占优猎鹿博弈Stag Hunt Game两个猎人以狩猎为生，主要有两种猎物——鹿和兔子，两人一起猎鹿，才能猎获一只鹿，如果单枪匹马，只能打到4只兔。
乙猎鹿打兔104甲猎鹿10004打兔44帕累托改进•就是一项政策能够至少有利于一个人，而不会对任何其他人造成损害。
所谓“帕累托最优”就是上述一切帕累托改进的机会都用尽了，再要对任何一个人有所改善，就不得不损害另外一些人。
•帕累托最优的想法是从多目标数学规划得到的。
•比如城市交通，除了政府办的公共交通，私人也能办小公交，和大公交竞争；•在医疗系统除了原有的低收费的系统，另外开辟了专家挂号，收费高一些；•学校有公立的，也有了私立的。
•股票市场也有双轨制，原有的股票是非流通股，新股票可以自由买卖，是流通股。
•新人新办法、老人老办法也是双轨制。
•这些措施大大地缓解了改革中可能有的矛盾，谁的利益都没有受损。
•房地产市场是一步取消了福利分房，没有经过双轨制就建立了房地产市场。
标准二：风险占优乙左右98甲上9007下87偏离损失比较法两害相权取其轻帕累托占优与风险占优的关系•对参与人的基本假定存在差异：帕累托占优适用于符合完全理性假定的参与人风险占优适用于判断搭档（对手）会犯错误，不信任；判断对手很可能是风险厌恶型的参与人。
基本原则：“在怕累托标准和风险标准之间，理论给帕累托占优以优先权，而风险占优只有在参与人面临不知道选哪个均衡好的不确定性时，才变得重要。
当一个均衡符合帕累托占优时，参与人一定选择这个均衡，不确定性也就不存在了。
”谢林的《冲突的策略》•其中一个例子：你和其他参与人均从下面一组数中选择一个数，并画上圈：7，100，13，261，99，666。
如果你们选择相同则赢利越多。
第2章_纳什均衡
重复剔除与理性共识
重复剔除不仅要求每个人是理性的，而且要求每个人 知道其他人是理性的，每个人知道每个人知道每个人 是理性的，如此等等，即理性是“共同知识”（共识） C1 R1 10,4
C2
1, 5
C3
98,4
R2
R3
9, 9
1,98
0, 3
0,100
99,8
100,98
这个博弈只要求 一阶理性共识就 可以预测均衡结 果。 如果把（下－左） 的第一个数字改为 11呢？
博弈的基本概念（2）
支付（payoffs)：每个人在不同战略组合下得到 些什么？依赖于所有参与人的选择； 均衡（equilibrium)：所有参与人最优战略的组 合； 结果（outcomes)：我们所感兴趣的东西。
静态博弈
最简单的博弈：所有参与人同时选择行 动，并且只选择一次； “同时”是一个信息概念，而不一定与 日历上的时间一致；
0，0
-1，1 0，0 1，-1
虫
杠子
混合战略纳什均衡
有些博弈没有“纯战略”纳什均衡，但 有混合战略纳什均衡，如监督博弈。
偷懒
监督 不监督 1，－1 －2，3
不偷懒
－1，2 2，2
给定工人偷懒，老板的最优 选择是监督；给定老板监督， 工人的最优选择是不偷懒； 给定工人不偷懒，老板的最 优选择是不监督；给定老板 不监督，工人的最优选择是 偷懒；如此循环。
1 q1 P(Q) cq1 q1 (a q1 q2 c) 2 q2 P(Q) cq2 q2 (a q1 q2 c)
1
q
双寡头竞争（续）
企业最大化利润的一阶条件为：
a c q2 q1 R1 (q2 ) 2 2 a c q1 q2 R2 (q2 ) 2 2
第二讲纳什均衡
1，0 1，3
下 0，4 0，2 2，0
0，4 0，2
左
中
1，0 1，3
严格下策反复消去法
• 智猪博弈
小猪
按 等待
大
按
5，1 4，4
猪
等待 9，－1 0，0
严格下策反复消去法
• 适用面：
– 严格下策反复消去法的适用面比上策均衡要更大些 – 但也有很多博弈问题没有严格下策：田忌赛马、猜硬币、情
侣博弈、交通博弈、石头剪刀布、、、－－此时，该方法失 效。 – 最大的用处：简化博弈
严格竞争博弈和混合策略的引进
一、猜硬币博弈
盖 正面 硬 币 反面 方
猜硬币方
正面
反面
-1， 1
1， -1
1， -1
-1， 1
（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略－－保持随机性
这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念
混合策略、混合策略博弈 和混合策略纳什均衡
• 混合策略：在博弈 G {S1, Sn;u1, un} 中，博弈方i 的策略 空间为 Si {si1, s，ik }则博弈方i 以概率分布
• 画出智猪博弈的得益矩阵
“智猪博弈”(boxed pigs)
•
小猪
按 等待
大
按
5，1 4，4
猪
等待 9，－1 0，0
经典博弈之四－－猎人博弈
• 设想在古代的一个地方，有两个猎人。那时候，狩猎是人们的 主要生计。为了简单起见，假设主要的猎物只有两种： 鹿，兔子。 在古代，人类的狩猎手段还比较落后，弓箭威力也有限。在这样的 条件下，我们可以进一步假设，两个猎人一起去猎鹿，才能猎获一 只鹿，如果一个猎人单兵作战，他只能打到4只兔子。如果他打兔 子，你去猎鹿，他可以打到4只兔子，而你一无所获，得0。
第二讲多重纳什均衡.ppt
香精包子的思考
香精包子——其他包子企业如何做？
参与人根据其共同观测到的信号选择行动。
•
博弈论第三章
4，4 -8，-2 -2，-8 -2，-2
17
第三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （一）案例：是否采用新技术
厂商1
厂商2 新技术 旧技术 新技术 2,2,2 5,0,5 旧技术 0,5,5 1,1,10 厂商3：新技术 厂商2 新技术 旧技术 新技术 5,5,3 10,1,1 旧技术 1,10,1 2,2,2 厂商3：旧技术
（一）案例：计算机产品的兼容性
企业C
3.5
英
寸
盘
5.25英寸盘
3.5英寸盘
企业A
8,8 2,3
3,2 6,6
5.25英寸盘
•
博弈论第三章
4
第三节 多重纳什均衡的选择标准
一、帕累托优势标准：得益最大
（二）帕累托优势标准
按照支付大小筛选纳什均衡
（3.5英寸盘，3.5英寸盘）
8,8 2,3
二、风险优势标准：风险更小
（三）纳什均衡的选择标准：风险优势标准
比较不同纳什均衡之间的风险状况，风险小的纳什均衡 优先
帕累托标准还是风险标准？ 1.人会犯错误； 2.大多数人是风险厌恶者。 帕累托标准：理论 风险优势标准：实践
• 博弈论第三章
9，9 8，0
0，8 7，7
12
第三节多重纳什均衡的选择标准
（二）分析：偏离损失比较法
2.乙：单独偏离均衡的损失 （1）偏离“作弊”：9-8=1
甲坚守
（2）偏离“不作弊”：7-0=7
9，9 8，0
多重纳什均衡的选择问题
多重纳什均衡的选择问题在博弈论和信息经济学中，我们常常面临一个问题：在存在多种纳什均衡的情况下，如何选择最优的均衡点。
这种选择问题涉及到市场竞争、政府决策、引入新技术等多个领域，在选择最优的策略时需要考虑众多的因素和权衡。
本文将从纳什均衡的定义出发，介绍多重纳什均衡的产生原因及其影响因素，并探讨选择最优均衡点的方法。
1. 纳什均衡的定义纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈中，每个参与者选择最优策略的状态。
具体地说，如果对于每个参与者的策略选择，其他参与者的策略都是最优的，那么这种状态就是纳什均衡。
例如，在一个两人博弈中，A和B的策略分别为合作和背叛，如果A选择合作，B 也选择合作，那么这种状态就是一个纳什均衡。
因为在这种情况下，A不会改变他的策略，因为他没有更好的选择了，B也不会改变，因为他的策略也是最优的。
2. 多重纳什均衡的产生原因在现实生活中，很多博弈存在多种纳什均衡的情况。
这种现象主要是因为以下两个原因所致。
2.1 非对称性在博弈中，参与者的利益和策略选择可能存在非对称性。
例如，在一个拍卖中，卖家和买家的目的可能是不同的。
卖家想要卖出商品，而买家则想以最低的价格买到这个商品。
因此，在这种情况下，可能存在多种纳什均衡。
2.2 多站点竞争在多站点竞争中，参与者的收益和策略选择可能会受到其它站点的影响。
例如，在一个城市中，如果只有一家咖啡店，那么这家咖啡店就可以定价较高，因为消费者没有其他选择。
但是，如果有多家咖啡店，则它们之间的定价策略和市场份额就会相互影响，可能存在多种纳什均衡。
3. 选择最优均衡点的方法在存在多重纳什均衡的情况下，如何选择最优的均衡点是一个复杂的问题。
以下是一些常用的方法：3.1 政策干预政府可以通过政策干预来引导市场选择最优的均衡点。
例如，在城市中建造公共场所，例如咖啡厅、购物中心等，以增加市场竞争和选择产品的范围。
3.2 引入新技术引入新技术也可以改变市场竞争的格局，在这个过程中可能会产生新的纳什均衡状态。
第二讲纳什均衡
习题：齐威王田忌赛马矩阵
上中下 上中下
田忌
上下中 中上下 中下上 下中上 下上中
+3，-3 +1，-1 +1，-1 -1，+1 +1，-1
+1，-1 +3，-3 -1，+1 +1，-1 +1，-1
+1，-1 +1，-1 +3，-3 +1，-1 -1，+1
+1，-1 +1，-1 +1，-1 +3，-3 +1，-1
在第二行1 下划线
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
20
第三节 纳什均衡
三、寻找纳什均衡的方法 （二）相对优势策略划线法 3.设定甲靠左行（第一行） 乙： 1>-1 乙相对优势策略：靠左行
在第一列 1下划线
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
21
第三节 纳什均衡
四、古诺模型 max i 2.企业i的目标： π1=？，π2=？ 3.企业利润最大化的一阶、二阶条件
1 0 q1 2 0 q2
2015年12月6日
2 1 2 0 2 q1 2 2 2 0 2 q 2
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
35
第三节 纳什均衡
27
第三节
纳什均衡
要点：（1）箭 头指向的支付 大；（2）只有 一方单独改变 策略
三、寻找纳什均衡的方法 （三）箭头指向法 2.分析：（适度放牧，过度放牧） （1）给定乙不变，甲改变：0→10 （箭头向上） （2）给定甲不变，乙也不变
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
博弈智能多重均衡与优化
吴建设
多重均衡与优化
1、占优策略与智猪博弈 2、博弈的多重纳什均衡 3、帕累托最优均衡 4、帕累托最优均衡与纳什均衡的关系 5、如何得到帕累托最优均衡
1、占优策略与智猪博弈
• 在博弈论（Game Theory）中，“智猪博弈”是一 个著名的例子。假设猪圈里有一头大猪、一头小 猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪 食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食 进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本 ，若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是 9∶1；同时到槽边，收益比是7∶3；小猪先到槽 边，收益比是6∶4。那么，在两头猪都有智慧的 前提下，最终结果是怎样的？。
，新的一轮战争就又会出现。直到下一个平衡的出现。
3、帕累托最优均衡
• 帕累托（ 1848年7月15日- 1923年8月19日）：经济 学家、社会学家。洛桑大学政治经济学教授，论著 有《政治经济学讲义》、 《普遍社会学》、 《社 会主义体制》、 《事实与理论》、 《民主制的变 革》，当过意大利铁路公司的总经理，曾出任（B. 墨索里尼的）意大利政府驻国联代表。
0，0
足球场
0，0
2，1
2、博弈的多重纳什均衡
进门博弈
先进
后进
先进
-1，-1
2，1
后进
1，2
-1，-1
多重纳什均衡：产品标准
• 许多博弈可能有多个纳什均衡
3.5“
3.5“
8, 8
5.5“
2, 3
5.5“
这个博弈被称为
“协调博弈”：有
两个纯战略纳什均衡，
3, 2
一个混合战略均衡。
哪一个将出现呢？
6, 6
纳什均衡的存在性与多重性
纳什均衡的存在性与多重性对于数学家来说，一个数学概念的存在性与唯一性是特别需要加以关注的。
这是因为，从形式逻辑角度看，如果某个事物并不存在，那么关于这个杜撰中的事物所给出的任何陈述或判断都可认为是正确的或错误的，因为对于不存在的事物来说，任何关于它的陈述或判断都不可能加以证伪。
所以，倘若某个概念所对应的事物并不存在。
那么，关于这个概念所给出的研究结论都必然不存在被证伪的可能。
因而根据波普尔的证伪主义观点，这样的研究不具备科学上的意义。
所以，我们在对任何新提出来的数学概念加以系统研究之前，首先需要弄清楚所研究的对象事物是否存在。
有许多被称为伪科学的东西，它们之所以被人们认为是“伪科学”的原因就是它们大肆谈论的东西并不存在或并未被证实其存在性。
譬如，所谓的特异功能或“超灵学”并未得到证实，而UFO研究迷们至今也未能拿出一件存在球外生命的证据，所以，特异功能学或“超灵学”或“不明飞行物学”实际上都可被归入伪科学。
除了存在性之外，概念事物的唯一性也是数学家们所关心的问题。
从纯理论的兴趣上看，数学家们更多地是从审美的角度上看待概念的唯一性，但从波普尔的证伪主义哲学看，模型均衡解的唯一性关系到模型的预测功能，从而是科学理论应基本具有的特征。
我们在第二章中曾指出，理论的预测功能是判别理论的科学性的准绳，而在第三章中，我们提出用纳什均衡作为模型的预测结果。
按照这样的逻辑，一个自然的推论就是：模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的唯一性。
因为倘若纳什均衡不是唯一的，那么就难以根据模型对即将出现的结果加以预测，这种不确定性对于科学理论来说是不存在的。
再加上前面谈到的存在性问题，我们可以这样说，模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的存在性和唯一性，因为这正是科学理论所具有的基本性质。
博弈论目前发展的情况是这样的：已经证明在非常一般的情况下，纳什均衡是存在的，这是一个好的结果；但是，在许多情形，模型的纳什均衡解不是唯一的，这被称为纳什均衡的多重性问题。
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策略：把武汉、长春、长沙、哈尔滨 四座城市分成两组，每组2个城市
支付：甲乙分法相同——奖励XX元； 甲乙分法不同——奖励0元
2020年2月29日
博弈论第三章
13
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢ 三、聚点均衡 ➢ （二）聚点均衡 ➢ 1.含义：多重纳什均衡中，人们预期最可能出现
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（二）分析：偏离损失比较法 ➢4.结论 ➢（1）偏离（不作弊，不作弊）的损失
更大：49 ➢（2）不偏离（不作弊，不作弊）
2020年2月29日
9，9
8，0
博弈论第三章 第二讲多重纳什均衡
0，8 7，7
11
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢（二）颤抖手均衡 ➢2.定义：m——mistake ➢n人博弈中，对于每一个博弈方i，存
在严格混合策略序列 pim ，使下列条件
得到满足：
➢（2）对于任何可选择的混合策略 pi'i
u ( p , p ) u ( p ', p ) i 2020年2月29日
i
m
博i弈论第三章 i
➢
企业乙
➢
好产品 差产品
➢
好产品 4，4
➢企业甲 ➢
差产品 -2，-8
-8，-2 -2，-2
2020年2月29日
博弈论第三章
15
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢四、相关均衡 ➢（二）相关均衡 ➢参与人通过一个大家都能观测到的共同
信号选择行动，由此决定博弈的结局。
鸣金收兵：两位 势均力敌的大将 均接受的体面结 束战斗的信号。
➢五、抗共谋均衡 ➢（一）案例：是否采用新技术
厂商1
厂商2
新技术 旧技术
新技术 2,2,2
5,0,5
旧技术 0,5,5
1,1,10
厂商3：新技术
2020年2月29日
厂商1
厂商2 新技术 旧技术
新技术 5,5,3 10,1,1 旧技术 1,10,1 2,2,2
厂商3：旧技术
博弈论第三章
18
第二讲多重纳什均衡
的均衡。 ➢ 2.标准
➢根据社会文化习惯、博弈历史等信息达到均衡 ➢ 3.实质
➢规律性 ➢强调文化与环境的作用
2020年2月29日
新婚夫妻的家务分担博弈 ；
博教弈论室第中三章的座位分配博弈。 14
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢四、相关均衡
➢（一）案例：“地域连坐”下的产品 质量博弈
➢ ➢ ➢ ➢A国 ➢
战争与和平
C国
鹰
鸽
鹰
-5，-5
8，-10
-10,8
10,10
鸽
2020年2月29日
博弈论第三章
1
第二讲多重纳什均衡
问题：博弈的最终结果？
鹰鸽博弈特征
两个（多个）纳什均衡
2020年2月29日
博弈论第三章
2
第二讲多重纳什均衡
第三章 混合策略纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
➢五、抗共谋均衡 ➢（二）共谋偏离（集体偏离）均衡激励 ➢2.如果集体偏离（5,5,3） ➢（1）1与2集体偏离——（2,2,2） ➢1与2支付下降：无集体偏离动机 ➢（2）2与3集体偏离——（5,0,5） ➢2的支付下降：无集体偏离动机
2020年2月29日
博弈论第三章
20
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小
➢（一）案例：串通作弊博弈
➢
逆天的帕 累托优势
学生乙
➢
标准 作弊 不作弊
➢
作弊
➢学生甲
➢
不作弊
9，9 8，0
0，8 7，7
2020年2月29日
博弈论第三章
7
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小 ➢（二）分析：偏离损失比较法 ➢1.甲：单独偏离均衡的损失 乙坚守 ➢（1）偏离“作弊”：9-8=1 ➢（2）偏离“不作弊”：7-0=7
i
m
i
28
第二讲多重纳什均衡
穿针引线——学会宽容
➢纳什均衡：每一个人都把线穿入针眼 ➢宽容：某参与人不能因为其他参与人
可能暂时无法把线穿进针眼而故意不 把线穿进针眼
宽容是一 种美德
2020年2月29日
博弈论第三章
29
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢（三）案例
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢（三）案例 ➢3.结果
➢颤抖手均衡：(B,B)
2020年2月29日
博弈论第三章
33
第二讲多重纳什均衡
2020年2月29日
博弈论第三章
31
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢（三）案例 ➢2.颤抖的手 ➢（2）考虑博弈方1可能犯错误 ➢博弈方1的错误——可能选A或B ➢博弈方2的反应：选B
2020年2月29日
博弈论第三章
32
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
2020年2月29日
博弈论第三章
9
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢二、风险优势标准：风险更小
➢（二）分析：偏离损失比较法
➢3.偏离损失比较
➢比较原则：二人偏离“作弊”的损失 VS偏离“不作弊”的损失
➢1×1＜7×7
9，9 0，8
8，0 7，7
2020年2月29日
博弈论第三章
10
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢五、抗共谋均衡 ➢（二）共谋偏离（集体偏离）均衡激励 ➢1.如果集体偏离（1,1,10） ➢1与2集体偏离——（2,2,2） ➢1与2支付上升：具有集体偏离动机 ➢（1,1,10）非抗共谋均衡
2020年2月29日
博弈论第三章
19
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢1.纯策略纳什均衡 ➢（A,A),(B,B),(C,C) ➢帕累托最优的纳什均衡：（C,C）2020年2月29日博 Nhomakorabea论第三章
30
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢（三）案例 ➢2.颤抖的手 ➢（1）考虑博弈方2可能犯错误 ➢博弈方2的错误——可能选A或B ➢博弈方1的反应：选B
2020年2月29日
博弈论第三章
3
第二讲多重纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
➢一、帕累托优势标准：得益最大
➢（一）案例：计算机产品的兼容性
➢
企业C
➢
3.5英寸盘 5.25英寸盘
➢
3.5英寸盘
8,8
3,2
➢企业A
2,3
6,6
➢
5.25英寸盘
2020年2月29日
博弈论第三章
4
第二讲多重纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
➢一、帕累托优势标准：得益最大 ➢（二）帕累托优势标准 ➢按照支付大小筛选纳什均衡
➢（3.5英寸盘，3.5英寸盘）
8,8
3,2
2,3
6,6
2020年2月29日
博弈论第三章
5
第二讲多重纳什均衡
情侣博弈？
➢关键：博弈方之间的协调 ➢先动优势。 ➢女士优先？
2020年2月29日
博弈论第三章
6
第二讲多重纳什均衡
➢五、抗共谋均衡 ➢（二）共谋偏离（集体偏离）均衡激励 ➢2.如果集体偏离（5,5,3） ➢（3）1与3集体偏离——（0,5,5） ➢1的支付下降：无集体偏离动机 ➢（5,5,3）——抗共谋均衡
2020年2月29日
博弈论第三章
21
第二讲多重纳什均衡
金无足赤，人无完人
➢人非圣贤，孰能无 过=>
➢要宽容
➢Trembl一in个g人用-h手a抓n东d西 perfect equilibrium ➢（一）颤时可，能抖手抓一 不手颤 住抖 他， 想就 抓 ➢某一参与的东人西：的误非蓄非意错蓄意错误
➢博弈偏离均衡路径的原因
2020年2月29日
博弈论第三章
24
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢六、颤抖手精炼均衡 ➢（二）颤抖手均衡 ➢1.基本思想 ➢给定所有参与人均可能犯错误，如果
➢（1）
lim
m
pi m
pi
2020年2月29日
尽管每一个博弈方可能犯错误， 但错误博弈收论敛第三于章零——总有一天能成功 26
第二讲多重纳什均衡
穿针引线——功夫不负有心人
➢手颤抖 ➢若试的次数足够
大，总能够成功
2020年2月29日
博弈论第三章
27
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
某策略组合仍为最优策略组合，则实 现颤抖手均衡
如何理解？
2020年2月29日
博弈论第三章
25
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
➢六、颤抖手精炼均衡
➢（二）颤抖手均衡
➢2.定义: m——mistake
➢n人博弈中，对于每一个博弈方i，存
在严格混合策略序列 pim ，使下列条件
得到满足：
2020年2月29日