混合策略纳什均衡(上)2013
混合策略纳什均衡
02
混合策略纳什均衡的基本理论
纳什均衡的定义与性质
纳什均衡的定义
在博弈中，如果每个玩家都采取自己的最优策略，那么整个博弈会达到一种均 衡状态，即所有参与者的利益达到最大化。
纳什均衡的性质
纳什均衡是一种自我稳定的状态，即使受到外部干扰，也会迅速恢复到原始状 态。此外，纳什均衡也是最优的，因为它使得每个参与者的利益都达到最大化 。
其次，现有的研究往往只关注特定的博弈模型， 对于更一般化的博弈模型，尤其是对于连续型博 弈和多阶段博弈的研究还比较缺乏。
首先，混合策略纳什均衡的概念和性质仍需进一 步深化和研究。例如，对于非完全信息博弈，如 何准确地刻画混合策略纳什均衡点的数量和分布 等问题仍需探索。
最后，现有的研究主要集中在理论层面，对于如 何将混合策略纳什均衡应用到实际问题中，如何 设计和制定有效的混合策略等问题还需要进一步 探讨。
未来研究方向与挑战
未来研究可以进一步拓展混合策略纳什均衡的应用领域，例如在经济学、政治学、社会学等领域的应 用。
另外，针对现有的研究不足，未来研究可以深入探索混合策略纳什均衡的性质和计算方法，以及如何设 计和制定有效的混合策略等问题。
此外，未来的研究还可以进一步拓展混合策略纳什均衡的理论框架，例如在多阶段博弈、不完全信息博 弈、非线性博弈等领域的研究。
略纳什均衡来分析。
在生物学领域的应用
在生物学中，混合策略纳什均衡可以用来研究生物种 群的进化稳定性和生态平衡。
在生态系统中，生物种群可以通过选择不同的繁殖、 迁徙、捕食等策略来适应环境变化，这种博弈关系可 以通过混合策略纳什均衡来分析。
在其他领域的应用
在社会学中，混合策略纳什均衡可以用来研究社会群 体中的合作与竞争关系。
3-混合策略的纳什均衡
博弈论教学/混合策略的纳什均衡出自MyKnowledgeBase< 博弈论教学Bread crumbs: Main Page > 博弈论教学/混合策略的纳什均衡目录■1 复习■2 混合策略(Mixed strategy)■2.1 举例/Example■2.2 概念■2.3 纯策略和混合策略■2.4 混合策略的争议■3 混合策略的纳什均衡■3.1 基本概念■3.2 混合策略纳什均衡的存在性/纳什定理■3.3 学术争议与批评■4 混合策略纳什均衡举例■4.1 社会福利博弈Social Welfare Game■4.1.1 博弈分析(方法1:收益无差异)■4.1.2 博弈分析（方法2：图形分析法）■4.1.3 博弈分析(方法3：导数(Derivative)极值法)■4.2 普通例子■4.3 审计博弈(Tax Game)■4.4 激励的悖论[5]■4.5 求解纳什均衡的一般方法■5 多重纳什均衡■5.1 多重纳什均衡举例■5.1.1 夫妻之争■5.1.2 制式问题■5.1.3 市场机会博弈■5.2 多重纳什均衡分析■5.2.1 帕累托上策均衡（Pareto Dominated Equilibrium）■5.2.1.1 帕累托最优Pareto optimality■5.2.1.2 帕累托上策均衡(Pareto Dominated Equilibrium)■5.2.1.3 举例分析■5.2.2 风险上策均衡(Risk-dominant Equilibrium)■5.2.3 聚点均衡(Focal Points Equilibrium)■5.2.4 相关均衡■5.2.5 抗共谋均衡(coalition-proof Nash equilibrium)■6 纳什均衡的意义■7 作业■8 参考文献pure strategy）相对应。
混合策略：在博弈中，博弈方的策略空间为，则博弈方i以概率分布随机在其选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策略”，其中，对都成立，且。
讲座 混合策略纳什均衡
你 投资 消费
猎鹿博弈
混合策略均衡
什么是策略？ －参与者的一个完全应急计划； －在各种情况下其它参与者认为该参与 者可能采取的行动。 混合策略是什么意思？ －参与者随机选择他的纯策略。 －其它参与者不能确定他将采取的行动。
பைடு நூலகம் 混合策略纳什均衡
假设参与者选择混合策略。一个混合策略 架构 是混合策略纳什均衡的充分 必要条件是，对每一参与者i和每一 有
换言之，对每一个i和 Si是一个并不 比其它 Si 差的对 的最佳反应。
猎鹿博弈
假定：参与者2认为， 参与者1猎兔的概率是p p 1-p 他猎鹿的收益是： 他猎兔的收益是： 她对猎鹿猎兔无所谓的充分必要条件是：
猎鹿博弈中的混合策略均衡
猎鹿博弈中的最佳反应
讲座7 混合策略纳什均衡
14.12 博弈理论 穆罕默德·伊尔蒂兹
路线图
1、一些 2×2博弈 2、混合策略纳什均衡 3、小测验 4、应用与实例 1）高搜索成本下的价格竞争 2）鹰-鸽博弈 3）猜硬币
鹰-鸽博弈
上周的小测验问题
• 不用讨论，每位同学在纸上写下要么投 资要么消费。助教将把你们随机配对。 你的成绩是：
混合纳什均衡
混合纳什均衡纳什均衡是指这样一种均衡：在这一均衡中，每个博弈参与人都确信，在给定其他参与人战略决定的情况下，他选择了最优战略以回应对手的战略。
”也就是说，所有人的战略都是最优的。
而讲解“纳什均衡”的最著名的案例就是“囚徒的困境”。
a,b两个囚徒，a坦白b抵赖，b判10年，a判1年.若两人均坦白则各判5年，若两人均抵赖则都判2年。
a，b 面临抉择。
显然最好的策略是双方都抵赖，结果是大家都只被判2年。
但是由于两人处于隔离的情况下无法串供，按照亚当·斯密的理论，每一个人都是一个“理性的经济人”，都会从利己的目的出发进行选择。
这两个人都会有这样一个盘算过程：假如他招了，我不招，得坐10年监狱，招了才5年，所以招了划算；假如我招了，他也招，得坐5年，他要是不招，我就只坐1年，而他会坐10年牢，也是招了划算。
综合以上几种情况考虑，不管他招不招，对我而言都是招了划算。
两个人都会动这样的脑筋，最终，两个人都选择了招，结果都被判5年刑期。
原本对双方都有利的策略(抵赖)和结局(被判1年刑)就不会出现。
这就是著名的“囚徒困境”。
它实际上反映了一个很深刻的问题，这就是个人理性与集体理性的矛盾。
混合策略均衡求解的一个原则是混合策略均衡赋予正概率的所有纯策略的期望收益相等。
假设这是个两个玩家的游戏。
玩家a有2种纯策略a和b，不能相互支配。
玩家b有2种纯策略c和d，不能相互支配。
设a选a的几率是p，则选b的几率为1-p；设b选c的几率是q，则选d的几率为1-q当a取某一个p=p0，b获得的总效用不为自己q的取值而改变；b取某一个q=q0，a获得的总效用不为自己p 的取值而改变，此时我们说（p0，1-p0）和（q0，1-q0）是一对混合策略下的纳什均衡。
混合策略纳什均衡：在n个参与人的博弈G={S1，...Sn;u1，...un}中，混合策略组合构成一个纳什均衡，如果对于所有的i=1，2...，n下式成立：也就是说，如果一个策略组合使任何一个参与人的策略都是相对于其他参与人的策略的最佳策略，这个策略就构成一个纳什均衡，不管这个策略是混合策略还是纯策略。
博弈论Game Theory2
划线法
在具有策略和利益相互依存的博弈问题中，各个 博弈方的得益既取决于自己选择的策略，还与其 他策略方选择的策略有关。因此，博弈方在决策 时必须考虑其他博弈方的存在和策略选择。 依据这种思想，科学的决策思路应该是：找出自 己针对其他博弈方每种策略和策略组合的最佳对 策，即自己的可选策略与其他博弈方每种策略配 合，给自己带来最大得益的策略，然后通过对其 他博弈方策略选择的判断，预测博弈的可能结果 和确定自己的最优策略。
举例
古诺的寡头模型 设一市场有两家厂商生产同样的产品。如果厂商1 的产量为q1，厂商2的产量为q2，则市场总产量为 Q = q1 + q2 。设市场出清价格P（可以将产品全 部卖出去的价格）是市场总产量的函数P = P（Q） = 8 -Q。再设两厂商的生产都无固定成本，且每 增加一单位产量的边际成本相等，C1 = C2 = 2， 即它们分别生产q1和q2单位产量的总成本分别为2 q1和2 q2 。最后强调两厂商同时决定各自的产量， 即他们在决策之前都不知道另一方的产量。
求解纳什均衡
博弈方就是n个农户，他们各自的策略空间就是他 们可能选择的羊群数目qi(i=1,2, …,n)，取值范围， 当各户羊群数为q1, …qn时,在公共草地上放牧羊群 的总数为Q= q1+ q2+…+ qn,,每只羊的产出应是羊 群总数Q的函数V=v(Q)=v(q1+ q2+…+ qn).假设每 只羊的成本是不变的常数c,则农户i养qi只羊的得益 函数为:
u i q i V ( Q ) q i c q iV ( q 1 q 2 q n ) q i c
续
假设 n 3 , 即只有三个农户，每只 羊的产出函 数为 V 100 Q 100 ( q 1 q 2 q 3 ), 而成本 c 4 .这时，三个农户的得益 函数分别为 u 1 q 1 [100 ( q 1 q 2 q 3 )] 4 q 1 u 2 q 2 [100 ( q 1 q 2 q 3 )] 4 q 2 u 3 q 3 [100 ( q 1 q 2 q 3 )] 4 q 3 把上述得益函数看作连 续函数。
博弈论混合策略纳什均衡名词解释
博弈论混合策略纳什均衡名词解释
博弈论是研究决策者在相互影响下进行决策的数学理论。
在博
弈中，混合策略指的是玩家以一定的概率分布来选择纯策略的组合，而纳什均衡是指在博弈中，每个玩家都采取最优的策略，假设其他
玩家的策略不变。
混合策略纳什均衡则是指在博弈中，玩家以一定
的概率分布来选择策略的组合，并且不存在其他策略组合可以使得
任何一个玩家通过改变自己的策略来获得更好的收益。
换句话说，
混合策略纳什均衡是玩家在采取混合策略的情况下达到的稳定状态，使得任何玩家都无法通过改变自己的策略来获得更好的结果。
混合
策略纳什均衡在博弈论中具有重要的理论和实际意义，可以帮助分
析和预测玩家在博弈中的最优决策行为，以及博弈过程中可能出现
的稳定状态。
在实际应用中，混合策略纳什均衡被广泛运用于经济学、政治学、生物学等领域，对于理解和解决实际问题具有重要的
指导意义。
混合策略纳什均衡
03 混合策略纳什均衡的证明 方法
反证法
总结词
通过假设不成立来证明均衡的存在。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，它首先假设与结论相反的命题成立，然后通过逻辑推理和数学推导，得出矛盾的 结论，从而证明原命题的正确性。在证明混合策略纳什均衡的存在时，反证法可以用来证明当其他玩家采取了最 优策略时，某个玩家采取混合策略能够达到最优结果。
唯一性意味着在给定对手策略的情况下，每个参与者都只有一个最优反应，从而 避免了复杂的策略互动和不确定性。
存在性
混合策略纳什均衡的存在性是指在某 些博弈中，至少存在一个策略组合， 使得每个参与者在给定其他参与者策 略的情况下，采用混合策略是最优的 。
存在性通常通过数学证明和计算机搜 索等方法来证明，但并不是所有博弈 都有混合策略纳什均衡。
混合策略纳什均衡
目录
CONTENTS
• 混合策略纳什均衡的定义 • 混合策略纳什均衡的特性 • 混合策略纳什均衡的证明方法 • 混合策略纳什均衡的应用场景 • 混合策略纳什均衡的局限性 • 混合策略纳什均衡的发展前景
01 混合策略纳什均衡的定义
定义
混合策略纳什均衡是一种博弈论中的均衡概念，它描述了在 给定对手策略的情况下，参与者如何选择最优策略以最大化 自己的期望收益。
代数法是一种通过数学符号和公式进行推 理和证明的方法。在证明混合策略纳什均 衡的存在时，代数法可以用来推导和证明 纳什均衡的条件和性质，利用代数性质和 技巧来证明均衡的存在。
04 混合策略纳什均衡的应用 场景
经济学
竞争策略分析
混合策略纳什均衡在经济学中被用于分析竞 争策略，特别是在不完全竞争市场和寡头垄 断市场中。通过混合策略纳什均衡，可以研 究企业在不确定环境下的最优反应，以及企 业如何通过调整其策略来应对竞争对手的行 为。
博弈论4
聚点均衡和相关均衡
聚点均衡 例 城市博弈 两个人把上海、哈尔滨、南京、长春分为 两组，每组两个城市。规定两人相同则都 得100元，两人不同则什么都没有。怎么 分组？ 夫妻博弈中双方的生日、性格特点、重要 节日等都可以作为聚点的根据。
2013-7-13 25
V
小偷得益 （偷）
0
Pg* Pg
*’
1
Pt守卫睡的概率
-p
-p1
2013-7-13
11
用横坐标表示小偷偷的概率，纵坐标
表示保安的期望得益，则S到-D的连 线与横轴的交点就是小偷的混合策略。 另一个图形中V和-P的连线与横轴的 交点就是保安的混合策略。 我们还会发现如下有趣的现象。为了 减少偷窃，加重对小偷的惩罚会奏效 吗？加重惩罚→暂时小偷减少偷窃→ 保安提高睡觉的概率→小偷偷窃的期 望得益增加→小偷继续偷窃
2013-7-13 18
战争与和平博弈
国家2
战争 战争
国家1 和平 -5，-5 -10，8
和平
8，-10 10，10
（战争，战争）、（和平，和平）是两个纯 策略纳什均衡，双方和平具有帕累托优势。
2013-7-13 19
上述分析仍然有疑问，既然理性的国家之间不 会选择战争，那么世界历史上为什么会有那么 多战争呢？答案是决策者考虑短期利益、个人 或小集团利益更多；决策者缺乏理性；局部或 特定时期的战争的利益比上述博弈假设的大等。 还有先发制人对自己较为有利，对方选择战争 时自己还击比不还击损失小等都使得战争的机 会增大。 寡头市场的价格竞争与两国之间的战争与和平 的选择很相似。企业之间的价格竞争有时就是 一场战争。
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随机地从纯策略集合中选择一种纯策略作为实际的 行动。
新浪微博：一花一世界economics
2013年10月29日
混合策略包括原来的纯策略
10
混合策略概念是原来纯策略概念的推广。 混合策略（mixed strategy） 纯策略（pure strategy） 不确定性（uncertainty） 期望支付（expected payoff）
2013年10月29日
新浪微博：一花一世界economics
混合策略与纯策略有很大区别
9
在局中人只有两个纯策略可以选择的情形， 混合策略是一种按照什么概率选择这个纯策略， 按照什么策略选择那种纯策略的策略选择指示。 纯策略给每个局中人具体明确了一个非随机性的行
动计划。
而混合策略则表明，局中人可以按照一定的概率，
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2013年10月29日
与混合策略相伴随的一个问题
11
是局中人支付的不确定性。 为了刻画不确定情形下局中人的支付， 我们需要借助期望支付的概念。 在博弈论中，当局中人并不清楚其他局中人的实际策
略选择时，他的支付便具有不确定性， 为此，他只能通过计算期望支付的方式来预测自己的 得益情况， 确定自己的策略选择。
新浪微博：一花一世界economics
2013年10月29日
重新定义纳什均衡
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从二人同时决策博弈看， 混合策略纳什均衡必须是两个局中人的相对最优混合
策略的组合， 所谓相对最优混合策略， 是指在给定对方选择该相对最优混合策略的条件下， 能使局中人自身的期望支付达到最大的混合策略。
27
从定义3.2可以看出， 第二章中定义2.4给出的纳什均衡， 是现在给出的混合策略纳什均衡的特例。 所以相对于现在定义的比较广泛的混合
策略纳什均衡， 原来定义2.4定义的纳什均衡， 可以特别叫做纯策略纳什均衡。
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2013年10月29日
具体来说，
表示局中人i之外所有其他局中人的混合策略组合。 至此，局中人i的期望支付可以具体定义为：
π i ( p ) = ∑s∈S (∏ j =1 p j ( s j ))ui ( s )
n
其中 ui ( s)是我们在纯策略情况熟悉的当所有局中人 采取s这个策略组合的时候局中人i之支付， n 而 正是所有局中人各自的策略选择正好 p ( s ) ∏ j j 组成纯策略组合s的概率。 j =1
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对于任意的 p2 ∈ ∑ 2
2013年10月29日
更一般地，
25
对于一个有n个局中人参与的同时
决策博弈， 其混合策略纳什均衡 Nash equilibrium of mixed strategies 的定义可具体表述为：定义3.2
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2013年10月29日
定义3.2混合策略纳什均衡
26
设
p* = ( p1*, , pi *, , pn *)
是n人策略式博弈
G = {S1 , , S n ; u1 , , un }
的一个混合策略组合。 如果对于所有的 i = 1, , n, π i ( pi *, p−i *) ≥ π i ( pi , p−i *)
混合策略纳什均衡
北京邮电大学 本科选修课程 《信息经济学》 高丛 1HUA1SHIJIE100@
在纳什均衡不存在或者不唯一的情形，
2
前面介绍的纳什均衡的定义和寻找纳什均衡的方法， 就不足以帮助我们对博弈的最终结果作出明确的预
测， 无法给参与博弈的局中人提供明确的决策建议。 因此，我们需要拓展纳什均衡的概念， 引入新的分析工具，
对存在多个纳什均衡的博弈和“不存在”纳什均衡
的博弈作进一步的讨论。
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2013年10月29日
本章内容：
3
本章首先引入混合策略和期望支付的概念， 在此基础上定义混合策略纳什均衡， 然后具体介绍求解纳什均衡的反应函数法， 并给出混合策略纳什均衡的直观解释。 我们讨论多重纳什均衡的问题及其筛选标准。
需要说明的是，
14
期望支付的标准写法是EU， 从而甲的期望支付的标准写法是EUA， 但是在概率p和q明显出现的时候， 我们约定也可以写成UA(p,q)， 表达式里面已经有期望的意思。 UB(p,q)与EUB的关系也是这样。
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2013年10月29日
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2013年10月29日
对有n个局中人参与的策略式博弈的 混合策略给出如下定义3.1 混合策略
20
在一个有n个局中人参与的策略式博弈中，
G = {S1 , , S n ; u1 , , un }
pi = ( pil , , piK )
假定局中人i有K个纯策略，即 则概率分布 其中
5
我们考虑一个“扑克牌对色游戏”
（game of color matching）： 两人博弈， 每人从自己的扑克牌中抽一张出来，一起翻开。 如果颜色一样，甲输给乙一根火柴； 如果颜色不一样，甲赢得乙一根火柴。 为了确定起见， 我们不允许出“大鬼”和“小鬼”。
2013年10月29日
更一般地，二人博弈矩阵表示
15
S S
局中人1
2 1
1 1
b11
a11 a21
…
ห้องสมุดไป่ตู้
2 S2
局中人2
…
a1n a2 n
2 Sn
b12 … a12 b22 …
b1n b2 n
…
S
1 2
b21
a22
… …
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…
S
1 m
am1
bm1
am 2
bm 2 …
amn
bmn
2013年10月29日
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2013年10月29日
用比较学术化的语言，
24
如果
p* = ( p1*, p2 *)
是二人博弈的一个纳什均衡，它必须满足：
π 1 ( p1*, p2 *) ≥ π 1 ( p1 , p2 *)
和
对于任意的 p1 ∈ ∑ 1
π 2 ( p1*, p2 *) ≥ π 1 ( p1*, p2 )
二人博弈的数学表达
16
因为行局中人有m种可以选择的纯策略， 所以他的混合策略可以紧凑地表示为一个向量
p = ( p1 , p2 , , pm )
要求对每一个纯策略i都有 pi
∑i =1 pi = 1 。 ≥ 0 ，并且满足
m
同样，因为列局中人有n种可以选择的纯策略， 所以他的混合策略可以紧凑地表示为一个向量 要求对每一个纯策略j都有 q j
pi = 1，而 pk = 0 对任意 k ≠ i 都成立，
，以0的概率选择其他任何策略。 这时候，行局中人的纯策略可表述为
p = (0,0, .0,1,0, ,0)
其中1只在i的位置出现一次。 这样的向量一共有m个，正好对应局中人的m个纯策略。
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Si = {sil , , siK }
0 ≤ pik ≤ 1,
∑
k k =1
pik = 1
称为局中人i的一个混合策略，这里 表示局中人i选择纯策略
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pik = p ( sik )
Sik 的概率 k = 1, , K
2013年10月29日
本课程约定
21
用
28
如果 p* = ( p1*, , pi *, , pn *) 是一个现在定义的混合策略的纳什均衡， 但是对于每个 i = 1, , n * 概率分布 pi = ( pi1*, , piki *) 的分量中， 都只有一个是1，其余都是0，即所有概率分布 * * pi = ( pi1*, , piki *) 都取 pi = (1,0, ,0) * * pi = (0, ,0,1,0, ,0) 或者 pi = (0, ,0,1) 的形式，那么这个“混合”策略纳什均衡就是 原来定义2.4的（纯策略）纳什均衡。
∑ 表示局中人i的混合策略空间
i
Space of mixed strategies 于是，
p = ( p1 , , pi , , pn ), pi ∈ ∑i
就表示博弈的一个混合策略组合 Mixed strategy profile
pi 都是一个混合策略向量。 这时候，我们用 π i ( p ) = π i ( p1 , , pi , , pn ) 表示局中人i在混合策略组合 p = ( p1 , , pi , , pn )
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“扑克牌对色游戏”
6
乙
红
黑
1
红 甲 黑
－1 1 1 －1
2013年10月29日
－1 －1 1
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博弈论最重要的问题就是寻求博弈的稳定结果
7
上面这个简单的例子， 给我们提出了一个很重要的问题， 就是如何解决按照前面两章的定义
q = ( q1 , q2 , , qn )
≥ 0 ，并且满足∑ j =1 q j = 1 。
n
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2013年10月29日
纯策略的数学表达
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若对于某个纯策略i, 我们有 那么混合策略p对于行局中人来说就是i这一纯策略。 也就是说，行局中人i 相当于行局中人以1的概率选择策略i