第二讲多重纳什均衡
纳什均衡的完整定义
纳什均衡的完整定义纳什均衡是博弈论中一种解的概念，它是指满足下面性质的策略组合：任何一位玩家在此策略组合下单方面改变自己的策略（其他玩家策略不变）都不会提高自身的收益。
简介纳什均衡（Nash equilibrium），又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。
在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略，则该策略被称作支配性策略。
如果任意一位参与者在其他所有参与者的策略确定的情况下，其选择的策略是最优的，那么这个组合就被定义为纳什均衡。
一个策略组合被称为纳什均衡，当每个博弈者的均衡策略都是为了达到自己期望收益的最大值，与此同时，其他所有博弈者也遵循这样的策略。
历史背景关于纳什均衡的普遍意义和存在性定理的证明等奠定非合作博弈理论发展基础的重要成果，是约翰·纳什在普林斯顿大学攻读博士学位时完成的。
实际上，博弈论的研究起始于1944年约翰·冯·诺依曼（Von Neumann）和奥斯卡·摩根斯特恩（Oscar Morgenstern）合著的《博弈论和经济行为》。
然而却是纳什首先用严密的数学语言和简明的文字准确地定义了纳什均衡这个概念，并在包含“混合策略（mixed strategies）”的情况下，证明了纳什均衡在n人有限博弈中的普遍存在性[1] ，从而开创了与诺依曼和摩根斯坦框架路线均完全不同的“非合作博弈（Non-cooperative Game）”理论，进而对“合作博弈（Cooperative Game）”和“非合作博弈”做了明确的区分和定义。
阿尔伯特·塔克（Albert tucker）教授评价其论文，“这是对博弈理论的高度原创性和重要的贡献。
它发展了本身很有意义的n人有限非合作博弈的概念和性质。
并且它很可能开拓出许多在两人零和问题以外的，至今尚未涉及的问题。
在概念和方法两方面，该论文都是作者的独立创造。
第二讲多重纳什均衡.ppt
香精包子的思考
香精包子——其他包子企业如何做？
参与人根据其共同观测到的信号选择行动。
•
博弈论第三章
4，4 -8，-2 -2，-8 -2，-2
17
第三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （一）案例：是否采用新技术
厂商1
厂商2 新技术 旧技术 新技术 2,2,2 5,0,5 旧技术 0,5,5 1,1,10 厂商3：新技术 厂商2 新技术 旧技术 新技术 5,5,3 10,1,1 旧技术 1,10,1 2,2,2 厂商3：旧技术
（一）案例：计算机产品的兼容性
企业C
3.5
英
寸
盘
5.25英寸盘
3.5英寸盘
企业A
8,8 2,3
3,2 6,6
5.25英寸盘
•
博弈论第三章
4
第三节 多重纳什均衡的选择标准
一、帕累托优势标准：得益最大
（二）帕累托优势标准
按照支付大小筛选纳什均衡
（3.5英寸盘，3.5英寸盘）
8,8 2,3
二、风险优势标准：风险更小
（三）纳什均衡的选择标准：风险优势标准
比较不同纳什均衡之间的风险状况，风险小的纳什均衡 优先
帕累托标准还是风险标准？ 1.人会犯错误； 2.大多数人是风险厌恶者。 帕累托标准：理论 风险优势标准：实践
• 博弈论第三章
9，9 8，0
0，8 7，7
12
第三节多重纳什均衡的选择标准
（二）分析：偏离损失比较法
2.乙：单独偏离均衡的损失 （1）偏离“作弊”：9-8=1
甲坚守
（2）偏离“不作弊”：7-0=7
9，9 8，0
第二讲纳什均衡
诚实 游客 游客收益10 商户收益5 不购买 游客收益0 商户收益-5 购买
欺诈 游客收益5 商户受收益10 游客收益0 商户收益0
案例讨论
2008年的美国总统大选让我们看到一 幕大戏。这场大戏的精彩部分并不是 迷住当与共和党的总统选举对决，而 是民主党总统候选人的提名选举。 民主党的提名竞选，最终只在希拉里 和奥巴马之间进行。在2008年之前， 奥巴马只是一个默默无闻的小角色， 他那年才46岁，只有3年的国会参议员 和伊利诺伊州参议员的工作经历，但 他是当时国会中唯一一位黑人参议员， 也是
2、纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过 程中没有被剔除掉的战略组合，但没有被剔除 的战略组合不一定是纳什均衡，除非它是唯一 的。（这句话并不适用于弱劣战略剔除的情况）
第二节
纳什均衡
三、寻找纳什均衡的方法 （一）劣势策略反复消去法 民主党 主动增税 被动增税 2，2 1，4 主动增税 共和党 4，1 3，3 被动增税
纳什均衡
纳什均衡：（被动增税，被动增税） 巨额赤字
试一试：劣势策略反复消去法
上 参与人1 下 参与人2 左 中 右
1，0
0，4
1，3
0，2
0，1
2，0
第二节
纳什均衡
三、寻找纳什均衡的方法 2000：军费支出 （二）相对优势策略划线法 －∞：丧失主权 8000：掠夺者赢利 0：军费支出为零，和平 原苏联 共处 扩军 裁军 -2000，-2000 8000，-∞ 扩军 美国 -∞，8000 0， 0 裁军
2 TR TC p2 (a p2 bp1 ) (a p2 bp1 )c
伯川德模型
通过令一阶导数为零，得到：
第二讲纳什均衡
习题：齐威王田忌赛马矩阵
上中下 上中下
田忌
上下中 中上下 中下上 下中上 下上中
+3，-3 +1，-1 +1，-1 -1，+1 +1，-1
+1，-1 +3，-3 -1，+1 +1，-1 +1，-1
+1，-1 +1，-1 +3，-3 +1，-1 -1，+1
+1，-1 +1，-1 +1，-1 +3，-3 +1，-1
在第二行1 下划线
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
20
第三节 纳什均衡
三、寻找纳什均衡的方法 （二）相对优势策略划线法 3.设定甲靠左行（第一行） 乙： 1>-1 乙相对优势策略：靠左行
在第一列 1下划线
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
21
第三节 纳什均衡
四、古诺模型 max i 2.企业i的目标： π1=？，π2=？ 3.企业利润最大化的一阶、二阶条件
1 0 q1 2 0 q2
2015年12月6日
2 1 2 0 2 q1 2 2 2 0 2 q 2
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
35
第三节 纳什均衡
27
第三节
纳什均衡
要点：（1）箭 头指向的支付 大；（2）只有 一方单独改变 策略
三、寻找纳什均衡的方法 （三）箭头指向法 2.分析：（适度放牧，过度放牧） （1）给定乙不变，甲改变：0→10 （箭头向上） （2）给定甲不变，乙也不变
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
博弈智能多重均衡与优化
吴建设
多重均衡与优化
1、占优策略与智猪博弈 2、博弈的多重纳什均衡 3、帕累托最优均衡 4、帕累托最优均衡与纳什均衡的关系 5、如何得到帕累托最优均衡
1、占优策略与智猪博弈
• 在博弈论（Game Theory）中，“智猪博弈”是一 个著名的例子。假设猪圈里有一头大猪、一头小 猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪 食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食 进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本 ，若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是 9∶1；同时到槽边，收益比是7∶3；小猪先到槽 边，收益比是6∶4。那么，在两头猪都有智慧的 前提下，最终结果是怎样的？。
，新的一轮战争就又会出现。直到下一个平衡的出现。
3、帕累托最优均衡
• 帕累托（ 1848年7月15日- 1923年8月19日）：经济 学家、社会学家。洛桑大学政治经济学教授，论著 有《政治经济学讲义》、 《普遍社会学》、 《社 会主义体制》、 《事实与理论》、 《民主制的变 革》，当过意大利铁路公司的总经理，曾出任（B. 墨索里尼的）意大利政府驻国联代表。
0，0
足球场
0，0
2，1
2、博弈的多重纳什均衡
进门博弈
先进
后进
先进
-1，-1
2，1
后进
1，2
-1，-1
多重纳什均衡：产品标准
• 许多博弈可能有多个纳什均衡
3.5“
3.5“
8, 8
5.5“
2, 3
5.5“
这个博弈被称为
“协调博弈”：有
两个纯战略纳什均衡，
3, 2
一个混合战略均衡。
哪一个将出现呢？
6, 6
纳什均衡的存在性与多重性
纳什均衡的存在性与多重性对于数学家来说，一个数学概念的存在性与唯一性是特别需要加以关注的。
这是因为，从形式逻辑角度看，如果某个事物并不存在，那么关于这个杜撰中的事物所给出的任何陈述或判断都可认为是正确的或错误的，因为对于不存在的事物来说，任何关于它的陈述或判断都不可能加以证伪。
所以，倘若某个概念所对应的事物并不存在。
那么，关于这个概念所给出的研究结论都必然不存在被证伪的可能。
因而根据波普尔的证伪主义观点，这样的研究不具备科学上的意义。
所以，我们在对任何新提出来的数学概念加以系统研究之前，首先需要弄清楚所研究的对象事物是否存在。
有许多被称为伪科学的东西，它们之所以被人们认为是“伪科学”的原因就是它们大肆谈论的东西并不存在或并未被证实其存在性。
譬如，所谓的特异功能或“超灵学”并未得到证实，而UFO研究迷们至今也未能拿出一件存在球外生命的证据，所以，特异功能学或“超灵学”或“不明飞行物学”实际上都可被归入伪科学。
除了存在性之外，概念事物的唯一性也是数学家们所关心的问题。
从纯理论的兴趣上看，数学家们更多地是从审美的角度上看待概念的唯一性，但从波普尔的证伪主义哲学看，模型均衡解的唯一性关系到模型的预测功能，从而是科学理论应基本具有的特征。
我们在第二章中曾指出，理论的预测功能是判别理论的科学性的准绳，而在第三章中，我们提出用纳什均衡作为模型的预测结果。
按照这样的逻辑，一个自然的推论就是：模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的唯一性。
因为倘若纳什均衡不是唯一的，那么就难以根据模型对即将出现的结果加以预测，这种不确定性对于科学理论来说是不存在的。
再加上前面谈到的存在性问题，我们可以这样说，模型能否具有科学意义取决于纳什均衡的存在性和唯一性，因为这正是科学理论所具有的基本性质。
博弈论目前发展的情况是这样的：已经证明在非常一般的情况下，纳什均衡是存在的，这是一个好的结果；但是，在许多情形，模型的纳什均衡解不是唯一的，这被称为纳什均衡的多重性问题。
第二讲纳什均衡
美苏军备竞赛
前苏联
扩军 扩军
美 国 －2000 －2000
裁军
－∞ 8000
裁军
－∞
8000
0 0
扩军
百万裁军的论证
• 背景：世界力量的多元化，使得相互制约格局已形成。 背景：世界力量的多元化，使得相互制约格局已形成。各方面的力量都 在发展，绝对的强弱关系让位于相对的强弱关系。 在发展，绝对的强弱关系让位于相对的强弱关系。相对强的一方并不足 于把对方吃掉，相对弱的一方已经有力量做相当的抗争。 于把对方吃掉，相对弱的一方已经有力量做相当的抗争。 • • • 1984年前后，军委主席邓小平同志主持中国人民解放军百万大裁军。 年前后，军委主席邓小平同志主持中国人民解放军百万大裁军。 年前后 博弈双方有三个可供选择的策略：成本为 亿的扩军； 博弈双方有三个可供选择的策略：成本为2000亿的扩军；一个是预算为 亿的扩军 0的不设防策略；一个为成本为500亿美元的有限军备策略 的不设防策略；一个为成本为 的不设防策略 亿美元的有限军备策略 如果都采取有限军备，双方均占不到便宜，盈利为－ 亿美元； 如果都采取有限军备，双方均占不到便宜，盈利为－500亿美元；一个 亿美元 为有限军备，另一个为扩军，则扩军一方获利 亿美元， 为有限军备，另一个为扩军，则扩军一方获利400亿美元，其纯盈利为 亿美元 400－2000＝－ － ＝－1600亿美元，有限军备的一方，损失为 亿美元， 亿美元， ＝－ 亿美元 有限军备的一方，损失为1000亿美元，其纯 亿美元 盈利为－ ＝－1500亿美元；其余同上 亿美元； 盈利为－1000－500＝－ － ＝－ 亿美元
上策均衡法
• 上策均衡：一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是 上策均衡： 各个博弈方各自的上策
第二讲 纳什均衡 PPT课件
能不变
2020年1月5日
博弈论第二章
12
第二讲纳什均衡
第三节 纳什均衡
三、寻找纳什均衡的方法
团队合作
（一）严格劣势策略反复消去法
乙
工作 偷懒
工作
6,6
+1，-1
+1，-1 +1，-1
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
-1，+1
+1，-1 +3，-3
37
博弈论第二章
33
第二讲纳什均衡
第三节 纳什均衡
四、纳什均衡在微观经济学中的应用： 古诺模型
1.博弈三要素 （3）支付
i (q1, q2 ) (a q1 q2 ) qi ciqi
2020年1月5日
博弈论第二章
34
第二讲纳什均衡
第三节 纳什均衡
四、古诺模型
2.企业i的目标： max i
二、情侣博弈结论：纳什均衡 （一）表述 若存在一个策略组合（足球，足球），
当参与人单独改变策略后，支付下降， 此策略组合为纳什均衡。 ——博弈各方相互作用的稳定结局
2020年1月5日
博弈论第二章
9
第二讲纳什均衡
第三节 纳什均衡
二、情侣博弈的结论：纳什均衡 （二）定义
给定G=｛S1，…,Sn;u1,…,un｝, s*=(s*1,…,sn*) 对于所有i和si∈Si，有： ui(si*,s-i*)≥ ui(si’,s-i*)
2020年1月5日
博弈论第二章
23
第二讲纳什均衡
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2019年12月29日
博弈论第三章
19
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （二）共谋偏离（集体偏离）均衡激励 2.如果集体偏离（5,5,3） （1）1与2集体偏离——（2,2,2） 1与2支付下降：无集体偏离动机 （2）2与3集体偏离——（5,0,5） 2的支付下降：无集体偏离动机
博弈论第三章
6
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
二、风险优势标准：风险更小
（一）案例：串通作弊博弈
逆天的帕 累托优势
学生乙
标准 作弊 不作弊
作弊
学生甲
不作弊
9，9 8，0
0，8 7，7
2019年12月29日
博弈论第三章
7
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
二、风险优势标准：风险更小 （二）分析：偏离损失比较法 1.甲：单独偏离均衡的损失 乙坚守 （1）偏离“作弊”：9-8=1 （2）偏离“不作弊”：7-0=7
2019年12月29日三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （二）共谋偏离（集体偏离）均衡激励 2.如果集体偏离（5,5,3） （3）1与3集体偏离——（0,5,5） 1的支付下降：无集体偏离动机 （5,5,3）——抗共谋均衡
A国
战争与和平
C国
鹰
鸽
鹰
-5，-5
8，-10
-10,8
10,10
鸽
2019年12月29日
博弈论第三章
1
第二讲多重纳什均衡
问题：博弈的最终结果？
鹰鸽博弈特征
两个（多个）纳什均衡
2019年12月29日
博弈论第三章
2
第二讲多重纳什均衡
第三章 混合策略纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
2019年12月29日
博弈论第三章
3
第二讲多重纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
一、帕累托优势标准：得益最大
（一）案例：计算机产品的兼容性
企业C
3.5英寸盘 5.25英寸盘
3.5英寸盘
8,8
3,2
企业A
2,3
6,6
5.25英寸盘
2019年12月29日
博弈论第三章
4
第二讲多重纳什均衡
2019年12月29日
博弈论第三章
9
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
二、风险优势标准：风险更小
（二）分析：偏离损失比较法
3.偏离损失比较
比较原则：二人偏离“作弊”的损失 VS偏离“不作弊”的损失
1×1＜7×7
9，9 0，8
8，0 7，7
2019年12月29日
博弈论第三章
10
新技术 5,5,3 10,1,1 旧技术 1,10,1 2,2,2
厂商3：旧技术
博弈论第三章
18
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （二）共谋偏离（集体偏离）均衡激励 1.如果集体偏离（1,1,10） 1与2集体偏离——（2,2,2） 1与2支付上升：具有集体偏离动机 （1,1,10）非抗共谋均衡
0，8 7，7
12
第三节多重纳什均衡的选择标准
三、聚点均衡 （一）案例：城市分组博弈 参与人： 甲 乙
策略：把武汉、长春、长沙、哈尔滨 四座城市分成两组，每组2个城市
支付：甲乙分法相同——奖励XX元； 甲乙分法不同——奖励0元
2019年12月29日
博弈论第三章
13
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
三、聚点均衡 （二）聚点均衡 1.含义：多重纳什均衡中，人们预期最可能出现
的均衡。 2.标准
根据社会文化习惯、博弈历史等信息达到均衡 3.实质
规律性 强调文化与环境的作用
2019年12月29日
新婚夫妻的家务分担博弈 ；
博教弈论室第中三章的座位分配博弈。 14
第二讲多重纳什均衡
9，9 0，8
8，0 7，7
2019年12月29日
博弈论第三章
8
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
二、风险优势标准：风险更小 （二）分析：偏离损失比较法 2.乙：单独偏离均衡的损失 （1）偏离“作弊”：9-8=1 （2）偏离“不作弊”：7-0=7
9，9
甲坚守
0，8
8，0 7，7
二、风险优势标准：风险更小
（三）纳什均衡的选择标准：风险优 势标准
比较不同纳什均衡之间的风险状况， 风险小的纳什均衡优先
帕累托标准还是风险标准？ 1.人会犯错误； 2.大多数人是风险厌恶者。 帕累托标准：理论 风险优势标准：实践
9，9 8，0
2019年12月29日
博弈论第三章 第二讲多重纳什均衡
博弈论第三章 第二讲多重纳什均衡
4，4 -8，-2 -2，-8 -2，-127
第三节多重纳什均衡的选择标准
五、抗共谋均衡 （一）案例：是否采用新技术
厂商1
厂商2
新技术 旧技术
新技术 2,2,2
5,0,5
旧技术 0,5,5
1,1,10
厂商3：新技术
2019年12月29日
厂商1
厂商2 新技术 旧技术
信号选择行动，由此决定博弈的结局。
鸣金收兵：两位 势均力敌的大将 均接受的体面结 束战斗的信号。
2019年12月29日
博弈论第三章 第二讲多重纳什均衡
4，4 -8，-2 -2，-8 -2，-126
香精包子的思考
香精包子——其他包子企业如何做？ 参与人根据其共同观测到的信号选择 行动。
2019年12月29日
第三节多重纳什均衡的选择标准
四、相关均衡
（一）案例：“地域连坐”下的产品 质量博弈
企业乙
好产品 差产品
好产品 4，4
企业甲
差产品 -2，-8
-8，-2 -2，-2
2019年12月29日
博弈论第三章
15
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
四、相关均衡 （二）相关均衡 参与人通过一个大家都能观测到的共同
第三节 多重纳什均衡的选择标准
一、帕累托优势标准：得益最大 （二）帕累托优势标准 按照支付大小筛选纳什均衡
（3.5英寸盘，3.5英寸盘）
8,8
3,2
2,3
6,6
2019年12月29日
博弈论第三章
5
第二讲多重纳什均衡
情侣博弈？
关键：博弈方之间的协调 先动优势。 女士优先？
2019年12月29日
第二讲多重纳什均衡
第三节多重纳什均衡的选择标准
二、风险优势标准：风险更小 （二）分析：偏离损失比较法 4.结论 （1）偏离（不作弊，不作弊）的损失
更大：49 （2）不偏离（不作弊，不作弊）
2019年12月29日
9，9
8，0
博弈论第三章 第二讲多重纳什均衡
0，8 7，7
11
第三节多重纳什均衡的选择标准