【数学】2021年普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷(一)(全国3卷)(文)
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)＝|x＋2|＋|2x＋a|，a∈R。 (1)当 a＝1 时，解不等式 f(x)≥2；
1
(2)求证：f(x)≥|a－2|－ |a|。
2
并绘制如图所示的频率分布直方图。
(1)求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 x 和中位数 a(a 的值精确到 0.01)； (2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5，7.5)，[7.5，8.5) 的学生中抽取 9 名参加座谈会。你认为 9 个名额应该怎么分配?并说明理由。
18.(12 分) 如图所示，在多面体 ABC－A1B1C1 中，D，E，F 分别是 AC，AB，CC1 的中点，AC＝BC
＝4，AB＝4 2 ，CC1＝2，四边形 BB1C1C 为矩形，平面 ABC⊥平面 BB1C1C，AA1//CC1。
(1)求证：平面 DEF⊥平面 AA1C1C； (2)若 AA1＝1，求多面体 ABC－A1B1C1 的体积。
2021 年普通高等学校招生全国
统一考试内参模拟测卷（一）（全国 3 卷）（文）
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹
。
14.函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ< )的部分图象如图所示，则φ的值是
。
2
x2 15.双曲线 C： a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的离心率为 2，且渐近线与圆(x－a)2＋y2＝
3 4
相切，
则该双曲线的标准方程为
。
16.如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长都等于 2，D 在 AC1 上，F 为 BB1 中点，且 FD
(如图①)、90 后从事互联网行业岗位分布条形图(如图②)，则下列结论中不一定正确的是
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980～1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前
出生。
A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
x 2 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
2t 2 (t 为参数t 2
2
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的方程为ρ＝
。
1 3sin2
(1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)若 A，B 分别为曲线 C1 和 C2 上的任意点，求 AB 的最小值。
C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
5.函数 y＝sin(x＋ )＋cos(x－ )的最大值为
3
3
1 3
A.
4
1 3
B.
2
2 6
C.
4
2 6
D.
2
6.已知曲线 y＝x4＋ax2＋1 在点(－1，f(－1))处切线的斜率为 6，则 f(－1)＝
2
取值范围是
1
A.(0， )∪(2，＋∞)
2 1
C.(－∞， )∪(2，＋∞)
2
1
B.( ，1)∪(1，2)
2 1
D.( ，1)∪(2，＋∞)
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为 60°，且满足 e1⊥(λe2－e1)，则实数λ的值为
11.若椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 过点(
2 ，1)，且以该椭圆的四个顶点为顶点的四边形的
面积为 4 2 ，则这个椭圆的离心率为
1
2
3
2
A.
B.
C.
D.
2
2
3
3
12.定义在 R 上的偶函数 y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且 f(1)＝0，则满足 f( log 1 x )<0 的 x 的
B.AE，B1C1 为异面直线，且 AE⊥B1C1
C.AC⊥平面 ABB1A1
D.A1C1//平面 AB1E
9.函数 f(x)＝ x －sinx(x∈[－2π，2π])的大致图象为 2
10.在△ABC 中，若 C＝ 2 ，AB＝3，则△ABC 的周长的最大值为 3
A.9 B.6 C.3＋2 3
D.3＋ 3
工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x∈Z|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则 A∩B＝
A.{x|－4<x<1 或 3<x<4} B.{－4，－3，－2，－1，0，3，4}
C.{x|x<1 或 3<x<4}
D.{－3，－2，－1，0}
1 2.已知 i 是虚数单位，则 z＝ 1 i 在复平面内对应的点位于
⊥AC1，则 AD
。
DC1
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
为了了解某高校全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X(单位：小时)
A.3 B.－4 C.－3 D.4
7.执行如图所示的程序框图，输出的 T 的值是
A.20 B.26 C.57 D.16
8.如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱 AA1 垂直底面 A1B1C1，底面 A1B1C1 是正三角形，E
是 BC 中点，则下列叙述正确的是
1 与 B1E 是异面直线
19.(12 分)
已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝
1 2n
(n∈N*)。
(1)设 bn＝a2n，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)记 T2n 为{an}的前 2n 项的和，求 T2n。
20.(12 分) 已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)，且函数 g(x)＝f'(x)＋6x 的图象关于 y 轴对称。 (1)求 m、n 的值； (2)若 a>0，求函数 y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值。
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1
3.已知 f1(x)＝x，f2(x)＝sinxr，f3(x)＝cosx，f4(x)＝ ，从以上四个函数中任意取两个相乘得
x
到新函数，那么所得新丽数为偶函数的概率为
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
4
3
2
3
4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图
21.(12 分) 已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为 2，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点， 过 A，B 分别作抛物线 C 的切线 l1 与 l2，l1 与 l2 交于点 M。 (1)求抛物线 C 的标准方程；
(2)若 l1⊥l2，求△MAB 面积的最小值。
(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
2021年普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学试题与答案
高三理科数学 第 1 页 共 8 页理科数学 2021.03本试卷共23题，共150分，共8页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴 在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字 笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用图改液、修正带、 刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合Q ＝{x |2x 2﹣7x ≤0，x ∈N }，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是（A ）8（B ）9（C ）15（D ）162、复数z =4-5i （其中i 为虚数单位），则+=z i |2|（A（B ）5（C ）7（D ）253、已知sin α＝2sin （α+π23），则cos2α＝ （A ）-97（B ）97 （C ）-31（D ）314、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐2021年普通高等学校招生第三次统一模拟考试高三理科数学 第 2 页 共 8 页渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若0a b >>，则下列结论错误．．的是（A ）11a b<（B ）2log ()0a b -> （C ）1122a b > （D ）33a b >5、如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为110，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为（A ）97929100000（B ）97919100000 （C ）98029100000 （D ）980191000006、一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（A ）（4， 0） （B ）（2， 0） （C ）（0， 2） （D ）（0， 0） 7、若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个8、运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，高三理科数学 第 3 页 共 8 页由此可证明新几何体与半球体积相等,现将椭圆2211636x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于图1图2图3（A ）64π（B ）148π （C ）128π （D ）32π9、如图，在一个凸四边形 ABCD 内，顺次连接四边形各边中点 E , F ,G , H 而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.如图，现有一个面积为12 的凸四边形 ABCD ，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为 A 1B 1C 1D 1 ，记其面积为S 1 ,四边形为A 1B 1C 1D 1对应的瓦里尼翁平行四边形为 A 2 B 2C 2 D 2 ，记其面积为S 2,﹒﹒﹒依次类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形A 4 B 4C 4 D 4的面积S 4为（A ）1 （B ）427 （C ）34（D ）不确定 10、已知函数f (x ) = cos(2x +φ) (π||2ϕ<)，()()()F x f x f x '=+为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是高三理科数学 第 4 页 共 8 页（A）tan ϕ=（B ）()f x 在[,]a a -上存在零点，则a 的最小值为π6（C ）()F x 在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 （D ）()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个极大值点11、在下列四个命题中，正确的命题个数有.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个12、锐角ABC 的三边分别为,,a b c ，2cos a b B =，则cb的取值范围是 （A ）[)1,3 （B ）1,22⎛⎫⎪⎝⎭ （C）3⎛ ⎝ （D ）[)1,2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学科模拟试卷1含答案
A. t
B.
C.
D.t
8、百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休
息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期
一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知 2021 年 1 月 1 日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则 2021
因为 t 为半圆弧 R 上一点，所以 t tR，
所以 t
Rā
矩形 R t ā
因为 t 程 tR ā R ā ，
t
R
t 程tR ā
ā
t tR R
ā
t tR，
，当且仅当 t ā tR ā 时等号成立，
所以四棱锥 E ABCD 的体积的最大值为 ；
（2）由条件①得： Rt R t ∠ Rt ā t R t ∠ R t，
f
k m
f
mk m
1 2
.
∴ 2S
1 (m 1) ，∴ S 2
1 (m 1) .又 4
f
(1)
1 4
2
1 6
，∴ Sm
S
f
(1)
1 4
(m 1)
1 6
3m 1
.
12
19：（1）在平面 tR 内作 t R 于点 ，因为平面 R 平面 tR ，平面 R 平面 tR ā R ，
所以 t 平面 R，即 t 为四棱锥 E ABCD 的高，
同时出发，按箭头方向沿圆周
以每秒 弧度的角速度运动，直到两点回到起
t
始位置时停止运动，则其运动过程中线段 长度的最大值为________；研究发现线
(全国3卷)2021年高考数学内参模拟测卷(一)理.doc
（全国3卷）2021年高考数学内参模拟测卷（一）理本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝R ，A ＝{x|－4<x<12}，B ＝{x|x ≤－3)，C ＝{x|x ≥12}，则集合C ＝ A.(UA)∩B B.U(A ∪B) C.U(A ∩B) D.(UA)∪B2.复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z －22z＝ A.－1＋2i B.1－2i C.－1 D.1＋2i3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图(如图①)、90后从事互联网行业岗位分布条形图(如图②)，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生。
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A ，B ，C ，D 四个区域要清扫，其中A ，B ，C 三个区域各安排一个小组，D 区域安排2个小组，则不同的安排方法共有A.240种B.150种C.120种D.60种5.已知三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝2，SA ＝SB ＝SC ＝2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为 A.32 B.22 C.33 D.236.已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，f(－1))处切线的斜率为6，则f(－1)＝ A.3 B.－4 C.－3 D.47.执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是A.20B.26C.57D.168.定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且f(1)＝0，则满足f(12log x )<0的x的取值范围是A.(0，12)∪(2，＋∞) B.(12，1)∪(1，2) C.(－∞，12)∪(2，＋∞) D.(12，1)∪(2，＋∞)9.函数f(x)＝2x－sinx(x ∈[－2π，2π])的大致图象为10.在△ABC 中，若C ＝23，AB ＝3，则△ABC 的周长的最大值为A.9B.6C.3＋23 D.3＋311.一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成的角为0(0°<0<90°)的平面所截，截面是一个椭圆面，当θ＝45°时，这个椭圆的离心率为A.12 B.22 C.33 D.2312.若a ∈(0，π)，f(x)＝sin ,cos ,x x ax x a>⎧⎨≤⎩的图象关于x ＝a 对称，则f(2a)＝A.－1B.－12C.1D.－32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷三(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（模拟卷三）本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题1.已知集合M ={y|y =x +1},N ={(x,y )|x 2+y 2=1} ， 则M∩N 中元素的个数是（ ）A. 0个B. 1 个C. 2个D. 多个 2.若 i 为虚数单位，则 √2i√2+i = （ ）A. 1+iB. 1−iC. iD. −i 3.从含有 3 件正品 2 件次品的 5 件产品中，任意取出 2 件产品，则取出的 2 件产品中至少有一件次品的概率为（ ） A. 710 B. 310 C. 15 D. 1104.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}， C ={(x,y)|x ∈A,y ∈B,且log x y ∈N ∗} ，则C 中元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 55.函数f(x)=|x|e x，方程[f(x)]2−(m+1)f(x)+1−m=0有4个不相等实根，则m 的取值范围是（）A. (e2−ee2+e ,1) B. (e2−e+1e2+e,+∞) C. (e2−e+1e2+e,1) D. (e2−ee2+e,+∞)6.等比数列{a n}中，a7=10，q=-2,则a10 =（）A. 4B. 40C. 80D. -807.已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c（2，0），且在点P处有公共切线，则函数g （x）的表达式为（）A. 2x2﹣4xB. 6x2﹣24C. ﹣4x2+16D. 4x2﹣168.在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列命题中正确的是（）A. E，F，G，H四点不共面B. EFGH是梯形C. EG⊥FHD. EFGH是矩形9.某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（）A. 9.6B. 7.68C. 6.144D. 4.915210.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则双曲线的离心率为（）A. √2B. 2C. √3D. 311.下列关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列 {an n } 是递增数列； p 4：数列{a n +3nd}是递增数列；其中真命题是（ ）A. p 1 ， p 2B. p 3 ， p 4C. p 2 ， p 3D. p 1 ， p 412.以下四个数中的最大者是（ ）A. （ln2）2B. ln （ln2）C. lnD. ln2二、填空题13.设向量 a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗ 满足 |a ⃗|=√3 ， |b ⃗⃗|=3√3 ，若向量 a ⃗在b ⃗⃗ 方向上的投影为 √32 ，且向量 a ⃗−c ⃗ 与向量 b ⃗⃗−c⃗ 的夹角为120°，则 |c ⃗| 的最大值等于________． 14.给出下列四个命题：① ΔABC 中， A >B 是 sin A >sin B 成立的充要条件； ②当 x >0且x ≠1 时，有 ln x +1ln x ≥2 ；③已知 S n 是等差数列 {a n } 的前n 项和，若 S 7>S 5 ，则 S 9>S 3 ；④若函数 y =f(x −32) 为 R 上的奇函数，则函数 y =f(x) 的图象一定关于点 F(32,0) 成中心对称．其中所有正确命题的序号为________．15.椭圆 x 225+y 29=1 的左焦点为F 1 ， P 为椭圆上的动点，M 是圆 x 2+(y −2√5)2=1 上的动点，则|PM|+|PF 1|的最大值是________．16.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________三、解答题17.某市环保局空气质量监控过程中，每隔x 天作为一个统计周期．最近x 天统计数据如表（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m3的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m3”，请问该统计周期有没有达到预期目标．18.已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足√3sinA+ cosA=0.有三个条件：① a=1；② b=√3；③ SΔABC=√3.其中三个条件中仅有两4个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求ΔABD的面积.19.如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC=2AD=2AB=2．（1）证明：BD⊥平面DEC；（2）若二面角A﹣ED﹣B的大小为30°，求EC的长度．20.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosαy=sinα( α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足|OA|⋅|OB|=8,点B的轨迹为C2.（1）求曲线C1,C2的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为(2,3π2)，求ΔABM面积的最小值.21.已知函数f（x）= 1−xax+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（1）求a的取值范围；（2）求函数g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；（3）设a＞1，b＞0，求证：1a+b <ln a+bb<ab．22.已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；]上的最大值和最小值．（2）求函数f（x）在区间[0，π223.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，以M(1,0)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+√2−1=0相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N(3,2)和平面内一点P(m,n)(m≠3)，过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式.答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
2021年新高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（3）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ）A.12i +B.24i +C.12i --D.2i -2.设常数a ∈R ，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若A B =R ，则a 的取值范围为（ ）A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A.2B.1C.0D.2-4.设向量=a (1,cos )θ与b (1,2cos )θ=-垂直，则cos2θ等于（ ）A.2 B.12C.0D.1-5.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB 的面积为12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2πa B.27π3a C.211π3a D.25πa7.已知命题122121:,,(()())()0p x x f x f x x x ∀∈--≥R ，则p ⌝是（ ） A.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--≤R B.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--≤R C.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--<RD.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--<R8.函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（ ） A.3B.2C.1D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论中正确的有（ ）A.样本中的女生数量等于男生数量B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科10.已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．则下列给出的直线中，是“M 型直线”的有（ ）A.2x =B.3y x =+C.21y x =--D.23y x =+11.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的为（ ）A.MN 与1CC 垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与11A B 平行12.下列结论中正确的有（ ） A.命题：”(0,2)x ∀∈，33x x >“的否定是“(0,2)x ∃∈，33x x ≤” B.若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l αC.若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=D.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟卷三(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（模拟卷三）本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题1.集合 M ={x|x 2−2x −3≤0} ， N ={x|x ≥0} ，则 M ∩N = （ ）A. {x|−1≤x ≤0}B. {x|0≤x ≤3}C. {x|−1≤x ≤3}D. {x|0≤x ≤1}2.i 是虚数单位， 1(1+i)2= （ ）A. −i 2B. i 2C. 12D. 2i 3.若集合 A ={x|x 2−7x <0,x ∈N ∗},B ={y|4y ∈N ∗} ，则A∩B 中元素的个数为（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 4.已知 (x 2+1x )n (n ∈N ∗) 的展开式中有常数项，则 n 的值可能是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 85.在等比数列 {a n } 中， a 3=7 ，前3项和 S 3=21 ，则公比数列 {a n } 的公比 q 的值是（ ）A. 1B. −12C. 1或 −12D. -1或 −12 6.设 f(x) 为可导函数，且满足 limx→0f(1)−f(1−x)2x =−1 ，则曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率是( )A. 2B. -1C. 12D. -2 7.已知函数 f (x )=x 2x 2+4 ，则 f(x) 的大致图象为（ ）A.B.C.D.8.如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A. B. C. D.9.如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A. i≤5B. i≤4C. i＞5D. i＞410.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=−13x，则双曲线C的离心率等于（）A. B. C. D.11.三个数a=0.73,b=log30.7,c=30.7之间的大小关系是（）A. B. C. D.12.已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x=π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A. y=4sin(4x+π6) B. y=2sin(2x+π3)+2C. y=2sin(4x+π3)+2 D. y=2sin(4x+π6)+2二、填空题:13.非零向量m⃗⃗ ，n⃗的夹角为π3，且满足| n⃗|=λ| m⃗⃗ |（λ＞0），向量组x1⃗⃗⃗ ，x2⃗⃗⃗⃗ ，x3⃗⃗⃗⃗ 由一个m⃗⃗ 和两个n⃗排列而成，向量组y1⃗⃗⃗⃗ ，y2⃗⃗⃗⃗ ，y3⃗⃗⃗⃗ 由两个m⃗⃗ 和一个n⃗排列而成，若x1⃗⃗⃗ • y1⃗⃗⃗⃗ + x2⃗⃗⃗⃗ • y2⃗⃗⃗⃗ + x3⃗⃗⃗⃗ • y3⃗⃗⃗⃗ 所有可能值中的最小值为4 m⃗⃗ 2，则λ=________．14.在等差数列{a n}中，a4+a6+2a15=20，则S19=________．15.已知O为坐标原点, F是椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点, A, B, D分别为椭圆C的左,右顶点和上顶点, P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A, D的直线l与直线PF交于点M,若直线BM与线段OD交于点N,且ON=ND,则椭圆C的离心率为________．16.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为________．三、解答题17.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在(2)的条件下，再从[240,260)，[260,280)，[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240,260)组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．18.已知向量m⇀=(sin x−√3cos x,1)，n⇀=(2sin x,4cos2x).函数f(x)=m⇀⋅n⇀（I）求f(x)的最小正周期及最值；(II)在ΔABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，若f(B)=1,b=√3,求ΔABC 周长l的最大值.19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1= 3.D是线段BC的中点.（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1−A1D−C1的大小的余弦值.20.已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)，g(x)=e x+x2−x.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）定义：对于函数f(x)，若存在x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为函数f(x)的不动点. 如果函数F(x)=f(x)−g(x)存在两个不同的不动点，求实数a的取值范围.21.已知圆C:x2+y2+2x−2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为√17.（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点，且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程.四、选考题22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（√2，π4），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣π4）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）已知曲线C的参数方程为{x=4+5costy=3+5sint，（t为参数），直线l与C交于M，N两点，求弦长|MN|．23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosαy=tsinα（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ1−cos2θ.点E 的直角坐标为(2,2√3)，直线l与曲线C交于A、B两点.（Ⅰ）写出点E的极坐标和曲线C的普通方程；（Ⅱ）当tanα=√3时，求点E到两点A、B的距离之积.答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
新高考2021年高三数学高考三模试题卷一附答案解析
新高考2021年高三数学高考三模试题卷一第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．设，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数满足（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（ ） A ．B ．3C ．D ．4．设等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A ．当且仅当时，取最小值 B ．当且仅当时，取最大值 C ．当且仅当时，取最小值D ．当且仅当时，取最大值5．若向量，，且与共线，则实数的值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．把5名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有1名志愿者的分法有（ ） A ．14种B ．35种C ．70种D ．100种7．若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知函数和，则下列正确的是（ ）11A y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭{}xB y y e ==()A B =R ∅0()0,+∞(),0-∞a ∈R 2a ≤2320a a -+≤z 276i 4z =+i z z 2i 323i 2{}n a n n S 111a =-466a a +=-6n =n S 6n =n S 7n =n S 7n =n S (1,2)=a (0,1)=b k -a b 2+a b k 1-12-1221634x ax x a -≥--[]2,4a ∈-x (][),83,-∞-+∞()[),01,-∞+∞[]8,6-(]0,3()f x R ()()1f x f x +=-[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()y f x x =-()sin f x x =()cosg x x =A ．的图象可由的图象向右平移个单位得到B ．时，C ．的对称轴方程为D ．若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值10．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，的面积为S ，下列有关的结论，正确的是（ ）A ．若为锐角三角形，则B ．若，则C ．，其中为外接圆的半径D ．若为非直角三角形，则 11．已知实数，满足方程．则下列选项正确的是（ ）A ．的最大值是B ．C ．过点作的切线，则切线方程为D ．过点作的切线，则切线方程为12．关于函数，下列说法正确的是（ ） A ．是的极小值点B．函数有且只有1个零点 C ．存在正整数，使得恒成立D ．对任意两个正实数，，且，若，则第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设为虚数单位，则的展开式中含的项为________．()f x ()g x π23π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()()g x f x >()()()h x f x g x =+()ππ4x k k =-+∈Z x a =()sin f x x =()cos g x x =M M MN ABC △ABC △ABC △ABC △sin cos A B >a b >cos2cos2A B <24sin sin sin S R A B C =R ABC △ABC △tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=x y 22410x y x +-+=1y x +21yx +(1,22410x y x +-+=10x +=(1,22410xy x +-+=10x +=()2ln f x x x=+02x =()f x ()y f x x =-k ()f x kx >1x 2x 12x x ≠()()12f x f x =124x x +>i ()6i x +4x14．函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______．15．已知直线过定点，过点向圆作切线，切点分别为，则弦所在的直线方程为____________．16．已知正三棱柱的体积为，，过点的平面与平面无公共点，则三棱柱在平面内的正投影面积为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在中，D 为AC 边上一点，，，． （1）求的值； （2）若，求AD 的长．18．（12分）已知正项数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，面面，、分别为、的中点．（1）证明：面面；（2）求面与面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表：22sin cos 2()2cosx x x xf x x x+++=+M N M N +=8:20kx y l k ++-=P P 22:1O x y +=,A B AB 111ABC A B C -2AB =B α1ABC 111ABC A B C -αABC △3CD =8BC =7BD =sin BDC ∠60A ∠=︒{}n a n1,2n S S =()()1122n n n n a aa a ++-=+{}n a 2n an b n =⋅{}n b n n T P ABCD -ABCD PBC △AD =45BCD ∠=︒PBC ⊥ABCD E F BC CD PEF ⊥PAB PEF PAD 312++（1）补全列联表；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中选考历史的人数为，求的分布列及数学期望；（3）根据表中数据判断是否有的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由．参考附表：参考公式：，其中．21．（12分）已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标． （1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线恒过定点．22．（12分）设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．答 案 第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】由函数的值域为，可知，则；22⨯X X 95%()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()12,0F -()22,0F C x =C l C A B AB M l ()22ln 1f x x mx =-+()f x 0x ()01f x m >-m 1m =()f x 12x x ，12x x <()()12f x f x =122x x +>11y x =+()(),00,-∞+∞()(),00,A ∞∞=-+{}0A =R由函数的值域为，可知． 所以，故选A ．2．【答案】B【解析】解不等式，得， 因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B ．3．【答案】C【解析】设，则，可得， 因为，，解得，，所以，则．故选C ． 4．【答案】A【解析】因为，则，从而， 因此该等差数列是递增数列，所以． 由，得，则数列的前6项为负数，从第7项起为正数， 所以当且仅当时，取最小值，故选A ． 5．【答案】B 【解析】，，，，与共线，，解得，故选B ．6．【答案】C【解析】甲社区恰有1名志愿者有种，对其余4人先分组，再分配． 其余4人的分组有“3和1”及“2和2”两种分法： （1）按“3和1”分组，有；（2）按“2和2”分组，有；x y e =()0,+∞()0,B =+∞(){}()00,A B =+∞=∅R2320a a -+≤12a ≤≤[](]1,2,2-∞2a ≤2320a a -+≤i(,)z a b a b =+∈R 22272i 6i 4z a b ab =-+=+227426a b ab ⎧-=⎪⎨⎪=⎩0a <0b <2a =-32b =-32i 2z =--32i 2z =-+54626a a a =+=-53a =-5124a a d -==112(1)213n a n n =-+-=-0n a <136.52n <={}n a 6n =n S (1,2)=a (0,1)=b ()()()1,20,1,21k k k k -=-=∴-a b ()()()21,220,11,4+=+=a b k -a b 2+a b ()4210k k -∴-=12k =-15C 3141C C ⋅224222C C A ⋅故甲社区恰有1名志愿者的分法有，故选C ． 7．【答案】A【解析】由题得不等式对任意成立，所以，即，解得或， 故选A ． 8．【答案】A【解析】∵，∴， ∴，即函数是周期的周期函数．又∵函数是定义在上的偶函数，且时，， ∴当时，， 令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数， 分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点， 当时，，而， 所以或时，与无交点．综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2． 故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD()22131242541222C C C C C A 543270A ⎛⎫⋅⋅+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭2(4)3160x a x x ---+≤[]2,4a ∈-22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩3x ≥8x ≤-()()1f x f x +=-()()()()21f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦()()2f x f x +=()f x 2T =()f x R [0,1]x ∈()πcos 2f x x =[1,0)x ∈-ππ()()cos()cos 22f x f x x x =-=-=()0f x x -=()y f x x =-()y f x =()g x x =()y f x =()g x x=()f x ()g x [1,0)-[0,1]1x >()1g x >()1f x ≤1x >1x <-()f x ()g x ()y f x =()g x x =()y f x x =-【解析】对A ，的图象向右平移个单位得到，故A 正确； 对B ，当时，，，即，故B 正确； 对C ，，令，解得， 即对称轴为，故C 错误； 对D ，，则，故D 正确，故选ABD ． 10．【答案】ABD【解析】对于A 中，若为锐角三角形，可得且， 可得，且， 根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以A 正确； 对于B 中，在中，由，根据正弦定理可得， 则，可得，解得，所以B 正确； 对于C 中，由三角形的面积公式，可得， 由正弦定理知，，可得，所以C 不正确； 对于D 中，在中，可得，则， 所以，即，可得， 则，所以D 正确， 故选ABD ． 11．【答案】AD()cos g x x =π2()πcos sin 2y x x f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭3π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()12g x <<0()2f x <<()()g x f x >π()()()sin cos 4h x f x g x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭πππ,42x k k +=+∈Z ()ππ4x k k =+∈Z ()ππ4x k k =+∈Z πsin cos 4MN x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭MN ABC △π2A B +>π,(0,)2A B ∈π2A B >-ππ(0,)22B -∈πsin sin()2A B >-sin cos A B >ABC △a b >sin sin A B >22sin sin A B >1cos 21cos 222A B-->cos2cos2A B <in 12s S ab C =2sin a R A =2sin b R B =22sin sin sin =S R A B C ABC △πA B C ++=πA B C +=-tan()tan(π)A B C +=-tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【解析】对于AB ，设，即， 由圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，， 即，，即的最大值是，故A 正确，B 错误；对于CD ，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为切线性质知，切线斜率， 所以切线方程为，整理得，故C 错误，D 正确， 故选AD ． 12．【答案】ABD【解析】对于A 选项，函数的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A 正确；对于B 选项，，∴， ∴函数在上单调递减，又∵，， ∴函数有且只有1个零点，故B 正确；1yk x =+()1y k x =+()2,0()1y k x =+=212k =max 2k =min 2k =-1y x +2(1,22(2)3x y -+=(1,()2,0k =2k '=-1)y x +=-10x +=()0,∞+()22212x f x x x x-'=-+=()0,2x ∈()0f x '<()f x ()2,x ∈+∞()0f x '>()f x 2x =()f x ()2ln y f x x x x x=-=+-22217212410x y x x x ⎛⎫---⎪⎝⎭'=-+-=<()0,∞+()112ln1110f -=+-=>()221ln220f -=+-<()y f x x =-对于C 选项，若，可得， 令，则， 令，则， ∴在上，，函数单调递增；上，，函数单调递减，∴，∴， ∴在上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数，使得成立，故C 错误；对于D 选项，由，，结合A 选项可知，， 要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有， 由于，所以， 即证明， 令， 则，所以在是单调递减函数，所以，即成立， 故成立，所以D 正确， 故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】的展开式的通项公式为，令，则，此时，即含的项为，()f x kx >()22ln f x xk x x x<=+()22ln x g x x x =+()34ln x x xg x x -+-'=()4ln h x x x x =-+-()ln h x x '=-()0,1x ∈()0h x '>()h x ()1,x ∈+∞()0h x '<()h x ()()130h x h ≤=-<()0g x '<()22ln x g x x x=+()0,∞+k ()f x kx >12x x >()()12f x f x =12x >202x <<124x x +>124x x >-1242x x >->()f x ()2,x ∈+∞()()124x f f x >-()()12f x f x =()()224x f f x >-()()()4,0,2f x f x x >-∈()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x=--=--+-∈-()()()2228204x m x x x --'=<-()m x ()0,2()()20m x m >=()()()4,0,2f x f x x >-∈124x x +>415x -()6i x +616C i ,0,1,2,,6r r rr T xr -+==∴64r -=2r242436C i 15T x x ==-4x 415x -故答案为． 14．【答案】， 【解析】，记，，是奇函数，其图象关于坐标原点中心对称，则的最大值和最小值之和为，把的图象向上平移一个单位得到的图象， 即的图象关于点对称，且． 故答案为，． 15．【答案】 【解析】，，由，得，．，，点四点共圆，且圆心为的中点，弦是圆和圆的公共弦，又，即，且圆的半径， 圆…①，又圆…②，由①②，得弦所在直线方程为， 故答案为． 16415x -(0,1)22sin ()12cos x xf x x x+=++2sin ()2cos x x g x x x +=+22sin()sin ()()2()cos()2cos x x x xg x g x x x x x--+-==-=--+-+()g x ∴(0,0)()g x 0()g x ()()1f x g x =+()f x (0,1)0112M N +=++=(0,1)28210x y -+=820kx y k ++-=()820k x y ∴++-=8020x y +=⎧⎨-=⎩82x y =-⎧⎨=⎩()8,2P ∴-PA OA ⊥PB OB ⊥∴,,,O A P B C OP ∴AB O C 8020,22C -++⎛⎫⎪⎝⎭()4,1C -C 2OP R ==∴()()22241:x y C ++-=22:1O x y +=-AB 8210x y -+=8210x y -+=， 由题意得平面平面． 由于投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以就以平面为投影面． 如图①，构造四棱柱，作，， 连接，，易得平面，平面，则五边形即为三棱柱在平面内的正投影． 要计算的投影的面积即为图②所示图形的面积， 由题知，，在中，又，可得，， 故所求正投影的面积为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1；（2）5． 【解析】（1）在中，据余弦定理，有． 又，所以（2）因为，则， 所以． 21AB AA ⨯=12AA =//α1ABC 1ABC 1111ACDE AC D E -11C N CD ⊥11A M AE ⊥1B M 1B N 1C N ⊥11CAE D 1A M ⊥11CAE D 1B MACN 111ABC A B C -α11C D =12C C =11C DC Rt △1C N CD ⊥17D N =7CN =1222⨯=BCD △2227381cos 2737BDC +-∠==-⨯⨯0πBDC <∠<sin BDC ∠=BDC A ABD ∠=∠+∠60ABD BDC ∠=∠-︒()11sin sin 6027ABD BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--= ⎪⎝⎭在中，据正弦定理，有，所以． 18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为在正项数列中，， 可得，即，又因为，所以， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以． （2）由（1）知，，所以，所以，所以，所以．19．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）设，则，， ∴，∴， ∴．在等边三角形中，为的中点，∴， ∵面面，面，面面，∴面．∵面，∴． ∵，，∴面．∵，∴面，ABD △sin sin AD BDABD BAD=∠∠7sin 5sin BD ABDAD BAD⨯∠===∠2n a n =()1314499n nn T +-⋅=+{}n a ()()1122n n n n a a a a ++-=+()221120n n n n a a a a ++--+=()()1120n n n n a a a a ++--+=10n n a a ++>12n n a a +-={}n a 112a S ==()2212n a n n =+-=224nn n b n n =⋅=⋅231424344nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅()23414142434144nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅()2311141414344444441433n n n n n n T n n n +++-⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅- ⎪-⎝⎭()1314499n nn T +-⋅=+42AB =AD =1CF =CE =1EF ==222CF EF CE +=EF CF ⊥PBC E BC PE BC ⊥PBC ⊥ABCD PE ⊂PBC PBC ABCD BC =PE ⊥ABCD CD ⊂ABCD PE CD ⊥EF CD ⊥EFPE E =CD ⊥PEF //AB CD AB ⊥PEF∵面，∴面面．（2）由（1）知，，以为坐标原点，、、分别为、、轴 建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设面的法向量为，，取，得，，， 面的法向量为， ∴， ∴面与面． 20．【答案】（1）见解析；（2）分布列见解析，；（3）有的把握认为，详见解析． 【解析】（1）根据题意补全列联表，如下：（2）由题意，学生选考历史的概率为，且， AB PAB PEF ⊥PAB 2BD =DE BC ⊥E ED EC EP x y z P D C A -22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭AD =(DP =-PAD (,,)x y z =m 0⎧=⎪⎨=⎪⎩1z =x =0y ==m PEF (2,CD =6cos ,CD 〈〉==m PEF PAD 91095%22⨯31033,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ，， 的分布列为． （3）由表中数据，计算的观测值， 参照附表知，有的把握认为“选考物理与性别有关”．21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知可得双曲线方程为． ∵，∴交点为． 设椭圆的方程为，代入，得， ∴椭圆的方程为． （2）证明：显然直线与轴不垂直．设直线与椭圆相交于，， 由，得，∴，．∵，∴，()30373430C 101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()1213374411C 10101000P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2123371892C 10101000P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3333273C 101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()3931010E X =⨯=2K ()210040201030 4.762 3.84150507030k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯95%22184x y +=22144x y -=x =⎝⎭C 222214x y b b +=+⎝⎭24b =C 22184x y +=l x ():2l y kx m m =+≠22184:x C y +=()11,A x y ()22,B x y 22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214280k x kmx m +++-=122421km x x k -+=+21222821m x x k -=+90AMB ∠=︒()()1122,2,20x y x y -⋅-=即，， ∴，整理得，即． ∵，，整理得，∴， ∴直线恒过定点． 22．【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）定义域为，， 当时，，即在上单调递增，不合题意，；令，解得． 当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减， ，存在，使得成立，则，即，又， ，即，令，则， 在上单调递增，()()1212220x x y y +--=()121212240x x y y y y +-++=()()()121212240x x kx m kx m kx m kx m +++-++++=()()()()2212121220k x x k m x x m ++-++-=()()()2222228412202121m km k k m m k k --++-+-=++2m ≠()()()()22221242120k m k m k m ++-++-=320m +=23m =-l 20,3⎛⎫-⎪⎝⎭()0,1()f x ()0,∞+()()22221f x mx mx x x'=-=⋅-+0m ≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0m ∴>210mx -+=x =∴x ⎛∈ ⎝()0f x '>x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x '<()f x∴⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭()maxf x f ∴=0x ()01f x m >-()max 1m f x -<1m f -<11ln f m m m =⋅+=-1ln m m ∴-<-ln 10m m +-<()ln 1h m m m =+-()1110m h m m m+'=+=>()h m ∴()0,∞+又，， 即实数的取值范围为．（2）当时，，则， 当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减， 由且，知，令，， 则，在上单调递增，，即， ，又，；，，又且在上单调递减，，即．()ln11011h =-=+01m ∴<<m ()0,11m =()22ln 1f x x x =-+()()22212222x x f x x x x x--'=-==∴()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∈+∞()0f x '<()f x ∴()0,1()1,+∞∴12x x <()()12f x f x =1201x x <<<()()()2F x f x f x =--()0,1x ∈()()()()()()()22221221412022x xx F x x xxx x ----''=-⋅-=>--()F x ∴()0,1()()10F x F ∴<=()()2f x f x <-()()112f x f x ∴<-()()12f x f x =()()212f x f x ∴<-()10,1x ∈()121,2x ∴-∈21>x ()f x ()1,+∞212x x ∴>-122x x +>。
2021年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文数(三)答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷 文科数学（三）参考答案一、选择题 1～6 BBCDAB7～12 ABDCDB第（12）题提示：当1abc ≥时，2log 0abc ≥，2log ()1abcM abc =≥，当01abc <<时，2log 0abc <，2log ()1abcM abc =>；显然1N ≤；二、填空题 （13）4（14）6i（15）43（16）5第（16）题提示：设半径分别为1和2的两个实心小球的球心为1O 、2O ，过2O 作2O M ⊥下底面于点M ，过1O 作12O H O M ⊥于点H ，由题215O M =，25O H = 所以2211222HO O O O H =-=，所以底面直径为1125HO ++=.三、解答题（17）（本小题满分12分）解:（Ⅰ）由题2111412n n n S a a ----=+(2)n ≥， 2211422n n n n n a a a a a --=+--，221122n n n n a a a a --+=-，1112()()()n n n n n n a a a a a a ---+=-+，又数列{}n a 为正项数列，12n n a a --=(2)n ≥， {}n a 为公差为2的等差数列…………………………（3分）令1n =，21111442S a a a ==+，解得11a =， 1(1)21n a a n d n =+-=-……………（6分）（Ⅱ）1111[](21)(21)22121n b n n n n ==--+-+…………………………（9分）111111111[(1)()()](1)233521212212n T n n n =-+-++-=-<-++………………（12分） （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）[5060)，这组数据的频率为0.016100.16⨯=， 8500.16n ==…………（2分） [90100]，这组数据的频率为20.0450=，0.040.00410y ==………………（4分） 10.0160.040.010.0040.0310x =----=………………（6分） （Ⅱ）[80100]，的学生共有5010(0.010.004)7⨯⨯+=人， 设为,,,,,,a b c d e f g ，[90100]，的学生有2人，记为,f g .从7人当中抽取2人有(,),(,),(,),,(,)a b a c a d f g 共21种情况，………………（8分）其中至少有一人得分在[90100]，内的有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a f b f c f d f e f a g b g c g (,),(,),(,)d g e g f g 共11种情况；………………（10分）至少有一人得分在[90100]，内的概率为1121………（12分） （19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过M 作//MK BC 交PB 于点K ，连结AK ， //MN 平面PAB ， //MN AK …………（3分）四边形ANMK 为平行四边形，122AN MK BC ===……………………（6分） （Ⅱ）在等腰ABC ∆中，设BC 的中点为H ，则225AH AB BH =-=5CN ∴=……………（8分）152ANC S AN CN ∆=⋅⋅=114545333P ANC ANC V S PA -∆=⋅⋅==10分）M 是PC 中点， 12523A PMN P ANC V V --==……………（12分）（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题2(,)b P c a， 以线段PQ 为直径的圆截y 542225(2b c a+=，……………（3分） 又12c e a==，222a b c =+，联立可得1c =，2a =，3b =22:143x y C +=…（5分） （Ⅱ）设00(,)A x y ，00(,)B x y --，00:(2)2AD y l y x x =--，00:(2)2BD y l y x x =-+00(232)(23,)y M -，00(232)(23,)y N -……………（7分）联立2200143x y +=得，0200(838)(636)||||4||3y MN y y -==……………（10分）又00||3y < min ||623MN =-12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()x xf x a e -'=-，……………（2分） 当1a e =时，212(2)f b e e =-+，1(2)f e'=-切线为2112(2)y x b e e e =--+-+，代入点11()e e ， 解得1b e=……………（5分）（Ⅱ）由题2x xa e-=有两个解12,x x 令2()x x h x e -=，3()x x h x e-'=，所以()h x 在(,3)-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增；而(2)0h =，当x →+∞时，()0h x →，123x <<，23x >，且当13x →时，23x →；当12x →时，2x →+∞……………（7分）111121*********(2)1111()x x x x x x x x x x f x ax e e e e e e e -----=-+=++=+，同理2222211()x x x f x e e --=+令21()xx x k x e --=，23()x x xk x e -+'=()k x 在(,0)-∞和(3,)+∞上单调递减，在(0,3)上单调递增；……………（10分） 当13x →，23x →时，12()()k x k x +3102(3)k e <=当12x →，2x →+∞时，当2x →+∞时，2()0k x →，12()()k x k x +21(2)k e >=所以122312102()()(,)f x f x e e e e+∈++……………（12分） （22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）直线:l y x =，曲线22:22C x y +=……………（4分）（Ⅱ）设点00(,)P x y ，过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x ty y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)…………（6分） 联立曲线22:22C x y +=得：22200003(222)2202t x t x y ++++-=所以2200|22|4||||332x y PA PB +-⋅==…………（9分） 即2200|22|2x y +-=，即220024x y +=或220020x y +=，但220020x y +=时，点P 为原点在直线l 上不合题意舍去，所以点P 轨迹为2224x y +=.…………（10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ） 不等式()≥f x a 有解， max ()f x a ≥…………（2分）11,21141,42()1112,24411,4x x x f x x x x ⎧⎪⎪⎪-<⎪=⎨⎪--<⎪⎪⎪--⎩≥≤≤≤，…………（4分） 所以max ()1f x =，即1a ≤…………（5分） （Ⅱ）由题()1||f x x m +-≤恒成立，由（1）可得()1y f x =+的图象， 如下…………（7分）当函数||y x m =-的一段y x m =-经过点1(,2)2时， 满足要求，此时32m =-结合图象可知，当3(,]2m ∈-∞-时满足条件.……（10分）。
2021年全国高考数学模拟试卷(理科)(全国ⅲ卷)
2021年全国高考数学模拟试卷（理科）（全国Ⅲ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}，B＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1，3，5}B．{﹣3，﹣1，5}C．{﹣1，1，5}D．{﹣3，﹣1}2．（5分）设z＝（2+i）（1﹣2i），则z＝（）A．3+4i B．3﹣4i C．4+3i D．4﹣3i3．（5分）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝．某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍（其他三部数量保持不变）若干本．若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（）A．25本B．30本C．35本D．40本4．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝15，2a2＝a4+3，则S10＝（）A．80B．85C．100D．1205．（5分）（2x﹣y）（x+3y）4的展开式中x3y2项的系数为（）A．96B．﹣96C．120D．﹣1206．（5分）若函数f（x）＝e x+ax﹣1的图象经过点（1，e），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率k＝（）A．．e B．e+1C．e2D．e2+17．（5分）已知椭圆C的方程是，点在椭圆C上，过点A且斜率为的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的T＝150，则输出的n的值为（）A．4B．5C．6D．79．（5分）函数y＝﹣2x3+6x2﹣6x（x∈R）的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，且∠BAD ＝120°，P A＝AB＝AD＝2，则该四棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a，b＞0）的上焦点为F，过F作一条直线l与直线x ﹣4y＝0垂直，若l与双曲线的上、下支均有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）已知函数，若f（x）在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x＜0，向量，若，则x ＝．14．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足，则a n ＝．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M和N分别是棱D1D和A1B1的中点，现有下面四个结论：①直线ON⊥平面ACM；②直线ON∥平面AA1D1D；③直线BC1⊥平面CDN；④直线BD1与平面ACM相交．则其中正确结论的序号是．16．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的外接圆半径为，且a sin C+c cos A＝0．（1）求a；（2）若b+c＝，求△ABC的面积．18．（12分）据国家统计局公布的数据显示，从2015年到201年全国居民人均可支配收入x （单位：万元）与全国居民人均消费支出y（单位：万元）均呈现上升的趋势，得到统计数表（表中数据已四舍五入处理）如下：年份201520162017201820192.2 2.4 2.6 2.83.1全国居民人均可支配收入x1.6 1.7 1.82.0 2.2全国居民人均消费支出y（1）在给出的坐标系中画出散点图，求样本（x i，y i）（i＝1，2，⋯，5）的相关系数r的值，并说明两个变量x，y间的线性相关强度；（2）求出样本（x i，y i）（i＝1，2，⋯，5）的线性回归方程，并解释回归系数的实际意义；（3）利用（2）中的回归方程，预测当全国居民人均可支配收入为5万元时，全国居民人均消费支出是多少万元？（以上计算均精确到0.01）参考数据：，，，，，．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，3，⋯，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣；样本（x i，y i）（i＝1，2，3，⋯，n）的相关系数r＝．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，AB＝AA1＝，D是棱CC1的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面AB1D；（2）求平面ABD与平面AB1D所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝2x+sin x（cos x﹣a）（a∈R）．（1）当a＝3时，讨论f（x）在区间[0，2π]上的单调性；（2）若f（x）在区间上恰有两个不同的极值点，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（1，0）作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ于A，B两点，且．（1）求抛物线Γ的方程；（2）直线l的方程为y＝2x+m（m≠0），且直线l与抛物线Γ相交于C，D两点，若以CD为直径的圆E恰好经过点F，求圆E的半径．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4ρcosθ+ρsinθ＝3．（1）求曲线E的直角坐标方程和曲线M的普通方程；（2）在直角坐标系中，求曲线E与M的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+4|+x﹣2a+a2（a∈R）．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥6对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2021年全国高考数学模拟试卷（理科）（全国Ⅲ卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}，B＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1，3，5}B．{﹣3，﹣1，5}C．{﹣1，1，5}D．{﹣3，﹣1}【解答】解：因为A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥5}，B＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，所以A∩B＝{﹣3，﹣1，5}．故选：B．2．（5分）设z＝（2+i）（1﹣2i），则z＝（）A．3+4i B．3﹣4i C．4+3i D．4﹣3i【解答】解：z＝（2+i）（1﹣2i）＝2﹣4i+i﹣2i2＝4﹣3i．故选：D．3．（5分）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝．某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍（其他三部数量保持不变）若干本．若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（）A．25本B．30本C．35本D．40本【解答】解：根据题意，设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲书籍中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则，解得x≥35，即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本，故选：C．4．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝15，2a2＝a4+3，则S10＝（）A．80B．85C．100D．120【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质得S3＝3a2＝15，得a2＝5；又2a2＝a4+3＝10，则a4＝7，故d＝＝＝1，a1＝a2﹣d＝5﹣1＝4，则S10＝10×4+×1＝40+45＝85．故选：B．5．（5分）（2x﹣y）（x+3y）4的展开式中x3y2项的系数为（）A．96B．﹣96C．120D．﹣120【解答】解：依题意（x+3y）4的展开式的通项公式为，当4﹣r＝2时，得r＝2；当4﹣r＝3时，得r＝1，故可得展开式中含x3y2的项为，即展开式中x3y2项的系数为96，故选：A．6．（5分）若函数f（x）＝e x+ax﹣1的图象经过点（1，e），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率k＝（）A．．e B．e+1C．e2D．e2+1【解答】解：依题意，e＝f（1）＝e+a﹣1，解得a＝1，即函数f（x）＝e x+x﹣1，又f'（x）＝e x+1，得曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的斜率k＝f'（2）＝e2+1．故选：D．7．（5分）已知椭圆C的方程是，点在椭圆C上，过点A且斜率为的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆C的标准方程知其焦点在x轴上，过点A且斜率为的直线方程为，令y＝0，解得x＝1，可得椭圆的右焦点为F（1，0），则c＝1；又在椭圆C上，将A点坐标代入椭圆C的方程得，又a2＝b2+1，代入上式整理得4b4﹣9b2﹣9＝0，解得b2＝3或（舍去），则a2＝4，故椭圆C的方程为．故选：D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的T＝150，则输出的n的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：输入T＝150，第一次循环：a＝3，n＝1，S＝S+a＝3，满足3＜T，第二次循环：a＝6，n＝2，S＝S+a＝9，满足9＜T，第三次循环：a＝12，n＝3，S＝S+a＝21，满足21＜T，第四次循环：a＝24，n＝4，S＝S+a＝45，满足45＜T，第五次循环：a＝48，n＝5，S＝S+a＝93，满足93＜T，第六次循环：a＝96，n＝6，S＝S+a＝189，此时S＝189＞T，不满足条件S＜T，退出循环，输出的n的值为6．故选：C．9．（5分）函数y＝﹣2x3+6x2﹣6x（x∈R）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）＝﹣2x3+6x2﹣6x，得f（0）＝0，知f（x）的图象过原点O（0，0），排除A；又f'（x）＝﹣6x2+12x﹣6＝﹣6（x﹣1）2，显然f'（x）≤0（当且仅当x＝1时取等号）对x∈R恒成立，故f（x）在R上单调递减，排除C；又因为f（﹣x）＝﹣2（﹣x）3+6（﹣x）2﹣6（﹣x）＝2x3+6x2+6x≠﹣f（x），所以f（x）不是奇函数，排除D；故选：B．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，且∠BAD ＝120°，P A＝AB＝AD＝2，则该四棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，连接AC，设AC的中点为G，因为AB⊥BC，AD⊥CD，所以AC是底面ABCD外接圆的直径，又AB＝AD＝2，所以Rt△ABC≌Rt△ADC，又∠BAD＝120°，得∠BAC＝∠DAC＝60°，又P A⊥底面ABCD，则P A⊥AC，所以∠P AC＝90°，即PC是球的直径，则PC的中点Q为球心，连接OG，AO，易知OG∥P A，所以，且OG⊥底面ABCD．在Rt△ABC中，，则，又在Rt△AOG中，球半径，则该四棱锥外接球的体积．故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣＝1（a，b＞0）的上焦点为F，过F作一条直线l与直线x ﹣4y＝0垂直，若l与双曲线的上、下支均有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：由题意可知，F（0，c），直线l斜率为﹣4，则l的方程为y＝﹣4x+c，设l与双曲线上、下支的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与双曲线方程，消去x得（16b2﹣a2）y2+2a2cy﹣a2c2﹣16a2b2＝0，由l与双曲线上、下支均有交点，得16b2﹣a2≠0，且y1＞0，y2＜0，由韦达定理得，则16b2﹣a2＞0，即16（c2﹣a2）＞a2，则16c2＞17a2，可得且e＞1，解得，所以离心率的取值范围是．故选：B．12．（5分）已知函数，若f（x）在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由x∈[0，2π]，得，由A＞0，ω＞0，f（x）在区间[0，2π]上有且仅有4个零点得①，又f（x）在区间[0，2π]上有且仅有1个极大值点，②，依题意需同时满足①②式，于是得，即，解得，故ω的取值范围是．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x＜0，向量，若，则x＝﹣3．【解答】解：由，得＝（x+2，﹣3），因为，所以x（x+2）﹣3＝0，所以x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，又x＜0，所以x＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足，则a n＝．【解答】解：根据题意，则当n＝1时，，即；当n≥2时，（n≥2）①；又②，由①②，得S n﹣S n﹣1+a n﹣a n﹣1＝0，即2a n＝a n﹣1，则（n≥2），由于n＝2时，S2+a2＝，即2a2+a1＝，解得a2＝，满足＝×4＝．所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，故．故答案为：．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M和N分别是棱D1D和A1B1的中点，现有下面四个结论：①直线ON⊥平面ACM；②直线ON∥平面AA1D1D；③直线BC1⊥平面CDN；④直线BD1与平面ACM相交．则其中正确结论的序号是②③．【解答】解：不妨设正方体的棱长AB＝2．对于①，连接MO，若直线ON⊥平面ACM，则∠NOM＝90°，如图①所示，取AB中点F，连接OF，NF，易求得，再连接MN，BD，D1N，BD1，则，由于MN2＜ON2+MO2，得∠MON＜90°，知直线ON与平面ACM不垂直，故①错误；图①对于②，取AD的中点E，连接EO，A，E，ON，如图②所示，则EO∥AB∥A1N，且EO＝A1N＝1，知四边形A1EON为平行四边形，得ON∥EA1，且EA1⊂平面AA1D1D，而ON⊄平面AA1D1D，所以直线ON∥平面AA1D1D，故②正确；图②对于③，连接A1D，B1C，如图③所示，则平面CDN与平面A1B1CD为同一平面，易证直线BC1⊥平面A1B1CD，所以直线BC1⊥平面CDN，故③正确；图③对于④，如图④所示，连接AC，BD，OM，由于OM是△BDD1的中位线，知OM∥BD1，且OM⊂平面ACM，而BD1⊄平面ACM，所以直线BD1∥平面ACM，即直线BD1与平面ACM不相交，故④错误．图④综上所述，正确结论的序号是②③．故答案为：②③．16．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意，因为定义在R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]单调递增，则所以f（x）在[0，+∞）单调递减；又，于是由，得3f（lna）≥3f（1），从而有f（|lna|）≥f（1），则得|lna|≤1，即l﹣1≤lna≤1，且a＞0，解得．故a的取值范围是；故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的外接圆半径为，且a sin C +c cos A＝0．（1）求a；（2）若b+c ＝，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由a sin C +c cos A＝0，及正弦定理，得sin A sin C +sin C cos A＝0，又在△ABC中，C∈（0，π），则sin C≠0，可得sin A +cos A＝0，即得tan A ＝﹣，又A∈（0，π），则A ＝．又△ABC的外接圆的半径R ＝，由正弦定理＝2R，可得a ＝×＝3．（2）由（1）知a＝3，A ＝，又b+c ＝，则由余弦定理得9＝b2+c2﹣2bc cos＝（b+c）2﹣bc＝11﹣bc，解得bc＝2，则S△ABC ＝bc sin A ＝，故△ABC 的面积为．18．（12分）据国家统计局公布的数据显示，从2015年到201年全国居民人均可支配收入x （单位：万元）与全国居民人均消费支出y（单位：万元）均呈现上升的趋势，得到统计数表（表中数据已四舍五入处理）如下：年份201520162017201820192.2 2.4 2.6 2.83.1全国居民人均可支配收入x全国居民人均1.6 1.7 1.82.0 2.2消费支出y（1）在给出的坐标系中画出散点图，求样本（x i，y i）（i＝1，2，⋯，5）的相关系数r的值，并说明两个变量x，y间的线性相关强度；（2）求出样本（x i，y i）（i＝1，2，⋯，5）的线性回归方程，并解释回归系数的实际意义；（3）利用（2）中的回归方程，预测当全国居民人均可支配收入为5万元时，全国居民人均消费支出是多少万元？（以上计算均精确到0.01）参考数据：，，，，，．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，3，⋯，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣；样本（x i，y i）（i＝1，2，3，⋯，n）的相关系数r＝．【解答】解：（1）在坐标系中作出散点图如图所示：（2分）由于＝，＝，则由公式得．（4分）即两个变量x，y之间呈线性正相关，两者高度相关．（6分）（2）由于，，故回归方程为，（8分）回归系数表明当全国居民人均可支配收入每增加1万元时，全国居民人均消费支出大约平均增加0.68万元．（10分）（3）由（2）知，当x＝5时，得＝0.68×5+0.08＝3.48，即可预测全国居民人均消费支出是3.48万元．（12分）19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，AB＝AA1＝，D是棱CC1的中点．（1）求证：平面A1BD⊥平面AB1D；（2）求平面ABD与平面AB1D所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是棱CC1的中点，由DC1＝DC，∠DC1A1＝∠DCB＝90°，C1A1＝CB＝1，知Rt△DC1A1≌Rt△DCB，得DA1＝DB，△A1DB为等腰三角形．（2分）因为，则四边形AA1B1B为正方形，设两对角线A1B与AB1相交于点E，所以A1B⊥AB1，（4分）又因为E是A1B的中点，所以DE⊥A1B，且AB1∩DE＝E，所以A1B⊥平而AB1D，又A1B⊂平面A1BD，平面A1BD∩平面AB1D＝DE，故平面A1BD⊥平面AB1D．（6分）（2）解：由，知AC2+BC2＝AB2，由勾股定理的逆定理，得∠ACB＝90°，因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有CC1⊥平面ABC．故以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，（7分）易得，则，（8分）设平面ABD与平面AB1D所成的锐二面角为θ，由（1）知，BA1⊥平面AB1D，则平面AB1D的法向量为，设平面ABD的法向量为，则，即，令x＝1，则，得，（10分）则，故平面ABD与平面AB1D所成锐二面角的余弦值为．（12分）20．（12分）已知函数f（x）＝2x+sin x（cos x﹣a）（a∈R）．（1）当a＝3时，讨论f（x）在区间[0，2π]上的单调性；（2）若f（x）在区间上恰有两个不同的极值点，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝3时，，则f'（x）＝2+cos2x﹣3cos x＝2cos2x﹣3cos x+1，又x∈[0，2π]，令t＝cos x，则t∈[﹣1，1]，设f'（x）＝g（t）＝2t2﹣3t+1＝（2t﹣1）（t﹣1）（﹣1≤t≤1），由g（t）≤0，可得，即，解得或；由g（t）＞0，可得，即，解得．故函数f（x）在，单调递减，在单调递增；（2）由于，则f'（x）＝2+cos2x﹣a cos x＝2cos2x﹣a cos x+1，要使f（x）在区间上恰有两个不同的极值点，则f'（x）＝0在上有两个不同的解，由f'（x）＝0，即得a cos x＝2cos2x+1①，令m＝cos x，因为，则0＜m＜1，则①式可化为am＝2m2+1，即得关于m的方程在（0，1）上有两个不同的解，即y＝a和的图象在区间（0，1）上有两个不同的交点，又，当时，h'（m）＜0；当时，h'（m）＞0，则h（m）在单调递减，在单调递增，即当时，；当时，，则当时，函数y＝a和有两个不同的交点，故a的取值范围是．21．（12分）已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（1，0）作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ于A，B两点，且．（1）求抛物线Γ的方程；（2）直线l的方程为y＝2x+m（m≠0），且直线l与抛物线Γ相交于C，D两点，若以CD为直径的圆E恰好经过点F，求圆E的半径．【解答】解：（1）设直线AB的方程为y＝tan60°（x﹣1），即，将直线AB的方程代入抛物线Γ的方程中，整理得3x2﹣（2p+6）x+3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得，其△＝（2p+6）2﹣36＞0对p＞0恒成立，由弦长公式得，即，解得p＝4或p＝﹣10（舍去），故抛物线Γ的方程为y2＝8x．（2）设C（x3，y3），D（x4，y4），将l的方程y＝2x+m代入抛物线Γ的方程y2＝8x中，化简得4x2+（4m﹣8）x+m2＝0，由韦达定理得，其△＝（4m﹣8）2﹣16m2＞0且m≠0，解得m＜1且m≠0，由（1）易得F（2，0）．依题意知∠CFD＝90°，而，则①，又因C，D两点在直线l上，于是y3y4＝（2x3+m）（2x4+m）②，将②式代入①式整理得，即，化简得m2+24m＝0，且m≠0，解得m＝﹣24满足题意．设圆心E（x0，y0），则，即得圆心E（13，2），半径．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4ρcosθ+ρsinθ＝3．（1）求曲线E的直角坐标方程和曲线M的普通方程；（2）在直角坐标系中，求曲线E与M的交点坐标．【解答】解：（1）将ρcosθ＝x和ρsinθ＝y代入极坐标方程4ρcosθ+ρsinθ＝3中，得曲线E的直角坐标方程为4x+y﹣3＝0；将曲线M的参数方程化为，两式平方相加得，故曲线M的普通方程为；（2）将曲线E的直角坐标方程4x+y﹣3＝0，代入曲线M的普通方程中，整理得25x2﹣24x＝0，解得x＝0或，当x＝0时，y＝3；当时，．可得曲线E与M的两交点坐标为（0，3）和．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+4|+x﹣2a+a2（a∈R）．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥6对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝|2x+4|+x，则不等式f（x）≥6可化为|2x+4|+x≥6，当x＜﹣2时，不等式化为﹣x﹣4≥6，解得x≤﹣10，当x≥﹣2时，不等式化为3x+4≥6，解得，综上所述，不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣10或x≥}．（2）不等式f（x）≥6，可变形为6+2a﹣a2≤|2x+4|+x，令g（x）＝|2x+4|+x，于是原不等式等价于6+2a﹣a2≤g（x）对x∈R恒成立，则只需6+2a﹣a2≤[g（x）]min即可，而函数，当x＜﹣2时，g（x）＝﹣x﹣4在（﹣∞，﹣2）单调递减，当x≥﹣2时，g（x）＝3x+4在[﹣2，+∞）单调递增，则g（x）∈[﹣2，+∞），即[g（x）]min＝﹣2，从而得6+2a﹣a2≤﹣2，即得a2﹣2a﹣8≥0，解得a≤﹣2或a≥4．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．。
2021届高考全国卷Ⅲ模拟卷数学(理)试题
2021新课标Ⅲ高考压轴卷 数学（理）word 版含答案第I 卷（选择题）一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的1．已知集合{2,1,0,1}A =--，{|1}B x x =>-，则A B =（ ）A ．{2,1}--B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1}--2．已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（ ） A ．22a b >B ．33a b >C ．22a b >D ．22ac bc >3．已知复数812aiz i+=-为纯虚数，则a =（ ）A ．2B ．4C ．-16D ．-44．若实数x ，y 满足约束条件10,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则221z x y =++的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．212+5．下列函数中，是偶函数且值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2()1f x x =-B ．12()f x x =C ．2()log f x x =D ．()||f x x =6．数列{}na 是各项均为正数的等比数列，23a是3a 与4a 的等差中项，则{}na 的公比等于（ ） A ．2B ．32C ．3D ．27．下列结论正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ac bc >B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若0a b >>，0c >，则a c ab c b+>+ D ．若0a >，0b >，1a b +=，则()2log2ab >-8．祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为（ ）A ．4πB ．24h πC ．()22h π-D ．()24h π-9．已知向量a，b 满足3ab +=，0a b ⋅=，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a cb ⋅=⋅，则c 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．3210．()()522x y x y --的展开式中的33x y 系数为（ ） A ．200-B ．120-C ．120D ．20011．如图，已知双曲线()222210x y b a a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．54C ．43D ．3212．已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{}na的前n 项和为nS，651S =，822a =，则3a =______.14．在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.15．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则圆C 的标准方程为___________.16．在四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，122AD AB BC CD ====，5SA =，7SB SD ==，则三棱锥S ABD -外接球的表面积为______.三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答）(一)必做题17．已知公差不为0的等差数列{}na 满足11a=，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若12n nb-=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18．某省食品药品监管局对16个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况： 分数段 [0,7) [7,8) [8,9) [9,10] 食堂个数1384（1）现从16个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；（2）以这16个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X 表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X 的分布列及数学期望. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB =，4=AD ，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，点F 是PB 的中点，动点E 在边BC 上移动，且2PA =．（1）证明：PA ⊥底面ABCD ；（2）当点E 在BC 边上移动，使二面角E AF B --为60时，求二面角F AE P --的余20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上一点，且在第一象限内，过P 作直线与交y 轴正半轴于A 点，交x 轴负半轴于B 点，与椭圆C 的另一个交点为E ，且PA AB =，点Q 是P 关于x 轴的对称点，直线QA 与椭圆C 的另一个交点为F . （ⅰ）证明：直线AQ ，AP 的斜率之比为定值； （ⅱ）求直线EF 的斜率的最小值． 21．已知函数()sin x f x x e -=+．（1）求函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值； （2）证明：函数1()2()2x g x x e f x -=+-在(0,2)π有两个极值点12,x x ，并判断12x x +与2π的大小关系．(二) 选考题: 共10分。