高中数学圆锥曲线解题的十个大招(适用于2020高考)

1
高中数学圆锥曲线解题的十个大招
招式一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得
ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2
(1)y k x y x
=+⎧⎨
=⎩消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2
2
4
2
(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。

则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k
--。

线段的垂直平分线方程为：
221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则2
11
(,0)22
E k - ABE ∆为正三角形，∴2
11
(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d 32。

2
2
1212()()AB x x y y =-+-2
2
2141k k k -=
+2
12k d k
+=222
314112k k k k -++=39k =05
3
x =。

【涉及到弦的垂直平分线问题】
2
这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123
301y x x x b x x y x b ⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩
，进而可求出AB
的中点1
1(,)22M b --
+，又由11
(,)22
M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出2
21114(2)32AB =+-⨯-=．
3
招式二：动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，
且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率32c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。

从而椭圆的方程为
2
214
x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由
122
(2)44
y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，
21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211
22
11
284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122
k k k k t -∴=-+，直线MN 的方程为：121121
y y y y x x x x --=--，
∴令y=0，得211212x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=
又
2t >，∴402t
<
<椭圆的焦点为(3,0)4
3t
∴
=，即433t = 故当43
3
t =
时，MN 过椭圆的焦点。

招式三：过已知曲线上定点的弦的问题
4
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =
对称，求直线PQ 的斜率。

解：(I)
2BC AC =，且BC 过椭圆的中心O
OC AC
∴=0AC BC =2
ACO π
∴∠=
又
A (23,0)∴点C 的坐标为(3,3)。

A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：
22
2
112x y b += 将点C (3,3)代入方程，得2
4b =，∴椭圆E 的方程为
22
1124
x y += (II)
直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，
∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：
3(3)y k x -=-，即3(1)y kx k =+-，由223(1)3120
y kx k x y ⎧=+-⎪⎨
+-=⎪⎩消y ，整理得： 222(13)63(1)91830
k x k k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，
229183
313P
k k x k --∴=+即2
291833(13)P k k x k --=+同理可得：2
2
91833(13)
Q k k x k +-=+ 3(1)3(1)P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+＝()23P Q k x x k +-＝
2
123(13)
k k -+
2222918391833(13)3(13)
P Q k k k k x x k k --+--=-++＝2363(13)k k -+13P Q PQ
P Q y y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值
1
3。

5
招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM
上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.
解：（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点
C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a
焦距2c=2. .1,1,22
===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12
,222
=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2
3
0.
034)2
1(22
2>>∆=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G
)2(216
2
13),1(2182142
2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=
+则)2,()2,(,
2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又,,
2
1
21x x x x =
∴=∴λλ，)21
(332
)
21(33221)2()1(222
2+=+=++⇒k
k k λλ。