2021年湖南省长沙市中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
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一．选择题（共50小题）
1．二次函数y ＝x 2﹣2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A ．抛物线开口向下
B ．当x ＝0时，函数的最大值是﹣2
C ．抛物线的对称轴是直线x ＝2
D ．抛物线与x 轴有两个交点
2．已知抛物线y =−316
（x ﹣1）（x ﹣9）与x 轴交于A ，B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，⊙C 的半径为2，G 为⊙C 上一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为（ ）
A ．72
B ．2√3
C ．√412
D ．5
3．若抛物线y ＝x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．已知某
定弦抛物线的对称轴为直线x ＝2，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A ．（1，0）
B ．（1，8）
C ．（1，﹣1）
D ．（1，﹣6）
4．已知点（﹣1，y 1），（√2，y 2），（2，y 3）在函数y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣2（a ＞0）的图象上，
则将y 1、y 2、y 3按由大到小的顺序排列是（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＞y 3＞y 2
C ．y 2＞y 1＞y 3
D ．y 3＞y 2＞y 1
5．二次函数y ＝﹣2（x +1）2﹣4，下列说法正确的是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴为直线x ＝1
C ．顶点坐标为（1，4）
D ．当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大
6．如图在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx +n 与x 轴的轴交于点A
，与二次函数交于点。
2021年中考数学 二次函数的图象及其性质 一轮复习(含答案)
2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习一、选择题1. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为()A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，12. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交3. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋44. （2020·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（）A．abc＞0 B．4ac－b2＜0C．3a＋c＞0 D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根5. 已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y37. （2020·福建）10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22=-y ax ax 上的点，下列命题正确的是（ ）A.若12|1||1|->-x x ，则12>y yB.若12|1||1|->-x x ，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x ，则12=y yD.若12=y y ，则12=x x二、填空题8. 将抛物线y ＝－(x ＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y ＝－(x －1)2.9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. (2019•荆州)二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．11. 已知二次函数y=-(x -1)2+2，当t<x<5时，y 随x 的增大而减小，则实数t 的取值范围是 .12. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．13. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为________．14. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．三、解答题15. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．16. 如图，已知抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y＝x ＋3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点． (1)求m 的值；(2)求A 、B 两点的坐标； (3)点P (a ，b )(－3<a <1)是抛物线上一点，当△P AB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求a 、b 的值．17. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为524时，求sin PAD的值．2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－b2，得－b2＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.4. 【答案】C【解析】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x＝－b2a＝－1，知b＝2a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项A正确；根据抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，故选项B正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项C错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值n，即抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y ＝n＋1无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根，选项D正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C．5. 【答案】D【解析】当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B 错误；当a >0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a <0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．6. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)关于直线x ＝1对称，P 3(5，y 3)在图象的右下方部分上，因此，y 1＝y 2>y 3.7. 【答案】C【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax =a （x -1）2-a ，∴抛物线的对称轴为x =1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x ，则12=y y ，因此本题选C ． 二、填空题8. 【答案】右 39. 【答案】x 1=-2，x 2=1[解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7．11. 【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，因为t<x<5时，y 随x 的增大而减小，所以1≤t<5.12. 【答案】21(4)2yx =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．13. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．三、解答题15. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.16. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上， ∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9， 又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0， ∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎨⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6y ＝9，∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，解图∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15，S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分) 又∵S △PAB ＝2S △ABC ， ∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上， ∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1， ∴a ＝7－732，∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)17. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒， ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒， ∴22222132322926)2282164164PH PN t t t ⎫==-+=-+=--+⎪⎝⎭， ∴当6t =时，PH 92P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是924；②当点P 到直线AD的距离为524时，如图②所示，则2232521644t t -+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则221917(20)42P A ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴125344sin 172P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则222725(100)422P A ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，∴25224sin 252P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠的值是53434或210． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.。
2024年中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
2024年中考数学总复习：二次函数一．选择题（共25小题）1．抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（）A．直线x＝0B．直线x＝1C．直线x＝﹣1D．直线y＝12．将抛物线y＝﹣x2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1C．y＝﹣（x+2）2+5D．y＝﹣（x﹣2）2+53．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 4．把抛物线y＝x2+bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y＝x2﹣4x+7，则b＝（）A．2B．4C．6D．85．已知点（﹣3，y1），（2，y2），(−12，y3)都在函数y＝x2﹣1的图象上，则（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④9a+c＞3b；其中正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④7．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图像上有三点A（√2，y1），B（3，y2），A（0，y3），则y1，y2，y3为的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y18．A(−12，y1)，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1第1页（共17页）。
湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题05 一元二次方程(含答案解析)
专题05 一元二次方程一、单选题1．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（ ） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．2．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】本题根据题目所给新定义将方程12x =☆变形为一元二次方程的一般形式，即20ax bx c ++=的形式，再根据根的判别式24b ac ∆=-的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程12x =☆得：22x x -=整理得：220x x --=根据根的判别式2141(2)90∆=-⨯⨯-=>可知该方程有两个不相等实数根．故选D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据∆的值来判断根的情况，注意0∆>时有两个不相等的实数根；0∆=时有一个实数根或两个相等的实数根；∆<0时没有实数根． 3．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个【答案】D【分析】直线y x m =-+不经过第一象限，则m =0或m ＜0，分这两种情形判断方程的根．【详解】∵直线y x m =-+不经过第一象限，∴m =0或m ＜0，当m ＝0时，方程变形为x +1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m ＜0时，方程210mx x ++=是一元二次方程，且△=2414b ac m -=-，∵m ＜0，∴-4m ＞0,∴1-4m ＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．二、填空题4．（2021·湖南中考真题）一元二次方程2x 3x 0-=的根是_______．【答案】12x 0,?x 3== 【详解】四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．注意识别使用简单的方法进行求解，此题应用因式分解法较为简捷，因此，212x 3x 0x(x 3)0x 0x 30x 0,?x 3-=⇒-=⇒=-=⇒==，．5．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于x 的方程2120x kx --=的一个根为3，则k 的值为______．【答案】1-【分析】将3x =代入方程可得一个关于k 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将3x =代入方程2120x kx --=得：233120k --=，解得1k =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 6．（2021·湖南娄底市·中考真题）已知2310t t -+=，则1t t+=________．【答案】3．【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．【详解】 解：22111t t t t t t t++=+=，又∵2310t t -+=，∴213t t +=， 则2113=3t t t t t t++==， 故答案为：3．【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算． 7．（2021·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程250x x m -+=有两个相等的实数根，则m =________．【答案】254 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程250x x m -+=有两个相等的实数根，∴()2540m ∆=--=，解得：254m =， 故答案是：254． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则0∆=，是解题的关键． 8．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则实数k 的值为_______．【答案】9【分析】直接利用根的判别式进行判断即可．【详解】解：由题可知：“△=0”，即2640k -=；∴9k =；故答案为：9．【点睛】本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=0时，该方程有两个相等的实数根；△<0时，该方程无实数根．三、解答题9．（2021·湖南常德市·中考真题）解方程：220x x --=【答案】12x =，21x =-【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．详解：由原方程，得：（x +1）（x ﹣2）=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 10．（2021·湖南永州市·中考真题）若12,x x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则1212,b c x x x x a a+=-⋅=．现已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ． （1）若2,4m n ==-，求,p q 的值；（2）若3,1p q ==-，求m mn n ++的值．【答案】（1）1,8p q ==-；（2）-1．【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系得到2,q mn p m n p+=-=． （1）把2,4m n ==-，代入2,q mn p m n p+=-=，即可求出,p q 的值； （2）把3,1p q ==-，代入2,q mn p m n p +=-=，得到,2133m n mn +=-=-．利用整体代入即可求解． 【详解】 解：∵已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ，∴2,q mn p m n p+=-=． （1）当2,4m n ==-时，2,28q p p-=-=-， 解得1,8p q ==-，经检验，1,8p q ==-是方程的根，∴1,8p q ==-；（2）当3,1p q ==-时，,2133m n mn +=-=-． ∴21133m mn n m n mn ++=++=--=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到2,q mn p m n p+=-=是解题关键． 11．（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31万【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，根据题意列出等式解出x 即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，由题意得：210(1)12.1x +=，解得：110%x=，221 10x=-（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．。
中考数学总复习《二次函数的三种形式》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数的三种形式》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与c的部分对应值如下表则下列判断中正确的是().A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=3时，y＜0D．方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根2．若b<0，则二次函数y=x2-bx-1的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将二次函数y=2x2﹣4x+1化成顶点式是（）A．y=2（x+1）2﹣1B．y=2（x﹣1）2﹣1C．y=2（x+1）2+1 D．y=2（x﹣1）2+14．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4B．y=（x﹣1）2+4C．y=（x+1）2+2D．y=（x﹣1）2+25．二次函数y＝x2－6x＋5的图像的顶点坐标是（）A．(－3，4)B．(3，－4)C．(－1，2)D．(1，－4)6．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（）A．y=（x-2）2-1B．y=（x+2）2-1C．y=（x-2）2+7D．y=（x+2）2+77．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1B．直线x=-1C．直线x=2D．直线x=-28．已知二次函数的解析式为：y=-3（x+5）2﹣7，那么下列说法正确的是（）A．顶点的坐标是（5，-7）B．顶点的坐标是（-7，-5）C．当x=-5时，函数有最大值y=-7D．当x=-5时，函数有最小值y=-79．在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-2）2+1的顶点是点P，对称轴与x轴相交于点Q，以点P为圆心，PQ长为半径画⊙P，那么下列判断正确的是（）A．x轴与⊙P相离；B．x轴与⊙P相切；C．y轴与⊙P与相切；D．y轴与⊙P相交．10．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x-2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0，5B．0，1C．-4，5D．-4，111．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE⊙x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为（）A．y= 14（x+3）2B．y= 14（x﹣3）2C．y=﹣14（x+3）2D．y=﹣14（x﹣3）212．抛物线y=−(x−1)2−2的顶点坐标是（）A．（－1，－2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（1，2）二、填空题(共6题；共6分)13．将二次函数y=﹣2x2+6x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，则y=．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为15．已知某抛物线的顶点是(2,−1)，与y轴的交点到原点的距离为3，则该抛物线的解析式为．16．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为.17．将二次函数y=x2﹣2x+4化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．18．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．三、综合题(共6题；共74分)19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y=x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，⊙AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．21．用配方法将二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴（1）y=2x2+6x﹣12（2）y=﹣0.5x2﹣3x+3．22．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．23．已知二次函数y=x2−4x+3.（1）将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式：；（2）这个二次函数图象与x轴交点坐标为；（3）这个二次函数图象的最低点的坐标为；（4）当y<0时，x的取值范围是.24．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】C13．【答案】﹣2（x﹣32）2﹣1214．【答案】y=﹣2（x+2）2+115．【答案】y=(x−2)2−1或y=−12(x−2)2−116．【答案】( 32,- 14)17．【答案】（x﹣1）2+318．【答案】y=x2-8x+20．19．【答案】（1）解：设直线OA的解析式为y=kx∵A（2，4）∴2k=4，解得k=2∴线段OA所在直线的函数解析式为y=2x；（2）解：∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，∴y=2m（0≤m≤2），∴M（m，2m），∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m∴当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4（0≤m≤2）∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3（0≤m≤2）∴当m=1时，PB最短当PB最短时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2；（3）解：若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1）则方程a﹣1=（a﹣1）2+2有解．即方程a2﹣3a+4=0有解∵⊙=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7＜0．∴二次函数的图象不过点Q．20．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2）将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN⊙x轴将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4）∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4∴⊙AMB的面积为S=S⊙AMN+S梯形MNOB﹣S⊙AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4=2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．21．【答案】（1）解：y=2x2+6x﹣12=2（x+ 32）2﹣32，则该抛物线的顶点坐标是（﹣32，﹣32）对称轴是x=﹣3 2（2）解：y=﹣0.5x2﹣3x+3=﹣12（x+3）2+ 152，则该抛物线的顶点坐标是（﹣3，152），对称轴是x=﹣322．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4）令x=0，则y=﹣3∴与y轴交点为（0，﹣3）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：x…﹣10 123…y=x2﹣2x﹣3…0﹣3﹣4﹣30…（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜1223．【答案】（1）y＝（x－2）2－1（2）（1，0）或（3，0）（3）（2，－1）（4）1＜x＜324．【答案】（1）解：y=（x2﹣2x+1）﹣4=（x﹣1）2﹣4（2）解：令y=0，得x2﹣2x﹣3=0解得x1=3，x2=﹣1∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）。
2021年湖南省长沙市中考数学试卷及答案解析
2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列四个实数中，最大的数是（）A．﹣3B．﹣1C．πD．4【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜π＜4，∴最大的数是4，故选：D．【点评】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（）A．1.004×106B．1.004×107C．0.1004×108D．10.04×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：10040000＝1.004×107．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．3．下列几何图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6a C．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A．a3•a2＝a5,故此选项符合题意；B．2a+3a＝5a,故此选项不合题意；C．a8÷a2＝a6,故此选项不合题意；D．（a2）3＝a6,故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF 的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠CHG＝∠AGE＝100°，∴∠DHF＝∠CHG＝100°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位角相等．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【分析】直接由圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的性质判断即可．【解答】解：∵k＝2＞0，b＝1＞0，∴直线经过一、二、三象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质，当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过一、二、三象限．8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26， ∴这组数据的众数为23cm ，中位数为24cm ，故选：C ．【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ）A ．19B ．16C ．14D ．13 【分析】列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：1 2 3 4 5 6 1（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种， ∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为436=19， 故选：A ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．∴各选项中，只有A是正确的，故选：A．【点评】本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x2﹣2021x＝x(x﹣2021)．【分析】直接提取公因式x,即可分解因式．【解答】解：x2﹣2021x＝x(x﹣2021)．故答案为：x(x﹣2021)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为45°．【分析】利用垂径定理可得AC＝BC=12AB=12×4=2,由OC＝2可得△AOC为等腰直角三角形，易得结果．【解答】解：∵OC⊥AB,∴AC＝BC=12AB=12×4=2,∵OC＝2,∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为12．【分析】根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE=12AB，AB＝BC，即可求出BC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，又∵点E是边AB的中点，∴OE＝AE＝EB=12 AB，∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12，故答案为：12．【点评】本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为﹣1．【分析】把x＝3代入方程得出9﹣3k﹣12＝0，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：9﹣3k﹣12＝0，解得：k＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 2.4．【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝1.6，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为：2.4【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为50．【分析】利用共抽取作品数＝A等级数÷对应的百分比求解，即可求出一共抽取的作品份数，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．【解答】解：∵30÷25%＝120（份），∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120﹣30﹣28﹣12＝50（份），故答案为：50．【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。
中考数学复习---二次函数之二次函数综合知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习---二次函数之二次函数综合知识点总结与练习题（含答案解析） 知识点总结1. 二次函数与一元二次方程：①若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根⇔042＞ac b −=∆。
②若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴只有一个交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根⇔042=−=∆ac b 。
③若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根⇔042＜ac b −=∆。
④若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与直线m y =相交，则一元二次方程为m c bx ax =++2。
交点情况与方程的解的情况同与x 轴相交时一样。
2. 二次函数与不等式（组）若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与一次函数()0≠+=k b kx y 存在交点，则不等式：b kx c bx ax +++＞2的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；b kx c bx ax +++＜2的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。
3. 二次函数的一些特殊的自变量的函数值：①当1=x 时所对应的函数值为c b a y ++=。
②当1−=x 时所对应的函数值为c b a y +−=。
③当2=x 时所对应的函数值为c b a y ++=24。
④当2−=x 时所对应的函数值为c b a y +−=24。
4. 对称轴的特殊值：①若对称轴为直线1=x 时，则02=+b a 。
②若对称轴为直线1−=x 时，则02=−b a 。
③判断b a +2与0的大小关系时，看对称轴与1=x 的位置关系。
④判断b a −2与0的大小关系时，看对称轴与1−=x 的位置关系。
练习题1、（2022•巴中）函数y ＝|ax 2+bx +c |（a ＞0，b 2﹣4ac ＞0）的图像是由函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0，b 2﹣4ac ＞0）的图像x 轴上方部分不变，下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①2a +b ＝0；②c ＝3；③abc ＞0；④将图像向上平移1个单位后与直线y ＝5有3个交点．A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④【分析】根据函数图像与x 轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得2a +b ＝0，由图像可得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y 轴交点在x 轴下方，由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的开口方向，对称轴位置和抛物线与y 轴交点位置可得abc 的符号，求出二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点式，可得图像向上平移1个单位后与直线y ＝5有3个交点【解答】解：∵图像经过（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，∴﹣＝1，∴b ＝﹣2a ，即2a +b ＝0，①正确．由图像可得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y 轴交点在x 轴下方，∴c＜0，②错误．由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正确．设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图像向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；故选：D．2、（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图像，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；②：结合图像发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图像发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），∴，c＝1，∴ab＞0，∴abc＞0，故①正确；从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；∵，∴b＝2a，从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，将（0，1）代入得，1＝a+2，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，∴当x＝1时，y＝﹣2；∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．3、（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图像经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c ﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b ＝2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；∵x ＝﹣1时，y 有最小值，∴a ﹣b +c ≤at 2+bt +c （t 为任意实数），即a ﹣bt ≤at 2+b ，所以②正确；∵图像经过点（1，3）时，得ax 2+bx +c ﹣3＝0的两根为x 1，x 2（x 1＜x 2），∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3的另一个交点为（﹣3，3），即x 1＝﹣3，x 2＝1，∴x 1+3x 2＝﹣3+3＝0，所以③正确．故选：D ．4、（2022•日照）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图像如图所示，对称轴为x ＝23，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a +b ＝0；②若点（21，y 1），（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；③10b ﹣3c ＝0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣3a，∴3a+b＝0，①正确；∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，∴y1＜y2，故②正确；∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵对称轴x＝﹣＝，∴a＝﹣b，∴﹣b﹣b+c＝0，∴3c＝4b，∴4b﹣3c＝0，故③错误；∵对称轴x＝，∴点（0，c）的对称点为（3，c），∵开口向上，∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；故选：C．5、（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正确；∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；故选：B．6、（2022•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像关于直线x＝1对称，与x轴交于A （x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b ＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点以及x＝﹣1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a﹣b+c＜0，即可判断④．【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，∴3＜x2＜4，①正确，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，∵a＞0，∴3a+2b＜0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，由题意可知x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴a+c＜0，∴b2﹣4ac＞a+c，∴b2＞a+c+4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，∴3a+c＜0，∴c＜﹣3a，∴b＝﹣2a，∴b＞c，所以④错误；故选：B．7、（2022•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x 轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c ＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据函数图像的开口方向、对称轴、图像与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x ＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y ＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；【解答】解：①观察图像可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，∴点A（﹣5，0），点B（1，0），∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，∴b＝4a，∵a+b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴9a+4c＝﹣11a，∵a ＞0，∴9a +4c ＜0，故③正确；④当x ＝﹣2时，函数有最小值y ＝4a ﹣2b +c ，由am 2+bm +c ≥4a ﹣2b +c ，可得am 2+bm +2b ≥4a ，∴若m 为任意实数，则am 2+bm +2b ≥4a ，故④正确；故选：C ．8、（2022•烟台）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣21，且与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc ＞0；②a ＝b ；③2a +c ＝0；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【分析】根据对称轴、开口方向、与y 轴的交点位置即可判断a 、b 、c 与0的大小关系，然后将由对称轴可知a ＝b ．图像过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a ﹣2b +c ＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解．【解答】解：①由图可知：a ＞0，c ＜0，＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b ＝a ，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y ＝ax 2+bx +c ，∴4a ﹣2b +c ＝0，∵a ＝b ，∴2a +c ＝0，故③符合题意．④由图像可知：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的最小值小于0，令y ＝1代入y ＝ax 2+bx +c ，∴ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D ．9、（2022•广安）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图像如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （34，y 1）、C （31，y 2）、D （﹣31，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①正确，根据抛物线的位置，判断出a ，b ，c 的符号，可得结论；②③错误，利用对称轴公式，抛物线经过A （3，0），求出b ，c 与a 的关系，判断即可； ④正确．利用图像法判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，观察图像可知，y1＜y2＜y3，故④正确，故选：B．10、（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y 1）与（21，y 2）是抛物线上的两个点，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣3，x 2＝1；⑤当x ＝﹣1时，函数y ＝ax 2+（b ﹣k ）x 有最大值．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】利用图像的信息与已知条件求得a ，b 的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，b ＜0．∵a ＜0，b ＜0，∴ab ＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣3，0），∴9a ﹣3b +c ＝0，∴9a ﹣3×2a +c ＝0，∴3a +c ＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．11、（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图像知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图像看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．12、（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，∴3a +c ＝0，⑤错误．故答案为：①②③．13、（2022•内江）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于两点（x 1，0）、（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③2a ﹣c ＞0；④不等式ax 2+bx +c ＞﹣1x c x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】利用二次函数的图像和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，与y 轴交于正半轴， ∴a ＞0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确．∵当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴②错误．∵抛物线过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a﹣，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a﹣+c＜0，∴2a﹣c＞0，∴③正确．如图：设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④错误．故选：C．14、（2022•鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P（1，m），∴﹣＝1，b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A（2，1），∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；⑤∵a＜0，∴at2+bt﹣（a+b）＝at 2﹣2at ﹣a +2a＝at 2﹣2at +a＝a （t 2﹣2t +1）＝a （t ﹣1）2≤0，∴at 2+bt ≤a +b ，则⑤正确综上，正确的共有4个．故选：C ．15、（2022•达州）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图像如图所示，与y 轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＞0；②a ＞31；③对于任意实数m ，都有m （am +b ）＞a +b 成立；④若（﹣2，y 1），（21，y 2），（2，y 3）在该函数图像上，则y 3＜y 2＜y 1；⑤方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】①正确，判断出a ，b ，c 的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，b ＝﹣2a ，当x ＝﹣1时，y ＞0，解不等式可得结论； ③错误．当m ＝1时，m （am +b ）＝a +b ；④错误．应该是y 2＜y 3＜y 1，；⑤错误．当有四个交点或3个时，方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为2．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵y＝ax2﹣2ax﹣1，当x＝﹣1时，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a＞，故②正确，当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④错误，∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，当有3个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为3，当有4个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，当有2个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，故选：A．。
2021年湖南省长沙市中考数学试卷含答案详解(高清word版)
2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四个实数中，最大的数是( )A. −3B. −1C. πD. 42. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为( )A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×1063. 下列几何图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4. 下列计算正确的是( )A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a55. 如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为( )A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°6. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为( )A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°7. 下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是( )A.B.C.D.8. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，249. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是( )A. 19B. 16C. 14D. 1310. 在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是( )A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 分解因式：x2−2021x=______ ．12. 如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为______ ．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为______ ．14. 若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为．15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______ ．16. 某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。
湖南省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编--专题11 二次函数(解答题)(解析版)
专题11 二次函数（解答题）1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ． 【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+， 化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930mW b m -=-+⨯，化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+， 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则40b -=，得4b =， 当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元． 【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-； ∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=， 解得：123,7x x ==， ∴3x =；答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=+；（2）4；（3）4． 【分析】（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c 的值，根据二次函数的对称轴可得b 的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为2bx =-，再分0b ≤，02b <<和2b ≥三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于b 的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根据21y y ≥可得2340x x m ++-≥，令2334y x x m =++-，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点(0,4)代入21y x bx c =++得：4c =， 二次函数的对称轴为1x =，12b∴-=，解得2b =-， 则此二次函数的表达式为2124y x x -=+； （2）20b c -=，即2c b =，222213()24b y x bx b x b =++=++∴，则此二次函数的对称轴为2bx =-，由题意，分以下三种情况： ①当2bb ≤-，即0b ≤时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而减小， 则当x b =时，1y 取得最小值， 因此有22221b b b ++=，解得b =0b =>（不符题设，舍去）； ②当32bb b -<-<，即02b <<时，在32b b x -≤≤-内，1y 随x 的增大而减小；在2bx b -<≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当2bx =-时，1y 取得最小值， 因此有23214b =，解得2b =>或0b =-（均不符题设，舍去）； ③当32bb -≥-，即2b ≥时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当3x b =-时，1y 取得最小值，因此有223(3)2124b b b -++=， 解得4b =或12b =-<（不符题设，舍去），综上，b 的值为4；（3）由（1）可知，2124y x x -=+，由21y y ≥得：22224x x m x x ++≥-+，即2340x x m ++-≥， 令2334y x x m =++-，在01x ≤≤内，3y 随x 的增大而增大，要使得当01x ≤≤时，总有23340y x x m =++-≥，则只需当0x =时，30y ≥即可，因此有40m -≥， 解得4m ≥，则实数m 的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．4．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）4,1,4-；（2）当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”，理由见解析；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【分析】（1）先根据关于y 轴对称的点坐标变换规律可得,r s 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 的坐标代入“T 函数”即可得；（2）分0k ≠和0k =两种情况，当0k ≠时，设点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是一对“T 点”，将它们代入函数解析式可求出0k =，与0k ≠矛盾；当0k =时，y p =是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，且有无数对“T 点”；（3）先将点(0,0)O 代入2y ax bx c =++可得0c，再根据“T 函数”的定义可得0b =，从而可得2y ax =，与直线y mx n =+联立可得12,x x 是方程20mx n ax --=的两实数根，然后利用根与系数的关系可得1212,m n x x x x a a+==-，最后根据()11211x x --+=化简可得n m =-，从而可得y mx m =-，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：点()1,A r 与点(),4B s 关于y 轴对称，4,1r s ∴==-，()1,4A ∴， 10>，∴将点()1,4A 代入2y tx =得：4t =，故答案为：4,1,4-；（2）由题意，分以下两种情况： ①当0k ≠时，假设关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”，点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是其图象上的一对“T 点”，则0000kx p y kx p y +=⎧⎨-+=⎩，解得0k =，与0k ≠相矛盾，假设不成立，所以当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”； ②当0k =时，函数y kx p p =+=是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，它有无数对“T 点”；综上，当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）由题意，将(0,0)O 代入2y ax bx c =++得：0c，2y ax bx ∴=+，设点333(,)(0)x y x ≠与点33(,)x y -是“T 函数”2y ax bx =+图象上的一对“T 点”，则23332333ax bx y ax bx y ⎧+=⎨-=⎩，解得0b =， 2(0)y ax a ∴=>，联立2y ax y mx n⎧=⎨=+⎩得：20mx n ax --=，“T 函数”2y ax =与直线y mx n =+交于点()11,M x y ，()22,N x y ，12,x x ∴是关于x 的一元二次方程20mx n ax --=的两个不相等的实数根，1212,m n x x x x a a ∴+==-， ()11211x x --+=，2211x x x x +=∴，即m na a=-， 解得n m =-，则直线l 的解析式为y mx m =-， 当1x =时，0y m m =-=，因此，直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【点睛】本题考查了关于y 轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“T 函数”和“T 点”的定义是解题关键．5．（2021·湖南株洲市·中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值． 【答案】（1）=8∆ （2）①证明见解析；②1c x =2【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可．（2）①通过条件，得到OC=OB ，再根据ASA 即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明AOF DEB △△，得到AO OFDE EB=，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】解：（1）当12a =，2b c ==-时，方程为：212202x x --=， ()()2214242=82b ac ∆=-=--⨯⨯-，（2）①证明：∵12b x x a +=-，且1bc x a-+=，∴2x c =-， ∴OC OB c ==， 在AOC △与DOB 中，90ACO ABDOC OBAOC DBO ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()AOC DOB ASA ≅△△．②解：ACO CAF CBD ∠=∠+∠，ACO CFA CAF ∠=∠+∠， ∴CFA CBD ∠=∠， ∵DE BC ⊥， ∴90DEB ∠=， 又∵90AOF ∠=， ∴AOF DEB △△， ∴AO OFDE EB=， ∵OC OB c ==，且90COB ∠=， ∴45OCB ∠=,BC =， 在DEC Rt △中，45OCB ∠=，∴DC ==，又∵AOC DOB ≅△△，∴1OD OA x ==-，又∵OC OD DC =+，∴1DC c x =-+，)122DE CE DC c x ===-+，∴))1122EB BC CE c x c x =-=--+=-+， ∵AO OF DE EB=，1122x x --= ， 即：21120c c x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1c x =2或1c x =-1（舍）， 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .6．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）①32m =；②不存在，理由见解析 【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）①设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）， ∴10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴b =2-，c =3-；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --，设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵0<m <3，∴PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214， ∵-1<0， ∴当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； ②∵抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3，∴C （0，-3），∴OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），∵PQ ∥OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3，当点Q 在点P 上方时，∴PQ =2333m m -++=，即230m m -+=，∴()30m m -=，解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时，若点Q 在第三象限，如图，∵∠COQ=45°，根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，此时OA=1≠OC=3，菱形不存在，若点Q在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁1,1,2021,2021……都是“雁点”．点”．例如()()（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或312⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出 “雁点”坐标即可； （2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EM H 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩ 即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--． （2）① 联立25y x y ax x c =⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴ 2440ac ∆=-=∵ 4c a= ∵ 1a >∴ 04c <<② 将4c a =代入，得2440E E ax x a++= 解得2k x a =-，∴ 22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x aα=++，令0y = 有2450ax x a++= 解得41,N M x x a a=-=-∴ 4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a---= ∴2EH MH a ==∴ EM H 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵ △CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩ ∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+= ∴ 315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴ KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m y y m x -=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得12222x x ==∴3)2P或3)2P如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y -=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122=22x x = ∴ 此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或3)2，或3)2，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．8．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O的半径为E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．【答案】（1）2124y x x -=；（2）()4,4A -，8y x =-；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A 、B 坐标求出AB 解析式即可；（3）根据二次函数对称性可知ABO 为等腰三角形，再根据O 、A 、B 三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；（4）根据题意可知动点E 的运动时间为12t AP PB =+，在OA 上取点D ，使OD =可证明APO △∽PDO △，根据相似三角形比例关系得12PD AP =，即12t AP PB PD PB =+=+，当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．【详解】解：（1）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过(2,3)C -，且与x 轴交于原点及点()8,0B ∴0c ，二次函数表达式可设为：()20y ax bx a =+≠将(2,3)C -，()8,0B 代入2y ax bx =+得：3420648a b a b -=+⎧⎨=+⎩解这个方程组得142a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∵二次函数的函数表达式为2124y x x -= （2）∵点A 为二次函数图像的顶点， ∴421224b x a =-=-⨯=-，22140(2)4414444ac b y a ⨯⨯---===-⨯ ∴顶点坐标为：()4,4A -，设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，则有：4408k m k m -=+⎧⎨=+⎩解之得：18k m =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的函数表达式为8y x =-（3）ABC 是等腰直角三角形，过点A 作AF OB ⊥于点F ，易知其坐标为(4,0)F∵ABC 的三个顶点分别是()0,0O ，()4,4A -，()8,0B，∴808OB =-=，OA ===AB ===且满足222OB OA AB =+∴ABC 是等腰直角三角形（4）如图，以O 为圆心，P 在圆周上，依题意知：动点E 的运动时间为12t AP PB =+在OA 上取点D ，使OD =连接PD ，则在APO △和PDO △中，满足：2PO AO OD OP==，AOP POD ∠=∠， ∴APO △∽PDO △，∴2AP PO AO PD OD OP===，从而得：12PD AP = ∴12t AP PB PD PB =+=+ 显然当B 、P 、D 三点共线时，PD PB +取得最小值，过点D 作DG OB ⊥于点G ，由于OD =且ABO 为等腰直角三角形，则有1DG =，45DOG ∠=︒，∴动点E 的运动时间t 的最小值为：t DB ==== 【点睛】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．9．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =-++；（2）顶点是在直线EF 上，理由见解析；（3）P 点坐标为（9，114-）． 【分析】 （1）先求出A 点坐标，再求出直线AB 的解析式，进而求得E 的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）先求出点F 的坐标，再求出直线EF 的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然后进行判定即可；（3）设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），求出直线BP 的解析式，进而求得M 的坐标；再求FQ 的解析式，确定Q 的坐标，可得|MQ |=()182p -+6，最后根据S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ 列出关于p 的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD ，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-∴A （3，10），设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则10302k b k b =+⎧⎨=-+⎩ ，解得24k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，当x =0时，y =4，则E 的坐标为（0,4），设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx +c ，()()220220884a b c a b c c ⎧=-+-+⎪=⋅++⎨⎪=⎩ ，解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为213442y x x =-++； （2）顶点是在直线EF 上，理由如下：∵F 是AD 的中点，∴F （8,10），设直线EF 的解析式为y =mx +n ，则4108n m n =⎧⎨=+⎩，解得344m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线EF 的解析式为y =34x +4， ∵213442y x x =-++， ∴抛物线的顶点坐标为（3，254）， ∵254=34×3+4， ∴抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）∵()()21314=-x+28424y x x x =-++-，则设P 点坐标为（p ，()()1-p+284p -），直线BP 的解析式为y =dx +e ， 则()()021-p+284d e p pd e =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得()()184182d p e p ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线EF 的解析式为y =()184p --x +()182p -， 当x =0时，y =()182p -，则M 点坐标为（0，()182p -）， ∵AB //FQ ， ∴设FQ 的解析式为y =2x +f ，则10=2×8+f ，解得f =-6，∴FQ 的解析式为y =2x -6 ，∴Q 的坐标为（0，-6），∴|MQ |=()182p -+6， ∴S △PBQ = S △MBQ + S △PMQ =1122QM OB QM PN +=()12QM OB PN + =()()1186222p p ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ =219842p p -++ ∴当p =9时，PBQ △的面积最大时，∴P 点坐标为（9，114-）．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所需的函数解析式成为解答本题的关键．10．（2021·湖南中考真题）已知函数2(0)(0)x x y x x -≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，点()11,A x y 在第一象限内的函数图象上．（1）若点()22,B x y 也在上述函数图象上，满足21x x <．①当214y y ==时，求12,x x 的值； ②若21x x =，设12=-w y y ，求w 的最小值；（2）过A 点作y 轴的垂线AP ，垂足为P ，点P 关于x 轴的对称点为P '，过A 点作x 轴的线AQ ，垂足为Q ，Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，直线AQ '是否与y 轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）①122,4x x ==-；②14-；（2）直线AQ '与y 轴交于定点，定点的坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）①先确定20x ≤，再根据214y y ==代入求解即可得；②先确定2210,x x x <-=，从而可得21122,y x y x ==-，再代入w 可得一个关于1x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得；（2）先分别求出点,,P P Q '的坐标，再利用待定系数法求出直线,AP QQ ''的解析式，从而可得点Q '的坐标，然后利用待定系数法求出直线AQ '的解析式，由此即可得出结论．【详解】解：（1）①对于二次函数2y x ，在0x >内，y 随x 的增大而增大，21211,40,x x x y y <>==，20x ∴≤，则当14y =时，214x =，解得12x =或120x =-<（舍去），当24y =时，24x -=，解得24x =-； ②21121,0,x x x x x <>=，2210,x x x ∴<-=，21122,y x y x ∴==-，则22121211()w y y x x x x =-=--=-， 化成顶点式为2111()24w x =--， 由二次函数的性质可知，在1>0x 内，当112x =时，w 取最小值，最小值为14-； （2）由题意，设'AP 与QQ '交于点B ，画图如下，11(x ,)A y 在已知函数的第一象限内的图象上，211y x ∴=，即211(,)A x x ，AP y ⊥轴，AQ x ⊥轴，点P 关于x 轴的对称点为P '，22111(0,),(0,),(,0)P P Q x x x '∴-，设直线'AP 的解析式为11y k x b =+，将点22111(,),(0,)P A x x x '-代入得：21111211k x b x b x ⎧+=⎨=-⎩，解得112112k x b x =⎧⎨=-⎩， 则直线'AP 的解析式为2112y x x x =-， Q 关于直线'AP 的对称点为Q '，QQ AP ''∴⊥，∴设直线QQ '的解析式为2112b x y x +=-， 将点1(,0)Q x 代入得：121201x b x -+=，解得212b =， 则直线QQ '的解析式为11212x y x +=-， 联立211121122y x x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，解得211212121(12)4141x x x x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即22111221141(12),41x x x B x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 设点Q '的坐标为(,)Q m n '， 则2111212121(12)2410241m x x x x x n x ⎧++=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得121212141241x m x x n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即21122114142,1x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭， 设直线AQ '的解析式为33y k x b =+， 将点22111122112(,),1,414x x A x x Q x x ⎛⎫' ⎪++⎝⎭代入得：2313121133221124141k x b x x x k b x x ⎧+=⎪⎨+=⎪++⎩， 解得2131314414x k x b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AQ '的解析式为21144114x y x x -=-+，当0x =时，14y =， 即直线AQ '与y 轴交于定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、轴对称等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．11．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x =2.5；（2）①()()=-+1-2y x x ；②1或4【分析】 （1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a 的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；②根据条件求出A 、B 、C 、D 四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m 的值．【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x =（1+4）÷2=2.5,；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，根据交点式可求出C 1二次函数表达式为()()=-+1-2y x x ；②根据①中的函数关系式，可得A （2,0），B （-1,0），C （0,2），D （m ，2-++2m m ），且m ＞0 由图像可知∠BOC =∠DEO =90°，则以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似有两种情况，（i ）当△ODE ∽△BCO 时， 则OE DE OB OC =，即2-++2=12m m m ， 解得m =1或-2（舍），（ii ）当△ODE ∽△CBO 时， 则OE DE OC OB =，即2-++2=21m m m ，解得m所以满足条件的m 的值为1 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．12．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =-++；（2）直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时AP PC +的最小值为（4）存在，()3,4N 或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入求解即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，然后把点B 、C 的坐标代入求解即可；（3）由题意易得点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，然后问题可求解；（4）由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，然后可分①当AC 为对角线时，②当AM 为对角线时，③当AN 为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．【详解】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）由（1）可得抛物线的解析式为234y x x =-++，∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴()0,4C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把点B 、C 的坐标代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+；（3）由抛物线234y x x =-++可得对称轴为直线322b x a =-=，由题意可得如图所示：连接BP 、BC ，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴AP BP =，∴AP PC BP PC +=+，要使AP PC +的值为最小，则需满足点B 、P 、C 三点共线时，即为BC 的长，此时BC 与对称轴的交点即为所求的P 点，∵4OC OB ==，∴BC =∴AP PC +的最小值为∵点P 在直线BC 上， ∴把32x =代入得：35422y =-+=， ∴35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （4）存在，理由如下：由题意可设点()()2,0,,34M m N n n n -++，()()1,0,0,4A C -，当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：①当AC 为对角线时，如图所示：连接MN ，交AC 于点D ，∵四边形ANCM 是平行四边形，∴点D 为AC 、MN 的中点，∴根据中点坐标公式可得：A C M N A C M N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21004034m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩， 解得：43m n =-⎧⎨=⎩，∴()3,4N ；②当AM 为对角线时，同理可得：A M C N A M C N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21000434m n n n -+=+⎧⎨+=-++⎩，解得：n =，∴4N ⎫-⎪⎪⎝⎭；③当AN 为对角线时，同理可得：A N M C A N M C x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，即21003440n m n n -+=+⎧⎨-++=+⎩， 解得：3n =，∴()3,4N ；∴综上所述：当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）314；（3）存在，()1,0F -或52839F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）直接将()1,0A -，()4,0B 两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点P 的坐标，接着表示出Q 点和M 点的坐标后，求出线段PQ 和QM 的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；（3）先利用锐角三角函数证明出CBA ∠=DQM ∠，进而得到F 点的其中一个位置，在BC 另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF 与y 轴的交点，进而求出BF 的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F 点的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点， ∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴该抛物线的函数表达式为：213222y x x =-++； （2）∵3y kx =+经过点A ，∴30k -+=，∴3k =，。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题
函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。
类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。