河南省许昌市2021届新高考数学三模考试卷含解析
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河南省许昌市2021届新高考数学三模考试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,四面体ABCD 中,面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形,2AB =,2
BAD CBD π
∠=∠=
,
且二面角A BD C --的大小为
23
π
,若四面体ABCD 的顶点都在球O 上,则球O 的表面积为( )
A .
223
π
B .
283
π
C .
2
π D .
23
π 【答案】B 【解析】 【分析】
分别取BD 、CD 的中点M 、N ,连接AM 、MN 、AN ,利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23
AMN π
∠=
,然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ,在Rt OMN ∆中计算出OM ,再利用勾股定理计算出OA ,即可得出球O 的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案. 【详解】 如下图所示,
分别取BD 、CD 的中点M 、N ,连接AM 、MN 、AN ,
由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形,M 为BD 的中点,AM BD ∴⊥,
角A BD C --的平面角为23
AMN π∠
=
, 2AB AD ==,则2
2
2BD AB AD =
+=,
且2BC =,所以,112AM BD ==,1
12
MN BC ==, ABD ∆是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形,所以,ABD ∆的外心为点M ,同理可知,BCD ∆的外心
为点N ,
分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ,则点O 在平面AMN 内,如下图所示,
由图形可知,2326
OMN AMN AMO πππ
∠=∠-∠=
-=, 在Rt OMN ∆中,3cos 2
MN OMN OM =∠=
,23
3OM ∴=
=
所以,2221
3
OA OM AM =
+=
, 所以,球O 的半径为213R =,因此,球O 的表面积为2
2
2128443R πππ=⨯=⎝⎭
. 故选:B. 【点睛】
本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题. 2.已知复数z 满足
i z
1
1=-,则z =( ) A .1122i + B .
1122i - C .1122
-+i
D .1122
i --
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】
所以,1122
z i =-. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.
3.已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2
140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则
m 的取值范围是( )
A .44,e e 1⎛⎫
--- ⎪+⎝⎭
B .()4,3--
C .4e ,3e 1⎛⎫--
- ⎪+⎝⎭ D .4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭
【答案】A 【解析】
()e x f x x ==e ,0
e ,0x
x x x x x
⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2
e 10,1,0,1x x
f x x x x -===∈时,()f x 单调递减,()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当
0x <时,()()2
e 10x x
f x x
-
'-=>恒成立,(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程
()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛
⎫∈---
⎪+⎝
⎭
. 4.在三棱锥D ABC -中,1AB BC CD DA ====,且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ,CD 的中点,下面四个结论: ①AC BD ⊥; ②//MN 平面ABD ;
③三棱锥A CMN -
; ④AD 与BC 一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是( ) A .①②③ B .②③④
C .①④
D .①②④
【答案】D
①通过证明AC ⊥平面OBD ,证得AC BD ⊥;②通过证明//MN BD ,证得//MN 平面ABD ;③求得三棱锥A CMN -体积的最大值,由此判断③的正确性;④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】
设AC 的中点为O ,连接,OB OD ,则AC OB ⊥,AC OD ⊥,又OB
OD O =,所以AC ⊥平面OBD ,
所以AC BD ⊥,故①正确;因为//MN BD ,所以//MN 平面ABD ,故②正确;当平面DAC 与平面ABC 垂直时,A CMN V -最大,最大值为1122
34448
A CMN N ACM V V --=
⨯⨯=
=,故③错误;若AD 与BC 垂直,又因为AB BC ⊥,所以BC ⊥平面ABD ,所以BC BD ⊥,又BD AC ⊥,所以BD ⊥平面ABC ,所以
BD OB ⊥,因为OB OD =,所以显然BD 与OB 不可能垂直,故④正确.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
5.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k 的值是( ) A .1 B .-3
C .1或
53
D .-3或
173
【答案】D 【解析】 【分析】 2
2
2512645(12)
k ⨯-+=+-,解方程即得k 的值.
【详解】