两角和与差公式应用
两角和与差的公式定理
两角和与差的公式定理两角的和与差是数学中的重要概念，在解决三角函数问题时经常用到。
这里我们将介绍两角和与差的公式定理，并给出证明过程。
1.两角和的公式定理：设角A和角B的角度分别为α和β，则两角的和角是角A+角B，记作(A+B)，其三角函数公式如下：sin(A + B) = sinA*cosB + cosA*sinBcos(A + B) = cosA*cosB - sinA*sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)证明：我们可以使用欧拉公式来证明两角和的公式定理：欧拉公式表示：e^(ix) = cosx + i*sinx，其中 i 是虚数单位。
我们将角A和角B分别替换为复数表示，即A=α+iβ，B=γ+iδ。
根据欧拉公式，我们可以得到：e^(i(α+iβ)) = e^(iα-iβ) = cos(α-β) + i*sin(α-β)将等式两边展开，得到：e^(iα-iβ) = cosα*cosiβ + sinα*siniβ + i*(sinα*cosiβ- cosα*siniβ)对比实部和虚部，可以得到：co s(α-β) = cosα*cosβ - sinα*sinβsin(α-β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ这就是两角和的公式定理。
2.两角差的公式定理：设角A和角B的角度分别为α和β，则两角的差角是角A-角B，记作(A-B)，其三角函数公式如下：sin(A - B) = sinA*cosB - cosA*sinBcos(A - B) = cosA*cosB + sinA*sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)证明：同样使用欧拉公式，我们可以得到：cos(α+β) + i*sin(α+β) = e^(i(α+β))cosα*cosiβ - sinα*siniβ + i*(sinα*cosiβ + cosα*siniβ) = e^(i(α+β))对比实部和虚部，可以得到：cos(α+β) = cosα*cosβ - sinα*sinβsin(α+β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ将等式两边进行替换，我们可以得到两角差的公式定理。
两角和与差的三角公式应用版
6
5
的值是_________
3
4
A. 5
B. 3
5
C. 3
2
D. 3
5
2.已知函数 f (x) 3 sin2 x sin x cos x 3 (x R)
（1）若
x
0,
2
求 f (x) 的最大值。
2
1
（2）在△ABC中，A<B，
f (A)
f (B) 2
求A，B，C的值。
x已∈知函4数，f2(x).=求2sfi(nx2)的4最 大x 值 和3最c小os值2x．，
考点二、两角和与差公式的应用
1.已知 tan( ) 2, tan 1
4
2
（1）求tan 2的值；
（2）求sin( ) 2sin cos 的值。 2sin sin cos( )
1
且(a3、)已b均知为ta锐n 角a=，7求a+，2btan b=
1 3
，并
1.已知sin( ) cos 4 3 则 sin( )
-7
3.
(教材改编题)已知cos
，则sin a的值为(
2a=
)
1 2
，其中a∈
4
0
A. 1
2
B. - 1
2
C. 3
2
D. - 3
2
4. f(x)=2sin x-2cos x的值域是________．
本节收获：
二、二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；
cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝
；
tan2α＝
2tanα 1－tan2α .
其公式变形为：
三角函数两角和差公式考点及例题讲解
两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲解读 1.直接正用公式求值；2.逆用公式化简求值；3.利用公式求角．[基础梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin_β. (3)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (4)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α. (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α.(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．降幂公式 (1)cos 2α＝1＋cos 2α2.(2)sin 2α＝1－cos 2α2. [三基自测]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，则sin α的值为( ) A.817 B.153＋834C.15－8334D.15＋8334答案：D2．化简cos 15 °cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32答案：A3．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan 2α＝( )A.247 B ．－247C.724 D ．－724答案：B4．(必修4·习题3.1A 组改编)tan 54π＋tan 512π1－tan 512π＝________.答案：－35．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝55，则cos 2α＝__________. 答案：－35[考点例题]考点一 给角求值|方法突破[例1] (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116C.116D.18 (2)2cos 10 °sin 70°－tan 20°＝________.[解析] (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝cos 20°· cos 40°· cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝18sin 20°－sin 20°＝－18.(2)2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2⎝⎛⎭⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.[答案] (1)A (2)3 [方法提升][跟踪训练]1．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1 B.3 C. 2D ．2解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，故选C.答案：C2．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2.答案：C考点二 给值求值|思维突破[例2] (1)(2018·贵阳监测)若sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝25，则sin 2α等于( ) A ．－825B.825 C ．－1725D.1725(2)若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A. 3 B ．－3 C.33D ．－33(3)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．[解析] (1)sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α－1＝2×⎝⎛⎭⎫252－1＝－1725. (2)sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. (3)∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.[答案] (1)C (2)A (3)－726[思维升华][母题变式]1．若将本例(1)变为已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.答案：A2．若本例(3)条件不变，试求tan(2α＋β)的值． 解析：由tan(α＋β)＝25，tan β＝13，求出tan α＝117后，tan(2α＋β)＝tan[α＋(α＋β)] ＝tan α＋tan (α＋β)1－tan α·tan (α＋β)＝117＋251－117×25＝3983.考点三 给值求角|模型突破[例3] (1)(2018·成都检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.[解析] (1)因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.因此，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，5π2，所以α＋β＝7π4，故选A.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π4.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.[答案] (1)A (2)－3π4[模型解法][高考类题](2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.答案：B[真题感悟]1.[考点二](2017·高考山东卷)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝⎛⎭⎫342－1＝18. 故选D. 答案：D2.[考点一](2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.答案：D3.[考点二](2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15D ．－725解析：因为cos(π4－α)＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.答案：D4.[考点二](2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－(－13)21＋(－13)2＝45.答案：D5.[考点二](2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625解析：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425.答案：A6.[考点二](2017·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝__________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75.答案：75。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差及二倍角公式
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用
).1(≠k 高一数学一、本讲教学内容两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用二、典型例题选讲例1 已知)tan()tan(βαβα+⋅=-k求证：.112sin 2sin kk-+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系：),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明.证：)]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-⋅+--⋅+-⋅++-⋅+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++=.11)tan()tan()tan()tan(kkk k -+=+⋅-++⋅++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ，代入右边，得=+--+-+=-+)tan()tan(1)tan()tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++,cos cos )sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan BA B A B A B A B A B B A A B A ⋅±=⋅⋅±⋅=±=±Θ .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴k k 例2 已知,43sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达，因此设t =+βαcos cos ，并找出t 应满足的等式，从而求出βαcos cos +的取值范围.解 令t =+βαcos cos ，① 由已知，43sin sin =+βα. ② ①2+②2 ：,169sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+=+⋅+++⋅+t ββααββαα ,169)cos(222+=-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].1655,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βαΘ ],455,455[-∈t 即].455,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(⋅+-=的值域 分析)(x f 的解析式中既有x sin ，又有x cos ，若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示成x 2cos 1-±，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2⋅-=-，因此可作代换：,cos sin t x x =-则x x cos sin ⋅和x x cos sin -都可以用t 表示，)(x f 就可以变形为t 的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域.解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212x x t ⋅-= .21cos sin 2t x x -=⋅.2361)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-⋅+=⋅+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=⋅-⋅=-=t x x x x x t πππΘ当;352361)(,31max =+==x f t 当.223232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t)(x f ∴的值域为}.35223{≤≤--y y评析 相应于)4sin(2cos sin π-=-x x x ，还有更一般的情况：),cos (sin cos sin 222222b a b x b a a x b a x b x a +⋅++⋅+=+ ,1)()(222222=+++b a b b a a Θ ∴可以设,sin ,cos 2222ϕϕ=+=+b a b b a a 则)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，并由此可求出x b x a cos sin +的取值范围.如),54cos 53(sin 5cos 4sin 3x x x x -⋅=-设,54sin ,53cos ==ϕϕ则),sin(5cos 4sin 3ϕ-=-x x x 若,R x ∈则].5,5[cos 4sin 3-∈-x x例4 已知,0cos cos cos ,0sin sin sin =-+=+-γβαγβα且α、β、γ均为钝角，求角βα+的值.解 由已知，⎩⎨⎧=+-=-.cos cos cos ,sin sin sin γβαγβα①2+②2： .cos sin cos cos cos 2cos sin sin sin 2sin 222222γγββααββαα+=+⋅+++⋅-.21)cos(,1)cos(22-=+=++βαβα ,2,2πβππαπ<<<<Θ .34,2πβαπβαπ=+<+<∴评析 仅由21)cos(-=+βα，不能确定角βα+的值，还必须找出角βα+的范围，才能判断βα+的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若,20πβα<+≤使21)cos(-=+βα的角为32π或;34π若,R ∈+βα则ππβαk 232+=+或).(234Z k k ∈+=+ππβα例5 已知,212tan ,98tan tan -=-=⋅βαβα求)cos(βα+的值.分析 因βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+，所以只要求出βαcos cos ⋅和βαsin sin ⋅的值.由已知，βαβαcos cos 98sin sin ⋅=⋅，所以如能由2tan βα-求出βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-的值，即可求得)cos(βα+的值.解 .53)21(1)21(12tan 12tan 12sin 2cos 2sin 2cos )cos(,212tan 22222222=-+--=-+--=-+----=-∴-=-βαβαβαβαβαβαβαβαΘ ,cos cos 98sin sin ,98tan tan .53sin sin cos cos βαβαβαβαβα⋅=⋅∴=⋅=⋅+⋅∴Θ 53cos cos 98cos cos =⋅+⋅βαβα，.8527cos cos =⋅βα .852*******sin sin =⋅=⋅βα .85385248527sin sin cos cos )cos(=-=⋅-⋅=+∴βαβαβα评析 一般地，)cos(),cos(βαβα-+和βαtan tan ⋅之间有关系：,tan tan )cos()cos()cos()cos(βαβαβαβαβα⋅=++-+--或写成.tan tan 1tan tan 1)cos()cos(βαβαβαβα⋅-⋅+=+-例6 已知,312tan =-βα，求βαβα2sin 2sin )(sin 2⋅-+的值. 分析 由2tan βα-可以求出βα-的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于βα-的三角函数的式子.解 ,2sin 2sin 2cos 2cos )22cos(βαβαβα⋅+⋅=-Θ ,2sin 2sin 2cos 2cos )22cos(βαβαβα⋅-⋅=+∴,2sin 2sin 2)22cos()22cos(βαβαβα⋅=+-- )].22cos()22[cos(212sin 2sin βαβαβα+--=⋅ ).(sin )]22cos(1[21)]22cos()22[cos(212)22cos(12sin 2sin )(sin 22βαβαβαβαβαβαβα-=--=+---+-=⋅-+.53)31(13122tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2)sin(2222=+⨯=-+-=-+--⋅-=-βαβαβαβαβαβαβαΘ .259)53(sin 2sin )(sin 222==⋅-+∴βαβα评析 与)]cos()[cos(21sin sin B A B A B A +--=⋅类似，有)].cos()[cos(21cos cos B A B A B A ++-=⋅①②例7 已知,43πβα=+求βαβαcos cos 2cos cos 22++的值.分析 由例6评析，)],cos()[cos(21cos cos βαβαβα++-=⋅因此希望把βα22cos cos +也变形为βα+和βα-的三角函数.解)]cos()[cos(21222cos 122cos 1cos cos 2cos cos 22βαβαβαβαβα++-⋅++++=⋅++= ]43cos )[cos(2222cos 2cos 1πβαβα+-+++. )]()cos[()]()cos[(2cos 2cos βαβαβαβαβα--++-++=+Θ=)cos()cos(2βαβα-⋅+ ， ∴βαβαcos cos 2cos cos 22++=]22)[cos(22)cos()cos(1--+-⋅++βαβαβα= .2121)cos(22)cos(43cos1=--+-⋅+βαβαπ 评析 若令βα2,2==B A ，则由上述解题过程可知，2cos 2cos2cos cos BA B A B A -⋅+=+，类似地有.2sin 2sin2cos cos BA B A B A -⋅+-=- 例8 求值：（1）;84cos 66sin 2263cos 63sin οοοο⋅+- （2）.80cos 50cos 20sin οοο-分析 （1）οοο1508466=+为特殊角，οοο186684=-，因此有οοοοο97521815066-=-=，;97521815084οοοοο+=+=（2）οοο302050=-为特殊角，οοο702050=+，因此有.15352307050,153********οοοοοοοοοο+=+=-=-= 解 （1）οοοο84cos 66sin 2263cos 63sin ⋅+-=)975cos()975sin(22)2263cos 2263(sin 2οοοοοο+⋅-+⋅-⋅= )9sin 75sin 9cos 75)(cos 9sin 75cos 9cos 75(sin 22)4563sin(2οοοοοοοοοο⋅-⋅⋅-⋅+-=)9cos 9sin 75sin 9cos 9sin 75cos 9sin 75cos 75sin 9cos 75cos 75(sin 2218sin 22222οοοοοοοοοοοοο⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+=)9cos 9sin 75cos 75(sin 2218sin 2οοοοο⋅-⋅+=.22150sin 2)18sin 150(sin 218sin 2==-+οοοο （2）οοοοοοοο80cos )1535cos()1535sin(80cos 50cos 20sin +--=-=οοοοοοοοο80cos 15sin 35sin 15cos 35cos 15sin 35cos 15cos 35sin ⋅+⋅-⋅-⋅=.310sin 60sin 210sin 210sin )4515sin(2)4535sin(280cos )15sin 15)(cos 35cos 35(sin -=⋅-=+⋅-=+-οοοοοοοοοοοοο练 习一、选择题1．24cos 1+等于 （ ） A ．2cos B ．2cos - C ．2sin D ．2sin -2．已知),2(),2,0(ππβπα∈∈，且135cos ,6533)sin(-==+ββα，则αsin 的值等于 （ ）A ．53B ．54C ．6513D ．65363．已知41)4tan(,52)tan(=-=+πββα，则)4tan(πα+等于 （ ）A ．183B ．1813C ．223D ．22134．下列式子中不正确的是 （ ） A ．οοο20cos 40sin 2340cos 21=+B ．οοοtan5tan401tan401=+-C ．οοο40csc 220cot 20tan =+D ．οοο40cos 140sin 20cot +=5．已知21tan -=α，则α2sin 的值等于 （ ）A ．53B ．53-C ．54D ．54- 6．已知53sin -=θ，且θ是第三象限角，则2tan θ的值是A ．3-B ．31-C ．3-或31-D ．3或31二、填空题7．求值：οοοοο75sin 60sin 45sin 30sin 15sin ⋅⋅⋅⋅= . 8．已知54cos ,53sin =-=αα，则角α2是第 象限角. 9．已知α、β、γ均为锐角，且81tan ,51tan ,21tan ===γβα，则γβα++= . 10．求值：οοοο70cos 120cos )5cot 5(tan -⋅-= .三、解答题11．求值：（1）;94cos 92cos9cos πππ⋅⋅ （2）.125cos 12sin ππ⋅ 12．已知3tan =α，求αα2cos 5sin 22-的值.13．求证：（1）;21tan 212cos 2sin 12sin 1+=+++αααα （2）;4cos 812cos 2183sin 4ααα+-=（3）.)2cos 2(sin )sin 1)(sin 1(2βαβαβα--+=-- 14．（1）已知,43sin cos ,21cos sin =+=+βαβα求 );sin(βα+（2）已知,825)sin(=+βα,42)sin(=-βα求.tan tan βα答案与提示[答案]一、1．B 2． A 3．C 4．D 5．D 6．A 二、7．3268．四 9．4π 10．2三、11．（1）81， （2）432- 12．529 13．略14．（1）,3219 （2）37[提示]一、1．.2cos 2cos ,22,2cos 24cos 1-=∴<<=+ππΘ 4．,5tan )4045tan(40tan 140tan 1,20cos )4060cos(40sin 2340cos 21οοοοοοοοοο=-=+-=-=+ οο20cot 20tan +=οο20cos 20sin +οο20sin 20cos =οοοοοοοοο20tan 20cos 220cos 20sin 240cos 140sin ,40sin 220cos 20sin 12=⋅=+=⋅ 5．.54)21(1)21(2tan 1tan 2sin cos cos sin 22sin 2222-=-+-⨯=+=+⋅=ααααααα6．θθ,53sin -=Θ是第三象限角，.54cos -=∴θ .353)54(1sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2tan 2-=---=-=⋅==θθθθθθθθ 二、8..01)54(22cos ,054)53(22sin 2>-⋅=<⋅-⋅=αα9..16565819718197)tan(,97512115121)tan(==⋅-+=++=⋅-+=+γβαβα α∴<<<,181,151,121Θ、β、).4,0(πγ∈ .4),43,0(πγβαπγβα=++∴∈++10.210cos 10sin 2110sin 10cos 10cos 10sin 210sin 25cos 5sin 5sin 5cos 20sin 10sin 2)5sin 5cos 5cos 5sin (70cos 120cos )5cot 5(tan 2222=⋅⋅=⋅⋅⋅-=-⋅-=-⋅-οοοοοοοοοοοοοοοοοοοοο. 三、11．（1）.819sin898sin9sin 894cos 92cos9cos9sin894cos 92cos9cos ==⋅⋅⋅=⋅⋅ππππππππππ（2）.43226cos1sin 125cos12sin122-=-==⋅ππππ 12．.529135371tan 5tan 7cos sin cos 5sin 7)sin (cos 5sin 22cos 5sin 2222222222222=+-⨯=+-=+-=--=-ααααααααααα 13．（1）.21tan 21cos 2cos sin )sin (cos cos 2)cos (sin 2sin cos 22sin 12cos 2sin 12sin 122+=+=++=++=+++ααααααααααααααα（2）αααα2cos 412cos 2141)22cos 1(sin 224+-=-==24cos 1412cos 2141αα+⋅+-=.4cos 812cos 2183αα⋅+- （3）22)2cos 2(sin )2cos 2(sin )sin 1)(sin 1(ββααβα-⋅-=--=2)2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2(sin βαβαβαβα--+=.)2cos 2(sin )2sin 2(cos 22βαβαβαβα--+=+-- 14．（1）,21cos sin =+βα ① ,43sin cos =+βα ②①2+②2： 16941sin cos 2cos sin 22+=⋅+⋅+βαβα， .3219)sin(,21613)sin(2-=+-=+βαβα（2）,825sin cos cos sin =⋅+⋅βαβα ① ,42sin cos cos sin =⋅-⋅βαβα ② ①+② ：,1627cos sin =⋅βα ③ ①－② ： ,1623sin cos =⋅βα ④③ ：.37tan tan =βα④ 22。
两角和与差公式几种典型题型(超给力)
两角和与差及二倍角几种典型题型 理解并记忆：两角和与差公式（6个）：二倍角公式（5个）：六四二一公式（13个）：题型一：特殊角求值例一：习题： （1）题型二：根据两角关系求值例一：设α、β均为锐角，cos α＝35 ，cos(α+β）=1213,求cos β 例二：已知0sin 2)2sin(=++ββα 求证tan α=3tan(α+β)例三：求tan20°+4sin20°的值例四：）已知02sin 2sin 5=α，求)1tan()1tan(00-+αα的值习题： （2）求值： （3）已知()βαβ+=2sin sin 3 ， 求证：()αβαtan 2tan =+。
（4）（5）求20cos 20sin 10cos 2-的值。
cos15sin15sin 75sin15-+1cot151tan 75+-000000sin 7cos15sin8cos 7sin15sin8+-3335,0,cos(),sin()44445413sin()πππππαβαβαβ<<<<-=+=+已知求的值的求值与化简例一，例二，000010cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2+++例三，（2008广西竞赛）求值： 2223164sin 20sin 20cos 20-+习题：（6） （7）求值：()()212cos 412sin 312tan 30200--题型：连乘式求值 例一：求值：248cos cos cos cos 17171717ππππ例二：求值：（1）sin18o cos36o （2）（2000全国竞赛模拟）54cos 52cos ππ+ （3）0cos361sin10cos10-22sin 50sin10(13tan10)2sin 80.⎡⎤++⋅⎣⎦求值：习题：（8）求值：0000sin10sin 30sin 50sin 70(9) （2004湖北竞赛模拟）化简 )sin 1()sin 1)(sin 1)(sin 1(3234323ππππn ++++ (10)计算：.36cos 48sec 2148tan 3︒-︒-︒题型：对偶式求值 例一：11sin sin ,cos cos ,cos()32αβαβαβ-=--=-若求例二：11cos(),cos(),tan tan 35αβαβαβ+=-=若求例三：（2006全国竞赛模拟）cos 220o +cos 250oo cos50o习题：（11） （12）1sin cos cos sin 2αβαβ=若,求的取值范围. （13）求值：sin 217o +cos 247o +cos47o sin17o题型：含tan tan tan tan αβαβ+与的处理策略例一：求值例二：(1) (2)利用上题结论 tan17tan 433tan17tan 43++sin sin sin ,cos cos cos ,.αβγαγβαγβαβ+=-=-已知角、、足求的值()()1t n .a 1tan 4παβαβαβ+=++已知、满足，求的值()()()()1tan11tan 21tan31tan 45.+++⋅⋅⋅⋅⋅+求值例三：（1） （2）（2002全国竞赛训练）利用上题思想，求证：n n n n -=-+++ααααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan .例四：已知tan θ和)4tan(θπ-是方程02=++q px x 的两个根，证明：p -q+1=0习题：（14）求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++（15）已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px+2=0的两实根， 求)cos()sin(βαβα-+的值。
两角和差倍角公式的应用
两角和差倍角公式的应用角和、差、倍角公式是高中数学中的重要内容，广泛应用于各类数学问题中。
下面以一些常见的例子来说明这些公式的应用。
例1：已知角A和角B的大小，求得角A和角B的和角为多少度？解：根据角和公式，角A和角B的和角C为C=A+B。
例2：角D是角A和角B的和角，且已知角A=35度，角B=55度，求角D的大小。
解：根据角和公式，角D=A+B=35+55=90度。
例3：已知角A和角B的大小，求得角A和角B的差角为多少度？解：根据角差公式，角A和角B的差角C为C=A-B。
例4：角D是角A和角B的差角，且已知角A=75度，角B=35度，求角D的大小。
解：根据角差公式，角D=A-B=75-35=40度。
例5：已知角A的大小，求得2倍角A的值。
解：根据倍角公式，2倍角A=2A。
例6：已知角D是角A的2倍角，且已知角A=25度，求角D的大小。
解：根据倍角公式，2倍角A=2A=2×25=50度。
综合应用：例7：已知sinx = 1/2，求cos2x的值。
解：根据倍角公式，cos2x = cos^2x - sin^2x。
其中，sinx = 1/2，可以找到对应的特殊角，即角x = 30度。
代入公式，cos2x = cos^2(30°) - sin^2(30°) = (3/2)^2 -(1/2)^2 = 9/4 - 1/4 = 8/4 = 2所以，cos2x的值为2例8：已知tanx = 2，求cot2x的值。
解：根据角和公式，角2x=x+x。
已知tanx = 2，可以推导出sinx/cosx = 2，即sinx = 2cosx。
代入角和公式，cot2x = cot(x + x) = cotx·cotx - 1/2sinx/sinx = 1/2 - 1/2 = 0。
所以，cot2x的值为0。
例9：已知角A和角B的差角为60度，且sinA = 4/5，sinB = 3/5，求cos(2A + B)的值。
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tan tan tan 1 tan tan
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§4.6 两角和与差的正切公式的应用 两角 和与差 的公式 应用
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朝花夕拾 学习目标
基础应用
变形应用
小结
达标测试
作业
两角和、差角的正、余弦，正切公式的应用
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目标：
朝花夕拾 学习目标
基础应用
变形应用
小结
达标测试
作业
两角和、差角的正、余弦，正切公式的熟练应用
1、角的分拆与组合，（角的范围的确定） 2、公式的正用、逆用、配凑、变形用
3、公式综合运用
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§4.6 和与差 两角和与差的正切公式的应用 两角 的公式 应用
复习回顾 学习目标 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
1、非特殊角的求值 2、角的分拆（组合） 3、公式的正用、逆用、配凑、变形用
tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan
4、已知、 满足
3π 12 3 已知 , cos ,sin =- , 2 4 13 5 求 sin 2的值.
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§4.6 和与差 两角和与差的正切公式的应用 两角 的公式 应用
学习目标 复习回顾 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
2
,
0
;
2
,
0
2
4
;
cos cos sin sin 2 2 2 2
5 4 5 2 7 5 1 9 3 27 9 3
小结 达标测试 作业 1 2 例1（p58例3）.已知 cos( ) ,sin( ) , , 0 , 2 9 2 3 2 2 求 cos( )的值. 2 复习回顾 学习目标 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用
5、计算： 1 tan1
1 tan 2 1 tan 43 1 tan 44
作业
6、若 k ，求 1 tan 1 tan 的值. 4
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补充例题： 求tan112 30 tan22 30 的值.
。 、 。 、
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1、已知 tan 和 tan( )是方程x 2 px q 0的两个根， 4 问p、q满足的关系式？
2、已知 1 tan A 4 5，求 cot A的值. 1 tan A
3、计算： (1)1 tan 66 tan 69 tan 66 tan 69
(2) tan16 tan104 3 tan16 tan104 tan 20 tan 40 tan120 4、求值： tan 20 tan 40
例3（P64例3）.化简(1).2 1+sin8 2 2cos8 1 1 1 1 3 (2).设 , 2 , 化简 cos 2 . 2 2 2 2 2
例题2
例题3
例题4
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§ 4.6 两角和与差的正切公式的应用 两角 和与差 的公式 应用
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1 2 例1（p58例3）.已知 cos( ) ,sin( ) , , 0 , 2 9 2 3 2 2 求 cos( )的值. 2
分析：
2
练习1
2
2
2
2
例题1
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例4.求下列函数的最小正周期及最值。 (1).y=cosx+sinx (2).y = 3sin2x-cos2x
例题2的正切公式的应用
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§4.6 和与差 两角和与差的正切公式的应用 两角 的公式 应用
§4.6 两角和与差的正切公式的应用
学习目标 朝花夕拾 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
两角和与差的公式 应用
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§4.6 两角和与差的正切公式的应用 两角 和与差 的公式 应用
学习目标 复习回顾 回顾1 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
两角和、差角的正、余弦，正切公式
4 3 那么，若、 满足 ，则:1 tan 1 tan =？ . 4
回顾1 回顾2 回顾3 作业
，则:1 tan 1 tan =2.
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§4.6 和与差 两角和与差的正切公式的应用 两角 的公式 应用
学习目标 复习回顾 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
例2（P61例1）.已知 求sin( )的值.
3 3 3 5 ,0 ,cos( ) ,sin( ) , 4 4 4 4 5 4 13
3 分析： sin( ) cos(( 4 ) ( 4 ))
基础应用
1、角的分拆与组合 2、公式的正用、逆用、配凑
变形公式
1、角的分拆与组合中-----角的范围及诱导公式
2、公式的综合运用-----求有关三角函数的性质问题
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§4.6 和与差 两角和与差的正切公式的应用 两角 的公式 应用
学习目标 复习回顾 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
3 4
4 2
( )
3 cos(( ) ( )) 4 4 sin( ) cos( ( ))
2
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例题2
例题3
例题4
§4.6 两角和与差的正切公式的应用 两角 和与差 的公式 应用
学习目标 复习回顾 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
作业1(P59.5). 作业2(P103.9). 作业3(P104.1). 作业4(P105.9). 作业5(P104.4).
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§4.6 两角和与差的正切公式的应用
学习目标 朝花夕拾 基础应用 作业1(P59.5). 作业2(P103.9).
再
变形应用
见 作业5(P104.4).
小结 4(P105.9). 达标测试 作业 作业
tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan
回顾2
和角与差角正切变形公式的应用 tan tan tan 1 tan tan
作业3(P104.1).
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解：
cos cos 2 2 2
4 2 2 ; ; 4 2 2 4 2 1 4 5 cos ,sin ; 2 9 2 9 5 2 又 sin , cos ; 3 2 3 2
例题1
练习1
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§4.6 和与差 两角和与差的正切公式的应用 两角 的公式 应用
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练习1：P58变式3
56 65
例题1
练习1
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§4.6 和与差 两角和与差的正切公式的应用 两角 的公式 应用
复习回顾 学习目标 朝花夕拾 学习目标 基础应用 变形应用 小结 达标测试 作业
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin