两角和与差公式的应用
两角和与差的正弦、正切公式及其应用高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin105°等于( )
A．0
1 B.2
3 C. 2
D．1
解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.
答案：D
3．已知 tan α＝4，tan β＝3，则 tan(α＋β)＝( )
∴原式＝sin c3o0s°c1o7s°17°＝sin 30°＝12.
(4)原式＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝sin
10°cos 60°－cos 10°sin cos 10°cos 60°
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[教材答疑]
[教材 P146 思考交流] 在例 3 中，sinπ4－α＝cosπ4＋α，是一个必然现象． 因为：π4－α＋π4＋α＝π2. 所以π4－α＝π2－π4＋α， ∴sinπ4－α＝sinπ2－4π＋α＝cosπ4＋α， cosπ4－α＝cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α.
解析：(1)∵1t－ant1an2°1＋2°ttaann3333°°＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
(2)原式＝sin xcosπ3＋cos xsin3π＋2sin xcosπ3－2cos xsinπ3－ 3cos23πcos x
两角和与差的余弦公式及其应用高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
同学们能否根据公式Cα−β 得出cos(α + β)的公式呢？请大家进行小组讨论，
并把小组讨论的结果写下来.
解：
cos α + β = cos[α − −β ]
= cosαcos −β + sinαsin −β
= cosαcosβ − sinαsinβ
故 cos α + β = cosαcosβ − sinαsinβ
= cos45°cos30° + sin45°sin30°
= cos60°cos45° + sin60°sin45°
2
3
2 1
=
×
+
×
2
2
2 2
1
2
3
2
= ×
+
×
2 2
2
2
6+ 2
=
4
6+ 2
=
4
π
5
4
已知 < β < α < π, sin α − β = ， cosβ = − ，求cosα的值.
65
2
12
=
13
3
π
π
sin
α
=
−
，α
∈
−
，0
已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，求 cos ( − α) 的值.
5
2
4
π
解： ∵ α ∈ − ，0
2
∴ cos α > 0
2
3
4
cos α = 1 − −
=
5
5
π
π
π
cos − α = cos cosα + sin sinα
两角和与差的三角公式应用版
6
5
的值是_________
3
4
A. 5
B. 3
5
C. 3
2
D. 3
5
2.已知函数 f (x) 3 sin2 x sin x cos x 3 (x R)
（1）若
x
0,
2
求 f (x) 的最大值。
2
1
（2）在△ABC中，A<B，
f (A)
f (B) 2
求A，B，C的值。
x已∈知函4数，f2(x).=求2sfi(nx2)的4最 大x 值 和3最c小os值2x．，
考点二、两角和与差公式的应用
1.已知 tan( ) 2, tan 1
4
2
（1）求tan 2的值；
（2）求sin( ) 2sin cos 的值。 2sin sin cos( )
1
且(a3、)已b均知为ta锐n 角a=，7求a+，2btan b=
1 3
，并
1.已知sin( ) cos 4 3 则 sin( )
-7
3.
(教材改编题)已知cos
，则sin a的值为(
2a=
)
1 2
，其中a∈
4
0
A. 1
2
B. - 1
2
C. 3
2
D. - 3
2
4. f(x)=2sin x-2cos x的值域是________．
本节收获：
二、二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；
cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝
；
tan2α＝
2tanα 1－tan2α .
其公式变形为：
两角和与差的正余弦公式应用辅助角公式
举例说明：利用两角和与差的正余 弦公式和辅助角公式，可以化简复 杂的三角函数式，进而求出最值。
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结合应用举例：求三角函数的最值、 化简三角函数式等。
结合应用举例：在物理、工程等领域 中，可以利用两角和与差的正余弦公 式与辅助角公式的结合应用，解决一 些实际问题。
感谢您的观看
汇报人：XX
公式推导：通过两角和与差的正余弦公式推导出辅助角公式 角度范围：确定两角和与差的正余弦公式和辅助角公式的适用角度范围 实例解析：结合具体实例，展示如何应用两角和与差的正余弦公式与辅助角公式解决实际问题 注意事项：强调在应用过程中需要注意的事项，如公式的适用条件、计算精度等
两角和与差的正余弦公式与辅助角 公式的结合应用，可以解决一些三 角函数问题。
注意事项：使用公 式时需要注意角度 的范围和特殊情况 的处理
公式形式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny 应用场景：解决三角函数问题，如求角度、求长度等
辅助角公式：将两角和与差的正弦公式中的x和y视为辅助角，可以简化计算过程
证明方法：利用三角函数的加法定理进行证明
三角函数图像的变换 求解最值问题 解决周期和对称性问题处理切线问题
公式形式：asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中φ为辅助角 应用举例：求函数y=sinx+cosx的值域 应用举例：求函数y=sin2x+cos2x的最小正周期 应用举例：求函数y=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最大值
两角和与差的正余 弦公式与辅助角公 式的结合应用
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差及二倍角公式
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式
两角的和差公式[考例一(两角和与差公式的应用)]
![两角的和差公式[考例一(两角和与差公式的应用)]](https://img.taocdn.com/s3/m/b27bc9bc9b6648d7c0c74686.png)
两角的和差公式[考例一(两角和与差公式的应用)]考例分类详析题型一二角和与差公式简便的理解和简单应用考题解密：两角和与差的公式在化简、求值中起到很重要的作用。
考查公式的熟记以及选择合适的公式并灵活的应用。
sin 470-sin 170cos 300=（）【例1】（2012年重庆）0cos 17A . -32B . -12C . 12D . 3 2【题源变式】1. （2012年广东珠海）计算：(1) cos 15cos 105+sin 15sin 105;(2) sin x sin(x +y ) +cos x cos(x +y ); 0000α-35) cos(25+α) +sin(α-35) sin(25+α). (3) cos(0000题型二利用两角和与差公式化简函数式考题解密：公式化简就是充分利用公式和公式的变形，通过计算角和函数的种类，考查公式的综合应用和变形能力。
【例2】化简下列各式：(1) sin(x +0π3) +2sin(x -π2π) --x ); 33cos 100(2)(tan10-3) ?. sin 500【题源变式】2. （2012年山东烟台联考）化简：sin(α+β) cos α-1[sin(2α+β) -sin β]. 2题型三谋运用和与差公式求三角函数的数值考题解密：求三角函数值的问题包含如下几种：一是给角求值，它可以通过诱导公式求解；二是给多个非特殊角求值，一般可以通过和差角公式化简求值；还有就是给一个三角函数式的旧式值，求另一个与之相关的三角函数式的值，其解法也是通过首鱼变换，找到二者之间的关系，尤其是角度之间的关系，从而求解。
不论是哪一种形式，都是考查诱导公式、和借助于差角公式的变换和灵活运用。
【例3】（1）不查表，求下列各式的值：cos 150-sin 1501). ; cos 150+sin 1502). tan 150+tan 300+tan 150tan 300;3). tan 180+tan 420+tan 180tan 420.(2) 若的值。
两角和与差公式的应用
两角和与差公式的应用1.角的平分问题在三角函数的学习中，我们经常会遇到需要求解平分角的问题。
假设有一个未知角度为θ，我们需要求解它的正弦值sin(θ/2)和余弦值cos(θ/2)。
根据两角和与差公式，可以利用已知角的三角函数值来求解。
首先，我们设一个已知角α（α≠0），令θ=2α。
根据两角和与差公式，可以得到sin(2α) = 2sinαcosαcos(2α) = cos²α - sin²α由此推导出sinα和cosα的表达式：sinα = √[(1 - cos(2α))/2]cosα =√[(1 + cos(2α))/2]通过求解已知角α的三角函数值，我们可以得到未知角θ的平分角（θ/2）的三角函数值。
2.图形的旋转问题在几何学中，我们经常需要对图形进行旋转，而旋转角度往往是未知的。
在这种情况下，可以利用两角和与差公式来计算旋转后的图形的坐标。
以坐标平面上的点P(x,y)为例，如果我们对该点进行逆时针旋转一个角度θ，顺时针旋转一个角度-θ，分别记为P'(x',y')和P''(x'',y'')，则有如下公式：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθx'' = xcos(-θ) - ysin(-θ) = xcosθ + ysinθy'' = xsin(-θ) + ycos(-θ) = -xsinθ + ycosθ通过这种旋转变换，我们可以简化对图形的分析和计算。
3.三角函数的递推关系sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ通过这些递推公式，可以快速计算出任意两个角度之和的正弦和余弦值，从而简化复杂的计算过程。
总结起来，两角和与差公式是三角函数中的重要工具，广泛应用于数学和物理的各个领域。
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两角和与差公式的应用
【导航练习】
1．已知A 、B 均锐角，且满足tan A ·tan B=tan A ＋tan B ＋1 ，则cos （A ＋B ）= .
2. sin x =2
2是tan x =1成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
3．在（0，2π）内，使0＜sin x ＋cos x ＜1成立的x 的取值范畴是 （ ）
A ．（0，π2 ）
B ．（π4 ,3π4
） C ．（π2 ,3π4 ）∪（7π4 ,2π） D ．（3π4 ,π）∪（3π2 ,7π4
） 4．已知α＋β=π4
＋2k π （k ∈Z ），求证：（1＋tan α）（1＋tan β）= 2
5．已知cos x ＋cos y = 12 ,sin x －sin y = 14
,求cos （x ＋y ）的值.
【巩固练习】
1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取到的值是 （ ）
A ．43
B ．34
C ．53
D ．12
2．已知tan x = － 2 ,π<x <2π,求cos （π3 －x ）＋sin （π6
＋x ）的值。
3．在△ABC 中，sin A = 35 ,cos B = 513
,求sin C 的值。
4．求cos55°cos65°＋sin 25°的值。
5．求
42
sin 18cos 318sin 的值。
6. 化简：sin （x ＋17°）cos （x －28°）＋cos （x ＋17°）sin （28°－x ）
7．求证：在△ABC 中，sin A cos B cos C ＋sin B cos C cos A ＋sin C cos B cos A = sin A sin B sin C
8. 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋ 3 tan B tan C = 3 ,又 3 tan A ＋ 3 tan B ＋1 = tan A tan B ,试
判定△ABC 的形状。
9．已知π2 ＜β＜α＜3π4 ，cos （α－β）= 1213 ,sin （α＋β）= － 35
，求sin2α的值。
10．已知tan α、tan β是关于x 的方程mx 2＋（2m －3）x ＋m －2 = 0的两个根，求tan （α
＋β）的取值范畴。
11. 在△ABC 中，若tan A , tan B , tan C 成等差数列，且tan A ＋tan B ＋tan C = 3 3 。
求证A 、
B 、
C 也成等差数列。
12．是否存在锐角α、β，使得下列两式：
（1）α＋2β= 2π
3；（2）tan
α
2tan
β= 2－ 3
同时成立？若存在，求出α和β；若不存在，说明理由。