两角和与差正弦余弦公式PPT课件
合集下载
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式PPT
1 cos 2α
2
;
(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
教材研读 栏目索引
教材研读 栏目索引
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( D )
A.- 3 B. 3 C.- 1 D. 1
2
2
2
2
2.化简cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°的值为 ( B )
0,
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
.
(3)设sin
2α=-sin
α,α∈
2
,
,则tan
2α的值是
.
栏目索引
考点突破
栏目索引
答案 (1)A (2) 3 10 (3) 3
10
解析
(1)∵sin
6
α
=cos
6
α
,
∴ 1 cos α- 3 sin α= 3 cos α- 1 sin α.
2
5
故sin
4
α
=sin
4
cos
α+cos
4
sin
α
=
2 2
×
2
5 5
+2
2
×5
5
=-10
10
.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 5
5
×
2
5 5
=4-
5
,
考点突破
栏目索引
cos 2α=1-2sin2α=1-2×
5 2
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
两角和与差的正弦、余弦、正切公式ppt
ห้องสมุดไป่ตู้
例题讲解
例7
sin(2a + b ) sin b （1）求证： - 2 cos(a + b ) = sin a sin a
(2)在△ABC中，求证： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
小结作业
1.明确各公式的内在联系，掌握公式的
形成过程. C 2.公式 S ( a + b ) 与 S ( a - b ) ， ( a + b ) C 与 T ( a + b ) 与 T ( a - b ) 的结构相同，但运算 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
问题探究
怎样用任意角、的正弦、余弦值表示? cos( ) ? sin( ) ? sin( ) ? tan( ) ? tan( ) ?
公式变式
公式 S ( a + b ) ,C ( a + b ) ,T ( a + b ) 称为和角公式， 公式 S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.
例题讲解
例5、 3 4 (1)sin sin , cos cos , 5 5 求 cos( ). (2)sin cos a, cos sin b 求 sin( )
例题讲解
3 12 例6、已知 ,cos( ) 2 4 13 3 sin( ) , 求 sin 2的值. 5
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬 硬套，要注意整体代换和适当变形.
小结作业
P137： （1）6、7、8、10、13、（1）-—（5）； （2）《学海导航》第二课时
课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求证tan=3tan(+)
证明：由题设：
即：
∴ ∴
tan=3tan(+)
练习：①已知
，
， 求sin2的值 (
，
)
②已知
求
③ 求证:
的值。
（4）利用和角公式计算； （5）已知， 求角 （1）求 的值 ； （6）若锐角满足，
（2）求
1.（7）
的值；
中 ， ， ；（2）求 ， 的值；
求（1）
练习题选
1.已知： ，
求证：
2.求值： 3.求 4.已知， 求； 的值；
5.若锐角
求
满足 ，求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, 的值；
6.已知
7.已知， 求证：
8.求证：
9.已知一元二次方程
的两个根为 10.已知一元二次方程 为 ，求 ，求 的值； 的两个根 的值； 11.已知 是 12.求 的值； 是锐角，证明： ； 的充要条件
（1）关于辅助角问题 例1、化简 解：原式= 例2、 已知，
求函数
,
的值域。
解： 又 ∵
∴
∴
∴函数y的值域是 。
例3、求函数
的值域。
分析：若设
,则
于是原函数可变为： 又
所以原问题可转化为二次函数在给定范围上 的最值问题。
（2）关于角变换
例4、已知 求 解：∵ 即： ∵ 又： ∴ 的值 , ，
∴
例5、 已知
证明：由题设：
即：
∴ ∴
tan=3tan(+)
练习：①已知
，
， 求sin2的值 (
，
)
②已知
求
③ 求证:
的值。
（4）利用和角公式计算； （5）已知， 求角 （1）求 的值 ； （6）若锐角满足，
（2）求
1.（7）
的值；
中 ， ， ；（2）求 ， 的值；
求（1）
练习题选
1.已知： ，
求证：
2.求值： 3.求 4.已知， 求； 的值；
5.若锐角
求
满足 ，求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, 的值；
6.已知
7.已知， 求证：
8.求证：
9.已知一元二次方程
的两个根为 10.已知一元二次方程 为 ，求 ，求 的值； 的两个根 的值； 11.已知 是 12.求 的值； 是锐角，证明： ； 的充要条件
（1）关于辅助角问题 例1、化简 解：原式= 例2、 已知，
求函数
,
的值域。
解： 又 ∵
∴
∴
∴函数y的值域是 。
例3、求函数
的值域。
分析：若设
,则
于是原函数可变为： 又
所以原问题可转化为二次函数在给定范围上 的最值问题。
（2）关于角变换
例4、已知 求 解：∵ 即： ∵ 又： ∴ 的值 , ，
∴
例5、 已知