两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进一步体验了数学的博大精深.。
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。
现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。
第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。
第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。
我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式两角和的公式可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)两角差的公式可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以通过三角函数的定义及相关几何知识进行推导。
我们以sin(A + B)的公式为例进行推导。
设点P(x, y)在单位圆上，与x轴正半轴的夹角为A + B。
则点P的坐标为(x, y) = (cos(A + B), sin(A + B))。
根据三角函数的定义可知：x = cos(A + B)y = sin(A + B)在单位圆上再取点Q(x', y')，与x轴正半轴的夹角为A，点Q的坐标为(x', y') = (cosA, sinA)。
同理再取点R(x'', y'')，与x轴正半轴的夹角为B，点R的坐标为(x'', y'') = (cosB, sinB)。
由于圆上任意两点间的距离为1，因此PQ与PR的长度均为1，可以分别表示为：PQ = sqrt((x - x')^2 + (y - y')^2)PR = sqrt((x - x'')^2 + (y - y'')^2)同时利用勾股定理可知：PQ^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2PR^2 = (x - x'')^2 + (y - y'')^2 = (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2将上述两个式子相加得：PQ^2 + PR^2 = (cos(A + B) - cosA)^2 + (sin(A + B) - sinA)^2 + (cos(A + B) - cosB)^2 + (sin(A + B) - sinB)^2展开计算可得：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B) * cosA + sin(A + B) * sinA - cos(A + B) * cosB - sin(A + B) * sinB)利用三角函数的和角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) + sinA * sin(A + B) - cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))= 2 + 2 * (cosA * cos(A + B) - sinA * sin(A + B) + cosB * cos(A + B) - sinB * sin(A + B))利用余弦函数的差角公式可进一步化简：PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * (cos(A + B - A) + cos(A + B + A) - cos(B - A) - cos(B + A))= 2 + 2 * (cosA + cos(B + A) - cos(B - A) - cosA)= 2 + 2 * (cosA + cosB * cosA - sinB * sinA - cosB * cosA + sinB * sinA)= 2 + 2 * cosA因此，PQ^2 + PR^2 = 2 + 2 * cosA。
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比第一种推导方法是基于向量的几何推导。
这种方法通过将两个角度看作是向量之间的夹角，利用向量内积的性质导出余弦公式。
两角和的余弦公式为cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，两角差的余弦公式为cos(a-b)=cosacosb+sinasinb。
这种方法的优点是直观易懂，易于理解。
但缺点是需要较好的向量几何基础才能理解该推导过程。
第二种推导方法是基于欧拉公式的复数推导。
该方法利用欧拉公式将三角函数表示为复数形式，然后利用复数的乘法和指数形式来推导。
这种方法比较简洁，适用于求解复杂的三角函数表达式。
但需要一定的复数运算和欧拉公式的基础知识。
第三种推导方法是基于三倍角公式的代数推导。
这种方法通过将两角和或差的公式展开为三倍角公式，然后利用已知的三倍角公式反推出余弦公式。
这种方法的优点是推导过程相对简单，适用于初学者掌握。
但缺点是需要记忆和熟练掌握三倍角公式。
第四种推导方法是基于向量的三角推导。
这种方法利用向量的角度和模长来推导余弦公式。
通过构造一个合适的向量形式，然后利用向量的加法、取模和夹角余弦公式等来进行推导。
这种方法相对较为复杂，需要一定的向量运算和角度计算知识。
第五种推导方法是基于平面几何的三角形推导。
通过构造一个合适的平面几何图形，然后利用三角形的边长和角度关系来推导余弦公式。
这种方法较为直观，易于理解，适合初学者掌握。
但缺点是对几何图形的认识要求较高。
综上所述，这五种推导方法具有各自的优缺点。
对于需要快速求解问题的读者，推荐使用欧拉公式的复数推导方法或三倍角公式的代数推导方法；对于需要更深入理解的读者，推荐使用向量的几何推导方法或向量的三角推导方法；对于初学者，推荐使用平面几何的三角形推导方法。
最后，需要提醒读者的是，选择合适的推导方法需要根据自己的数学基础和学习需求来决定。
每种推导方法都有其适用的范围和难度，选择合适的方法将有助于更好地理解和应用余弦公式。
两角和与差的余弦公式的推导
两角和与差的余弦公式的推导一、几何推导：[图片]那么，向量OC的长度就是向量OA和OB的长度之和。
设OA的长度为a，OB的长度为b，那么OC的长度为a+b。
此外，OC和坐标轴正半轴之间的夹角θ就是OA和OB之间的夹角α+β。
由三角函数的定义可知，α+β的余弦等于OC的长度与单位圆的半径1的比值。
即：cos(α+β) = OC / 1 = a+b然而，我们想研究的是α和β的关系，而不是α+β和α、β之间的关系。
因此，我们需要根据OC在正半轴上的投影来重新表示OC的长度。
设OC在坐标轴正半轴上的投影为OD，长度为c，我们有：OD = OC*cos(θ)而OC的长度可以表示为：OC = OA + AC = OA + OB*cos(π/2-θ) = a + b*cos(π/2-θ)根据三角函数的性质，可以得到：cos(α+β) = OC / 1 = (a + b*cos(π/2-θ)) / 1简化上式，得到两角和的余弦公式：cos(α+β)= a*cosθ - b*sinθ接下来，我们来推导两角差的余弦公式。
将上面得到的两角和的余弦公式两边同时乘以-1，得到：-cos(α+β) = -a*cosθ + b*sinθ然而，我们知道cos(α-β) = cos(α+(-β))，由此可知：cos(α-β) = -a*cosθ + b*sinθ所以，两角差的余弦公式为：cos(α-β) = -a*cosθ + b*sinθ二、代数推导：我们可以通过代数方式推导两角和与差的余弦公式。
1.两角和的余弦公式推导：我们可以使用欧拉公式来推导。
设α和β是两个角，可以将其表示为复数形式，即：e^(iα) = cosα + i*sinαe^(iβ) = cosβ + i*sinβ那么，利用欧拉公式的性质e^ix = cosx + i*sinx，可以得到：e^(i(α+β))=e^(iα)*e^(iβ)= (cosα + i*sinα)*(cosβ + i*sinβ)= cosα*cosβ + i*sinα*cosβ + i*cosα*sinβ +i^2*sinα*sinβ= cos(α+β) + i*sin(α+β)然后，我们观察到两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等，即：cos(α+β) = cosα*cosβ - sinα*sinβ所以，我们得到了两角和的余弦公式。
和差角公式
2
2
19、在△ ABC 中， tan A tan B tan C 3 3 ， tan2 B tan A tan C 则∠ B=
20、已知 8cos(2
和差角练习
) 5cos 0 ，求 tan(
第 3页共 3页
) tan 的值．
3
ππ
5π
4. 若 sin α＝ ，α∈ ( － ， ) ，则 cos( α＋ ) ＝ (
5
22
4
72
2
2 72
) A ．－
B ．－
C.
D.
10
10
10
10
5. 已知 sin(
)cos cos(
)sin
3 ，那么 cos 2 的值为 （ ）
5
A、 7 25
B、 18 25
C、 7 25
18
D、
25
6、若
3
10
5
4
9．已知 ,
3 ,
， sin(
)= － 3 , sin
12 , 则 cos
=____.
56
4
5
4 13
4
65
10. 设 ABC 中， tan A tan B
3
3 tan Atan B ， sin Acos A
3
，则此三角形是＿＿＿＿三角形。
4
11. 若 cos
4 , cos(
5
43
)
,
52
2, 2
,则 sin 2
三．解答题：
12. 求值：① tan34 0+tan26 0+ 3 tan 340 tan 260
13．已知 cos
两角和与差的余弦公式
两角和与差的余弦公式余弦公式是三角学中常用的定理，用来计算三角形的角度和边长。
其中，两角和与差的余弦公式是一种特殊形式的余弦公式，用来计算两个角的和与差的余弦值。
在本文中，我们将详细介绍两角和与差的余弦公式，并且给出其证明及应用示例。
一、两角和与差的余弦公式的表述对于任意两个角A和B，其和与差的余弦值分别可以表示为：①余弦和公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB②余弦差公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB其中，cosA、cosB、sinA、sinB分别表示角A和角B的余弦和正弦值。
二、两角和与差的余弦公式的证明1.证明余弦和公式：我们先来证明余弦和公式cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB。
根据三角函数的定义，我们有：cos(A + B) = cos(α + β)= [exp(i(α + β)) + exp(-i(α + β))] / 2 (欧拉公式)= [exp(iα) * exp(iβ) + exp(-iα) * exp(-iβ)] / 2 (指数幂法则)= [(cosα + i * sinα) * (cosβ + i * sinβ) + (cosα - i * sinα) * (cosβ - i * sinβ)] / 2 (令exp(iα) = cosα + i *sinα，同样对于exp(iβ))= [(cosα * cosβ + i * cosα * sinβ + i * sinα * cosβ + i^2 * sinα * sinβ) + (cosα * cosβ - i * cosα * sinβ - i * sinα *cosβ - i^2 * sinα * sinβ)] / 2= [(cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] + [- (cosα * cosβ + sinα * sinβ) + i * (cosα * sinβ + sinα * cosβ)] / 2= (cosα * cosβ + sinα * sinβ)= cosA * cosB - sinA * sinB故余弦和公式成立。
两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
因此，两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注。
认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用。
下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法这种方法简单明了，构思巧妙，容易理解。
但是对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难。
此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题。
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式。
在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线的情况需要特别解释和说明。
方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法这种方法的推导过程比较繁琐，但是通过应用余弦定理和两点间的距离公式，可以得到和角与差角的三角公式。
需要注意的是，推导过程中需要进行一些代数运算和三角函数的化简，需要一定的数学功底。
方法四：应用欧拉公式推导差角公式的方法这种方法是利用欧拉公式和复数的性质，将三角函数转化为指数函数，从而得到和角与差角的三角公式。
这种推导方法相对来说比较抽象，需要一定的数学知识和技巧。
方法五：应用向量的几何意义推导差角公式的方法这种方法是利用向量的几何意义和向量的运算法则，通过建立向量之间的关系，推导出和角与差角的三角公式。
需要注意的是，这种方法需要一定的向量知识和技巧，但是推导思路相对来说比较清晰。
在数学中，当三个点在同一条直线上时，我们需要特殊考虑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两角和与差的余弦公式的六种推导方法
沈阳市教育研究院王恩宾
两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：
方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法
设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．
过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．
综上所述，.
说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .
在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、
.
∵，且，
∴，∴，
∴
，
∴，
∴，.
说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，
建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.
方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设，
则.
在△OPQ中，∵，
∴，
∴.
说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两
个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使
用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.
方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法
设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..
根据三角形面积公式，有，
∴.
∵，，，
∴，
∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.
根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.
(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；
(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ；
(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.
(五)应用数量积推导余弦的差角公式
在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则
＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).
由向量数量积的概念，有.
由向量的数量积的坐标表示，有
.
于是，有.
说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.
附方法六：
等积法推导余弦的差角公式广东佛山袁锦前
如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E,
设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos（α-β）
解：在△ABD中,BD=c·cosβ，AD=b·cosα
在△ACD中,CD= b c·sinα，AD= c·sinβ
11
cos cos sin sin 22
ABD ACD
S
S
bc bc αβαβ
∴+=+ ()1
cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○
1 又∵2
BAD π
β∠=
-
()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤
∴=⋅-+⋅--
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
()c cos αβ=⋅-
()11
cos 22
ABC
S
AC BE bc αβ∴=
⋅=- …………………………………………○
2 由○
1○2可得： ()cos =cos cos sin sin αβαβαβ-+。