2020各地模拟试题(数学理科)分类汇编解析19 不等式选讲

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2019-2020年高三高考仿真模拟考试理数试题含解析

2019-2020年高三高考仿真模拟考试理数试题含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.抛物线y =8x上到焦点距离等于6的点的横坐标为（）A. 2 B . 4 C . 6D. 8【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线於=吐，得2戸=&彳=2,所以抛物线焦点龙巩2®,淮线为2汽殳抛物线上Jt-的点到焦点F（2Q的距离为6,根据抛物线的走义，得点尸到F的距离等于点尸到准线的距离，即\PF\^m+2^6t解得m=4.故选 B.考点：抛物线的方程•1112.已知乙=1 i （其中i为虚数单位），设Z|为复数乙的共轭复数，，则复数Z2Z2 Z1 Z1在复平面所对应点的坐标为（）A. 0,1B. 1,0 c. 0,2D. 2,0【答案】B【解析】- 11111111试题分析：因为z-i =1 i ,所以z = 1 - i ,由得,■z2z1z1z2z1z11 + i 1 -i1 -i 1 i 1 i 1 - i= ------------- +--------------- =-------------- =1.即z2=〔，即z2在复平面内对应的点为（1,0 ）, （1 i）（1 —i）（1 i）（1 —i） 2故选B.考点：复数的运算及几何意义3.在等差数列 GJ 中，2a 9 “12 12，则数列曲的前11项和Sn 二（）D. 132 【答案】D 【解析】试题分析：由等差中项得：2a 9 =q 2 1^a 12 a 6,所以a 6 =12.又2a^ a 1 a 1^ 24,所以考点：等差数列的等差中项及性质 4.给出下列命题，其中正确的命题为（）A. 若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；B. 直线a 与平面:-不垂直，则a 与平面〉内的所有直线都不垂直;C. 异面直线a,b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；D. 直线a 与平面:-不平行，则a 与平面〉的所有直线都不平行.【答案】C【解析】试题分析：直项，直线盘和b 共面，直线臼和芒共面X 和弐可能平行、相交或异面，故A 错误』B 项，若直线。

2020高考数学模拟试题(理)《不等式》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题（理）《不等式》分类汇编一．选择题（共29小题）1．（2020•涪城区校级模拟）若7020x y x x y k -+⎧⎪⎨⎪++⎩…„…且24z x y =+取得最小值为12-，则(k = )A ．2B ．9 C． D ．02．（2020•眉山模拟）已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y +的取值范围是( ) A． B ．4[,8]5C ．2[,8]5D ．[1，8]3．（2020•凯里市校级模拟）已知实数x ，y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,1)-D ．(0,1)4．（2020•邯郸模拟）设变量x ，y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩…„…则22(3)z x y =-+的最小值为( ) A ．2BC ．4D ．1655．（2020•邯郸模拟）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为( ) A ．32B ．53C ．74D ．956．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域内存在点0(x ，0)y ，使不等式0010x my ++„成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(-∞，5]2-B ．(-∞，1]2-C ．[4，)+∞D ．(-∞，4]-7．（2020•金安区校级模拟）若不等式组40300px qy px qy qx y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩„…„表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内（包括边界）时，64p q +的最大值和最小值之和为( )A ．52-B ．22-C ．38D ．268．（2020•武汉模拟）已知x ，y 满足不等式组2202100x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y 所在区域的面积是( ) A ．1B ．2C ．54D ．459．（2020•顺德区模拟）已知函数2()(3)1f x x =--，则平面图形D 内的点(,)m n 满足条件：()()0f m f n +<，且()()0f m f n ->，则D 的面积为( )A ．πB ．3C ．2πD ．110．（2020•临汾模拟）若0m n >>，1(),2m n a b e e c =+=( ) A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>11．（2020•漳州模拟）设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>12．（2020•平顶山一模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(2,1)，则2a b +的最小值为( ) A ．10B ．9C ．8D ．613．（2020•荆门模拟）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()2222224,|11(1)10x y x y x y x y x ⎧⎫⎧+⎪⎪⎪Ω=+-++⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎩⎭或„剠„，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[15,25]-B ．[25,25]-C ．[25,15]-D ．[4,15]-14．（2020•绵阳模拟）若0b a <<，则下列结论不正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab a > C ．||||||a b a b +>+ D 33a b15．（2020•南宁一模）已知函数2211()log (1)3||f x x x =++()3f lgx >的解集为( )A ．1(10，10)B ．(-∞，1)(1010⋃，)+∞ C ．(1,10)D ．1(10，1)(1⋃，10)16．（2020•金安区校级模拟）已知变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„，若222x y x k ++…恒成立，则实数k 的最大值为( ) A ．40B ．9C ．8D ．7217．（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为( ) A ．53B ．103 C ．32 D ．3 18．（2017•淄博一模）设向量(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．919．（2017•齐齐哈尔一模）设102m <<，若212212k k m m+--…恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[2-，0)(0⋃，4]B ．[4-，0)(0⋃，2]C ．[4-，2]D ．[2-，4]20．（2020•眉山模拟）已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y +的最小值是( ) AB ．45C ．25D ．121．（2020•五华区校级模拟）若实数x ，y 满足10220220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则32z x y =+的最大值为() A ．3-B ．2-C ．2D ．622．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域被直线1y ax =+分为面积相等的两部分，则a 的值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．9423．（2020•石家庄一模）已知实数x ，y 满足约束条件13010x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则11y z x +=+的取值范围为( ) A ．1[2，3]2B ．1[2，2]3C ．(-∞，13][22U ，)+∞D ．(-∞，12][23U ，)+∞24．（2020•晋城一模）设函数1()(2)3x f x x lg x --=++，则不等式3(21)()2f x f --„的解集是( )A ．131(0,][,)482UB ．131(1,][,)482-UC ．13(,][,)44-∞+∞UD ．31(1,][,0)44---U25．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．(0)2a bab a b +>>… B ．222(0)a b ab a b +>>…C ．20)ab ab a b a b>>+„D ．22(0)22a b a b a b ++>>„ 26．（2020•金安区校级模拟）若实数x ，y 满足不等式组221x y y z y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则22(2)(3)x y ++-的最大值和最小值之和为( ) A ．192B ．352C ．14D ．1827．（2020•齐齐哈尔一模）若0x >，0y >．且122(2)40y x->．则( )A ．22x y <B ．lnx lny <C ．11y x<D ．22x y y x>28．（2020•河南模拟）设不等式组030x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩…„表示的平面区域为Ω，若从圆22:4C x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为( ) A ．524B ．724C ．1124D ．172429．（2020•乐山模拟）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x 名男生，y 名女生组成-个小组去参加数学文化知识竞赛，若x ，y 满足约束条件251127x y y x x -⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩……„，则该小组最多选拔学生( ) A ．21名B ．16名C ．13名D ．11名二．填空题（共11小题）30．（2020•麒麟区校级一模）已知0x >，0y >，且2x y xy +=，若222x y m m +>+恒成立，则xy 的最小值为，实数m 的取值范围为．31．（2020•临汾模拟）不等式210ax x ++>的解集为(,1)m ，则m a += ． 32．（2020•碑林区校级一模）已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等差数列，则14a b+的最小值为．33．（2020•鼓楼区校级模拟）已知x ，y 满足不等式组2202100x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y 所在区域的面积等于．34．（2020•重庆模拟）已知点(2,3)A ，(2,1)B -，若点(,)P x y 的坐标x ，y 满足1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则PA AB u u u r u u u rg 的最大值为．35．（2020•武侯区校级模拟）若实数a ，(0,1)b ∈且14ab =，则1211a b +--的最小值为． 36．（2020•淮南一模）已知函数()exf x lne x=-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为． 37．（2020•佛山一模）若实数变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n += ．38．（2020•郑州一模）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab 的最小值为． 39．（2020•焦作一模）若正实数p ，q 满足21p q +=，求212p q++的最小值．40．（2020•汉中一模）已知函数()log (3)1(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为．答案解析一．选择题（共29小题）1．（2020•涪城区校级模拟）若702x yxx y k-+⎧⎪⎨⎪++⎩…„…且24z x y=+取得最小值为12-，则(k=)A．2B．9C．310D．0【解答】解：画出可行域，如图．将24z x y=+变形为124zy x=-+，画出直线124zy x=-+，平移至点A时，纵截距最大，z最大，由22412xx y=⎧⎨+=-⎩，解(2,4)A-，0x y k++=过点(2,4)-，2k∴=，故选：A．2．（2020•眉山模拟）已知实数x，y满足约束条件2202202x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y+的取值范围是()A．25[,22]B．4[,8]5C．2[,8]5D．[1，8]【解答】解：由题意作实数x，y满足约束条件2202202x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，平面区域如图，(2,2)A ，22x y +的几何意义是点(0,0)O 与阴影内的点的距离的平方，而222||228AP =+=，O 到220x y +-=的距离的平方为：24()514=+．则22x y +的取值范围为：4[5，8]故选：B ．3．（2020•凯里市校级模拟）已知实数x ，y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,1)-D ．(0,1)【解答】解：由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距，则由图可知，当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，就是目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1,3)B ，则11a >>-，故选：C ．4．（2020•邯郸模拟）设变量x ，y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩…„…则22(3)z x y =-+的最小值为( ) A ．2B ．45C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩…„…的可行域，可发现22(3)z x y =-+的最小值是(3,0)到220x y --=距离的平方．取得最小值：216()541=+．故选：D ．5．（2020•邯郸模拟）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为( ) A ．32B ．53C ．74D ．95【解答】解：当2m n +=时，131135111 1212(1)(2)(1)(2)n m nm n m n m n m n++++=++=+=+++++++++g g，因为21225(1)(2)()24m nm n+++++=g„，当且仅当12m n+=+，即31,22m n==时取等号，则139125nm n++++…，即最小值为95．故选：D．6．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域内存在点(x，)y，使不等式0010x my++„成立，则实数m的取值范围为() A．(-∞，5]2-B．(-∞，1]2-C．[4，)+∞D．(-∞，4]-【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中(2,6)A，直线10x my++=过定点(1,0)D-，当0m=时，不等式10x+„表示直线10x+=及其左边的区域，不满足题意；当0m>时，直线10x my++=斜率1m-<，不等式10x my++„表示直线10x my++=下方的区域，不满足题意；当0m<时，直线10x my++=的斜率1m->，不等式10x my++„表示直线10x my++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点(x，)y，使不等式0010x my++„成立，只需直线10x my++=的斜率12ADKm-=„，解得12m-„．综上可得实数m的取值范围为(-∞，1]2-，故选：B．7．（2020•金安区校级模拟）若不等式组40300px qy px qy qx y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩„…„表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内（包括边界）时，64p q +的最大值和最小值之和为( )A ．52-B ．22-C ．38D ．26【解答】解：当点(1,2)-在Ω内时，有24023020p q p q q -+-⎧⎪--+⎨⎪--⎩„…„，即24023020p q p q q -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，画出不等式组表示的平面区域如图所示．其中点1(2A -，7)4，(8,2)B --，(7,2)C -，则64p q +在点B 处取得最小值56-，在点C 处取得最大值34，故最大值与最小值之和为22-．故选：B ．8．（2020•武汉模拟）已知x ，y 满足不等式组2202100x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y 所在区域的面积是( ) A ．1B ．2C ．54D ．45【解答】解：不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，5||BD =，||5BC =所以阴影部分面积1155||||5224BCD S BD BC ∆===g ．故选：C ．9．（2020•顺德区模拟）已知函数2()(3)1f x x =--，则平面图形D 内的点(,)m n 满足条件：()()0f m f n +<，且()()0f m f n ->，则D 的面积为( )A ．πB ．3C ．2πD ．1【解答】解：根据题意，函数2()(3)1f x x =--，若()()0f m f n +<，则有22(3)1(3)10m n --+--<，变形可得22(3)(3)2m n -+-<，设(3,3)C ，则其对应的区域为圆22(3)(3)2x y -+-=的内部，若()()0f m f n ->，则有22(3)1(3)1()(6)0m n m n m n --+-+=-+->，则有06m n m n ->⎧⎨+>⎩或06m n m n -<⎧⎨+<⎩，故区域D 为如图所示的阴影区域：其面积为21(2)2ππ⨯⨯=；故选：A ．10．（2020•临汾模拟）若0m n >>，1,(),2m n m n mna e eb e ec e=+=g ( )A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【解答】解：0m n >>Q ，∴m n +>，∴2m n+∴2m n a ec +>=，又1()2m n b e e a =+>=，b ac ∴>>．故选：A ．11．（2020•漳州模拟）设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>【解答】解：32222442411644,,e e a b c e e e e e =====，23499ed e e==，2.7e ≈Q ，27.39e ≈，320.09e ≈，234916e e e ∴>>>， 2222c d a b ∴>>>， c d a b ∴>>>．故选：B ．12．（2020•平顶山一模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(2,1)，则2a b +的最小值为( ) A ．10B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意可得，211a b+=，则21222(2)()5549b aa b a b a b a b+=++=+++=…，当且仅当22b aa b=且211a b +=，即3a b ==时取等号，此时取得最小值9．故选：B ．13．（2020•荆门模拟）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()2222224,|11(1)10x y x y x y x y x ⎧⎫⎧+⎪⎪⎪Ω=+-++⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎩⎭或„剠„，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[15,25]--B．[25,25]-C ．[25,15]-+D ．[4,15]-+【解答】解：由题意可知：2z x y =+与22(1)1x y +-=相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：15„，解得1515z -+剟， 2z x y =+的最大值为：15+．当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，同理25„，即z 的最小值为：25-，所以[25z ∈-，15]+．故选：C ．14．（2020•绵阳模拟）若0b a <<，则下列结论不正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab a > C ．||||||a b a b +>+ D 33a b【解答】解：0b a <<Q ，∴11a b<，2ab a >，由函数y =在R 上单调递增，．设2a =-，1b =-时，||||||a b a b +=+与C 矛盾．因此只有C 错误．故选：C ．15．（2020•南宁一模）已知函数21()log (1)||f x x =+()3f lgx >的解集为( )A ．1(10，10)B ．(-∞，1)(1010⋃，)+∞ C ．(1,10)D ．1(10，1)(1⋃，10)【解答】解：函数21()log (1)||f x x =+(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，且在(0,)+∞上是单调递减函数；又f （1）2log 23=+=，所以不等式()3f lgx >可化为0||1lgx <<，即11lgx -<<，且0lgx ≠，解得11010x <<，且1x ≠；所以所求不等式的解集为1(10，1)(1⋃，10)．故选：D ．16．（2020•金安区校级模拟）已知变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„，若222x y x k ++…恒成立，则实数k 的最大值为( ) A ．40B ．9C ．8D ．72【解答】解：变量x ，y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„的可行域如图， 222x y x ++是点(,)x y 到(1,0)-的距离的平方减1，故最小值为点P 到(1,0)-的距离的平方加1，222z x y x =++的最小值为：27()122-=若222x y x k ++…恒成立，即72k …．k 的最大值为：72．故选：D ．17．（2020•德阳模拟）已知x ，y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为( ) A ．53B ．103C ．32D ．3【解答】解：x Q ，y 为正实数，∴433x yx y x ++ 43(1)131yy x x=++-+ 432(1)141331yy x x+=-=+…，当且仅当23(1)4y x+=即3x y =时“=”成立，故选：D ．18．（2017•淄博一模）设向量(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．9【解答】解：(1,1)AB a =-u u u r，(1,2)AC b =--u u u r ，A Q ，B ，C 三点共线，2(1)(1)0a b ∴----=，化为：21a b +=．又0a >，0b >，则121244(2)()4428b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++⨯…，当且仅当122b a ==时取等号．故选：C ．19．（2017•齐齐哈尔一模）设102m <<，若212212k k m m+--…恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[2-，0)(0⋃，4]B ．[4-，0)(0⋃，2]C ．[4-，2]D ．[2-，4]【解答】解：由于102m <<，则得到2112(12)12(12)[]2228m m m m +--=g g g „ （当且仅当212m m =-，即14m =时，取等号） ∴121812(12)m m m m +=--… Q212212k k m m+--…恒成立， 2280k k ∴--„，24k ∴-剟．故选：D ．20．（2020•眉山模拟）已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则22x y +的最小值是( ) AB ．45C ．25D ．1【解答】解：由题意作实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„的平面区域如图，(2,2)A ， 22x y +的几何意义是点(0,0)O 与阴影内的点的距离的平方， O 到220x y +-=的距离的平方为最小值：245=．则22x y +的最小值为：45．故选：B ．21．（2020•五华区校级模拟）若实数x，y满足10220220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则32z x y=+的最大值为()A．3-B．2-C．2D．6【解答】解：画出实数x，y满足10220220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„可行域，由图可知目标函数32z x y=+经过点(2,0)A时取得最大值6．故选：D．22．（2020•临汾模拟）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域被直线1y ax=+分为面积相等的两部分，则a的值为()A．12B．1C．2D．94【解答】解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：因为直线1y ax=+过定点(0,1)C，所以要使表示的平面区域被直线1y ax=+分为面积相等的两部分，则直线1y ax=+必过(2,6)A，(4,2)B的中点(3,4)D，由431a=+得1a=，故选：B．23．（2020•石家庄一模）已知实数x，y满足约束条件13010xx yx y⎧⎪+-⎨⎪--⎩…„„，则11yzx+=+的取值范围为()A．1[2，3]2B．1[2，2]3C．(-∞，13][22U，)+∞D．(-∞，12][23U，)+∞【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界），11yzx+=+Q可看作点(,)x y和(1,1)P--之间的斜率，由可行域可知(1,0)B，(1,2)C，且PB PCK z K剟；则1322z剟，故选：A．24．（2020•晋城一模）设函数21()(2)34(2)xf x x lgx x--=++-+，则不等式3(21)()2f x f --„的解集是( )A．131(0,][,)482UB ．131(1,][,)482-UC ．13(,][,)44-∞+∞UD ．31(1,][,0)44---U【解答】解：由题意知，函数()f x 可由21()14x g x x lg x x-=-+-g 向左平移两个单位而得到，而函数()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数， Q 函数()m x x =和函数12()(1)11x n x lglg x x+==---在(0,1)上递增，且()0m x >，()0n x >， ∴1()()1xy x lgm x n x x-==-+g 在(0,1)上递减， ()g x ∴在(0,1)上递减，()f x ∴的定义域为(3,1)--，关于2x =-对称，并且在(2,1)--上递减，∴不等式3(21)()2f x f --„等价于32113|212|22x x -<-<-⎧⎪⎨-+-+⎪⎩…，解得314x -<-„或104x -<„．故选：D ．25．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．(0)2a bab a b +>>… B ．222(0)a b ab a b +>>…C ．20)ab ab a b a b>>+„D ．22(0)22a b a b a b ++>>„ 【解答】解：由图形可知：11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-，在Rt OCF ∆中，由勾股定理可得： 22221()()()222a b a b CF a b +-=++ CF OF Q …，∴2211()()22a b a b ++…，(,0)a b >．故选：D ．26．（2020•金安区校级模拟）若实数x ，y 满足不等式组221x y y z y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则22(2)(3)x y ++-的最大值和最小值之和为( ) A ．192B ．352C ．14D ．18【解答】解：画出不等式组221x y y z y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…表示的平面区域如图所示；其中点(1,1)A -，(1,1)B ，(0,2)C ，而22(2)(3)x y ++-的几何意义是平面区域内的点(,)x y 与点(2,3)-的距离的平方，最小值为点(2,3)-到直线20x y -+=的距离的平方，即229()22d ==；最大值为点(2,3)-到点B 的距离的平方，即222(12)(13)13d '=++-=，所以最大值与最小值之和为9351322+=．故选：B ．27．（2020•齐齐哈尔一模）若0x >，0y >．且122(2)40y x->．则( )A ．22x y <B ．lnx lny <C ．11y x<D ．22x y y x>【解答】解：0x >Q ，0y >，且122(2)40y x->，则22x y >，0x y ∴>>，33x y ∴>，∴22x y y x>，故选：D ．28．（2020•河南模拟）设不等式组030x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩…„表示的平面区域为Ω，若从圆22:4C x y +=的内部随机选取一点P，则P取自Ω的概率为()A．524B．724C．1124D．1724【解答】解：作出Ω中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0x y+=，30x y-=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P取自Ω的概率为3746224πππ-=．故选：B．29．（2020•乐山模拟）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成-个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件251127x yy xx-⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩……„，则该小组最多选拔学生()A．21名B．16名C．13名D．11名【解答】解：画出x，y满足约束条件251127x yy xx-⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩……„，表示的平面区域，如图所示；要求招入的人数最多，即z x y=+取得最大值，目标函数化为y x z=-+；在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值1-，截距最大时的直线为过725xx y=⎧⎨-=⎩得(7,9)A，此时目标函数取得最大值为：9716z=+=．故选：B．二．填空题（共11小题）30．（2020•麒麟区校级一模）已知0x >，0y >，且2x y xy +=，若222x y m m +>+恒成立，则xy 的最小值为 8 ，实数m 的取值范围为．【解答】解：0x >Q ，0y >，2x y xy +=，∴211x y+=， 21211x y x y∴=+g …， 8xy ∴„，当且仅当4x =，2y =时取等号， 2228x y xy ∴+厖（当2x y =时，等号成立），228m m ∴+<，解得42m -<<故答案为：8；(4,2)-31．（2020•临汾模拟）不等式210ax x ++>的解集为(,1)m ，则m a += 52- ．【解答】解：根据题意，不等式210ax x ++>的解集为(,1)m ，则1x =是方程210ax x ++=的根，即110a ++=，解可得2a =-；则不等式为2210x x -++>，解可得：112x -<<，则有12m =-，则有52m a +=-；故答案为：52-．32．（2020•碑林区校级一模）已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等差数列，则14a b+的最小值为94．【解答】解：aQ，2，b依次成等差数列，4a b∴+=，且0a>，0b>，∴1411414149 ()()(14)(52)4444ba b aa ba b a b a b a b+=++=++++=g g…，当且仅当4b aa b=，即823b a==时取等号，∴14a b+的最小值为94．故答案为：94．33．（2020•鼓楼区校级模拟）已知x，y满足不等式组220210x yx yx+-⎧⎪--⎨⎪⎩„„…，则点(,)P x y所在区域的面积等于54．【解答】解：先画出约束条件约束条件所表示的区域所围成图形是一个三角形ABC，如图，可知(0,2)A，(1,0)B，1(0,)2C-，∴三角形的面积1151[2()]224=⨯⨯--=．故答案为：54．34．（2020•重庆模拟）已知点(2,3)A，(2,1)B-，若点(,)P x y的坐标x，y满足1325xy xx y-⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则PA ABu u u r u u u rg的最大值为8-．【解答】解：由x，y满足1325xy xx y-⎧⎪⎨⎪+⎩……„作出可行域如图，则(2PA AB x =-u u u r u u u rg ，3)(4y --g ，2)1442x y -=-++；平移直线有2y x =-当过点B 时截距最大，此时z 最大； 325y x x y =⎧⎨+=⎩⇒11x y =⎧⎨=⎩； (1,1)B ∴；∴PA AB u u u r u u u rg 的最大值为：1441218-+⨯+⨯=-，故答案为：8-．35．（2020•武侯区校级模拟）若实数a ，(0,1)b ∈且14ab =，则1211a b +--的最小值为 424 ．【解答】解：因为14ab =，所以14b a=，因此1212111114a b a a+=+----， 18141aa a =+--， 12(41)2141a a a -+=+--， 122141a a =++--， 122()24144a a=++--， 212()[(41)(44)]234144a a a a=+-+-+--，2442(41)[12]234144a a a a--=++++--，2(3243++=+…，当且仅当a =，取“=”，及1211a b+--的最小值为43+，故答案为：4 36．（2020•淮南一模）已知函数()ex f x lne x=-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 4 ．【解答】解：由()exf x ln e x=-，可得2()()2f x f e x ln ln lne +-=+==，因为220181009()()()()2019201920192e e e f f f a b ++⋯+=+，所以20181009()222a b +⨯=，即有4a b +=，由基本不等式可得2()42a b ab +=„，当且仅当2a b ==时取等号，此时取得最大值4．故答案为：4．37．（2020•佛山一模）若实数变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n += 0 ．【解答】解：作出可行域，如图所示，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线的纵截距，平移直线2y x =-，结合图象可知，当2z x y =+过(1,1)A --时z 取最小值3-，当2z x y =+过(2,1)B -时z 取最大值3 故0m n +=，故答案为：0．38．（2020•郑州一模）已知0a >，0b >，24a b +=，则3ab 的最小值为 32．【解答】解：0a >，0b >，24a b +=，由基本不等式可得，422ab …2ab ∴„，当且仅当2b a =即2b =，1a =时取等号则3ab 的最小值为32．故答案为：32． 39．（2020•焦作一模）若正实数p ，q 满足21p q +=，求212p q ++的最小值 83．【解答】解：212222222222228()(2)(22)2223223223223p q p q p q p q p q p q q p q P +++++=+=+=+++⨯=+++++…，当且仅当2222p q q p +=+时，即22p q +=时，与21p q +=结合得11,24p q ==时，等号成立．故答案为：83．40．（2020•汉中一模）已知函数()log (3)1(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为 43 ．【解答】解：由()log (3)1a f x x =+-知，()f x 过定点(2,1)A --．因为点A 在直线40mx ny ++=上，所以24m n +=，又0mn >，所以0m >，0n >，所以12121()()1136m nm n m n ++=++++22(1)2436(1)333n m m n +=++++…，当且仅当2(1)6(1)3n m m n +=+，即12m =，3n =时取等号，所以121m n++的最小值为43．故答案为：43。

2019-2020年高考数学模拟试卷理(含解析)

2019-2020年高考数学模拟试卷理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的两根之比为( )A．i B．﹣i C．±i D．1±i2．已知：a是实数，命题P：∃x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命题Q：﹣4＜a＜0；则命题P为假命题是命题Q成立的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为( )A．0 B．1 C．2 D．114．已知由长方体截去一个棱锥所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．16 B．C．D．5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数，且各个数字之和为12，则这样的四位数的个数是( )A．108 B．128 C．152 D．1747．已知A、B为抛物线x2=2py（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①=0；②存在实数λ使得（点O为坐标原点）；③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有=0；④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．其中说法正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．48．已知n∈N*，数列{a n}的首项a1=1，函数f（x）=x，若x=a n+1是f（x）的极小值点，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．C．D．9．由二项式定理知识可将（n∈N*）展开并化简．若，则在（a+5）2n+1（n∈N*）的小数表示中，小数点后面至少连续有零的个数是( )A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+210．定义域为的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A．（2）若0＜ω＜1，当f（x0）=﹣，求f（x0+1）的值．18．已知等比数列{a n}的前三项的和为，前三项的积为．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等差数列，设b n=（2n+1）a n，求数列{b n}的前n项的和T n．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．20．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．21．椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，且最大值的取值范围是，其中c=．（1）求椭圆C1的离心率e的取值范围；（2）设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0．（1）当a=﹣4时，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当n∈N*，求证：ln2．湖北省随州市随县一中xx高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的两根之比为( )A．i B．﹣i C．±i D．1±i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：在复数范围内，解方程x2﹣2x+2=0，进而根据复数的除法运算，可求出两根之比．解答：解：∵方程x2﹣2x+2=0的判别式△=﹣4，∴方程x2﹣2x+2=0有复数解x=1±i，两根之比为或，故选C点评：本题考查复数的基础知识，实系数一元二次方程的解法以及复数的运算．虽然教材中并没有涉及实系数一元二次方程的解法，但是利用复数的引入知识和在复数的概念的基础上应具备创新的能力，这也是新课程标准所要求的．2．已知：a是实数，命题P：∃x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命题Q：﹣4＜a＜0；则命题P为假命题是命题Q成立的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由于命题P：∃x∈R，使；是假命题，则¬P：∀x∈R，x2+2ax﹣4a≥0就是真命题，故△=4a2+16a≤0⇒﹣4≤a≤0，则命题P为假命题是命题Q成立必要不充分条件，故选B点评：此题考查特称命题的判断以及充要条件的概念．根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．3．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为( )A．0 B．1 C．2 D．11考点：循环结构．专题：图表型．分析：当x=2×x+1，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体，依此类推，最后一次：x=2×11+1=23，n=1+3=4，不满足n≤3，退出循环体，输出此时的x的值．解答：解：x=2×2+1=5，n=1+1=2，满足n≤3，执行循环体；x=2×5+1=11，n=2+1=3，满足n≤3，执行循环体；x=2×11+1=23，n=3+1=4，不满足n≤3，退出循环体，上述过程反过来看即可得．则输入的x值为：2故选：C．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．4．已知由长方体截去一个棱锥所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．16 B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个长方体截去一个三棱锥得到的组合体，求出长方体和三棱锥的体积，相减可得答案．解答：解：利用三视图的知识可知该几何体是由一个长方体截去一个三棱锥得到，如下图所示，故可得几何体的体积为，故选：B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：反证法与放缩法．专题：解三角形．分析：依题意知，△A1B1C1为锐角三角形，利用诱导公式易得由于，，，假设△A2B2C2是锐角三角形，可推得A2+B2+C2=，导出矛盾，从而推翻假设，肯定结论成立．解答：解：因为三角形内角的正弦均为正值，故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正，所以△A1B1C1为锐角三角形．由于，，，若△A2B2C2是锐角三角形，则，与三角形内角和为π弧度矛盾，故△A2B2C2是钝角三角形，故选：C．点评：本题考查三角函数与三角形的概念以及用反证法推理的基本数学思想，属于中档题．6．已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数，且各个数字之和为12，则这样的四位数的个数是( )A．108 B．128 C．152 D．174考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分类计数问题，当数字中不含有0时，把12分成4个不同的数之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6，排列出结果，当数字含有0时，可以是0，1，2，9；0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7种情况满足条件，得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，当数字中不含有0时，把12分成4个不同的数之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+64个个位数和是12，也就是说，平均值是3∴可能是3﹣1，3﹣2，3+1，3+2这一种情况，就是1，2，4，5而如果出现3的话，剩下三个数和为9，那么可能是1、2、3、6由1，2，4，5，组成的四位数，可能有A44=24种，同样由1、2、3、6组成四位数，也有24种，∴不含有0的数字有24+24=48种结果，当数字含有0时，可以是0，1，2，90，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7种情况满足条件，而每一种可以组成数字3×3×2=18∴共有48+18×7=174故选D．点评：本题考查计数原理，对于比较复杂的问题，一般是既有分类又有分步，本题解题的关键是先分成含有0和不含有0两种情况．7．已知A、B为抛物线x2=2py（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①=0；②存在实数λ使得（点O为坐标原点）；③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有=0；④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．其中说法正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：设直线AB方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则由，①由抛物线定义可知：AF=AC，BF=BD，AC∥BD∥y轴，∠AFC=∠CFO，∠BFD=∠DFO，所以∠CFD=90°即；①正确②，∴AO∥DO即存在实数λ使得；②正确③因为，由于，若k≠0则k FT•k AB=﹣1，；若k=0显然；③正确④由于，抛物线在A点的切线斜率为，抛物线在B点切线斜率为因为，故一定相交，并且相互垂直．④正确故选D．点评：本题考查抛物线的概念和性质，注重平时复习对知识的理解和重要内容的记忆，特别是教材中例题研究的方法和结论，都会是xx高考命题的主要来源．8．已知n∈N*，数列{a n}的首项a1=1，函数f（x）=x，若x=a n+1是f（x）的极小值点，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法；利用导数研究函数的极值．专题：等差数列与等比数列．分析：f'（x）=x2﹣2（a n+n+3）x+2（2n+6）a n=（x﹣2a n），当2a n＜2n+6时，极小值点为a n+1=2n+6；当2a n＞2n+6时，极小值点为a n+1=2a n，比较2a n与2n+6的大小即可得出．解答：解：f'（x）=x2﹣2（a n+n+3）x+2（2n+6）a n=（x﹣2a n）当2a n＜2n+6时，极小值点为a n+1=2n+6当2a n＞2n+6时，极小值点为a n+1=2a n比较2a n与2n+6的大小：当n=1时2n+6=8＞2a1=2，∴；当n=2时2n+6=10＜2a2=16，∴；当n=3时2n+6=12＜2a3=32，∴；用数学归纳法可证明：当n≥2时，2a n＞2n+6．故，故选：D点评：本题考查函数极值点概念和求法、数列的概念、等差等比数列的判断，以及分类讨论的思想和代数推理的能力，属于中档题．9．由二项式定理知识可将（n∈N*）展开并化简．若，则在（a+5）2n+1（n∈N*）的小数表示中，小数点后面至少连续有零的个数是( )A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+2考点：二项式定理的应用；定积分．专题：综合题；二项式定理．分析：先求出a，利用与的小数部分完全相同，即可得出结论．解答：解：因为由题目给出的提示：由二项式定理，因此与的小数部分完全相同．∵，∴，即的小数表示中小数点后面至少接连有2n+1个零，因此，的小数表示中，小数点后至少连续有2n+1个零．故选C．点评：本题考查简单定积分的计算和二项式定理的应用以及化归的数学思想．10．定义域为的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A．13．若从区间（0，2）内随机取两个实数，则“这两个实数的平方和不小于4”概率为1﹣，类比前面问题的解法解：若从区间（0，2）内随机取三个实数，则“这三个实数的平方和不小于4”的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设这两个实数为x，y，由题意列出不等式组，以及这两个实数的平方和不小于4的不等式组，分别求出区域面积，利用几何概型的概率公式解答．解答：解：设这两个实数为x，y，则x，y满足，基本事件构成平面区域的面积为4，事件“这两个实数的平方和不小于4”满足，其构成平面区域的面积为正方形面积减去半径为2的圆面积的四分之一，即4﹣π，故所求概率为类比到空间：设这三个实数为x，y，z，则，基本事件构成空间区域的体积为棱长为2的正方体其体积为8；事件“这三个实数的平方和不小于4”满足其构成空间区域的体积为正方体体积减去半径为2的球的体积的八分之一，即．故所求概率为．点评：这是一个几何概型问题．考查学生建立数学模型的能力，并能利用合情推理之类比推理的方法解决新的问题，培养和提高创新能力．14．已知f（x）=e x+cosx，g（x）=x，若存在x1，x2∈．…（2）因为0＜ω＜1，所以，即∵，即…由，可得，所以…f（x0+1）=2sin=2sin=…点评：本题主要考察三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系、两角和的正余弦公式、两倍角公式等基础知识，考查运算能力，数形结合、整体转化等数学思想，三角函数以向量为载体的形式给出，在三角函数图象中巧妙嵌入直角三角形，活而不难、平中见奇．18．已知等比数列{a n}的前三项的和为，前三项的积为．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等差数列，设b n=（2n+1）a n，求数列{b n}的前n项的和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的性质即可求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{b n}的前n项的和T n．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则前三项为；依题意，前三项的积为，可得，由于，解得q=﹣2或，所以等比数列的通项公式为：或．（Ⅱ）若，则不成等差数列，不合条件，舍去．若，则成等差数列，满足条件，故，，T n=3×（）1+5×（）2+7×（）3+…+（2n+1）×（）n，将上两式相减得：==所以．点评：本题主要考查两个基本数列：等差数列和等比数列的概念及其通项公式，并考查了数列求和中的错位相减法，是最简单也是最常用的数学知识和数学方法．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．专题：计算题；证明题．分析：（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．解答：证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则，即．令，则n=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．20．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖．）（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；计数原理的应用．专题：概率与统计．分析：（1）若8种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有8种．由此能求出小王共有多少种选择方式．（2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差．解答：（本题满分12分）解：（1）若8种口味均不一样，有=56种，若其中两瓶口味一样，有=56种，若三瓶口味一样，有8种．所以小王共有56+56+8=120种选择方式．…（2）ξ的取值为0，1，2，3．由于各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为，…故随机变量ξ服从二项分布，即，，，，，∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…其数学期望，方差．…点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，要认真审题，要将题目中的关系读懂，是中档题．21．椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，且最大值的取值范围是，其中c=．（1）求椭圆C1的离心率e的取值范围；（2）设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用数量积运算、椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）当时，，可得，A（2c，0）．设B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），代入双曲线方程，当AB⊥x 轴时，x0=2c，y0=3c，可得．故，猜想λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A总成立，当x0≠2c时，利用斜率计算公式可得，即可．解答：解：（1）设P（x，y），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∴，又得，∴，∴当x2=a2时，取得最大值b2，∴c2≤b2≤3c2，c2≤a2﹣c2≤3c2∴，即，∴．（2）当时，，∴，A（2c，0）．设B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，当AB⊥x轴时，x0=2c，y0=3c，则，∴．故，猜想λ=2，使∠BA F1=λ∠BF1A总成立，当x0≠2c时，∴，又∴tan2∠BF1A===tan∠BAF1，又2∠BF1A与∠BAF1同在内，∴2∠BF1A=∠BAF1，故存在λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立．点评：本题考查圆锥曲线的基本知识，重点落脚在椭圆的性质和运用上，了解双曲线基本知识，然后利用研究圆锥曲线的思想和方法，通过类比的方式解决问题，将常用的创新思想：归纳、猜想、证明用于解题之中．学数学不仅仅是要会解数学题，更重要的是学会用数学的眼光看世界，用数学的方法解决问题，属于难题．22．已知函数f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0．（1）当a=﹣4时，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当n∈N*，求证：ln2．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）代入a=﹣4化简F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定义域为；求导并令，从而判断导数的正负以确定单调性，再求最大值；（2）由1+ax2＞0知ax2＞﹣1（a≠0），再求导，讨论a以确定函数的定义域及导数的正负，从而确定函数的单调性；（3）设不等式左边为S n，化简S n==；构造函数，从而化，其中；利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间上与x轴围成的面积的过剩近似值；从而证明．解答：解：（1）当a=﹣4时，F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定义域为；由，可得，∵，∴；故当，F（x）单调递增，当，F（x）单调递减；故F（x）的最大值为．（2）因为1+ax2＞0，可知ax2＞﹣1（a≠0），又；当a＞0，f（x）定义域为R，若x＞0则f′（x）＞0，若x＜0则f′（x）＜0；故f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）．当a＜0，f（x）定义域为，若x＞0则f′（x）＜0，若x＜0则f′（x）＞0；故f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（3）证明：设不等式左边为S n，则S n===；构造函数，由（2）可知当a=1时，f（x）=ln（1+x2），f′（x）=g（x）；，其中；利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间上与x轴围成的面积的过剩近似值；故有；故当n∈N*，成立．点评：本题考查利用函数的导数解决函数的最值和单调性问题，并通过构造函数利用微积分的思想证明不等式问题，需要较强的综合运用知识和开拓创新能力．考查了函数的思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等常用的数学思想．。

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)(含答案解析)

2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2+i)z=3+4i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（）A ．2−iB ．2+iC ．1−2iD ．1+2i 2．已知集合M ={−1，0，1}，N ={y |y =1+sin2x π，x ∈M }，则集合M ∩N 的真子集的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 6 8 10 12 y2356根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x +a ，据此可以预测当x =15时，y =（） A ．7.8 B ．8.2 C ．9.6 D ．8.5 4．若向量a ，b 满足|a |=3，|b |=2，a ⊥(a −b )，则a 与b 的夹角为（）A ．2π B ．23π C ．6πD ．56π5．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是（）A ．{x ∈R |0 x 2log 3}B ．{x ∈R |−2 x 2}C ．{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}D ．{x ∈R |−2 x 2log 3或x =2}6．设变量x ，y 满足10222270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤，z =2a x y +(0<a)的最大值为5，则a =（）A ．1B ．12C．2 D7．已知双曲线2x −2y =1的左、右两个焦点分别是1F 、2F ，O 为坐标原点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线lt -+=0与圆O 有公共点，则实数t 的取值范围是（） A ．[−2，2] B ．[0，2] C ．[−4，4] D ．[0，4]8．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，首项1a =d ，数列{2n a }的前n 项和为n S ，等比数列{n b }是公比q 小于1的正项有理数列，首项1b =2d ，其前n 项和为n T ，若33S T 是正整数，则q 的可能取值为（）A ．17B ．37C ．12D ．349．若函数y=cos(2x +φ)(0<φ<2π)的图象的对称中心在区间(6π，3π)内只有一个，则φ的值可以是（） A ．12π B ．6π C ．3πD ．56π 10．已知三棱锥P −ABC 的顶点都在同一个球面上(球O )，且P A =2，PB =PC，当三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是（） A ．316π B ．38π C ．116πD ．18π11．已知抛物线2y =8x 的准线与双曲线22221x y a b-=相交于A ，B 两点，若直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，则双曲线的离心率为（） A ．3 B ．2 CD12．已知函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(1e +1，e −1]B ．[1e+1，e −1)C．{1}∪(1e+1，e−1] D．{1}∪[1e+1，e−1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若261()(2)x a xx+-展开式中的常数项为60，则实数a的值为．14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．15．已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(B+C)+3sin(A+C)cos C=0，则tan A的最大值为．16．已知函数()f x=212ln xx-，若对任意的1x，2x∈(0，1e]，且1x≠2x，122212()()||f x f xx x-->2212kx x⋅恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，且满足3nS=2na+1．(1)求数列{na}的通项公式；(2)设数列{nb}满足nb=(n+1)na，求数列{nb}的前n项和nT．18．(本小题满分12分)某运动会为每场排球比赛提供6名球童，其中男孩4名，女孩2名，赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球，假设每名球童被选中是等可能的．(1)在一场排球比赛中，在已知预备球童是男孩的前提下，求2名正选球童也都是男孩的概率；(2)(i)求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率；(ii)某比赛场馆一天有3场排球比赛，若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择，记球童选取情况恰为(i)中结果的场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)已知四棱锥A−BCPM及其三视图如图所示，其中PC⊥BC，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形．(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角M−AC−B的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为1F，2F，过点A (−4，0)的直线l与椭圆C相切于点B，与y轴交于点D(0，2)，又椭圆的离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)圆Q与直线l相切于点B，且经过点2F，求圆Q的方程，并判断圆Q与圆2x+2y=2a的位置关系．21．(本小题满分12分)已知函数()f x=ax+ln x−2，a∈R．(1)若曲线y=()f x在点P(2，m)处的切线平行于直线y=−32x+1，求函数()f x的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数()f x在(0，2e]上有最小值2?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−6π)=12．(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆ρ=2相交于A ，B 两点，求点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲设函数()f x =1+|2x −3|，()g x =|9x +3|．(1)求不等式()f x13()g x 的解集； (2)若不等式()f x 2t x +12+|x −32|的解集非空，求实数t 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(三)答案1．A 【解析】由(2+i)z=3+4i ，得z=34i (34i)(2i)105i2i (2i)(2i)5++-+==++-=2+i ，则z 的共轭复数为2−i ，选A ．2．B 【解析】因为N ={0，1，2}，所以M ∩N ={0，1}，其真子集的个数是3，故选B ． 3．B 【解析】根据题中表格可知x =6810124+++=9，y =23564+++=4，所以a =y −0.7x =4−0.7×9=−2.3，所以ˆy=0．7x −2.3，当x =15时，y =0.7×15−2.3=8.2．4．C 【解析】通解因为a ⊥(a −b )，所以a ·(a −b )=0，即a ·a −a ·b =|a |2−|a |·|b |cos<a ，b >=0，所以cos<a ，b >=2||||||⋅a a b =32，又<a ，b >∈[0，π]，故a 与b 的夹角为6π，选C ．优解因为a ⊥(a −b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a −b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C ．5．C 【解析】根据题意，得当x ∈(−2，2)时，()f x =2x ，由1 2x 3，得0 x 2log 3；当x ∉(−2，2)时，()f x =x +1，由1 x +1 3，得0 x 2，即x =2．故输入的实数x 的取值范围是{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}．故选C ．6．A 【解析】如图，画出可行域，∵z =2a x +y ，∴y =−2a x z +，求z 的最大值，即求直线y=−2a x z+在y 轴上的最大截距，显然当直线y=−28a x +过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由10270x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A (2，3)，则22a +3=5，可得a =1．故选A ．7．C 【解析】双曲线2x −2y =1的两个焦点分别是1F (2，0)，2F 2，0)，从而圆O 的方程为2x +2y =253x t +=0与圆O 有公共点，，即|t| 4，从而实数t的取值范围是[−4，4]，故选C．8．C【解析】由题意知，33ST=2222222249141d d dd d q d q q q++=++++为正整数，设为t，则1+q+2q=14t，即2q+q+1−14t=0，因为q有解，故1−4(1−14t) 0，t563．故q因而t整除56，即t的可能取值为1、2、4、7、8、14，经检验当t=8时符合题意，此时q12=，故选C．9．A【解析】令2x+φ=2π+kπ(k∈Z)，则x=4π+2kπ−2ϕ，所以6π<4π+2kπ−2ϕ<3π，即ϕπ−16<k<ϕπ+16．又由0<φ<2π，得−16<ϕπ−16<13，16<ϕπ+16<23，所以k=0，此时φ∈(−6π，6π)，选A．10．A【解析】三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和为12×sin∠APB+12×sin∠APC+12sin∠BPC，由于∠APB，∠APC，∠BPC相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥P−ABC的三个侧面的面积之和最大，此时P A，PB，PC两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥P−ABC与该长方体有共同的外接球，故球O的半径r==2，所以三棱锥P−ABC的体积与球O的体积的比值是311233241623ππ⨯⨯=⨯．11．A【解析】通解因为直线AF(点F为抛物线的焦点)与直线y=x垂直，所以直线AF的斜率为AFk=−1，又抛物线2y=8x的焦点为F(2，0)，则直线AF的方程为y=−x+2，与抛物线的准线：x=−2联立，得点A(−2，4)，又点A在双曲线上，所以24a−1616=1，解得2a=2，故2e=22ca=9，双曲线的离心率e=3．故选A．优解因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，所以直线AF 的斜率为AF k =−1，又A ，B 两点是抛物线2y =8x 的准线与双曲线222116x y a -=的交点，根据双曲线的对称性，可知△ABF 是等腰直角三角形，故由点A 的横坐标为−2，AF k =−1，知点A 的纵坐标为4，即A (−2，4)，代入双曲线方程可得24a −1616=1，解得2a =2， 2e =22c a =9，故双曲线的离心率e =3．故选A ．12．C 【解析】因为函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，即点(x ，y )与(x ，−y )分别在两个函数的图象上，且唯一．又1ex e ，所以()ln ()y f x x y g x x a==⎧⎨=-=-⎩，即方程ln x =x −a 在[1e ，e ]上有唯一解，所以函数()f x =ln x 的图象和直线y=x −a 在区间[1e ，e ]上有唯一的公共点，作出大致图象如图所示．当两函数图象相切时，设切点为(0x ，0y )，1()(ln )f x x x''==，所以001()f x x '=，所以0x =1，切点为(1，0)，代入直线方程得a =1．当直线y =x −a 过点A (1e ，−1)时，a =1e+1；当直线y =x −a 过点B (e ，1)时，a =e −1．结合图象可知，若恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则a =1或1e+1<a e −1．13．1【解析】261(2)x x -展开式的通项为1r T +=6C r 26(2)r x -−1()r x-=(−1)r ×62r -6C r 123rx -，当12−3r =0时，r =4，而12−3r =−1时，r =133不符合题意，所以常数项为(−1)4×2246C a =60，解得a =1．14．4【解析】由三视图得该几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥，所以该几何体的体积为13×242+×2×2=4．15．34【解析】因为sin (B +C )+3sin (A +C )cos C =0，所以sin(B +C )=−3sin B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =−3sin B cos C ，sin C cos B =−4sin B cos C ．易知C ≠90°，所以tan C =−4tan B ，所以tan(A +B )=4tan B ，所以tan A =tan[(A +B )−B ]=2tan()tan 3tan 1tan()tan 14tan A B B BA B B B+-==-+⋅+114tan 3tan 3B B +34=(B 是锐角，tan B >0)，当且仅当1tan B=4tan B ，即tan B =12时取等号，所以tan A 的最大值为34． 16．(−∞，4]【解析】由对任意的1x ，2x ∈(0，1e]，且1x ≠2x ，122212()()||f x f x x x -->2212kx x ⋅，得122212()()||11f x f x x x --min >k ，令g (21x )=()f x ，x ∈(0，1e ]，则()g x =x +x ln x ，x ∈[2e ，+∞)，()g x '=2+ln x ≥4，又122212()()||11f x f x x x --=2212221211()()||11g g x x x x --表示曲线y=()g x在[2e ，+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值，则122212()()||11f x f x x x -->4，则k ≤4，即实数k 的取值范围是(−∞，4]．17．【解析】(1)当n =1时，31S =21a +1⇒1a =1，当n ≥2时，由11321321n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩，得3(n S −1n S -)=2n a −21n a -⇒n a =−21n a -，从而n a =(−2)1n -．（4分）(2)由n b =(n +1) n a 得n b =(n +1)×(−2)1n -，则n T =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+…+(n +1)×(−2)1n -， ① −2n T =2×(−2)1+3×(−2)2+4×(−2)3+…+(n +1)×(−2)n ， ② 由①−②得，3n T =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+…+(−2)1n -−(n +1)×(−2)n=1+1(2)1(2)n ----−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ，从而n T =49−349n +×(−2)n ．（12分）18．【解析】(1)从6名球童中选取3名球童，已知预备球童为男孩，2名正选球童从其余5人中选取，共有25C =10种不同的选法，因为2名正选球童都是男孩，则需要从剩余3名男球童中选取，有23C =3种选法，由古典概型的概率计算公式，得2名正选球童也都是男孩的概率P =310．（5分）(2)(i)从6名球童中选取3名球童，共有36C =20种不同的选法，记事件A 为“选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩”，则事件A 包含的选法有2142C C =12种，由古典概型的概率计算公式，得P (A )=123205=．（7分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ~B (3，0.6)，P (ξ=0)=03C (0.6)0×(0.4)3=0.064，P (ξ=1)=13C (0.6)1×(0.4)2=0.288， P (ξ=2)=23C (0.6)2×(0.4)1=0.432，P (ξ=3)=33C (0.6)3×(0.4)0=0.216．（10分）因而ξ的分布列为P0.064 0.288 0.432 0.216Eξ=3×0.6=1.8．（12分）【备注】在解决概率与统计问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的情况，从而选择正确的概率计算公式，同时注意上述几种事件的综合问题，要全面考虑．19．【解析】(1)由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，又平面PCBM ∩平面ABC =BC ，且PC ⊥BC ，（2分）∴PC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．（4分）(2)解法一如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ，易知AC ⊥MH ，∴∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角．（6分）由三视图可知PC =MN =1，PM =CN =1，CB =2，AC =1，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则A 到直线BC 的距离为AE 3（7分）在Rt △AEC 中，AC =1，AE 3sin ∠ACE 3 ∴∠ACE =60°，∴∠ACB =120°，（8分）在Rt △NHC 中，∵∠NCH =∠ACE =60°，∴NH =CN ·sin ∠NCH =1×sin 60°=32．（10分）在Rt △MNH 中，∵MH 22MN NH +7cos ∠MHN =NH MH =217．故二面角M −AC −B的余弦值为217．（12分）解法二如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．（5分）由三视图知PC =MN =1，CB =2，AC =1，过A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则点A 到直线BC 的距离为AE =32．（6分）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立如图所示的空间直角坐标系．在Rt △AEC 中，AC =1，AE =32，∴CE =12， ∴C (0，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，1)，B (0，2，0)，A 3−12，0)， ∴CA u u u r 3−12，0)，AM u u u u r =(3，32，1)．（8分）设平面MAC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，得33023102x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令z =1，则x =3y =−1， ∴n =(−33，−1，1)是平面MAC 的一个法向量．（10分）又平面ABC 的一个法向量为CP u u u r =(0，0，1)，∴cos<n ，CP u u u r >=||||CP CP ⋅=u u u r u u u r n n 21．由图可知二面角M −AC −B 为锐二面角，∴二面角M −AC −B 的余弦值为217．（12分）20．【解析】(1)由题意知，直线l的方程为x−2y+4=0，由22221240 x yabx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得(2a+42b)2y−162b y+162b−2a2b=0，（2分）又椭圆的离心率e=ca=12，所以2e=2222214c a ba a-==，因而42b=32a，则42a2y−122a y+234a(16−2a)=0，（3分）由直线l与椭圆相切，得Δ=22(12)a−124a(16−2a)=0，则2a=4，2b=3，所以椭圆C的方程为22143x y+=．（5分）(2)由(1)得B(−1，32)，2F(1，0)，由题意知圆心Q在过点B与l垂直的直线上，该直线方程为y−32=−2(x+1)，即4x+2y+1=0．（6分）设圆心Q(x，y)，因而4x+2y+1=0，连接QB，2QF，则|QB|=|2QF|，（7分）从而2(1)x++23()2y-=2(1)x-+2y，解得x=−38，y=14，则Q(−38，14)，圆Q的半径R=|QB223135(1)()8428-++-=，（9分）所以圆Q的方程为(x+38)2+(y−14)2=12564．（10分）而2x +2y =4的圆心为O (0，0)，半径r =2，两圆的圆心距|OQ ，（10分）由于144>125，因而16−5因而|OQ <2，即两圆内含．（12分）【备注】分析近几年的高考题可知，解析几何的考查基本稳定在椭圆与圆、抛物线与圆、椭圆与抛物线的结合上，已知条件以向量的形式呈现也很普遍，而众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论更是备受青睐，因而在复习备考阶段，应加以强化，这些结论不但要知其然，更要知其所以然，突破传统思维定势的影响，寻求解题的突破口，提高复习的全面性与灵活性．21．【解析】(1)∵()f x =a x+ln x −2(x >0)， ∴()f x '=2a x -+1x(x >0)，（1分）又曲线y =()f x 在点P (2，m )处的切线平行于直线y =−32x +1， ∴(2)f '=−14a +12=−32⇒a =8． ∴()f x '=28x -+1x =28x x -(x >0)，（3分）令()f x '>0，得x >8，()f x 在(8，+∞)上单调递增；令()f x '<0，得0<x <8，()f x 在(0，8)上单调递减．∴()f x 的单调递增区间为(8，+∞)，单调递减区间为(0，8)．（5分）(2)由(1)知()f x '=2a x -+1x =2x a x- (x >0)． (i)当a 0时，()f x '>0恒成立，即()f x 在(0，2e ]上单调递增，无最小值，不满足题意．（6分）(ii)当a >0时，令()f x '=0，得x =a ，所以当()f x '>0时，x >a ，当()f x '<0时，0<x <a ，（7分）此时函数()f x 在(a ，+∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =2()f e =2a e +ln 2e −2=2a e ，由2a e=2，得a =22e ，满足a >2e ，符合题意；（8分）若a 2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =()f a =a a +ln a −2=ln a −1，由ln a −1=2，得a =3e ，不满足a 2e ，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a =22e ，使函数()f x 在(0，2e ]上有最小值2．（12分）22．【解析】(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得y −1=3(x −1)，显然，直线l 过定点(1，1)，倾斜角为6π，因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（5分）(2)圆ρ=2的直角坐标方程为22x y +=4，把12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x y +=4，得)2+(1+12t )2=4，2t+1)t −2=0，因为+1)2+8>0，故设其两根分别为1t ，2t ，显然12t t =−2，故点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积为2．（10分）【备注】极坐标方程与直角坐标方程互化及参数方程与普通方程互化是本知识板块的基础，当然也是近年高考命题的重点与热点．直线参数方程中参数的几何意义的应用也是重要的考点，值得考生关注．23．【解析】(1)由()f x 13()g x，可得|3x+1|−|2x−3| 1，则当x32时，3x+1−2x+3 1，即x −3，∴不符合题意；当−13x<32时，3x+1+2x−3 1，∴−13x35；当x<−13时，−3x−1+2x−3 1，∴−5 x<−13．综上，不等式()f x13()g x的解集为{x|−5 x35}．（5分）(2)根据题意，由不等式()f x−2tx12+|x−32|，化简得()f x−tx 0，即()f x tx．由()f x=1+|2x−3|=322,2342,2x xx x⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩≥，作出y=()f x与y=tx的大致图象如图所示．由单调性可知()f x的最小值点为A(32，1)，∵当过原点的直线y=tx经过点A时，t=23，当直线y=tx与AC平行时，t=−2．∴当−2 t<23时，y=()f x与y=tx的图象无交点，且y=tx的图象都在y=()f x的图象的下方，∴当不等式()f x−tx 0的解集非空时，t的取值范围是(−∞，−2)∪[23，+∞)．（12分）。

【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 不等式选讲大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 不等式选讲大题1.已知f(x)=|2x-1|＋|ax-5|(0<a<5)．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a 的值．2.设函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)≤f(x ＋1)-|x-a|的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．3.已知函数f(x)=|2x-1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x ＋1|的值域为M ，若t∈M，证明：t 2＋1≥3t＋3t.4.设函数f(x)=|x-a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a≠0，a∈R)． (1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．5.已知函数f(x)=|x-m|，m<0.(1)当m=-1时，求解不等式f(x)＋f(-x)≥2-x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．6.设函数f(x)=|2x＋1|＋|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．7.设f(x)=|x|＋2|x-a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．8.已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：4α＋1β≥3.9.已知函数f(x)=|2x＋1|，g(x)=|x|＋a．(1)当a=0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．10.已知函数f(x)=|x＋1|．(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0-2)-f(x0-3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a-1)(b-1)(c-1)=t，求证：abc≥8．答案解析1.解：(1)当a=1时，f(x)=|2x-1|＋|x-5|=⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x<12，x ＋4，12≤x<5，3x －6，x≥5，∴f(x)≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x<12，6－3x≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x<5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x≥5，3x －6≥9.解得x≤-1或x≥5，即所求不等式的解集为(-∞，-1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴5a>1，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－＋＋6，x<12，－＋4，12≤x≤5a ，＋－6，x>5a.∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得， ∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a≤2，min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a≤5，min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a=2.2.解：(1)因为f(x)≤3-f(x-1)，所以|x-1|≤3-|x-2|，即|x-1|＋|x-2|≤3，则⎩⎪⎨⎪⎧ x<1，3－2x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －3≤3，解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f(x)≤f(x＋1)-|x-a|恒成立，而f(x)≤f(x＋1)-|x-a|⇔|x-1|-|x|＋|x-a|≤0⇔|x-a|≤|x|-|x-1|，因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x-a|≤1，即x-1≤a≤x＋1，由题意，知x-1≤a≤x＋1对于x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 3.解：(1)依题意，得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x≤－1，2－x ，－1<x<12，3x ，x≥12，于是f(x)≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x≤3，解得-1≤x≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}．(2)证明：g(x)=f(x)＋|x ＋1|=|2x-1|＋|2x ＋2|≥|2x -1-2x-2|=3，当且仅当(2x-1)(2x ＋2)≤0时取等号，∴M=[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2-3t ＋1-3t≥0，t 2-3t ＋1-3t =t 3－3t 2＋t －3t =－2＋t.∵t∈M，∴t-3≥0，t 2＋1>0，∴－2＋t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t.4.解：(1)当a=1时，f(x)=|x-1|＋|x ＋2|，故f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>1，3，－2≤x≤1，－2x －1，x<－2.①当x>1时，由2x ＋1≤5，得x≤2，故1<x≤2；②当-2≤x≤1时，由3≤5，得x∈R ，故-2≤x≤1； ③当x<-2时，由-2x-1≤5，得x≥-3，故-3≤x<-2. 综上，不等式的解集为[-3,2]．(2)f(x)=|x-a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪－－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g(a)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a =|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a =22，当且仅当|a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a=±2时等号成立，所以g(a)min =2 2. 5.解：(1)设F(x)=f(x)＋f(-x)=|x-1|＋|x ＋1|=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x<－1，2，－1≤x<1，＝2－x ，2x ，x≥1，由F(x)≥G(x)解得{x|x≤-2或x≥0}． (2)f(x)＋f(2x)=|x-m|＋|2x-m|，m<0. 设g(x)=f(x)＋f(2x)，当x≤m 时，g(x)=m-x ＋m-2x=2m-3x ，则g(x)≥-m ；当m<x<m 2时，g(x)=x-m ＋m-2x=-x ，则-m2<g(x)<-m ；当x ≥m 2时，g(x)=x-m ＋2x-m=3x-2m ，则g(x)≥-m 2.则g(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞，不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>-m2，解得m>-2，由于m<0，则m 的取值范围是(-2,0)． 6.解：(1)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x≥1.y=f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时， f(x)≤ax＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5. 7.解：(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x-1|=⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x<0，2－x ，0≤x≤1，3x －2，x>1.当x<0时，由2-3x≤4，得-23≤x<0；当0≤x≤1时，由2-x≤4，得0≤x≤1；当x>1时，由3x-2≤4，得1<x≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f(x)=|x|＋2|x-a|=⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x<0，2a －x ，0≤x≤a，3x －2a ，x>a.可见，f(x)在(-∞，a]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x=a 时，f(x)取得最小值a. 若f(x)≥4恒成立，则应a≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)． 8.解：(1)因为|x-m|＋|x|≥|(x -m)-x|=|m|.所以要使不等式|x-m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得-2<m<2.因为m∈N *，所以m=1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)=2α-1＋2β-1=4，即α＋β=3，所以4α＋1β=13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ=3. 当且仅当4βα=αβ，即α=2，β=1时等号成立，故4α＋1β≥3. 9.解：(1)当a=0时，由f(x)≥g(x)得|2x ＋1|≥|x|，两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x≤-1或x≥-13，∴原不等式的解集为(-∞，-1]∪-13，＋∞．(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|-|x|，令h(x)=|2x ＋1|-|x|，则h(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x≤－12，3x ＋1，－12<x<0，x ＋1.x≥0，故h(x)min =(h- 12)=-12，所以实数a 的取值范围为a≥- 12．10.解：(1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|=⎩⎪⎨⎪⎧－1，x≤1，2x －3，1＜x ＜2，1，x≥2，则-1≤f(x)≤1，由于∃x 0∈R ，使不等式|x 0-1|-|x 0-2|≥u 成立，所以u≤1，即M={u|u≤1}．(2)证明：由(1)知t=1，则(a-1)(b-1)(c-1)=1，因为a>1，b>1，c>1，所以a-1>0，b-1>0，c-1>0，则a=(a-1)＋1≥2a －1>0(当且仅当a=2时等号成立)， b=(b-1)＋1≥2b －1>0(当且仅当b=2时等号成立)， c=(c-1)＋1≥2c －1>0(当且仅当c=2时等号成立)，则abc≥8(a －1)(b －1)(c －1)=8(当且仅当a=b=c=2时等号成立)．。

2020年全国1卷省份高考模拟理科数学分类---线性规划与不等式

2020年高考全国1卷省份高考模拟理科数学分类----线性规划与不等式1.（2020深圳模拟）已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（）A. 724a -<<B. 7a =或24a =C. 7a <或24a >D. 247a -<<【答案】A【分析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧， ∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<.故选：A.【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题.2.（2020福建模拟）设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是( )A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．【详解】解：作出x ，y 满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中(2A ，1 )，(1,1)B ，O 为坐标原点设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值 (z F ∴=最大值 2，1)2215=⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.（2020山西运城模拟）设,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_.【答案】1-【解析】【分析】根据,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，画出可行域，将目标函数2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-，找到直线2y x z =-+在y 轴上截距最小时的点，此时，目标函数 2z x y =+取得最小值.【详解】由,x y 满足约束条件3036x y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-，找到直线2y x z =-+在y 轴上截距最小时的点()1,3A -此时，目标函数 2z x y =+取得最小值，最小值为1-故答案为：-1【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.4（2020湖南长郡中学模拟）.设222:(,,0)p x y r x y r +≤∈>R ；1:40(,)0x q x y x y x y ≥⎧⎪+-≤∈⎨⎪-≤⎩R ，若p 是q的必要不充分条件，则r 的取值范围为________.【答案】)+∞【分析】设p 表示的是集合A ,q 表示的是集合B ,则依据题意有B A ,再在坐标中作出对应图象,结合图象即可得出结论.【详解】设p 表示的是集合A ,q 表示的是集合B ,若p 是q 的必要不充分条件,则B A ,在坐标轴中作出满足q 的可行域,如下图阴影部分所示:由1(1,3)40x A x y =⎧⇒⎨+-=⎩,则结合上图可知,点A 应在圆222(0)x y r r +=>内部或者圆上,即210r ≥,解得10r ≥,故答案为:[10,)+∞.【点睛】本题综合考查了充分必要条件的基本应用,结合了圆,可行域等相关知识,考查了学生数形结合方法的运用,属于中档题.5.（2020河南南阳市模拟）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+最大值为n ，则2n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( ) A. 60B. 80C. 90D. 120【答案】B【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数， 32z x y =-+，即322z y x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍，根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C x x ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，的取2r 得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生计算能力和综合应用能力.6.（2020河北省理科模拟）若x ，y 满足约束条件{4x −5y +20≥04x +5y +20≥0x ≤0，则z ＝2x +3y ﹣1的最大值为（）A ．﹣13B ．13C ．﹣11D ．11由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．由x ，y 满足约束条件{4x −5y +20≥04x +5y +20≥0x ≤0，作出可行域如图，A （﹣5，0）．B （0，4），由图可知，当z ＝2x +3y ﹣1过B 时，z 有最大值为11．故选：D ．本题考查线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 7.（2020华南师大附中理科模拟）已知实数x ，y 满足，则z ＝x ﹣y 的最小值是 ﹣4 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x ，y 满足作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣y 为y ＝x ﹣z ，由图可知，当直线y ＝x ﹣z 过点A （0，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．的【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．。

2020年高考数学分类之不等式选讲详解

（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）
,
7 6
.
【详解】
x 3, x 1
（1）因为
f
x 5x 1,
1 3
x 1 ，作出图象，如图所示：
x 3, x 1 3
（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 f x 1 的图象，如图所示：
四.基本不等式 9．（2020 海南卷 12 山东卷 11)已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1，则（）
A． a2 b2 1 2
B． 2a b 1
2
C． log a log b 2
2
2
D． a b 2
【答案】ABD
【详解】对于
A， a2
b2
a2
1 a 2
2a2
2a1
x 1,
的最大值为_________．
【答案】7
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为 z 3x 2y ，所以 y 3x z ，易知截距 z 越大，则 z 越大，
22
2
平移直线 y 3x ，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，
2
22
y 2x x 1
由
x 1
，得
y
2
，
A(1,
2)
，
所以 zmax 3 1 2 2 7 .
故答案为：7.
2x y 2 0,
7．（2020·全国Ⅰ卷高考真题（文理
13））若
x，y
满足约束条件
x
y
1
0,
y 1 0,
则z x7y
的最大值为____________.

2019-2020年高考数学模拟试卷1—5套含答案及解析(理科)

2019-2020年高考数学模拟试卷1—5套（理科）高考理科数学模拟试卷（一）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（）． A. iB. 1C. i -D. 1-2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（）． A. 1 B. 5C. 6D. 无数个3.“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若非零向量,a b rr 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=rr rrr，则,a b rr 的夹角为（）． A.6πB.3π C.56π D.23π 5.己知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则()35tan a a +的值为（）．A. 3B. C.3D. 33-6.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）．A.1415B.115C.29D.7.设log a =，2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）． A. c b a >> B. a c b >> C. b a c >>D. c b a >>8.已知函数||()sin()(0,0,0)x f x A x e A ωϕωϕπ-=+⋅>><<的图象如图所示，则A ω的可能取值（）．A. 2πB. πC.23π D. 2π9.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（）． A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（）．A. 2B. 3C. 4D. 511.已如F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2e =（）．B.14+12.已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（）． A. (0,)e B. (,)e +∞ C. (0,2)eD. ),2(+∞e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为cos2α=__________． 14.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22y x +的最大值是____________.15.若)22nx-展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是__________．16.函数()cos 2(sin cos )f x x x x α=+-在区间[0,]2π上单调递增，则实数α的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

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13．（2020•福州一模）已知 a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ，且 a + b + c = 2 ．（1）求 a2 + b + c 的取值范围；（2）求证： 1 + 4 + 9 … 18 ．
abc
14．（2020•新建区校级模拟）（1）已知 a
，b
，c
都是正实数，证明：
b a
+
b
a +
uuur
, 0),C(1, m) ， AC = (1 −
2
uuur , m), BC = (1 −
2
,m) ，
m+2
2−m
m+2
2−m
uuur uuur
依题意， AC BC = (1 −
2
)(1 −
2
) + m2 = 0 ，解得 m = ± 3 ．
m+2 2−m
当 m = 3 时，点 C 在 x 轴上方，不合题意，当 m = − 3 时，满足题意．
16．（2020•开封一模）已知 a ， b ， c 为一个三角形的三边长．证明：
（1） b + c + a … 3 ；
abc
（2） ( a + b + c)2 > 2 ．
a+b+c
5 / 16
参考答案
1．（2020•桥东区校级模拟）已知函数 f (x) = 2 | x −1| +mx ， m ∈ R ．
（1）当 m = −3 时，求不等式 f (x) + 4 < 0 的解集；
（2）若函数 f (x) 的图象与 x 轴恰好围成一个直角三角形，求 m 的值．
解：（1）当
m
=
−3
时，
f
(x)
=
2|
x
−1|
−3x
=
−x
−
2, x…
1
，
2 − 5x, x < 1
当 x… 1 时， f (x) + 4 < 0 即 −x − 2 + 4 < 0 ，解得 x > 2 ；当 x < 1 时， f (x) + 4 < 0 即 2 − 5x + 4 < 0 ，解得 x > 6 ，此时无解．
1 / 16
4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | ．（1）当 a = 2 时，解不等式 f (x) < 2 ；（2）求 f (x) 的最大值．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) =| x +1| + | x − 2a | ．（1）若 a = 1，解不等式 f (x) < 4 ；（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 − 2m + 4 = f (x) ，求实数 a 的取值范围．
3a
8 / 16
−12, x > 2
剟解：（1）当
a
=
2
时，
f
(x)
=|
2x
−
4
|
−
|
2x
+
8
|=
−4x
−
4, −4
x
2．
12, x < −4
−4x − 4 < 2
剟 Q f (x) < 2 ，∴ x > 2 或
，
−4 x 2
∴x > 2或−3
2
< x„
2 ，∴
x>−3，
2
∴不等式的解集为{x | x > − 3} ．
6．（2020•芮城县模拟）已知函数 f (x) =| x + a −1| + | x − 2a | ．（1）若 f （1） < 2 ，求实数 a 的取值范围；（2）若 a„ −1， x ∈ R ，求证： f (x)… 4 ．
7．（2020•临汾模拟）设函数 f (x) =| 2x + a | （其中 a < 0) ．（1）解不等式： f (x)… 3 ；（2）若 a = −1，解不等式 f (x)+ | x − 1 |< 2 ．
（2）对任意的实数 m ，若总存在实数 x ，使得 m2 − 2m + 4 = f (x) ，求实数 a 的取值范围．
2x −1, x > 2
剟解：（1）当
a
= 1时，
f
(x)
=|
x
+1|
+
|
x
−
2 |=
3, −1
x
2
．
−2x + 1, x < −1
x > 2
剟 −1 x 2 x < −1
Байду номын сангаас
Q f (x) < 4 ，∴
5
综上，不等式的解集为 (2, +∞) ；
（2） f (x) = (m + 2)x − 2, x… 1 ，
(m − 2)x + 2, x < 1
令
f
(x)
=
0
，则
x
=
2 m+
2 (x…
1)
或
x
=
2
2 (x −m
< 1)
，显然需要 m
−2
<
0
<
m
+
2
，即 −2
<
m
<
2
，
如图，
则 A(
2
,0), B(
2
f (x1) = g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
解：（1）当 x„
−1时，不等式 f (x)„
4 可化为： −3x„
x + 2 ，解得： x…
− 1 （舍去）；
2
当 −1 < x <
1 2
时，不等式
f (x)„
4 可化为 −x + 2„
x + 2 ，解得： x…
0 ，即 0„
x<
1 2
；
剟当 x…
1
时，不等式
2
f (x)„
4 可化为 3x„
x + 2 ，解得： x„
1 ，即 1
2
x 1．
综上可得：不等式 f (x)„ x + 2 的解集为[0 ，1] ；
（2） g(x) =| x + 2019 | + | x + 2021 − a | ，
则 g(x) =| −x − 2019 | + | x + 2021 − a | … | −x − 2019 + x + 2021 − a |=| a − 2 | ，
，
∴1 < x < 3 或 −1 < x„ 1，∴ −1 < x < 3 ，
∴不等式的解集为{x | −1 < x < 3} ．
（2）由（1）知， g(x)min = 3 ． Q不等式 f (x) > g(x) 解集中包含 (−2,1) ，
∴ g(x)min = 3 < ax + 4 对任意的 x ∈ (−2,1) 恒成立，
剟即 ax > 1 对任意的 x ∈ (−2,1) 恒成立，∴ −1 a
1
，
2
∴a 的取值范围为[−1, 1] ．
2
4．（2020•五华区校级模拟）已知 f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | ．
（1）当 a = 2 时，解不等式 f (x) < 2 ；
（2）求 f (x) 的最大值．
c
+
c
…
b
2
；
4 / 16
a2 + b2 + c2 = 4
（2）已知
a
，b
，c
，x
，y
，z
都是正实数，且满足不等式组：
x2
+
y2
+
z2
=
9
，求
a
+
b
+
c
ax + by + cz = 6
x+ y+z
的值．
15．（2020•九江一模）已知函数 f (x) = x2 − x +1 ，且 m ， n ∈ R ．（Ⅰ）若 m + 2n = 2 ，求 f (m) + 2 f (n) 的最小值，并求此时 m ， n 的值；（Ⅱ）若 | m − n |< 1，求证： | f (m) − f (n) |< 2(| m | +1) ．
2
（2）Q f (x) =| ax − 4 | − | ax + 8 | „ | (ax − 4) − (ax + 8) |= 12 ，
∴ f (x) 的最大值为 12．
5．（2020•龙岩一模）已知函数 f (x) =| x +1| + | x − 2a | ．
（1）若 a = 1，解不等式 f (x) < 4 ；
∴m2 − 2m + 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集．
Q f (x) =| x + 1| + | x − 2a | … | 2a + 1| ，∴ f (x) 的值域为 [| 2a + 1| ， +∞) ，