2019年全国高考数学·分类汇编 专题23 不等式选讲(解析版)

专题23不等式选讲
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--
（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；
（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．
【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞
【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞U ．
【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知33
0,0,2a b a b >>+=．证明：
（1）55()()4a b a b ++≥；
（2）2a b +≤．
【答案】（1）证明略；（2）证明略．
【命题意图】
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）a b a b +≤+.
（2） a b a c c b -≤-+-.
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.
2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心
【命题规律】
从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.
【方法总结】
（一）解绝对值不等式的常用方法有：
（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；
（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；
（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±
|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；
（4）几何法：对于形如|x±
a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.
②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a −c|≤|a −b|+|b −c|，当且仅当(a −b )(b −c )≥0时，等号成立.
③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.
④推论2:||a|−|b||≤|a −b|.
（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.
（二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：
（1）分享参数法
运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.
求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.
（2）更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.
（3）数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.
（三）不等式的证明
（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.
（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2
a b +≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它
们的几何平均数，即12n a a a n
+++≥L a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.
1．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学试题】已知函数()f x x a x b =++-.
（1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集；
（2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求
12a b +的最小值.
【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）
32+
2．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】设函数
()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，． （1）解不等式()10f x >；
（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{}
41x x x ><-或；（2）[4,0]-.
3．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知函数()|3|f x x =-.
（1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求()g x =.
【答案】（1）[2,4]；（2.
4．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学试题】已知函数()|2|f x x =+.
（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集； （2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++…
恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}|22x x -<<；（2）22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
.
5．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】
（1）已知,,a b c +
∈R ，且1a b c ++=，证明1119a b c
++≥；
（2）已知,,a b c +∈R ，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析
6．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学试题】已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.
（1）求m 的值；
（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c
++≥. 【答案】（1）2m =；（2）见证明.
7．【海南省海口市2019年高考调研测试卷数学试题】已知函数()221f x x x =++-.
（1）求()f x 的最小值；
（2）若不等式()0f x x a +-<的解集为(,)m n ，且6n m -=，求a 的值.
【答案】（1）3（2）8a =
8．【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考数学试题】已知
()2321f x x x =+--.
（1）求不等式()2f x <的解集；
（2）若存在x ∈R ，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）(),0-∞；（2）2,23⎛⎫-
⎪⎝⎭.
9．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学试题】已知函数0,))0((f x x a x b a b =+-->>. （1）当1,2a b ==时，解关于x 的不等式()2f x >；
（2）若函数()f x 的最大值是3，求12a b
+的最小值.
【答案】（1）32x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(133+.
10．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学试题】已知函数()2145f x x x =++-的最小
值为M .
（1）求M ；
（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b c c b a
+++++≥. 【答案】（1）
72
；（2）详见解析.。