《选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)

选修4－5不等式选讲

最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；

(2)|f(x)|0)⇔－a

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？

提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a、b为正数，则a＋b

2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c

3≥

3

abc，当且仅当a＝b＝c时，

等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n

≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．

(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2i )≥(∑

i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，

n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．

(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )

(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )

(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )

(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )

(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√

2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )

A ．{x |0

B ．{x |1

C ．{x |0

D ．{x |1

[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.

解法二：令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥12，

1－3x ，x <12，

则f (x )<1的解集为{x |0

[答案] A 3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是

( )

A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2

C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小

[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.

[答案]B

4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为() A．1 B． 2

C. 3 D．2

[解析](a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.

当且仅当a＝b＝c＝1

3时，等号成立．

∴(a＋b＋c)2≤3.

故a＋b＋c的最大值为 3.故应选C.

[答案]C

5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.

[答案]－2≤a≤4

考点一含绝对值的不等式的解法

解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：

(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．

(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．

(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．

(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．

解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．

(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )

A ．(－∞，4)

B ．(－∞，1)

C ．(1,4)

D ．(1,5)

(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3

的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53

＝________. [解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．

[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；

当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；

当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．

综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.

(2)∵|ax －2|<3，∴－1

当a >0时，－1a

当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；

当a <0时，5a

－53

用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；

(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

对点训练