沪科版数学九年级上册22.3 第1课时 相似三角形性质定理1及其应用2 练习2
沪科九年级数学上册第22章3 相似三角形的性质
类比全等三角形的研究方法，来研究相似三角形的性质
全等三角形
相似三角形
C
C'
C
C'
图形 A
B A'
B'
整体：形状相同，大小相同，完全重合
AB
A'
B'
整体：形状相同，大小不一定不同，不 一定能重合
性质 角：对应角相等 线段：对应边相等 对应边上的高线、中线相等 对应角的角平分线相等
角： 对应角相等
线段：对应边成比例，都等于相似比 对应边上的高线之比等于相似比吗？ 对应边上的中线之比等于相似比吗？ 对应角的角平分线之比等于相似比吗？
求这两个三角形的周长比和面积比.
解：∵ 两个三角形相似，且一对对应边分别为32 cm，12 cm ， ∴两个三角形的相似比为32∶12= 8∶3. ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比是8∶3. ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴两个三角形的面积比是64∶9.
典型例题
60 cm
D
C
2
2
2
AB AC BC 2
∴△DEF∽△ABC.
∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2，
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
相似三角形的性质定理1：
相
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的
似
比都等于相似比.
三
角
形
的
性
质
用相似三角形的性质定理1解决问题：
定
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
42 x 8
解这个方程，得x=18，42–x=24. 答：这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
沪科版数学九年级上册22.3相似三角形的性质
3、已知△ABC∽△A’B′C′，如果AD和
A′D′分别是它们的对应角平分线，AD＝8
A’D’＝3cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的
比
8：3
4．如图，△ABC∽△A’B′C′，对应中线A ＝6cm，A’D’＝10cm，若BC＝12cm，则B’C′ __2_0_c_m_。
灿若寒星
例题解析
A
如图所示,在等腰△ABC中,底边 BC=60cm,高AD=40cm,四边形PQRS是 正方形.
40-x S
E
R
x
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
(2)求正方形PQRS的边长.
解:(1)△ASR∽△ABC.理由是:
四边形PQRS是正方形
RS∥BC
∠ASR=∠B ∠ARS=∠C
B P DQ
设正方形PQRS的边长 xcm,则AE=(40-x)cm,
B' C'
C灿'若寒A星'
4
C′
2)△ABC与△A′B′C′相似吗?如果相似
请说明理由,并指出它们的相似比.
因为
AB BC CA 3
A' B' B' C' C' A' 4
所以△ABC∽△A′B′C′
3)图中还有其它相似三角形吗?请说明理
由.△ACD∽△A′C′D′
△BCD∽△B′C′D′ A′
灿若寒星
E’ C′
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与 △A′B′C′相似比为k. 如果CD和C′D′分别是它们的对应角平分 线,那么等CD 于多少?
C' D'
A′
A
初中数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质
物A′B ′有多宽？如果焦距是50mm呢？
解：由题可知，
70mm
5m
△ABO∽△A´B´O
B′
∴
AB A´B´
＝
OD OD´
A
即
35
A´B´
＝
70
5000
BO
A′
∴ A´B´＝2500mm=2.5m
答：A´B´的长为2.5m。
例题讲解
如图，有一块三角形余料ABC，它的 边BC=80cm,高AD=60cm。现在要把它加 工成长与宽的比为2:1的矩形零件PQMN， 要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别 在AB、AC上，求矩形的长和宽。 A
AD _______, A' D' ______; AE _______,
AD A' D' AE
_______, _______,
发扬 合作 精神
A' E' ______; A' E'
AF _______, AF _______, A' F ' ______. A' F ' 观察测量的数据，你会有怎样的猜想呢？
N
EM
B
PDΒιβλιοθήκη QC提高拓展如图，SR//BC，AE⊥SR，AD⊥BC，E、D是垂 足，SR=6，BC=15，则(1)AE：AD是多少？
(2)若AD=10，求ED的长
A (3)若PQRS是正方形，它
的边长是多少？
SER
B
D
C
P
Q
小结：
相似三角形的对应高、对应中线、 对你应今角天平学分到线了的什比么都知等识于？相似比.
推一推，论证一般规律 如图，△ABC∽△A’B’C’ ，
九年级数学上册 22.3 相似三角形的性质课时练习 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级上册数学
相似三角形的性质一、精心选一选1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（）A.1:3B.3:1C.3:3D.3:12﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A.8B.12C.16D.203﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍4﹒如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A.AB2＝BC BDB.AB2＝AC BDC.AC BD＝AB ADD.AB AC＝AD BC第4题图第5题图第6题图第7题图5﹒如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB 5）A.m＝5B.m＝5m＝5m＝106﹒如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A.13B.14C.19D.1167﹒如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝43，则△ABC的面积为（）3338﹒如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A.34B.45C.56D.67第8题图第9题图第10题图9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为米，那么路灯A 的高度AB是（）A.米B.6米C.米D.8米10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF ∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是___________.13.如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点C'处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D C'的延长线上的A'△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB 垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝____________.16.如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为____________.三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.18.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若AODACDSS∆∆＝13，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.19.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：ABAC＝DFAF.21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5.求证：（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）AC⊥BC.22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG＝OG；（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.图1 图2（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值.参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C A B B D C B B D 1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（）A.1:3B.3:1C.3:3D.3:1解答：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，得它们的周长之比＝13＝3， 故选：C.2﹒在△ABC 中，D 、E 为边AB 、AC 的中点，已知△ADE 的面积为4，那么△ABC 的面积是（ ） A.8B.12C.16D.20解答：如图，∵D 、E 为边AB 、AC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ∆∆＝(DE BC)2＝(12)2＝14， ∴S △A BC ＝16， 故选：C.3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍解答：由题意知：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍， 故选：A.4﹒如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ） A.AB 2＝BC BD B.AB 2＝AC BD C.AC BD ＝AB AD D.AB AC ＝AD BC 解答：∵△ABC ∽△DBA ， ∴AB BD ＝BC AB ＝ACAD， ∴AB 2＝BC BD ，AC BD ＝AB AD ，AB AC ＝AD BC ，故选：B.5﹒如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，CE 和BD 相交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEB 的面积为5，则下列结论中正确的是（ ） A.m ＝5B.m ＝45C.m ＝35D.m ＝10 解答：∵AB ∥CD ， ∴△OCD ∽△OEB ， 又∵E 是AB 的中点， ∴2EB ＝AB ＝CD ， ∴OEB OCD S S ∆∆＝(BE CD)2，即5＝(12)2， 解得：m ＝45， 故选：B.6﹒如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ） A.13B.14C.19D.116解答：∵S △BDE ：S △CDE ＝1：3， ∴BE ：EC ＝1：3， ∴BE ：BC ＝1：4，∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，∴DE AC ＝BEBC＝14，∴S △DOE ：S △AOC ＝(DE AC)2＝116，故选：D.7﹒如图，在等边△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝4，CE ＝43，则△ABC 的面积为（ ） A.83B.15C.93D.123解答：∵△ABC 是等边三角形，∠ADE ＝60°， ∴∠B ＝∠C ＝∠ADE ＝60°，AB ＝AC ， ∵∠ADB ＝∠DAC +∠C ，∠DEC ＝∠ADE +∠DAC ， ∴∠ADB ＝∠DEC ， ∴△ADB ∽△DCE ，∴AB DC ＝BDCE， 设AB ＝x ，则DC ＝x －4， ∴4xx -＝443，解得：x ＝6，即AB ＝6， 过点A 作AF ⊥BC 于F ，则BF ＝12AB ＝3， 在Rt△ABF 中，AF ＝22AB BF -＝33， ∴S △ABC ＝12BC AF ＝12×6×35＝93， 故选：C.8﹒如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF ＝（ ） A.34B.45C.56D.67解答：设AD ＝k ，则DB ＝2k ， ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝3k ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°， ∴∠EDA +∠FDB ＝120°， 又∠FDB +∠AED ＝120°，∴∠FDB ＝∠AED ，∴△AED ∽△BDF ， ∴ED FD ＝AD BF ＝AEBD， 设CE ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝3k －x ， 设CF ＝y ，则DF ＝y ，F B ＝3k －y ， ∴x y ＝3k k y -＝32k x k -，∴(3)2(3)ky x k y kx y k x =-⎧⎨=-⎩，∴xy＝45，∴CE：CF＝4：5，故选：B.9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为米，那么路灯A 的高度AB是（）A.米B.6米C.米D.8米解答：由题意知：MC∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴DCDB＝MCAB，即1.5AB＝11BC+，∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，∴NEAB＝EFBF，即1.5AB＝232BC++，∴11BC+＝232BC++，解得：BC＝3，∴1.5AB＝113+，解得：AB＝6，即路灯A的高度AB为6米，故选：B.10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF ∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFCF，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFCF＝12，∴CF＝2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12BC，∴BM＝CM，∴＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴EFBF＝AEBC＝12，∴S△AEF＝12S△ABF，S△ABF＝16S矩形ABCD，∴S△AEF＝112S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；故选：D．二、细心填一填11.2：3； 12. 4：9；1；14. 23； 15.65或43； 16. y＝2x；△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.解答：∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2：3，故答案为：2：3.2：3，则它们的面积之比是___________.解答：∵这两个相似三角形的周长之比为2：3，∴它们的相似比为2：3， ∴它们的面积之比为4：9，故答案为：4：9.13.如图，△ABC 和△A 1B 1C 1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC 与△A 1B 1C 1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△ABC与△A 1B 1C 1的相似比是_____.解答：由图可知：AC 与A 1C 1是对应边，A 1C 1＝1，再由勾股定理得：AC ＝2211+＝2，∴AC ：A 1C 1＝2：1，即△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比是2：1，故答案为：2：1. 14.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 沿BD 折叠，点C 恰好落在AB 上的点C ' 处，折痕为BD ，再将其沿DE 折叠，使点A 落在D C '的延长线上的A '△BED ∽△ABC ，则△BED 与△ABC 的相似比是__________.解答：∵△BED ∽△ABC ，∴∠DBA ＝∠A ，又∠DBA ＝∠DBC ，∴∠A ＝∠DBA ＝∠DBC ＝30°，设BC 为x ，则AC ＝3x ，BD ＝233x ， BD AC ＝23，即△BED 与△ABC 的相似比是23， 故答案为：23． 15.如图，在一块直角三角板ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D 放在AB 边上，E 、F 分别在AC 、BC 上，当点D 在AB 边上移动时，DE 始终与AB 垂直，若△CEF 与△DEF 相似，则AD ＝____________.解答：∵∠EDF ＝30°，ED ⊥AB 于D ，∴∠FDB ＝∠B ＝60°，∴△BDF 是等边三角形； ∵BC ＝1，∴AB ＝2； ∵BD ＝BF ， ∴2－AD ＝1－CF ；∴AD ＝CF +1．①若∠FED ＝90°，△CEF ∽△EDF ，则CF EF ＝EF DF ，即2CF CF ＝21CF CF-， 解得，CF ＝15； ∴AD ＝15+1＝65； ②若∠EFD ＝90°，△CEF ∽△FED ，则CF FD＝CE FE ，即1CF CF -＝12； 解得，CF ＝13； ∴AD ＝13+1＝43． 故答案为：65或43． 16.如图，已知在Rt△OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k x （k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD .若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为____________.解答：设OC ＝a ，∵点D 在y ＝k x 上，∴CD ＝k a， ∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD ＝AC OC，∴AC ＝2OC CD ＝2a k ， ∴点A （a ，2a k）， ∵点B 是OA 的中点，∴点B 的坐标为（2a ，32a k）， ∵点B 在反比例函数图象上，∴k ＝2a ×32a k，∴a 4＝4k 2，解得，a 2＝2k ， ∴点B 的坐标为（2a ，a ）， 设直线OA 的解析式为y ＝mx ，则m ×2a ＝a ， 解得m ＝2，所以，直线OA 的解析式为y ＝2x ．故答案为：y ＝2x ．三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ， E 是BO 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求△BEF 与△DEA 的周长之比.解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ＝12BD ， ∵E 是BO 的中点，∴BE ＝EO ＝12BO ＝14BD ， ∴ED ＝EO +DO ＝14BD +12BD ＝34BD ， ∴BE ：ED ＝14BD ：34BD ＝1：3， ∵BF ∥AD ，∴△BEF ∽△DEA ，∴△BEF 的周长：△DEA 的周长＝BE ：ED ＝1：3.18.已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O .若AOD ACD S S ∆∆＝13，S △BOC ＝m ，试求△AOD 的面积.解答：过点D 作DE ⊥AC 于E ，则AODACD S S ∆∆＝1212AO DE AC DE ＝13， ∴AO AC ＝13，又∵AO +OC ＝AC ， ∴AO OC ＝12， ∵AD ∥BC ，∴AOD BOC S S ∆∆＝(AO OC)2＝14，即AOD S m ∆＝14， ∴S △AOD ＝4m . 19.如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），平行四边形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC ＝2，S △ABC ＝1．设BP ＝x ，平行四边形AFPE 的面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．解答：（1）∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA ，∴△BFP ∽△BAC ，∴BFP BAC S S ∆∆＝(2x )2， ∵S △ABC ＝1，∴S △BFP ＝24x ， 同理：S △PEC ＝(22x -)2＝2444x x -+， ∴y ＝1－24x －2444x x -+， ∴y ＝－12x 2+x ； （2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下：∵y ＝－12x 2+x ＝－12(x ﹣1)2+12，又－12＜0， ∴y 有最大值，∴当x ＝1时，y 有最大值，最大值为12． 20.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，E 为直角边AC 的中点，过D ，E 作直线交AB 的延长线于F .求证：AB AC＝DF AF .解答：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝∠ABD，∴△CBA∽△ABD，∴∠C＝∠FAD，ABBD＝ACAD，∴ABAC＝BDAD，又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED＝EC＝12 AC，∴∠C＝∠EDC，又∵∠EDC＝∠FDB，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴BDAD＝DFAF，∴ABAC＝DFAF.21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5.求证：（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）AC⊥BC.解答：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠E＝∠ADC＝90°，∵AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5，∴ACCB＝DCBE＝5,∴Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠CBE+∠ECB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG＝OG；（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC，AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EGGB＝AGGC＝AEBC，∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG：BG＝1：3；（2）∵GC＝3AG，∴AC＝4AG，∴AO＝12AC＝2AG，∴GO＝AO﹣AG＝AG；（3）∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE．∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴AHHC＝AFBC＝23AEAE＝23，∴AHAC＝25，即AH＝25AC．∵AC＝4AG，∴a＝AG＝14AC，b＝AH－AG＝25AC－14AC＝320AC，c＝AO－AH＝12AC－25AC＝110AC，∴a：b：c＝14：320：110＝5：3：2．1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.图1 图2（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值.解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，同理GD＝GC，在△AGD和△BGC中，∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC，∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC.（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC，在△AGB和△DGC中，GA GBGD GC=，∠AGB＝∠DGC.，∴△AGB∽△DGC，∴AG EG DG FG=，又∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF.（3）解：如图①，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，∴∠AGB＝∠AHB＝90º，∴∠AGE ＝12∠AGB ＝45º，∴AG EG ， 又△AGD ∽△EGF ，∴AD AG EF EG ==。
数学沪科版九年级(上册)22.3.1相似三角形的性质定理1
新知探究
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
新知探究
1.CD和C1D1分别是它们的高，你知道
CD C1D1
的值是多少吗？
A1 D1
B1
∟
A
D
∟
B
C 2.如果CD和C1D1分别是它们的对应角平分线呢？
C1
3.如果CD和C1D1分别是它们的对应中线呢？
4
C
D
新知探究
例2：如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在
AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形
PQRS是正方形.
（1）AE是△ASR的高吗？为什么？
A
（2） △ASR与△ABC相似吗？为什么？
S ER
（3）求正方形PQRS的边长.
B PD Q C
新知探究
A
解：∵ △ASR ∽ △ABC
AE、AD分别是△ASR 和△ABC S E R
对应边上的高
∴
AE SR
AD BC
设正方形PQRS的边长为xcm, B P D Q C
则SR=DE=xcm AE=（40-x）cm
∴
40 40
x
x, 60
解得x=24.
∴正方形PQRS的边长为24cm.
新知探究
变式一：
A1
D1
B1
A DB
C C1
新知探究
A ∟D
B
A1
∟D1
B1
C
C1
ΔABC ∽ ΔA1B1C1,
BC 1
B1C1 2
新沪科版九年级数学上册课件：相似三角形的性质定理1及应用
第1课时 相似三角形的性质定理1及应用
第22章
第1课时 相似三角形的性质定理1及应用
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-3-
知识点 1 相似三角形的性质定理 1
1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC 与△DEF 的相似比为 3∶4,则△
ABC 与△DEF 对应中线的比为( A )
BM∶EF=( C ) A.1∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶2
第22章
第1课时 相似三角形的性质定理1及应用
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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10.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为 1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,测得其长度分别为9.6米和 2米,则学校旗杆的高度为( B ) A.9米 B.10米C.11米 D.12米
第22章
第1课时 相似三角形的性质定理1及应用
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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5.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜 边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=0.4 m,EF=0.2 m,测 得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,求树的高度.
m.
答:树的高度为 5.5 m.
第22章
第1课时 相似三角形的性质定理1及应用
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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6.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是( D )
上海沪科版初中数学九年级上册22.3 第1课时 相似三角形的性质定理1、2及应用2
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！22.3 相似三角形的性质第1课时相似三角形性质定理1、2及其应用教学目标【知识与技能】理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比,掌握定理的证明方法,并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质,提高分析和推理能力.【过程与方法】在对性质定理的探究中,学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】1.在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认识规律.2.通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.重点难点【重点】相似三角形性质定理的探究及应用.【难点】综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系,理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比.教学过程一、复习回顾师:相似三角形的判定方法有哪些?学生回答:师:相似三角形有哪些性质?生:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.师:三角形有哪些相关的线段?生:中线、高和角平分线.二、共同探究,获取新知教师多媒体课件出示:已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应高.求证:==k.师:这个题目中已知了哪些条件?生:△ABC和△A'B'C'相似,这两个三角形的相似比是k,AD、A'D'分别是它们的高.师:我们要证明的是什么?生:它们的高的比等于它们对应边的比,等于这两个三角形的相似比.师:你是怎样证明的呢?学生思考,交流.生:证明△ABD和△A'B'D'相似,然后由相似三角形的对应边成比例得到=.师:你怎样证明△ABD和△A'B'D'相似呢?学生思考后回答:因为△ABC和△A'B'C'相似,由相似三角形的对应角相等,所以∠B=∠B',∠ADB=∠A'D'B'=90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A'B'D'相似.师:很好!现在请大家写出证明过程,然后与课本上的对照,加以修正.学生写出证明过程.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.∵∠BDA=∠B'D'A'=90°,∴Rt△ABD∽Rt△A'B'D',∴==k.师:现在我请两位同学分别板演下面的两道练习题,其余同学在下面做.1.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对应的中线.求证:==k.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',==k.又∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,∴BD=BC,B'D'=B'C',===k,∴△ABD和△A'B'D'相似(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),∴==k.2.已知:如图,△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线.求证:==k.证明:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B',∠A=∠A'.又∵AD和A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线,∴∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD∽△B'A'D'(两角对应相等的两个三角形相似),∴==k.师:于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理.教师板书:定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.探究:如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系?如果是两个相似多边形呢?学生小组自由讨论、交流,达成共识.让学生回答结果,给出评价.设△ABC∽△A1B1C1,相似比为k,那么===k⇒AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1⇒==k.由此我们可以得到:相似三角形的性质2:相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法,还可以得出:相似多边形的性质:相似多边形周长的比等于相似比.三、例题讲解,应用新知【例1】 如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC,∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C,∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似),∴=(相似三角形对应高的比等于相似比),即=.当SR=BC时,得=,解得DE=h.当SR=BC时,得=,解得DE=h.【例2】 如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80cm,高AD=60cm.要把它加工成矩形零件使矩形的长、宽之比为2∶1,并且矩形长的一边位于边BC上,另外两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.师:请同学们思考一下这个问题.学生思考,计算,交流.师:我们要怎样用辅助线呢?教师找一生回答.生:加工成的矩形边SR在BC上,顶点P、Q分别在AB、AC上,把△ABC的高AD与PQ的交点记为E.教师作图.师:作出了辅助线后该怎么做呢?我们都已知了哪些条件?生:BC的长、AD的长和矩形零件的长、宽比.师:你打算怎样由这些条件求出这个零件的长和宽呢?生:因为PQ∥BC,所以△APQ和△ABC相似,然后根据相似三角形的对应边成正比例得到一个等量关系,设矩形零件的宽为xcm,长就为2xcm,代入那个等量关系式,就得到了关于x的一个方程,解方程即可求出x的值,即矩形的宽,然后根据长宽的比求出零件的长.师:很好!你的思路很清晰.现在请同学们写出求解过程.解:如图,矩形PQRS为加工后的矩形零件,边SR在边BC上,顶点P、Q分别在边AB、AC上,△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为xcm,则PQ为2xcm.∵PQ∥BC.∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,∴△APQ∽△ABC.∴=,即=.解方程,得x=24,2x=48.答:这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.例3 如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,求△DEF的周长.解:△ABC和△DEF中,∵AB=2DE,AC=2DF,∴==.又∠A=∠D,∴△ABC∽△DEF,相似比为.∴△DEF的周长=×24=12,四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?学生回答.教学反思在本节课的教学过程中,我先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,相似三角形周长的比等于相似比为后面的证明做了铺垫.在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃,尤其是我让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得,做到了将课堂回归给学生,学生的主体地位得到了很好的体现.此外,教师的肯定、赞扬和鼓励会使学生保持高昂的学习热情,使学生在探究性学习、创造性劳动中获得成功的体验.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
上海沪科版初中数学九年级上册22.3 第1课时 相似三角形的性质定理1及应用1
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！22.3 相似三角形的性质第1课时相似三角形性质定理1及其应用（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性质.2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.●教学难点相似三角形的性质的运用.●教学方法引导启发式●教具准备投影片两张第一张：（记作§4.8.1 A）第二张：（记作§4.8.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§4.8.1 A ）钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC''各等于多少？（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.（4）D C CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图4－38［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′∴D C CD ''= C B BC ''=432.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD''等于多少？（2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC''=k .［生乙］如4－39图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC''=k .图4－39∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠ACD =∠A ′C ′D ′ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′∴D C CD ''= C A AC''=k .［生丙］如图4－40中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC''=k.图4－40∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′，C A AC ''= B A AB''=k .∵CD 、C ′D ′分别是中线∴D A AD ''=B A AB ''2121=B A AB''=k .∴△ACD ∽△A ′C ′D ′∴D C CD ''= C A AC''=k .由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解投影片（§4.8.1 B ）图4－41如图4－41所示，在等腰三角形ABC 中，底边BC =60 cm,高AD =40 cm ，四边形PQRS 是正方形.（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS 的边长. 解：（1）△ASR ∽△ABC ，理由是： 四边形PQRS 是正方形 SR ∥BC（2）由（1）可知△ASR ∽△AB C.根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得BC SRAD AE =设正方形PQRS 的边长为x cm ，则AE =（40－x ）cm ， 所以604040xx =-解得： x =24所以，正方形PQRS 的边长为24 cm. Ⅲ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？ （都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
九年级数学上册22.3第1课时相似三角形的性质定理1、2及应用教案1沪科版
22．3 相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质定理1、2及应用1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）2．理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比；（重点)3．运用相似三角形的性质1、2解决实际问题．(难点)一、情境导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等,三对对应边成比例．那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质．二、合作探究探究点一：相似三角形性质定理1【类型一】相似三角形对应高的比如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10,BC＝15，AG＝12。
求GH 的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.又∵AH⊥BC,DE∥BC，∴AH⊥DE.∴错误!＝错误!,即错误!＝12AH。
∴AH＝18.∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.方法总结:利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差．【类型二】相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm,那么这两条角平分线的长分别是多少？解:(方法一）设其中较短的角平分线的长为x cm,则另一条角平分线的长为（42－x）cm.根据题意，得错误!＝错误!.解得x＝18.所以42－x＝42－18＝24（cm）．（方法二）设较短的角平分线长为x cm，则由相似性质有x42＝错误!.解得x＝18。
较长的角平分线长为24cm。
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.方法总结:在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比,而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．【类型三】相似三角形对应中线的比已知△ABC∽△A′B′C′，错误!＝错误!，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′的长．解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，∴错误!＝错误!＝错误!,又∵CD＝4cm，∴C′D′＝错误!＝错误!×4＝6（cm）．即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．探究点二：相似三角形性质定理1的应用如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的A处和6m 的C处用铁丝将两电线杆固定,求铁丝AD与铁丝BC的交点M距地面的高．解析：如图所示，过点M作MH ⊥BD于点H。
2019-2020年新沪科版初中数学九年级上册22.3第1课时相似三角形的性质定理1、2及应用学案.doc
△ A′B′′的高, 求证： AD k ．
A' D '
B
A D C B’
A’ D’ C’
2、证明：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似 比
☆ 合作探究 ☆
1
1、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为D，AB∥D，
AB=2,D=5，
（1）若点P到D的距离为3。求P到AB的距离？
P
（2）若PE⊥D于D交AB于F，EF=1，求PF
A
FB
C
E
D
2、已知在△ AB 中，B=120， B 边上的高为 80，在这个三角形内 有一个内接正方形，正方形的一边在 B 上，另两个顶点分别在边 AB、A 上．求这个正方形的边长．
教学思路 （纠错栏）
A
E
H
B
F
DG C
3、如图，DE∥B，AB=30，BD=18，△ AB 的周长为 80，求△ ADE
☆ 预习导航 ☆ 一、链接 1、相似三角形的对应角______ ，对应边 2、相似三角形的判定方法有那些？ 3、全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等吗？对应
周长相等吗？请说明理由？
二、导读
阅读课本解决下列问题：
1、已知：如图，△ AB∽△A′B′′，相
似比为，AD 与 A′D′分别是△ AB 和
的周长
C
E
B
D
A
☆ 归纳反思 ☆
2
本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？
☆ 达标检测 ☆
1、若两个相似三角形的相似比是 2∶3，则它应中线的比是
，对应角平分线的比
是
．
2、若△ AB∽△A′B′′, B=36c，B′′=6c，AE 是△ AB 的一条中线， AE=24c，则△ A′B′′中对应中线 A′E′的长是