中国农业大学概率论与数理统计(C)课程考试08-09秋

中国农业大学
2008 ~2009 学年秋季学期
概率论与数理统计（Ｃ）课程考试试题（A ）
一、 填空题(每题3分, 共30分)
1、设A 、B 是两随机事件,且P(A)=0.6, P(B)=0.7,则在条件( ) 下P(AB)取到最大值( );在条件( )下, P(AB)取到最小值( )。

2、 在15只同类型的产品中有2只次品，从中取3次,每次取一只作
不放回抽样，则恰好取到2只次品的概率为（ ）。

3、设随机变量X 服从参数3
1=θ的指数分布, 则F(1) =( )。

4、若随机变量X 与Y 相互独立同分布,都服从N(μ, σ2), Z 1= αX +βY , Z 2= αX - βY , 则Cov(Z 1, Z 2) = ( )。

5、设随机变量X 的密度函数 f (x ) = π
π><≤≤x x x x ,0,
0,0,
sin 2
1
则m =( ) 时, P( X < m ) = P( X > m )。

6、设随机变量X 服从参数为 λ 的泊松分布, 且E[(X -1)(X -2)]=1, 则 λ =( )。

7、设X 1, X 2, X 3相互独立,都服从b(1, 0.5), X =X 1+X 2+X 3, 则P(X >1) =( )。

8、已知X 1, X 2, ⋯ , X n 独立同分布,且)(~2212
n X n
i i χ∑=⎪⎭
⎫
⎝⎛,则X i ~ ( )。

9、设总体X ~ N(0,1) , X 1, X 2, ⋯ , X n 为X 的一个简单随机样本,则
24
23
21X
X X X +- ~ ( )。

10、设X 1, X 2, ⋯ , X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个简单随机
样本，则（X 1,X 2, ⋯ ,X n ）的分布律为（ ）。

二、判断题 (每题2分共10分,正确的打“∨”,错误的打“⨯”)
1、如果)(~),(~22221221n n χχχχ，则)(~2122
221n n ++χχχ。

（ ）
2、设X 1, X 2, ⋯ , X n 为X 的一个简单随机样本,那么样本二阶
中心矩B 2=21
)(1X X n n
i i -∑=不是总体方差D(X ) 的无偏估计。

（ ）
3、在假设检验中,犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的
概率β之和一定等于1。

( ) 4、D(X ) = 0的充分必要条件是 X = C 。

( ) 5、两随机变量X 与Y 的相关系数 ρxy = 0时, X 与Y 不一定
相互独立。

( ) 三、假设某地区位于甲、乙两河流汇合处,当任一河流泛滥时,该地区就
遭遇水灾。

设某时期甲河流泛滥的概率为0.1, 乙河流泛滥的概率为 0.2, 当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3, 求: (1) 某时期内该地区遭受水灾的概率;
(2) 乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。

（10分） 四、设随机变量X 的概率密度为 f (x ) =
,
00,
≤>-x x e x λ
求: (1) λ值 ; (2) D(2X - 1) ; (3) Y =X 2 的概率密度。

(10分) 五、设二维随机变量（X ,Y ）的概率密度为
,)(2
1
)(y x e y x +-+ x>0, y>0 f (x , y ) =
0, 其它
(1) 问X 与Y 是否相互独立；
(2) 求 F X ( x ) 。

（10分） 六、设总体X 的概率密度为
f (x ) =
0, 其它
求：(1) 参数 a 的矩估计量；(2) 参数 a 的最大似然估计量。

(15分)
七、要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批
这种元件中随机抽取25件，测得其平均寿命值为950小时。

已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布, 求: （1）μ的置信水平为0.95的置信区间；
（2）在显著性水平 α = 0.05 下确定这批元件是否合格?
即检验假设 H 0：μ ≥1000； H 1：μ <1000
参考数据：t 0.05(24)=1.7109, t 0.05(25)=1.7081, t 0.025(24)=2.0639 t 0.025(25)=2.0595 , z 0.025 =1.96, z 0.05=1.645
（10分）
八、设X 1, X 2, ⋯ , X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，E(X )=μ ,
D(X )= σ2
,2
1
2
)(11X X n S n i i
--=∑=, 试证明: 221)(S n X - 是 μ2 的无偏估计。

(5分)
2008~2009学年秋季概率统计C 试卷A 参考答案
一、1. B ⊃A, 0.6, A ⋃B=S, 0.3 ； 2.
35
1
； 3、1-e -3 ； 4. （α2- β2）σ2 ; 5. 2
π ; 6. 1 ; 7. 21
, 8. N( 0, 4) ;
9. t(2) ; 10.
!
1
1
i n
i n x x e n
i i
=-∏∑=λ
λ
.
二、 ⨯ ∨ ⨯ ⨯ ∨
三、设A ：“甲河泛滥”, B:“乙河泛滥”, C: “该地区遭受水灾”, A 、B 相容不独立.
(1) P(C) = P(A ⋃B) = P(A)+P(B)- P(A)P(B/A) = 0.1+0.2 - 0.1⨯0.3 = 0.27 (2)P(A/B) =
15.02
.03
.01.0)()/()(=⨯=B P A B P A P ,
四、解：(1) 因X 服从指数分布, 故λ =1
(2) D(2X-1) = 4D(X) = 4
(3) Y=X 2 在( 0, +∞ ) 单调, y
x y x y 21,='=
y> 0, f Y (y) = y
e y
-
21 ; y ≤ 0 , f Y (y)=0
五、(1) ⎰
⎰
⎰∞
+--∞
+--+-∞
++
=+=>0
)(0
2
2
2)(,0dy ye e dy e xe dy e y x x f x y x
y
x
y x X
x ≤ 0 , f X (x) = 0 类似有
y > 0, 0)(,0,2
1)(=≤+=
-y f y e y y f Y y
Y
因x>0, y>0 时, f(x,y) ≠f X (x)f Y (y) , 所以X 与Y 不独立。

(2) x ≤ 0 , F X (x) = 0 ,
x > 0, F X (x) =
)22(2
1)2(212100x x x
t t t x
e xe e te dt e t -------=--=+⎰ 六、（1）因210121)1()(++++=+=⎰a a x a a dx x a X E ⎢21
10++=a a 又 ,)(ˆX x E = X a
a
=++⇒
2ˆ1ˆ , 所以 X
X a
--=11
2ˆ （2）0<x i <1 (i=1,2,…,n)时,
)ln()1ln()(ln 1
i n
i x a a n a L =∏++=
)1ln (ˆ,
0)ln(1
)(ln 1
1+-=⇒=∏++=∑==n
i i
i n i x
n
a
x a n
da a L d .
七、(1) 所求置信区间为:
=（910.8 , 989.2） (2) 用Z 检验法，因 645.15.225
/1001000950-<-=-=
z ，
故拒绝H 0, 认为这批元件不合格。

八、证: 因 )(1)(]1)[(2222S E n
X E S n X E -=-
=222
22
)(1)()(μσμσ=-+=
-+n
n X D n X E X D 所以2
2
1)(S n
X -
是μ2的无偏估计。