宁波中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶一元二次方程

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程

2

(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216

k k k -+-的值． 【答案】0.

【解析】

【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．

【详解】

解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2

则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩

＝＝＝ ， 由条件，知

12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94

a ≤， 故a ＝－1，

则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，

Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106

k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178

k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216

k k k -+-无意义. 综上，代数式2216

k k k -+-的值为0 【点睛】

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，

2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞

34

；（2 【解析】

【分析】 （1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，

利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，

∴k ＞34

； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，

设方程的两个根为m ，n ，

∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

∴

=

=.

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？

（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45

m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．

【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．

【解析】

【分析】

（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；

（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．

【详解】

解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，

解得x≥2.5．

即A社区居民人口至少有2.5万人；

（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+4

5

m%）+1.5×（1+

4

5

m%）（1+2m%）=7.5×92%，

解得m=50

答：m的值为50．

【点睛】

本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．

4．已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．

【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．

【解析】

【分析】

（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；

（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．

【详解】

（1）∵方程有两个不相等的实数根．

∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．

∴m＜3；

（2）∵m＜3 且 m为正整数，

∴m＝1或2．

当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；

当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．

∴x(x﹣2)＝0．

∴x1＝0，x2＝2．符合题意．

综上所述，m＝2．

【点睛】

本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．

5．关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的