[推荐学习]2018_2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学案新人教A版选

2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理(1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距|F 1F 2|＝2.(1)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) (2)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(×) (3)平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)(4)平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×)类型一 椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化成标准形式为(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆． 引申探究若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P (－3,0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，由题意可知，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9， 圆心C (3,0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3， 即(x －3)2＋(y －0)2－(x ＋3)2＋(y －0)2＝3， 整理得x 294－y 2274＝1(x <0)．反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数2a 必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 ②解析 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)． (2)已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程． 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用解 由题意可知C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ， 故|MC 1|＋|MC 2|＝10，由椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.类型二 椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．考点 椭圆定义及标准方程的应用 题点 椭圆标准方程的应用解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b ＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解 由题意可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意可知2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例3 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>8＝|BC |，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．跟踪训练3 如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，又∵x 2125＋y 219＝1， ∴点M 的轨迹方程为(x －3)225＋(y －1)29＝14.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2， 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，可得|PF 2|＝8.2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积＝________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________． 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4 3解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a ，即4 3.5．若△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－3,0)，C (3,0)，B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝2|AC |＝12， ∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0)．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆； 当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a >b >0的要求，如方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋yb＝1类比，如x 2a 2＋y 2b2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．一、选择题1．平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 B解析 当|MF 1→|＋|MF 2→|＞|F 1F 2→|时，M 的轨迹才是椭圆．2．已知方程x 23＋k ＋y 22－k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围为( )A ．k >－3且k ≠－12B ．－3<k <2且k ≠－12C ．k >2D ．k <－3 答案 B解析 由题意，知需满足⎩⎪⎨⎪⎧3＋k >0，2－k >0，3＋k ≠2－k ，解得－3<k <2且k ≠－12. 3．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F 1，一动直线过椭圆右焦点F 2且与椭圆交于点M ，N ，则△F 1MN 的周长为( )A ．16B ．20C ．32D ．40 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 D解析 结合椭圆的定义，知a ＝10，且△F 1MN 的周长为4a ＝40.4．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 由|AB |＋|AC |＝12＞|BC |＝8，得点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆(x ≠0)．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用答案 B解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝8，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12.又因为∠F 1PF 2∈[0，π)，所以∠F 1PF 2＝π3. 6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 C解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．二、填空题8．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为_______________．考点 椭圆的标准方程题点 由定义求标准方程答案 y 216＋x 2＝1 解析 由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.9．已知中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是____________．答案 x 232＋y 216＝1 解析 由题意，得⎩⎨⎧ a －c ＝4(2－1)，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝42，b ＝4，所以椭圆方程为x 232＋y 216＝1. 10．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 (0，±1)解析 根据题意，设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )． F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )．∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5. ∵点A ，B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1. 解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．11．若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 2解析 由题意可知，O (0,0)，F (1,0)，设P (2cos α，sin α)，则|OP |2＋|PF |2＝2cos 2α＋sin 2α＋(2cos α－1)2＋sin 2α＝2cos 2α－22cos α＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－222＋2， 所以当cos α＝22时，|OP |2＋|PF |2取得最小值2. 三、解答题12．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积为22b 2，求cos ∠F 1PF 2的值． 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝4c 2，整理得|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos ∠F 1PF 2. ∵△PF 1F 2的面积为22b 2， ∴12×2b 21＋cos ∠F 1PF 2×sin ∠F 1PF 2＝22b 2， ∴1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，又∵sin 2∠F 1PF 2＋cos 2∠F 1PF 2＝1， ∴cos ∠F 1PF 2＝13(cos ∠F 1PF 2＝－1舍去)． 13．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1， 得8x 281＋436＝1，即x 2＝9，解得x ＝±3，即M 的横坐标为3或－3. (2)椭圆x 29＋y 24＝1的焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5.设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2＞5)， 把M 点坐标代入椭圆方程，得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 四、探究与拓展14．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由椭圆定义，知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32. 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，因此∠MF 2F 1＝90°，即△MF 1F 2为直角三角形．15．如图所示，△ABC 的底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，CE ，BD 为AB ，AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知，|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20＞12. ∵B ，C 是两个定点，G 点到B ，C 的距离和等于定值20，且20＞12＝|BC |，∴G 点的轨迹是椭圆，B ，C 是椭圆焦点， ∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20， a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)． 设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y 3，故A 点轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 3264＝1， 即x 2900＋y 2576＝1(x ≠±30).。